Şu an 2. Bölüm görüntüleniyor...
ax + b = 0 şeklinde yazılan eşitliklere, birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler denir.
Denklemdeki eşitliği sağlayan x gerçek sayısına denklemin kökü denir. Denklemin köklerinden oluşan kümeye, denklemin çözüm kümesi denir. Çözüm kümesi, çoğunlukla Ç harfi ile gösterilir.
Not:
x bilinmeyenin, kuvveti (üssü) 1 olan denklemlere, 1. dereceden denklem denir.
x¹ ve x ifadeleri, birbirine eşittir. ( x¹ = x )
2x - 4 = 0 şeklinde yazılan bir denklem, 1. dereceden denklemdir.
x bilinmeyenin, kuvveti (üssü) 2 olan denklemlere, 2. dereceden denklem denir.
x² şeklinde, bilinmeyen içeren denklem, 2. dereceden bir denklemdir.
x² - 4 = 0 şeklinde yazılan bir denklem, 2. dereceden denklemdir.
a ve b ∈ R ve a ≠ 0 olmak üzere ax + b = 0 denkleminin çözüm kümesi - 1. Durum
a ve b ∈ R ve a ≠ 0 olmak üzere ax + b = 0 denkleminin çözüm kümesi:
ax + b = 0 şeklinde yazılan bir denklemde, a sayısı sıfıra eşit değilse:
ax + b = 0 denkleminde, bilinmeyen olarak tanımlanan sayı x sayısıdır. Bilinmeyen ifadesi kullanıldığında, bahsedilen sayı, x sayısı olacaktır.
ax + b = 0 denkleminde, bilinen olarak tanımlanan sayılar, a ve b sayılarıdır. Bilinen ifadesi kullanıldığında, bahsedilen sayılar, a ve b sayıları olacaktır.
Denklem çözümlerinde, bilinenler (a ve b sayıları) ve bilinmeyenler (x), eşitliğin, farklı iki tarafında bulunacak şekilde işlemler yürütülür.
ax şeklinde yazılan bir ifade,
ax sayısı, iki basamaklı ax sayısı, ax doğal sayısı, ax tam sayısı şeklinde belirtilmiyorsa;
başka bir ifadeyle, ax ifadesi tanımlanmamışsa, a sayısı ile x sayısının çarpımıdır.
ax = a . x
ax + b = 0 → eşitliğinde bilinenler eşitliğin bir tarafında, bilinmeyenler bir tarafında olacak şekilde işlemler yürütülür. İlk aşamada, bilinen b sayısı, eşitliğin sağ tarafına atılır.
Eşitliğin diğer yönüne geçen bir sayı, işaret değiştirir. Sayının işareti (+) artı ise (-) eksi olarak, eksi (-) ise (+) artı olarak değiştirilir.
ax + b ifadesinde, toplama işleminin sembolü olan (+) işareti, b sayısının işareti olarak kabul edilebilir.
ax +b = 0 → +b sayısı, eşitliğin sağına atılırsa, -b olur ve yeni eşitlik ax = -b haline gelir.
ax = -b → ifadesinde, x bilinmeyeni, eşitliğin sol tarafında yalnız bırakılırsa, değerinin ne olduğu bulunabilir. Eşitliğin solunda olan ax ifadesi, çarpım durumunda olan, a . x sayılarıdır.
x sayısını yalnız bırakmak için, a . x ifadesi, a sayısına bölünür. 2 sayısı, 2'ye bölündüğünde, sonucun 1 olduğu gibi, a . x ifadesindeki a sayısı, a sayısına bölündüğünde sonuç 1 olur. 1 sonucu x bilinmeyeni ile çarpım durumundadır. Çarpma işleminde etkisiz eleman olan 1 sayısı, 1 . x şeklinde yazılmayıp, sadece x olarak yazılır. ( 1 . x = x )
Bu işlem, sadeleşme olarak ifade edilir ve sadeleşen aynı iki sayının üzerine çizgi çizilerek gösterilir. Sadeleşme işlemi, bölme işlemi durumunda olan sayılar arasında olabilir.
Eşitliği bozmamak için, eşitliğin her iki tarafı, a sayısına bölünür.
(a.x / a ) = ( -b / a ) → Resimde görüldüğü gibi, sadeleşen sayıların üzeri çizilir.
x = ( -b / a ) → Sadeleşme işlemi sonrasında, eşitliğin sol tarafında x sayısı yalnız kalır. Sağ tarafında ( -b / a ) ifadesi kalır. b sayısının önünde bulunan eksi (-) işareti, kesir çizgisinin önüne de yazılabilir. x = -( b / a ) olur.
ax + b = 0 denkleminin çözüm kümesi → Ç = { -(b / a) }
Örnek:
2x + 6 = 0 denklemi için:
a sayısı → 2
b sayısı → 6
2x + 6 = 0 eşitliğinde bilinenler eşitliğin bir tarafında, bilinmeyenler bir tarafında olacak şekilde işlemler yürütülür. İlk aşamada, bilinen 6 sayısı, eşitliğin sağ tarafına atılır.
2x + 6 ifadesinde, toplama işleminin sembolü olan (+) işareti, 6 sayısının işareti olarak kabul edilebilir.
2x +6 = 0 → +6 sayısı, eşitliğin sağına atılırsa, -6 olur ve yeni eşitlik 2x = -6 haline gelir.
2x = -6 → ifadesinde, x bilinmeyeni, eşitliğin sol tarafında yalnız bırakılırsa, değerinin ne olduğu bulunabilir. Eşitliğin solunda olan 2x ifadesi, çarpım durumunda olan, 2 . x sayılarıdır.
x sayısını yalnız bırakmak için, 2 . x ifadesi, 2 sayısına bölünür. 2 sayısı, 2'ye bölündüğünde, sonuç 1 olur. 1 sonucu x bilinmeyeni ile çarpım durumundadır. Çarpma işleminde etkisiz eleman olan 1 sayısı, 1 . x şeklinde yazılmayıp, sadece x olarak yazılır. ( 1 . x = x )
Eşitliği bozmamak için, eşitliğin her iki tarafı, 2 sayısına bölünür.
(2.x / 2 ) = ( -6 / 2 ) → Resimde görüldüğü gibi, sadeleşen sayıların üzeri çizilir.
x = ( -6 / 2 ) → Sadeleşme işlemi sonrasında, eşitliğin sol tarafında x sayısı yalnız kalır. Sağ tarafında ( -6 / 2 ) ifadesi kalır.
(-6) sayısı, 2 ile bölündüğünde sonuç (-3) olur.
x = ( -6 / 2 ) → x = -3
2x + 6 = 0 denkleminin çözüm kümesi → Ç = { -3 }
a ve b ∈ R , a = 0 ve b ≠ 0 olmak üzere ax + b = 0 denkleminin çözüm kümesi - 2. Durum
a ve b ∈ R , a = 0 ve b ≠ 0 olmak üzere ax + b = 0 denkleminin çözüm kümesi:
ax + b = 0 şeklinde yazılan bir denklemde, a sayısı sıfıra eşit, b sayısı sıfıra eşit değilse:
ax + b = 0 denklemi için:
a sayısı → 0
b sayısı → Sıfıra eşit olmayan, herhangi bir gerçek sayı olsun.
ax + b = 0 eşitliğinde bilinenler eşitliğin bir tarafında, bilinmeyenler bir tarafında olacak şekilde işlemler yürütülür. İlk aşamada, bilinen b sayısı, eşitliğin sağ tarafına atılır.
ax + b ifadesinde, toplama işleminin sembolü olan (+) işareti, b sayısının işareti olarak kabul edilebilir.
ax +b = 0 → +b sayısı, eşitliğin sağına atılırsa, -b olur ve yeni eşitlik ax = -b haline gelir.
ax = -b → ifadesinde, a sayısının sıfır(0) olan değeri yazılır. Eşitliğin solunda olan 0x ifadesi, çarpım durumunda olan, 0 . x sayılarıdır. Çarpma işleminde yutan eleman olan sıfır sayısı (0), hangi sayı ile çarpılırsa çarpılsın, sonuç sıfır olur.
0 . x = -b → eşitliğinde, eşitliğin solunda bulunan 0 . x ifadesinin değeri sıfırdır.
0 = -b → ifadesinde, b sayısı, sıfır haricinde, hangi gerçek sayı olursa olsun, eşitlik yanlış olur. b sayısının tanımında, b sayısının sıfıra eşit olmadığı belirtilmiştir. (b ≠ 0)
Eşitliğin yanlış olduğu bir denklemin çözüm kümesi, boş kümedir.
Ç = { ∅ }
a ve b ∈ R , a = 0 ve b = 0 olmak üzere ax + b = 0 denkleminin çözüm kümesi - 3. Durum
a ve b ∈ R , a = 0 ve b = 0 olmak üzere ax + b = 0 denkleminin çözüm kümesi:
ax + b = 0 şeklinde yazılan bir denklemde, a sayısı ve b sayısı sıfıra eşit ise:
ax + b = 0 denklemi için:
a sayısı → 0
b sayısı → 0
ax + b = 0 ifadesinde, a sayısının ve b sayısının sıfır(0) olan değerleri yazılır. Eşitliğin solunda olan 0x ifadesi, çarpım durumunda olan, 0 . x sayılarıdır. Çarpma işleminde yutan eleman olan sıfır sayısı (0), hangi sayı ile çarpılırsa çarpılsın, sonuç sıfır olur.
0 . x + 0 = 0 → eşitliğinde, eşitliğin solunda bulunan 0 . x ifadesinin değeri sıfırdır (0).
0 + 0 = 0 → eşitliği doğrudur.
0 . x → ifadesinin değeri, x sayısı, hangi gerçek sayı olursa olsun, sıfır (0) olur ve 0 + 0 = 0 eşitliğini sağlar.
x sayısı, herhangi bir gerçek sayı olabilir.
x = R → Ç = R
1. dereceden bir bilinmeyenli denklem örnek soru - 1:
6x + 9 = 0 denklemi için:
a sayısı → 6
b sayısı → 9
6x + 9 = 0 eşitliğinde bilinenler eşitliğin bir tarafında, bilinmeyenler bir tarafında olacak şekilde işlemler yürütülür. İlk aşamada, bilinen 9 sayısı, eşitliğin sağ tarafına atılır.
6x + 9 ifadesinde, toplama işleminin sembolü olan (+) işareti, 9 sayısının işareti olarak kabul edilebilir.
6x +9 = 0 → +9 sayısı, eşitliğin sağına atılırsa, -9 olur ve yeni eşitlik 6x = -9 haline gelir.
6x = -9 → ifadesinde, x bilinmeyeni, eşitliğin sol tarafında yalnız bırakılırsa, değerinin ne olduğu bulunabilir. Eşitliğin solunda olan 6x ifadesi, çarpım durumunda olan, 6 . x sayılarıdır.
x sayısını yalnız bırakmak için, 6 . x ifadesi, 6 sayısına bölünür. 6 sayısı, 6'ya bölündüğünde, sonuç 1 olur. 1 sonucu x bilinmeyeni ile çarpım durumundadır. Çarpma işleminde etkisiz eleman olan 1 sayısı, 1 . x şeklinde yazılmayıp, sadece x olarak yazılır. ( 1 . x = x )
Eşitliği bozmamak için, eşitliğin her iki tarafı, 6 sayısına bölünür.
(6.x / 6 ) = ( -9 / 6 ) → Resimde görüldüğü gibi, sadeleşen sayıların üzeri çizilir.
x = ( -9 / 6 ) → Sadeleşme işlemi sonrasında, eşitliğin sol tarafında x sayısı yalnız kalır. Sağ tarafında ( -9 / 6 ) ifadesi kalır.
Eşitliğin sağ tarafında olan ( -9 / 6 ) ifadesinde, 9 sayısının işareti olan eksi (-) işareti, kesir çizgisinin önüne yazılabilir. ( -9 / 6 ) yazımı, - ( 9 / 6 ) haline gelir. Payda bulunan 9 sayısı ile payda'da bulunan 6 sayısı, sadeleşme durumunda olan iki sayıdır.
9 sayısı → 3 . 3 şeklinde yazılabilir.
6 sayısı → 3 . 2 şeklinde yazılabilir.
3 . 3
3 . 2
üç sayıları sadeleşirse, kesirli sayı - (3 / 2) haline gelir.
9 ve 6 sayıları, 3 ile tam bölünebilen iki sayıdır. 9 ve 6 sayılarının üzerleri çizilerek, işlem yapmadan, - (3 / 2) şeklinde de yazılabilir.
x = - (9 / 6 ) = - (3 / 2)
6x + 9 = 0 denkleminin çözüm kümesi → Ç = { - (3 / 2) }
Örnek - 2
1. dereceden bir bilinmeyenli denklem örnek soru - 2:
5x - 10 = 0 denklemi için:
a sayısı → 5
b sayısı → 10
5x - 10 = 0 eşitliğinde bilinenler eşitliğin bir tarafında, bilinmeyenler bir tarafında olacak şekilde işlemler yürütülür. İlk aşamada, bilinen 10 sayısı, eşitliğin sağ tarafına atılır.
5x - 10 ifadesinde, çıkarma işleminin sembolü olan (-) işareti, 10 sayısının işareti olarak kabul edilebilir.
5x -10 = 0 → -10 sayısı, eşitliğin sağına atılırsa, +10 olur ve yeni eşitlik 5x = +10 haline gelir.
5x = +10 eşitliğinde, 10 sayısının işareti olan (+) işareti yazılmayabilir.
Eşitlik, 5x = 10 şeklinde yazılabilir.
5x = 10 → ifadesinde, x bilinmeyeni, eşitliğin sol tarafında yalnız bırakılırsa, değerinin ne olduğu bulunabilir. Eşitliğin solunda olan 5x ifadesi, çarpım durumunda olan, 5 . x sayılarıdır.
x sayısını yalnız bırakmak için, 5 . x ifadesi, 5 sayısına bölünür. 5 sayısı, 5'e bölündüğünde, sonuç 1 olur. 1 sonucu x bilinmeyeni ile çarpım durumundadır. Çarpma işleminde etkisiz eleman olan 1 sayısı, 1 . x şeklinde yazılmayıp, sadece x olarak yazılır. ( 1 . x = x )
Eşitliği bozmamak için, eşitliğin her iki tarafı, 5 sayısına bölünür.
(5.x / 5 ) = ( 10 / 5 ) → Resimde görüldüğü gibi, sadeleşen sayıların üzeri çizilir.
x = ( 10 / 5 ) → Sadeleşme işlemi sonrasında, eşitliğin sol tarafında x sayısı yalnız kalır. Sağ tarafında ( 10 / 5 ) ifadesi kalır.
Eşitliğin sağ tarafında olan ( 10 / 5 ) ifadesinde, payda bulunan 10 sayısı ile payda'da bulunan 5 sayısı, sadeleşme durumunda olan iki sayıdır.
10 sayısı → 5 . 2 şeklinde yazılabilir.
5 sayısı → 5 . 1 şeklinde yazılabilir.
5 . 2
5 . 1
5 sayıları sadeleşirse, kesirli sayı ( 2 / 1 ) haline gelir. ( 2 / 1 ) kesirli sayısı, 2 sayısına eşittir. ( 2 / 1 ) = 2
10 sayısı, 2 sayısına bölünürse sonuç 2 olur. 10 ve 5 sayılarının üzerleri çizilerek, işlem yapmadan, 2 şeklinde de yazılabilir.
x = (10 / 5) = 2
5x - 10 = 0 denkleminin çözüm kümesi → Ç = { 2 }
Örnek - 3
1. dereceden bir bilinmeyenli denklem örnek soru - 3:
4x - 14 = 0 denklemi için:
a sayısı → 4
b sayısı → 14
4x - 14 = 0 eşitliğinde bilinenler eşitliğin bir tarafında, bilinmeyenler bir tarafında olacak şekilde işlemler yürütülür. İlk aşamada, bilinen 14 sayısı, eşitliğin sağ tarafına atılır.
4x - 14 ifadesinde, çıkarma işleminin sembolü olan (-) işareti, 14 sayısının işareti olarak kabul edilebilir.
4x -14 = 0 → -14 sayısı, eşitliğin sağına atılırsa, +14 olur ve yeni eşitlik 4x = +14 haline gelir.
4x = +14 eşitliğinde, 14 sayısının işareti olan (+) işareti yazılmayabilir.
Eşitlik, 4x = 14 şeklinde yazılabilir.
4x = 14 → ifadesinde, x bilinmeyeni, eşitliğin sol tarafında yalnız bırakılırsa, değerinin ne olduğu bulunabilir. Eşitliğin solunda olan 4x ifadesi, çarpım durumunda olan, 4 . x sayılarıdır.
x sayısını yalnız bırakmak için, 4 . x ifadesi, 4 sayısına bölünür. 4 sayısı, 4'e bölündüğünde, sonuç 1 olur. 1 sonucu x bilinmeyeni ile çarpım durumundadır. Çarpma işleminde etkisiz eleman olan 1 sayısı, 1 . x şeklinde yazılmayıp, sadece x olarak yazılır. ( 1 . x = x )
Eşitliği bozmamak için, eşitliğin her iki tarafı, 4 sayısına bölünür.
(4.x / 4 ) = ( 14 / 4 ) → Resimde görüldüğü gibi, sadeleşen sayıların üzeri çizilir.
x = ( 14 / 4 ) → Sadeleşme işlemi sonrasında, eşitliğin sol tarafında x sayısı yalnız kalır. Sağ tarafında ( 14 / 4 ) ifadesi kalır.
Eşitliğin sağ tarafında olan ( 14 / 4 ) ifadesinde, payda bulunan 14 sayısı ile payda'da bulunan 4 sayısı, sadeleşme durumunda olan iki sayıdır.
14 sayısı → 2 . 7 şeklinde yazılabilir.
4 sayısı → 2 . 2 şeklinde yazılabilir.
2 . 7
2 . 2
2 sayıları sadeleşirse, kesirli sayı ( 7 / 2 ) haline gelir.
14 ve 4 sayıları, 2 ile tam bölünebilen iki sayıdır. 14 ve 4 sayılarının üzerleri çizilerek, işlem yapmadan, ( 7 / 2 ) şeklinde de yazılabilir.
x = (14 / 4) = ( 7 / 2 )
4x - 14 = 0 denkleminin çözüm kümesi → Ç = { ( 7 / 2 ) }
Örnek - 4
1. dereceden bir bilinmeyenli denklem örnek soru - 4:
5x - 8 = 2x + 7 denklemi için:
5x - 8 = 2x + 7 denklemi, eşitliğin her iki tarafında x bilinmeyeni olan bir denklemdir.
5x - 8 = 2x + 7 eşitliğinde bilinenler eşitliğin bir tarafında, bilinmeyenler bir tarafında olacak şekilde işlemler yürütülür. İlk aşamada, bilinen 8 sayısı, eşitliğin sağ tarafına atılır.
5x - 8 ifadesinde, çıkarma işleminin sembolü olan (-) işareti, 8 sayısının işareti olarak kabul edilebilir.
5x -8 = 2x + 7 → -8 sayısı, eşitliğin sağına atılırsa, +8 olur ve yeni eşitlik 5x = 2x +8 + 7 haline gelir.
5x = 2x +8 + 7 eşitliğinde, ikinci aşamada, bilinmeyen 2x sayısı, eşitliğin sol tarafına atılır. 2x sayısının işareti görünür kılınırsa, (+2x) şeklinde yazılabilir.
5x = +2x +8 + 7 → +2x sayısı, eşitliğin soluna atılırsa, -2x olur ve yeni eşitlik 5x -2x = +8 + 7 haline gelir.
Not:
Toplama ve çıkarma işlemi, işaretleri belli olan sayıların, bir araya getirilmesi şeklinde düşünülebilir.
+8 +7 → şeklinde ayrı yazılan iki sayı bir araya getirilirse, +15 sayısına ulaşılır.
+8 +7 şeklinde ayrı yazılan iki sayı, +8 sayısının işareti yazılmadan ve +7 sayısının işareti, toplama işlemi sembolü olarak düşünülüp, 8 + 7 şeklinde de yazılabilir.
-8 -7 → şeklinde ayrı yazılan iki sayı bir araya getirilirse, -15 sayısına ulaşılır.
-8 -7 şeklinde ayrı yazılan iki sayı, -8 sayısının işareti aynen bırakılıp ve -7 sayısının işareti, çıkarma işlemi sembolü olarak düşünülüp, -8 - 7 şeklinde de yazılabilir.
+8 -7 → şeklinde ayrı yazılan iki sayı bir araya getirilirse, +1 sayısına ulaşılır.
+8 -7 şeklinde ayrı yazılan iki sayı, +8 sayısının işareti yazılmadan ve -7 sayısının işareti, çıkarma işlemi sembolü olarak düşünülüp, 8 - 7 şeklinde de yazılabilir.
-8 +7 → şeklinde ayrı yazılan iki sayı bir araya getirilirse, -1 sayısına ulaşılır.
-8 +7 şeklinde ayrı yazılan iki sayı, -8 sayısının işareti aynen bırakılıp ve +7 sayısının işareti, toplama işlemi sembolü olarak düşünülüp, -8 + 7 şeklinde veya 7 - 8 şeklinde de yazılabilir.
5x -2x = +8 + 7 eşitliği, 5x - 2x = 8 + 7 şeklinde yazılabilir.
5x - 2x = 8 + 7 eşitliği için:
eşitliğin sol tarafında bulunan işlem yapılır. 5x değerinden, 2x değeri çıkarılır. 5 tane x sayısından, 2 tane x sayısı çıkarılırsa, geriye 3 tane x sayısı kalır. ( 5x - 2x = 3x )
Eşitliğin sağ tarafında bulunan işlem yapılır. ( 8 + 7 = 15 )
5x - 2x = 8 + 7 eşitliğinin, solunda ve sağında yapılan işlemlerden sonra yeni eşitlik:
3x = 15 olur.
3x = 15 → ifadesinde, x bilinmeyeni, eşitliğin sol tarafında yalnız bırakılırsa, değerinin ne olduğu bulunabilir. Eşitliğin solunda olan 3x ifadesi, çarpım durumunda olan, 3 . x sayılarıdır.
x sayısını yalnız bırakmak için, 3 . x ifadesi, 3 sayısına bölünür. 3 sayısı, 3'e bölündüğünde, sonuç 1 olur. 1 sonucu x bilinmeyeni ile çarpım durumundadır. Çarpma işleminde etkisiz eleman olan 1 sayısı, 1 . x şeklinde yazılmayıp, sadece x olarak yazılır. ( 1 . x = x )
Eşitliği bozmamak için, eşitliğin her iki tarafı, 3 sayısına bölünür.
(3.x / 3 ) = ( 15 / 3 ) → Resimde görüldüğü gibi, sadeleşen sayıların üzeri çizilir.
x = ( 15 / 3 ) → Sadeleşme işlemi sonrasında, eşitliğin sol tarafında x sayısı yalnız kalır. Sağ tarafında ( 15 / 3 ) ifadesi kalır.
Eşitliğin sağ tarafında olan ( 15 / 3 ) ifadesinde, payda bulunan 15 sayısı ile payda'da bulunan 3 sayısı, sadeleşme durumunda olan iki sayıdır.
15 sayısı → 3 . 5 şeklinde yazılabilir.
3 sayısı → 3 . 1 şeklinde yazılabilir.
3 . 5
3 . 1
3 sayıları sadeleşirse, kesirli sayı ( 5 / 1 ) haline gelir. ( 5 / 1 ) kesirli sayısı, 5 sayısına eşittir. ( 5 / 1 ) = 5
15 sayısı, 3 sayısına bölünürse sonuç 5 olur. 15 ve 3 sayılarının üzerleri çizilerek, işlem yapmadan, 5 şeklinde de yazılabilir.
x = (15 / 3) = 5
5x - 8 = 2x + 7 denkleminin çözüm kümesi → Ç = { 5 }
Not:
Daha karmaşık denklem çözümlerinden önce:
- Negatif (-) ve Pozitif (+) sayılarda dört işlem
- Kesirli sayılarda işlemler
- İşlem önceliği
- Parantez açma
konularının bilinmesi gerekir. Sayılar 5. Bölüm » başlıklı yazıda bu konulara değinilmiştir.
Örnek - 5
2(x - 2) - 3 = 4(x + 1)
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? (kaynak: Supara)
Çözüm:
1. dereceden bir bilinmeyenli denklem örnek soru - 5:
2(x - 2) - 3 = 4(x + 1) denklemi için:
2(x - 2) - 3 = 4(x + 1) denklemi, eşitliğin her iki tarafında x bilinmeyeni olan bir denklemdir.
2(x - 2) - 3 = 4(x + 1) eşitliğinde ilk aşamada, yeşil renk ile gösterilen, parantez açma işlemi yapılır.
2(x - 2) ifadesi, çarpım durumunda olan iki ifadedir. → 2 . (x - 2)
2 . (x - 2) ifadesinde, parantez içindeki x sayısının işareti görünür kılınır ve (+)x şeklinde yazılır. Çıkarma işleminin sembolü olan (-) işareti, 2 sayısının işareti olarak kabul edilebilir.
2 . ( (+)x (-)2 ) → Parantez dışındaki 2 sayısı ile, parantez içindeki (+)x sayısı çarpılır → 2 . (+x)
2 . ( (+)x (-)2 ) → Parantez dışındaki 2 sayısı ile, parantez içindeki (-)2 sayısı çarpılır → 2 . (-2)
2 . (+x) → 2 ile (+x) çarpıldığında, +2x olur. (+) sayı ile (+) sayının çarpımı, (+) olur.
2 . (-2) → 2 ile (-2) çarpıldığında, -4 olur. (+) sayı ile (-) sayının çarpımı, (-) olur.
+2x -4 sayıları 2x - 4 şeklinde yazılabilir.
2(x - 2) ifadesi parantez açıldıktan sonra 2x - 4 halini alır.
2(x - 2) - 3 = 4(x + 1) eşitliğinde ikinci aşamada, sarı renk ile gösterilen, parantez açma işlemi yapılır.
4(x + 1) ifadesi, çarpım durumunda olan iki ifadedir. → 4 . (x + 1)
4 . (x + 1) ifadesinde, parantez içindeki x sayısının işareti görünür kılınır ve (+)x şeklinde yazılır. toplama işleminin sembolü olan (+) işareti, 1 sayısının işareti olarak kabul edilebilir.
4 . ( (+)x (+)1 ) → Parantez dışındaki 4 sayısı ile, parantez içindeki (+)x sayısı çarpılır → 4 . (+x)
4 . ( (+)x (+)1 ) → Parantez dışındaki 4 sayısı ile, parantez içindeki (+)1 sayısı çarpılır → 4 . (+1)
4 . (+x) → 4 ile (+x) çarpıldığında, +4x olur. (+) sayı ile (+) sayının çarpımı, (+) olur.
4 . (+1) → 4 ile (+1) çarpıldığında, +4 olur. (+) sayı ile (+) sayının çarpımı, (+) olur.
+4x +4 sayıları 4x + 4 şeklinde yazılabilir.
4(x + 1) ifadesi, parantez açıldıktan sonra 4x + 4 halini alır.
Parantez açma işlemlerinden sonra denklem:
2x - 4 - 3 = 4x + 4 halini alır.
Denklemin sol tarafında bulunan, -4 - 3 işlemi yapıldığında, sonuç -7 olur. Denklem yeni hali:
2x - 7 = 4x + 4
2x - 7 = 4x + 4 eşitliğinde bilinenler eşitliğin bir tarafında, bilinmeyenler bir tarafında olacak şekilde işlemler yürütülür. Denklem incelendiğinde, sağ tarafında bulunan +4x değeri sola atılırsa, 2x - 4x sonucu (-) olacağı görülür. İşlemi kolaylaştırmak için, 2x değeri sağa atılabilir. Bilinenler eşitliğin sol tarafında, bilinmeyenler işlemin sağ tarafında olacak şekilde işlemler yürütülür.
Üçüncü aşamada aşamada, bilinen 4 sayısı, eşitliğin sol tarafına atılır.
4x + 4 ifadesinde, toplama işleminin sembolü olan (+) işareti, 4 sayısının işareti olarak kabul edilebilir.
2x - 7 = 4x +4 → +4 sayısı, eşitliğin soluna atılırsa, -4 olur ve yeni eşitlik 2x - 7 -4 = 4x haline gelir.
2x - 7 -4 = 4x eşitliğinde, dördüncü aşamada, bilinmeyen 2x sayısı, eşitliğin sağ tarafına atılır. 2x sayısının işareti görünür kılınırsa, (+2x) şeklinde yazılabilir.
+2x - 7 -4 = 4x → +2x sayısı, eşitliğin soluna atılırsa, -2x olur ve yeni eşitlik -7 -4 = 4x -2x haline gelir.
-7 -4 = 4x -2x eşitliği, -7 - 4 = 4x - 2x şeklinde yazılabilir.
-7 - 4 = 4x - 2x eşitliği için:
eşitliğin sağ tarafında bulunan işlem yapılır. 4x değerinden, 2x değeri çıkarılır. 4 tane x sayısından, 2 tane x sayısı çıkarılırsa, geriye 2 tane x sayısı kalır. ( 4x - 2x = 2x )
Eşitliğin sol tarafında bulunan işlem yapılır. ( -7 - 4 = -11)
-7 - 4 = 4x - 2x eşitliğinin, solunda ve sağında yapılan işlemlerden sonra yeni eşitlik:
-11 = 2x olur.
-11 = 2x → ifadesinde, x bilinmeyeni, eşitliğin sağ tarafında yalnız bırakılırsa, değerinin ne olduğu bulunabilir. Eşitliğin sağında olan 2x ifadesi, çarpım durumunda olan, 2 . x sayılarıdır.
x sayısını yalnız bırakmak için, 2 . x ifadesi, 2 sayısına bölünür. 2 sayısı, 2'e bölündüğünde, sonuç 1 olur. 1 sonucu x bilinmeyeni ile çarpım durumundadır. Çarpma işleminde etkisiz eleman olan 1 sayısı, 1 . x şeklinde yazılmayıp, sadece x olarak yazılır. ( 1 . x = x )
Eşitliği bozmamak için, eşitliğin her iki tarafı, 2 sayısına bölünür.
(2.x / 2 ) = ( -11 / 2 ) → Resimde görüldüğü gibi, sadeleşen sayıların üzeri çizilir.
x = ( -11 / 2 ) → Sadeleşme işlemi sonrasında, eşitliğin sağ tarafında x sayısı yalnız kalır. Sol tarafında ( -11 / 2 ) ifadesi kalır.
Eşitliğin sol tarafında olan ( -11 / 2 ) ifadesinde, 11 sayısının işareti olan eksi (-) işareti, kesir çizgisinin önüne yazılabilir. ( -11 / 2 ) yazımı, - ( 11 / 2 ) haline gelir.
x = - ( 11 / 2 )
2(x - 2) - 3 = 4(x + 1) denkleminin çözüm kümesi → Ç = { - ( 11 / 2 ) }
Örnek - 6
-3(-x - 2) - 1 = 2(x - 1)
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm:
1. dereceden bir bilinmeyenli denklem örnek soru - 6:
-3(-x - 2) - 1 = 2(x - 1) denklemi için:
-3(-x - 2) - 1 = 2(x - 1) denklemi, eşitliğin her iki tarafında x bilinmeyeni olan bir denklemdir.
-3(-x - 2) - 1 = 2(x - 1) eşitliğinde ilk aşamada, yeşil renk ile gösterilen, parantez açma işlemi yapılır.
-3(-x - 2) ifadesi, çarpım durumunda olan iki ifadedir. → -3 . (-x - 2)
-3 . (-x - 2) ifadesinde, çıkarma işleminin sembolü olan (-) işareti, parantez içindeki 2 sayısının işareti olarak kabul edilebilir.
-3 . ( (-)x (-)2 ) → Parantez dışındaki -3 sayısı ile, parantez içindeki (-)x sayısı çarpılır → -3 . (-x)
-3 . ( (-)x (-)2 ) → Parantez dışındaki -3 sayısı ile, parantez içindeki (-)2 sayısı çarpılır → -3 . (-2)
-3 . (-x) → -3 ile (-x) çarpıldığında, +3x olur. (-) sayı ile (-) sayının çarpımı, (+) olur.
-3 . (-2) → -3 ile (-2) çarpıldığında, +6 olur. (-) sayı ile (-) sayının çarpımı, (+) olur.
+3x +6 sayıları 3x + 6 şeklinde yazılabilir.
-3(-x - 2) ifadesi parantez açıldıktan sonra 3x + 6 halini alır.
-3(-x - 2) - 1 = 2(x - 1) eşitliğinde ikinci aşamada, sarı renk ile gösterilen, parantez açma işlemi yapılır.
2(x - 1) ifadesi, çarpım durumunda olan iki ifadedir. → 2 . (x - 1)
2 . (x - 1) ifadesinde, parantez içindeki x sayısının işareti görünür kılınır ve (+)x şeklinde yazılır. çıkarma işleminin sembolü olan (-) işareti, 1 sayısının işareti olarak kabul edilebilir.
2 . ( (+)x (-)1 ) → Parantez dışındaki 2 sayısı ile, parantez içindeki (+)x sayısı çarpılır → 2 . (+x)
2 . ( (+)x (-)1 ) → Parantez dışındaki 2 sayısı ile, parantez içindeki (-)1 sayısı çarpılır → 2 . (-1)
2 . (+x) → 2 ile (+x) çarpıldığında, +2x olur. (+) sayı ile (+) sayının çarpımı, (+) olur.
2 . (-1) → 2 ile (-1) çarpıldığında, -2 olur. (+) sayı ile (-) sayının çarpımı, (-) olur.
+2x -2 sayıları 2x - 2 şeklinde yazılabilir.
2(x - 1) ifadesi, parantez açıldıktan sonra 2x - 2 halini alır.
Parantez açma işlemlerinden sonra denklem:
3x + 6 - 1 = 2x - 2 halini alır.
Denklemin sol tarafında bulunan, +6 - 1 işlemi yapıldığında, sonuç +5 olur. Denklem yeni hali:
3x + 5 = 2x - 2
3x + 5 = 2x - 2 eşitliğinde bilinenler eşitliğin bir tarafında, bilinmeyenler bir tarafında olacak şekilde işlemler yürütülür. Üçüncü aşamada aşamada, bilinen 5 sayısı, eşitliğin sağ tarafına atılır.
3x + 5 ifadesinde, toplama işleminin sembolü olan (+) işareti, 5 sayısının işareti olarak kabul edilebilir.
3x +5 = 2x - 2 → +5 sayısı, eşitliğin sağına atılırsa, -5 olur ve yeni eşitlik 3x = 2x - 2 -5 haline gelir.
3x = 2x - 2 -5 eşitliğinde, dördüncü aşamada, bilinmeyen 2x sayısı, eşitliğin sol tarafına atılır. 2x sayısının işareti görünür kılınırsa, (+2x) şeklinde yazılabilir.
3x = +2x - 2 -5 → +2x sayısı, eşitliğin soluna atılırsa, -2x olur ve yeni eşitlik 3x -2x = -2 -5 haline gelir.
3x -2x = -2 -5 eşitliği, 3x - 2x = -2 - 5 şeklinde yazılabilir.
3x - 2x = -2 - 5 eşitliği için:
eşitliğin sol tarafında bulunan işlem yapılır. 3x değerinden, 2x değeri çıkarılır. 3 tane x sayısından, 2 tane x sayısı çıkarılırsa, geriye 1 tane x sayısı kalır. ( 3x - 2x = x )
Eşitliğin sağ tarafında bulunan işlem yapılır. ( -2 - 5 = -7)
3x - 2x = -2 - 5 eşitliğinin, solunda ve sağında yapılan işlemlerden sonra yeni eşitlik:
x = -7 olur.
x = -7
-3(-x - 2) - 1 = 2(x - 1) denkleminin çözüm kümesi → Ç = { -7 }
Örnek - 7
5 - [ x + 2(3 - x) ] = 3x + 1
denklemini sağlayan x değeri kaçtır? (kaynak: Supara)
Çözüm:
1. dereceden bir bilinmeyenli denklem örnek soru - 7:
5 - [ x + 2(3 - x) ] = 3x + 1 denklemi için:
İç içe parantez olan denklemlerde, denklemin çözümüne en içte bulunan parantezden başlanır.
5 - [ x + 2(3 - x) ] = 3x + 1 eşitliğinde ilk aşamada, yeşil renk ile gösterilen, parantez açma işlemi yapılır.
2(3 - x) ifadesi, çarpım durumunda olan iki ifadedir. → 2 . (3 - x)
2 . (3 - x) ifadesinde, parantez içindeki 3 sayısının işareti görünür kılınır ve (+)3 şeklinde yazılır. Çıkarma işleminin sembolü olan (-) işareti, x bilinmeyeninin işareti olarak kabul edilebilir.
2 . ( (+)3 (-)x ) → Parantez dışındaki 2 sayısı ile, parantez içindeki (+)3 sayısı çarpılır → 2 . (+3)
2 . ( (+)3 (-)x ) → Parantez dışındaki 2 sayısı ile, parantez içindeki (-)x sayısı çarpılır → 2 . (-x)
2 . (+3) → 2 ile (+3) çarpıldığında, +6 olur. (+) sayı ile (+) sayının çarpımı, (+) olur.
2 . (-x) → 2 ile (-x) çarpıldığında, -2x olur. (+) sayı ile (-) sayının çarpımı, (-) olur.
+6 -2x sayıları 6 - 2x şeklinde yazılabilir.
2(3 - x) ifadesi parantez açıldıktan sonra 6 - 2x halini alır.
5 - [ x + 2(3 - x) ] = 3x + 1 eşitliğinde, 2(3 - x) yerine, 6 - 2x yazılır.
5 - [ x + 6 - 2x ] = 3x + 1
Köşeli parantez içindeki işlem yapılır. x sayısından, 2x sayısı çıkarsa, geriye -x kalır. ( x - 2x = -x )
+6 sayısı ile -x sayısı yan yana 6 - x şeklinde yazılabilir. Köşeli parantez, [ 6 - x ] halini alır.
Denklemin yeni hali:
5 - [ 6 - x ] = 3x + 1
5 - [ 6 - x ] = 3x + 1 eşitliğinde, mor renk ile gösterilen, parantez açma işlemi yapılır. Parantez önünde bulunan (-) işareti ile parantez açılır.
(-)(6 - x) ifadesi, çarpım durumunda olan iki ifadedir. → (-) . (6 - x)
(-) . (6 - x) ifadesinde, parantez içindeki 6 sayısının işareti görünür kılınır ve (+)6 şeklinde yazılır. Çıkarma işleminin sembolü olan (-) işareti, x bilinmeyeninin işareti olarak kabul edilebilir.
(-) . ( (+)6 (-)x ) → Parantez dışındaki (-) işareti ile, parantez içindeki (+)6 sayısı çarpılır → (-) . (+6)
(-) . ( (+)6 (-)x ) → Parantez dışındaki (-) işareti ile, parantez içindeki (-)x sayısı çarpılır → (-) . (-x)
(-) . (+6) → (-) ile (+6) çarpıldığında, -6 olur. (-) sayı ile (+) sayının çarpımı, (-) olur.
(-) . (-x) → (-) ile (-x) çarpıldığında, +x olur. (-) sayı ile (-) sayının çarpımı, (+) olur.
-6 +x sayıları, 5 sayısı ile işleme gireceğinden, -6 +x şeklinde, işaretleri ile beraber yazılır.
- [ 6 - x ] ifadesi parantez açıldıktan sonra -6 +x halini alır.
5 - [ 6 - x ] = 3x + 1 eşitliğinde, - [ 6 - x ] yerine, -6 +x yazılır.
5 - 6 + x = 3x + 1
Eşitliğin sol tarafındaki işlem yapılır. 5 sayısından, 6 sayısı çıkarsa, geriye -1 kalır. ( 5 - 6 = -1 )
Eşitliğin sol tarafında, -1 + x ifadesi kalır.
Denklemin yeni hali:
-1 + x = 3x + 1
-1 + x = 3x + 1 eşitliğinde bilinenler eşitliğin bir tarafında, bilinmeyenler bir tarafında olacak şekilde işlemler yürütülür. Denklem incelendiğinde, sağ tarafında bulunan +3x değeri sola atılırsa, x - 3x sonucunun (-) olacağı görülür. İşlemi kolaylaştırmak için, x değeri sağa atılabilir. Bilinenler eşitliğin sol tarafında, bilinmeyenler işlemin sağ tarafında olacak şekilde işlemler yürütülür.
Bilinen 1 sayısı, eşitliğin sol tarafına atılır.
3x + 1 ifadesinde, toplama işleminin sembolü olan (+) işareti, 1 sayısının işareti olarak kabul edilebilir.
-1 + x = 3x +1 → +1 sayısı, eşitliğin soluna atılırsa, -1 olur ve yeni eşitlik -1 -1 + x = 3x haline gelir.
-1 -1 + x = 3x eşitliğinde, bilinmeyen x sayısı, eşitliğin sağ tarafına atılır. x sayısının işareti görünür kılınırsa, (+x) şeklinde yazılabilir.
-1 -1 +x = 3x → +x sayısı, eşitliğin soluna atılırsa, -x olur ve yeni eşitlik -1 -1 = 3x -x haline gelir.
-1 -1 = 3x -x eşitliği, -1 - 1 = 3x - x şeklinde yazılabilir.
-1 - 1 = 3x - x eşitliği için:
eşitliğin sağ tarafında bulunan işlem yapılır. 3x değerinden, x değeri çıkarılır. 3 tane x sayısından, 1 tane x sayısı çıkarılırsa, geriye 2 tane x sayısı kalır. ( 3x - x = 2x )
Eşitliğin sol tarafında bulunan işlem yapılır. ( -1 - 1 = -2)
-1 - 1 = 3x - x eşitliğinin, solunda ve sağında yapılan işlemlerden sonra yeni eşitlik:
-2 = 2x olur.
-2 = 2x → ifadesinde, x bilinmeyeni, eşitliğin sağ tarafında yalnız bırakılırsa, değerinin ne olduğu bulunabilir. Eşitliğin sağında olan 2x ifadesi, çarpım durumunda olan, 2 . x sayılarıdır.
x sayısını yalnız bırakmak için, 2 . x ifadesi, 2 sayısına bölünür. 2 sayısı, 2'e bölündüğünde, sonuç 1 olur. 1 sonucu x bilinmeyeni ile çarpım durumundadır. Çarpma işleminde etkisiz eleman olan 1 sayısı, 1 . x şeklinde yazılmayıp, sadece x olarak yazılır. ( 1 . x = x )
Eşitliği bozmamak için, eşitliğin her iki tarafı, 2 sayısına bölünür.
( -2 / 2 ) = (2.x / 2) → Resimde görüldüğü gibi, sadeleşen sayıların üzeri çizilir.
( -2 / 2 ) = x → Sadeleşme işlemi sonrasında, eşitliğin sağ tarafında x sayısı yalnız kalır. Sol tarafında ( -2 / 2 ) ifadesi kalır.
Eşitliğin sol tarafında bulunan işlem yapılır. -2 sayısı, 2 sayısına bölünürse sonuç -1 olur. -2 ve 2 sayılarının üzerileri çizilerek, işlem yapmadan, -1 şeklinde yazılabilir.
-1 = x
x = -1
Örnek - 8
1. dereceden bir bilinmeyenli denklem örnek soru - 8 (kaynak: Supara):
Çözüm:
1. dereceden bir bilinmeyenli denklem örnek çözüm - 8:
Geniş kesir çizgisinin, hem üst hem de alt tarafında x bilinmeyeni olan denklemin çözümüne, resimde yeşil çerçeve içine alınmış ifadeden başlanabilir.
( 1 / x ) + 1 → işleminde, 1 sayısının paydası görünür kılınır ve (1 / 1) şeklinde yazılır.
( 1 / x ) + ( 1 / 1 ) → işleminde, x sayısının altına parantez içinde (1), 1 sayısının altına parantez içinde (x) yazılarak, paydalar eşitlenir.
( 1 / x ) kesirli sayısının altına parantez içine yazılan (1) sayısı, hem pay hem de payda ile çarpıldığında,
( 1 . 1 / x . 1 ) haline gelir. Çarpma işleminin etkisiz elemanı olan 1 sayısı, pay'daki ve payda'daki sayıları değiştirmez. İfade yine ( 1 / x ) halinde kalır.
( 1 / 1 ) kesirli sayısının altına parantez içine yazılan (x) sayısı, hem pay hem de payda ile çarpıldığında,
( 1 . x / 1 . x ) haline gelir.
Pay'da bulunan 1 sayısı, x ile çarpıldığında x olur. ( 1 . x = x )
Payda'da bulunan 1 sayısı, x ile çarpıldığında x olur. ( 1 . x = x )
( 1 / 1 ) kesirli sayısı, ( x / x ) haline gelir.
Paydalar eşitlendiğinde kesirli işlem → ( 1 / x ) + ( x / x )
Pay bölümünde bulunan sayılar, kesirli sayıların arasında bulunan işlem ile (+) işleme sokulur. ( 1 + x )
Eşitlenen payda, aynen yazılır. (x)
Yeşil çerçeve içindeki ifade, ( 1 + x / x ) haline gelir.
Geniş kesir çizgisinin, alt tarafında bulunan ve resimde sarı çerçeve içine alınmış ifade için:
2 - ( 1 / x ) → işleminde, 2 sayısının paydası görünür kılınır ve (2 / 1) şeklinde yazılır.
( 2 / 1 ) + ( 1 / x ) → işleminde, payda'daki 1 sayısının altına parantez içinde (x), x sayısının altına parantez içinde (1) yazılarak, paydalar eşitlenir.
( 2 / 1 ) kesirli sayısının altına parantez içine yazılan (x) sayısı, hem pay hem de payda ile çarpıldığında,
( 2 . x / 1 . x ) haline gelir.
Pay'da bulunan 2 sayısı, (x) ile çarpıldığında 2x olur. ( 2 . x = 2x )
Payda'da bulunan 1 sayısı (x) ile çarpıldığında x olur. ( 1 . x = x )
( 2 / 1 ) kesirli sayısı, ( 2x / x ) haline gelir.
( 1 / x ) kesirli sayının altına parantez içine yazılan (1) sayısı, hem pay hem de payda ile çarpıldığında,
( 1 . 1 / x . 1 ) haline gelir. Çarpma işleminin etkisiz elemanı olan 1 sayısı, pay'daki ve payda'daki sayıları değiştirmez. İfade yine ( 1 / x ) halinde kalır.
Paydalar eşitlendiğinde kesirli işlem → ( 2x / x ) - ( 1 / x )
Pay bölümünde bulunan sayılar, kesirli sayıların arasında bulunan işlem ile (-) işleme sokulur. ( 2x - 1 )
Eşitlenen payda, aynen yazılır. (x)
Sarı çerçeve içindeki ifade, ( 2x - 1 / x ) haline gelir.
Geniş kesir çizgisinin üst tarafına, yeşil çerçeve içindeki yeni ifade olan, ( 1 + x / x ) yazılır.
Geniş kesir çizgisinin alt tarafına, sarı çerçeve içindeki yeni ifade olan, ( 2x - 1 / x ) yazılır.
( 1 + x / x ) / ( 2x - 1 / x ) → işleminde, mavi renk ile yazılmış sayılar (dış tarafta bulunan sayılar) çarpılarak pay bölümüne; kırımızı renk ile yazılmış sayılar (iç tarafta bulunan sayılar) çarpılarak payda bölümüne yazılır.
x . ( 1 + x ) / ( 2x - 1 ) . x = 1 / 3 haline gelen denklemde, x sayıları sadeleşebilir durumda olan iki sayıdır. Parantez açma işlemi yapmadan, x sayılarının üzerleri, resimde görüldüğü gibi çizilir ve sadeleştirilir.
Yeni denklem:
( 1 + x ) / ( 2x - 1 ) = 1 / 3 haline gelen denklemde, içler dışlar çarpımı yapılır.
Resimde büyük çarpı işareti ile gösterilen içler dışlar çarpımı işleminde;
3 sayısı ile ( 1 + x ) ifadesinin çarpımı, 1 ile ( 2x - 1 ) ifadesinin çarpımına eşittir.
Denklem,
3 . ( 1 + x ) = 1 . ( 2x - 1 ) haline gelir.
Resimde mor çerçeve içine alınmış, parantez açma işlemi yapılır
3 . ( 1 + x )
3 . ( 1 + x ) ifadesinde, parantez içindeki 1 sayısının işareti görünür kılınır ve (+)1 şeklinde yazılır. Toplama işleminin sembolü olan (+) işareti, x sayısının işareti olarak kabul edilebilir.
3 . ( (+)1 (+)x ) → Parantez dışındaki 3 sayısı ile, parantez içindeki (+1) sayısı çarpılır → 3 . (+1)
3 . ( (+)1 (+)x )→ Parantez dışındaki 3 sayısı ile, parantez içindeki (+x) sayısı çarpılır → 3 . (+x)
3 . (+1) → 3 ile (+1) çarpıldığında, +3 olur. (+) sayı ile (+) sayının çarpımı, (+) olur.
3 . (+x) → 3 ile (+x) çarpıldığında, +3x olur. (+) sayı ile (+) sayının çarpımı, (+) olur.
+3 +3x sayıları 3 + 3x şeklinde yazılabilir.
3 . ( 1 + x ) ifadesi parantez açıldıktan sonra 3 + 3x halini alır.
Denklem,
3 + 3x = 1 . ( 2x - 1 ) haline gelir.
Resimde turuncu çerçeve içine alınmış, parantez açma işlemi yapılır.
1 . ( 2x - 1 )
Çarpma işleminin etkisiz elemanı olan 1 sayısı, ( 2x - 1 ) ile çarpıldığında, ( 2x - 1 ) ifadesini değiştirmez.
Denklem,
3 + 3x = 2x - 1 haline gelir.
3 + 3x = 2x - 1 eşitliğinde, bilinenler eşitliğin sağ tarafında, bilinmeyenler eşitliğin sol tarafında olacak şekilde işlemler yürütülür.
3 + 3x ifadesinde, bilinen 3 sayısı, eşitliğin sağ tarafına atılır. 3 sayısının işareti görünür kılınırsa, (+3) şeklinde yazılabilir.
+3 + 3x = 2x - 1 → +3 sayısı, eşitliğin sağına atılırsa, -3 olur ve yeni eşitlik 3x = 2x - 1 -3 haline gelir.
3x = 2x - 1 -3 eşitliğinde, bilinmeyen 2x sayısı, eşitliğin sol tarafına atılır. 2x sayısının işareti görünür kılınırsa, (+2x) şeklinde yazılabilir.
3x = +2x - 1 -3 → +2x sayısı, eşitliğin soluna atılırsa, -2x olur ve yeni eşitlik 3x -2x = -1 -3 haline gelir.
3x -2x = -1 -3 eşitliği, 3x - 2x = -1 - 3 şeklinde yazılabilir.
3x - 2x = -1 - 3 eşitliği için:
eşitliğin sol tarafında bulunan işlem yapılır. 3x değerinden, 2x değeri çıkarılır. 3 tane x sayısından, 2 tane x sayısı çıkarılırsa, geriye 1 tane x sayısı kalır. ( 3x - 2x = x )
Eşitliğin sağ tarafında bulunan işlem yapılır. ( -1 - 3 = -4)
3x - 2x = -1 - 3 eşitliğinin, solunda ve sağında yapılan işlemlerden sonra yeni eşitlik:
x = -4 olur.
Örnek - 9
(a - 1)x - 2 = 4x - b
denklemi x in bütün gerçek sayı değerleri için, sağlandığına göre a + b toplamı kaçtır? (kaynak: Supara)
Çözüm:
Soruda istenen koşul, x in bütün gerçek sayı değerleri için, denklemin sağlanmasıdır.
Daha önce bahsedilmiş olan, 1. dereceden bir bilinmeyenli denklem çözümünün 3. durumu için, a bilinen sayısı ve b bilinen sayısı sıfıra eşit ise, x bilinmeyenin bütün gerçek sayı değerleri, ax + b = 0 eşitliğini sağlar.
ax +b = 0 denkleminde;
a sayısı, x bilinmeyeni ile çarpım durumunda olan ve değeri sıfır olan bir sayıdır. ( a = 0 )
+b sayısı, ax ifadesi ile bir araya getirilen ve değeri sıfır olan bir sayıdır. ( +b = 0 )
(a - 1)x - 2 = 4x - b denkleminde görülen a ve b sayıları, ax + b = 0 denkleminde görülen a ve b sayıları değildir.
(a - 1)x - 2 = 4x - b denklemi → ax +b = 0 denkleminde olduğu gibi, x bilinmeyeni ile çarpım durumunda olan a sayısı ve ax değeri ile bir araya getirilen +b sayısı, haline getirilmelidir.
(a - 1)x - 2 = 4x - b → denkleminde, yeşil renk ile gösterilen x bilinmeyeni ile, çarpım durumunda olan (a - 1) değeri ve 4 sayısı, eşitliğin sol tarafında, x bilinmeyeni ile çarpım durumunda olan tek bir sayı haline gelirse, bu bahsedilen tek bir sayı,
ax +b = 0 denkleminde bahsedilen a sayısı olur.
(a - 1)x - 2 = 4x - b eşitliğinde, bilinmeyen 4x sayısı, eşitliğin sol tarafına atılır. 4x sayısının işareti görünür kılınırsa, (+4x) şeklinde yazılabilir.
(a - 1)x - 2 = +4x - b → +4x sayısı, eşitliğin soluna atılırsa, -4x olur ve yeni eşitlik (a - 1)x -4x - 2 = -b haline gelir.
(a - 1)x -4x → ifadesi iki değerden oluşur.
Birinci ifade → (a - 1)x → (a - 1) . x
İkinci ifade → -4x → -4 . x
Bu iki ifadede, x çarpanı ortaktır. Bu iki ifade, x parantezine alınır. Paranteze alma işlemi, parantez açma işleminin tersidir.
Ortak olan x çarpanı yazılıp parantez açılır.
x(
Birinci ifadede x sayısı ile çarpım durumunda olan (a - 1) ifadesi, açılan parantez içine yazılır. (a - 1) ifadesi, parantez içine alınırken, (+) olan işareti ve parantezleri yazılmayabilir.
x( a - 1
İkinci ifadede x sayısı ile çarpım durumunda olan -4 sayısı, açılan parantez içine yazılır.
x( a - 1 -4
Parantez kapatılır.
x( a - 1 -4 )
x( a - 1 -4 ) ifadesi → x( a -1 - 4) → x( a - 5 ) şeklinde yazılır.
Denklem:
x( a - 5 ) - 2 = - b haline gelir.
x( a - 5 ) - 2 = - b eşitliğinde, bilinen b sayısı, eşitliğin yine sol tarafına atılır. Çıkarma işleminden kalan (-) işareti, b sayısının işareti olarak kabul edilir ve (-b) şeklinde yazılabilir.
x( a - 5 ) - 2 = -b → -b sayısı, eşitliğin soluna atılırsa, +b olur ve yeni eşitlik x( a - 5 ) - 2 +b = 0 haline gelir. Eşitliğin sağ tarafında, hiç bilinen ve bilinmeyen olmadığı için, eşitliğin sağ tarafında, sıfır (0) kalır.
x( a - 5 ) - 2 +b = 0 ifadesi: → x( a - 5 ) - 2 + b = 0 şeklinde yazılabilir.
x( a - 5 ) - 2 + b = 0 → ax +b = 0 İki denklem incelendiğinde:
Kırmızı renk ile gösterilen a - 5 ifadesi, ax +b = 0 denkleminin tanımda olduğu gibi, x bilinmeyeni çarpım durumunda olan a sayısıdır.
Mavi renk ile gösterilen - 2 + b ifadesi, ax +b = 0 denklem tanımda olduğu gibi, ax değeri ile bir araya getirilen +b sayısıdır.
ax +b = 0 eşitliğinde, a ve b sayıları sıfıra eşit ise, x bilinmeyenin tüm gerçek sayı değerleri için, eşitlik sağlanır.
a = 0
+b = 0
x( a - 5 ) -2 + b = 0 eşitliğinde, ( a - 5 ) ve -2 + b ifadeleri sıfıra eşit ise, x bilinmeyenin tüm gerçek sayı değerleri için, eşitlik sağlanır.
a - 5 = 0
-2 + b = 0
a -5 = 0 → eşitliğinde -5 sayısı eşitliğin sağına atılırsa +5 olur. ( a = 5 )
-2 + b = 0 → eşitliğinde -2 sayısı eşitliğin sağına atılırsa +2 olur. ( b = 2 )
a + b = 5 + 2 = 7
Cevap: 7
Örnek - 10
(4 - m²)x + 2m = 3x - 2
denkleminin çözüm kümesi boş küme olduğuna göre, m kaçtır? (kaynak: Supara)
Çözüm:
Soruda istenen koşul, denklemin çözüm kümesinin, boş küme olmasıdır.
Daha önce bahsedilmiş olan, 1. dereceden bir bilinmeyenli denklem çözümünün 2. durumu için, a bilinen sayısı sıfıra eşit, b bilinen sayısı sıfıra eşit değilse, ax + b = 0 denkleminin çözüm kümesi boş kümedir.
ax +b = 0 denkleminde;
a sayısı, x bilinmeyeni ile çarpım durumunda olan ve değeri sıfır olan bir sayıdır. ( a = 0 )
+b sayısı, ax ifadesi ile bir araya getirilen ve değeri sıfıra eşit olmayan bir gerçek sayıdır. ( +b ≠ 0 )
(4 - m²)x + 2m = 3x - 2 denklemi → ax +b = 0 denkleminde olduğu gibi, x bilinmeyeni ile çarpım durumunda olan a sayısı ve ax değeri ile bir araya getirilen +b sayısı, haline getirilmelidir.
(4 - m²)x + 2m = 3x - 2 → denkleminde, yeşil renk ile gösterilen x bilinmeyeni ile, çarpım durumunda olan (4 - m²) değeri ve 3 sayısı, eşitliğin sol tarafında, x bilinmeyeni ile çarpım durumunda olan tek bir sayı haline gelirse, bu bahsedilen tek bir sayı,
ax +b = 0 denkleminde bahsedilen a sayısı olur.
(4 - m²)x + 2m = 3x - 2 eşitliğinde, bilinmeyen 3x sayısı, eşitliğin sol tarafına atılır. 3x sayısının işareti görünür kılınırsa, (+3x) şeklinde yazılabilir.
(4 - m²)x + 2m = +3x - 2 → +3x sayısı, eşitliğin soluna atılırsa, -3x olur ve yeni eşitlik (4 - m²)x -3x + 2m = - 2 haline gelir.
(4 - m²)x -3x → ifadesi iki değerden oluşur.
Birinci ifade → (4 - m²)x → (4 - m²) . x
İkinci ifade → -3x → -3 . x
Bu iki ifadede, x çarpanı ortaktır. Bu iki ifade, x parantezine alınır. Paranteze alma işlemi, parantez açma işleminin tersidir.
Ortak olan x çarpanı yazılıp parantez açılır.
x(
Birinci ifadede x sayısı ile çarpım durumunda olan (4 - m²) ifadesi, açılan parantez içine yazılır. (4 - m²) ifadesi, parantez içine alınırken, (+) olan işareti ve parantezleri yazılmayabilir.
x( 4 - m²
İkinci ifadede x sayısı ile çarpım durumunda olan -3 sayısı, açılan parantez içine yazılır.
x( 4 - m² -3
Parantez kapatılır.
x( 4 - m² -3 )
x( 4 - m² -3 ) ifadesi → x( 4 - 3 - m²) → x( 1 - m² ) şeklinde yazılır.
Denklem:
x( 1 - m² ) + 2m = - 2 haline gelir.
x( 1 - m² ) + 2m = - 2 eşitliğinde, bilinen 2 sayısı, eşitliğin yine sol tarafına atılır. Çıkarma işleminden kalan (-) işareti, 2 sayısının işareti olarak kabul edilir ve (-2) şeklinde yazılabilir.
x( 1 - m² ) + 2m = -2 → -2 sayısı, eşitliğin soluna atılırsa, +2 olur ve yeni eşitlik x( 1 - m² ) + 2m +2 = 0 haline gelir. Eşitliğin sağ tarafında, hiç bilinen ve bilinmeyen olmadığı için, eşitliğin sağ tarafında, sıfır (0) kalır.
x( 1 - m² ) + 2m +2 = 0 ifadesi: → x( 1 - m² ) + 2m + 2 = 0 şeklinde yazılabilir.
x( 1 - m² ) + 2m + 2 = 0 → ax +b = 0 İki denklem incelendiğinde:
Kırmızı renk ile gösterilen ( 1 - m² ) ifadesi, ax +b = 0 denkleminin tanımda olduğu gibi, x bilinmeyeni çarpım durumunda olan a sayısıdır.
Mavi renk ile gösterilen + 2m + 2 ifadesi, ax +b = 0 denklem tanımda olduğu gibi, ax değeri ile bir araya getirilen +b sayısıdır.
ax +b = 0 eşitliğinde, a sayısı sıfıra eşit, b sayısı sıfıra eşit değilse, denklemin çözüm kümesi boş kümedir.
a = 0
+b ≠ 0
x( 1 - m² ) + 2m + 2 = 0 eşitliğinde, ( 1 - m² ) ifadesi sıfıra eşit, + 2m + 2 ifadesi sıfıra eşit değilse, denklemin çözüm kümesi boş kümedir.
1 - m² = 0
+2m + 2 ≠ 0
1 - m² = 0 koşulu için:
1 -m² = 0 → eşitliğinde -m² sayısı eşitliğin sağına atılırsa +m² olur.
1 = +m² ifadesi, m² = 1 şeklinde de yazılabilir.
m² = m . m = 1 → Hangi iki sayının çarpımı 1 olur sorusunun cevabı, m değeridir.
m = 1 → değeri için
1 . 1 = 1 → iki tane 1 sayısının çarpımı 1 'dir.
m = (-1) → değeri için
(-1) . (-1) = 1 → iki tane (-1) sayısının çarpımı 1 'dir.
1 -m² = 0 eşitliğini sağlayan m değeri, 1 veya (-1) olabilir.
+2m + 2 ≠ 0 koşulu için:
m değerinin, +2m + 2 ≠ 0 koşulunu da sağlaması gerekir.
+2m + 2 ≠ 0 ifadesi → 2m +2 ≠ 0 şeklinde yazılabilir.
m = 1 → değeri için
2m +2 = 2 . 1 + 2 = 2 + 2 = 4 → 4 sayısı, sıfıra eşit değildir. ( 4 ≠ 0 )
m = (-1) → değeri için
2m +2 = 2 . (-1) + 2 = (-2) +2 = 0 → m = (-1) değeri için, 2m +2 ifadesi sıfıra eşit olduğundan, m değeri (-1) olmaz.
1 - m² değerini sıfır, 2m +2 değerini sıfır yapmayan m değeri, 1 sayısıdır.
m = 1
Cevap: 1
Örnek - 11
1. dereceden bir bilinmeyenli denklem örnek soru - 11 (kaynak: Supara):
Çözüm:
1. dereceden bir bilinmeyenli denklem örnek çözüm - 11:
Not:
Sıfır haricinde, her gerçek sayının, sıfıra bölümü tanımsızdır.
Örneğin:
( 1 / 0 ) → 1 sayısının sıfıra bölümü, tanımsızdır.
( 17 / 0 ) → 17 sayısının sıfıra bölümü, tanımsızdır.
( -25 / 0 ) → -25 sayısının sıfıra bölümü, tanımsızdır.
( a / 0 ) → a sayısının sıfıra bölümü, tanımsızdır.
( a + b / 0 ) → a + b ifadesinin sıfıra bölümü, tanımsızdır.
Sıfır sayısının, sıfır haricinde, her gerçek sayıya bölümü sıfırdır.
Örneğin:
( 0 / 1 ) → 0 sayısının, 1 sayısına bölümü, sıfırdır.
( 0 / 17 ) → 0 sayısının, 17 sayısına bölümü, sıfırdır.
( 0 / -25 ) → 0 sayısının, -25 sayısına bölümü, sıfırdır.
( 0 / a ) → 0 sayısının, a sayısına bölümü, sıfırdır.
( 0 / a + b ) → 0 sayısının, a + b ifadesine bölümü, sıfırdır.
Sıfır sayısının, sıfır sayısına bölümü belirsizdir.
( 0 / 0 ) → 0 sayısının, 0 sayısına bölümü, belirsizdir.
Soruda yeşil çerçeve içine alınmış ( 2 / x + 3 ) ifadesi için:
x + 3 → değeri sıfıra eşit olursa, yeşil çerçeve içindeki kesirli sayı, ( 2 / 0 ) olur. 2 sayısının sıfır sayısına bölümü tanımsızdır.
x + 3 = 0 → x +3 = 0 → x = -3
x = -3 için, yeşil çerçeve içindeki kesirli sayı tanımsız olur. Yeşil çerçeve içindeki sayının tanımsız olması, kırmızı çerçeve içindeki büyük kesirli sayıyı tanımsız yapar.
Büyük kesirli sayının, payda bölümü sıfıra eşit olursa da, kesirli sayı tanımsız olur. Büyük kesirli sayının payda bölümü, x türünden yazılır.
Büyük kesirli sayının, payda bölümünde bulunan 1 - ( 2 / x + 3 ) ifadesi için:
1 sayısının paydası görünür kılınır ve ( 1 / 1 ) şeklinde yazılır.
İşlem, ( 1 / 1 ) - ( 2 / x + 3 ) halini alır.
( 1 / 1 ) sayısının altına parantez içinde (x + 3),
( 2 / x + 3 ) sayısının altına parantez içinde (1) yazılır ve paydalar eşitlenir.
( 1 / 1 ) sayısının pay ve payda'sı, parantez içinde yazılan (x + 3) ile çarpılır.
( 1 / 1 ) sayısı, (x + 3) / (x + 3) halini alır.
( 2 / x + 3 ) sayısının pay ve payda'sı, parantez içinde yazılan (1) ile çarpılır. Çarpma işleminin etkisiz elemanı olan 1 sayısı ile çarpılan pay ve payda aynen yazılır.
İşlem:
(x + 3) / (x + 3) - (2) / (x + 3 ) halini alır.
Pay bölümünde bulunan sayılar, kesirli sayıların arasında bulunan çıkarma işlemi ile işleme sokulur.
(x + 3) - 2 → x + 3 - 2 → ( x + 1 )
Eşitlenen payda aynen yazılır.
( x + 3 )
Büyük kesirli sayının payda bölümünde olan ifade, ( x + 1 ) / ( x + 3 ) halini alır.
Mavi çerçeve içindeki, ( x + 1 ) / ( x + 3 ) ifadesi, sıfıra eşit olursa, kırmızı çerçeve içindeki büyük kesirli sayı tanımsız olur.
( x + 1 ) / ( x + 3 ) ifadesinin, pay bölümünde bulunan ( x + 1 ) değeri, sıfıra eşit olursa, mavi çerçeve içerisindeki kesirli sayı, 0 / ( x + 3 ) olur. Sıfır(0) sayısının, ( x + 3 ) ifadesine bölümü sıfır olur.
x + 1 = 0 → x +1 = 0 → x = -1
x = -1 için, mavi çerçeve içindeki kesirli sayı sıfır (0) olur. Mavi çerçeve içindeki kesirli sayının sıfır olması, kırmızı çerçeve içindeki kesirli sayıyı tanımsız yapar.
Kesirli sayıyı tanımsız yapan x değerleri (-3) ve (-1) sayılarıdır.
(-3) + (-1) = -4
Cevap: -4
Örnek - 12
Ardışık üç çift sayının toplamı, bu sayıların en küçüğünün 4 katının 8 eksiğine eşittir.
Buna göre, bu sayıların çarpımı aşağıdakilerden hangisine tam bölünemez? (kaynak: Supara)
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
E) 12
Çözüm:
Ardışık çift sayıların arasında, 2 sayı fark bulunur. Başka bir ifadeyle, ardışık çift sayılar, 2 artarak ardışırlar.
2 , 4 , 6 , 8 , 10 , .....
2 ile 4 arasında, 2 sayı fark vardır.
4 ile 6 arasında, 2 sayı fark vardır.
6 ile 8 arasında, 2 sayı fark vardır.
Bu sayılardan en küçük olanına x denirse:
1. çift sayı = x
2. çift sayı = x + 2
3. çift sayı = x + 2 + 2 = x + 4 olur.
Ardışık üç çift sayının toplamı:
x + x + 2 + x + 4
3 tane x bilinmeyeninin toplamı: x + x + x → 3x
2 ile 4 sayısının toplamı: 2 + 4 → 6
Ardışık üç çift sayının toplamı: → 3x + 6
Sayılardan en küçük olanına x dendiğine göre:
En küçük sayının 4 katı → 4x
En küçük sayının 4 katının 8 eksiği → 4x - 8
Sayıların toplamı olan 3x + 6 ifadesi, sayılardan en küçük olanının, 4 katının 8 eksiğine eşittir.
3x + 6 = 4x - 8 denklemi çözülür ve en küçük sayı olan x değeri bulunur.
3x + 6 = 4x - 8 eşitliğinde bilinenler eşitliğin bir tarafında, bilinmeyenler bir tarafında olacak şekilde işlemler yürütülür. Denklem incelendiğinde, sağ tarafında bulunan +4x değeri sola atılırsa, 3x - 4x sonucu (-) olacağı görülür. İşlemi kolaylaştırmak için, 3x değeri sağa atılabilir. Bilinenler eşitliğin sol tarafında, bilinmeyenler işlemin sağ tarafında olacak şekilde işlemler yürütülür.
4x - 8 ifadesinde, çıkarma işleminin sembolü olan (-) işareti, 8 sayısının işareti olarak kabul edilebilir.
3x + 6 = 4x -8 → -8 sayısı, eşitliğin soluna atılırsa, +8 olur ve yeni eşitlik 3x + 6 +8 = 4x haline gelir.
3x + 6 +8 = 4x eşitliğinde, bilinmeyen 3x sayısı, eşitliğin sağ tarafına atılır. 3x sayısının işareti görünür kılınırsa, (+3x) şeklinde yazılabilir.
+3x + 6 +8 = 4x → +3x sayısı, eşitliğin sağına atılırsa, -3x olur ve yeni eşitlik +6 +8 = 4x -3x haline gelir.
+6 +8 = 4x -3x eşitliği, 6 + 8 = 4x - 3x şeklinde yazılabilir.
6 + 8 = 4x - 3x eşitliği için:
eşitliğin sağ tarafında bulunan işlem yapılır. 4x değerinden, 3x değeri çıkarılır. 4 tane x sayısından, 3 tane x sayısı çıkarılırsa, geriye 1 tane x sayısı kalır. ( 4x - 3x = x )
Eşitliğin sol tarafında bulunan işlem yapılır. ( 6 + 8 = 14 )
6 + 8 = 4x - 3x eşitliğinin, solunda ve sağında yapılan işlemlerden sonra yeni eşitlik:
14 = x olur.
x değeri olan 14, en küçük çift sayıdır.
14 sayısından sonra gelen ardışık çift sayılar:
14 sayısının 2 fazlası olan 16 sayısı → ( 14 + 2 = 16 )
16 sayısının 2 fazlası olan 18 sayısı → ( 16 + 2 = 18 ) olur.
Ardışık üç çift sayının çarpımı:
14 . 16 . 18
14 sayısı → 7 . 2
16 sayısı → 2 . 2 . 2 . 2
18 sayısı → 2 . 3 . 3
şeklinde asal çarpanlarına ayrılır.
Ardışık üç sayının çarpımı, asal çarpanlarının çarpımları şeklinde yazılırsa:
7 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 3 . 3
İfadede, 7 sayısı çarpan olduğundan, 7 sayısına tam bölünür.
8 sayısı, 3 tane 2 sayısının çarpımı olarak yazılabilir. İfadede, 3 tane 2 sayısı çarpım durumunda olduğundan, 8 sayısına tam bölünür. ( 2 . 2 . 2 ) = 8
9 sayısı, 2 tane 3 sayısının çarpımı olarak yazılabilir. İfadede, 2 tane 3 sayısı çarpım durumunda olduğundan, 9 sayısına tam bölünür. ( 3 . 3 ) = 9
10 sayısı, 2 ile 5 sayısının çarpımı olarak yazılabilir. İfadede, 2 sayısı olmasına karşın, 5 sayısı yoktur. 10 sayısına tam bölünemez.
12 sayısı, 2 tane 2 sayısının çarpımı ile 3 sayısının çarpımı şeklinde yazılabilir. İfadede, 2 tane 2 sayısı çarpımı ile 3 sayısı çarpım durumunda olduğundan, 12 sayısına tam bölünür. ( 2 . 2 . 3 ) = 12
Üç sayı çarpılarak da, şıklarda olan sayılara tam bölünüp bölünemediği bulunabilir.
Yanıt: D şıkkı
Örnek - 13
1. dereceden bir bilinmeyenli denklem örnek soru 13 (kaynak: Supara):
Çözüm:
1. dereceden bir bilinmeyenli denklem örnek çözüm 13:
Kesirli iki ifade birbirine eşit ise, resimde görüldüğü gibi içler dışlar çarpımı yapılarak, çarpım durumunda eşitlenebilir. Büyük çarpı işaretini oluşturan çizgilerin birleştirdiği ifadeler, birbirleri ile çarpılır.
İçler dışlar çarpımı yapılan kesirli denklemdeki, çarpım durumunda olan ifadeler parantez içinde alınarak, aşağıdaki gibi yazılır.
( x - 1 ) . ( x + 1 ) = ( x + 2 ) . ( x - 3 )
( x - 1 ) . ( x + 1 ) işlemi, parantez açma işlemine benzer işlemdir.
( x - 1 ) . ( x + 1 ) → x bilinmeyenlerinin işaretleri görünür kılınır ve (+)x şeklinde yazılır.
İşlem, ( (+)x - 1 ) . ( (+)x + 1 ) halini alır.
( (+)x - 1 ) . ( (+)x + 1 ) → Toplama işleminin sembolü olan (+) işareti ve çıkarma işleminin sembolü olan (-) işareti, 1 sayılarının işareti olarak kabul edilebilir.
İşlem, ( (+)x (-)1 ) . ( (+)x (+)1 ) halini alır.
( (+)x (-)1 ) . ( (+)x (+)1 ) → Birinci parantez içindeki (+)x sayısı, ikinci parantez içindeki (+)x ve (+)1 sayıları ile çarpılır.
(+)x . (+)x = +x²
(+)x . (+)1 = +x
( (+)x (-)1 ) . ( (+)x (+)1 ) → Birinci parantez içindeki (-)1 sayısı, yine ikinci parantez içindeki (+)x ve (+)1 sayıları ile çarpılır.
(-)1 . (+)x = -x
(-)1 . (+)1 = -1
Çarpma işleminin sonuçları yan yana yazılırsa:
+x² +x -x -1 halini alır.
+x² +x -x -1 → işleminde, +x -x ifadesi, x - x şeklinde yazılabilir. x sayısından, x sayısı çıkarsa sonu. sıfır (0) olur. ( x - x = 0 ) Bu işlem, birbirine zıt işaretli, aynı iki değerin, birbirini götürmesi şeklinde açıklanır. Birbirini götüren iki değerin üstü çizilir.
+x² +x -x -1 ifadesi → +x² -1 halini alır.
+x² -1 → x² -1 şeklinde yazılabilir.
( x - 1 ) . ( x + 1 ) işleminin sonucu → x² -1 olur.
( x + 2 ) . ( x - 3 ) işlemi de, parantez açma işlemine benzer işlemdir.
( x + 2 ) . ( x - 3 ) → x bilinmeyenlerinin işaretleri görünür kılınır ve (+)x şeklinde yazılır.
İşlem, ( (+)x + 2 ) . ( (+)x - 3 ) halini alır.
( (+)x + 2 ) . ( (+)x - 3 ) → Toplama işleminin sembolü olan (+) işareti, 2 sayısının işareti olarak kabul edilebilir. Çıkarma işleminin sembolü olan (-) işareti, 3 sayısının işareti olarak kabul edilebilir.
İşlem, ( (+)x (+)2 ) . ( (+)x (-)3 ) halini alır.
( (+)x (+)2 ) . ( (+)x (-)3 ) → Birinci parantez içindeki (+)x sayısı, ikinci parantez içindeki (+)x ve (-)3 sayıları ile çarpılır.
(+)x . (+)x = +x²
(+)x . (-)3 = -3x
( (+)x (+)2 ) . ( (+)x (-)3 ) → Birinci parantez içindeki (+)2 sayısı, yine ikinci parantez içindeki (+)x ve (+)1 sayıları ile çarpılır.
(+)2 . (+)x = +2x
(+)2 . (-)3 = -6
Çarpma işleminin sonuçları yan yana yazılırsa:
+x² -3x +2x -6 halini alır.
+x² -3x +2x -6 → işleminde, -3x +2x ifadesi, 2x - 3x şeklinde yazılabilir. 2 tane x sayısından, 3 tane x saysı çıkarsa, sonuç -1x olur.
-1x sayısı → (-) . 1 . x şeklinde yazılabilir. Çarpma işleminin etkisiz elemanı olan 1 sayısı, yazılmazsa, işlem (-) . x haline gelir. (-) . x işleminin sonucu -x olur. ( 2x - 3x = -x )
+x² -3x +2x -6 ifadesi → +x² -x -6 halini alır.
+x² -x -6 → x² -x -6 şeklinde yazılabilir.
( x + 2 ) . ( x - 3 ) işleminin sonucu → x² -x -6 olur.
( x - 1 ) . ( x + 1 ) = ( x + 2 ) . ( x - 3 ) eşitliği, parantez açma işlemlerinden sonra,
x² -1 = x² -x -6 halini alır.
x² -1 = x² -x -6 → eşitliğinde, bilinenler eşitliğin sağ tarafında, bilinmeyenler eşitliğin sol tarafında olacak şekilde işlemler yürütülür.
x² -x -6 ifadesinde, bilinmeyen x² -x ifadesi, eşitliğin sol tarafına atılır. x² -x ifadesinde, x² sayısının işareti görünür kılınır ve (+x²) şeklinde yazılır. x² -x ifadesi, +x² -x halini alır.
x² -1 = +x² -x -6 → eşitliğinde, +x² -x ifadesi, eşitliğin soluna atılırsa, +x² ve -x sayıları işaret değiştirir ve -x² +x haline gelir. Yeni eşitlik, x² -x² +x -1 = -6 halini alır.
x² -x² +x -1 = -6 → eşitliğinde, -1 sayısı, eşitliğin sağına atılırsa, +1 olur ve
yeni eşitlik x² -x² +x = -6 +1 haline gelir.
x² -x² +x = -6 +1 → eşitliği, en başta bulunan x² sayısının işareti görünür kılınarak:
+x² -x² +x = -6 +1 şeklinde yazılabilir.
+x² -x² işaretleri zıt olan, +x² ve -x² sayıları birbirini götürür ve bu sayıların üstleri çizilir.
+x² -x² +x = -6 +1 eşitliği → +x = -6 +1 haline gelir.
+x = -6 +1 eşitliği → x = -6 + 1 şeklinde yazılabilir. -6 sayısı ile 1 sayısı toplandığında sonuç -5 olur.
x = -5
Ç = { -5 }
Not:
x² -1 = x² -x -6
denklemde, x² bilinmeyenlerinin, işlemlerin devamında birbirini götüreceği görülüp, işlem yapmadan üstleri çizilerek, işlem kolaylaştırılabilir.
x² -1 = x² -x -6
Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler
a ve b ∈ R ve a ≠ 0 olmak üzere, (a ve b sayıları gerçek (reel) sayılar kümesinin elemanı ve a sayısı, sıfıra eşit olmamak üzere)ax + b = 0 şeklinde yazılan eşitliklere, birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler denir.
Denklemdeki eşitliği sağlayan x gerçek sayısına denklemin kökü denir. Denklemin köklerinden oluşan kümeye, denklemin çözüm kümesi denir. Çözüm kümesi, çoğunlukla Ç harfi ile gösterilir.
Not:
x bilinmeyenin, kuvveti (üssü) 1 olan denklemlere, 1. dereceden denklem denir.
x¹ ve x ifadeleri, birbirine eşittir. ( x¹ = x )
2x - 4 = 0 şeklinde yazılan bir denklem, 1. dereceden denklemdir.
x bilinmeyenin, kuvveti (üssü) 2 olan denklemlere, 2. dereceden denklem denir.
x² şeklinde, bilinmeyen içeren denklem, 2. dereceden bir denklemdir.
x² - 4 = 0 şeklinde yazılan bir denklem, 2. dereceden denklemdir.
a ve b ∈ R ve a ≠ 0 olmak üzere ax + b = 0 denkleminin çözüm kümesi - 1. Durum
a ve b ∈ R ve a ≠ 0 olmak üzere ax + b = 0 denkleminin çözüm kümesi:
ax + b = 0 şeklinde yazılan bir denklemde, a sayısı sıfıra eşit değilse:
ax + b = 0 denkleminde, bilinmeyen olarak tanımlanan sayı x sayısıdır. Bilinmeyen ifadesi kullanıldığında, bahsedilen sayı, x sayısı olacaktır.
ax + b = 0 denkleminde, bilinen olarak tanımlanan sayılar, a ve b sayılarıdır. Bilinen ifadesi kullanıldığında, bahsedilen sayılar, a ve b sayıları olacaktır.
Denklem çözümlerinde, bilinenler (a ve b sayıları) ve bilinmeyenler (x), eşitliğin, farklı iki tarafında bulunacak şekilde işlemler yürütülür.
ax şeklinde yazılan bir ifade,
ax sayısı, iki basamaklı ax sayısı, ax doğal sayısı, ax tam sayısı şeklinde belirtilmiyorsa;
başka bir ifadeyle, ax ifadesi tanımlanmamışsa, a sayısı ile x sayısının çarpımıdır.
ax = a . x
ax + b = 0 → eşitliğinde bilinenler eşitliğin bir tarafında, bilinmeyenler bir tarafında olacak şekilde işlemler yürütülür. İlk aşamada, bilinen b sayısı, eşitliğin sağ tarafına atılır.
Eşitliğin diğer yönüne geçen bir sayı, işaret değiştirir. Sayının işareti (+) artı ise (-) eksi olarak, eksi (-) ise (+) artı olarak değiştirilir.
ax + b ifadesinde, toplama işleminin sembolü olan (+) işareti, b sayısının işareti olarak kabul edilebilir.
ax +b = 0 → +b sayısı, eşitliğin sağına atılırsa, -b olur ve yeni eşitlik ax = -b haline gelir.
ax = -b → ifadesinde, x bilinmeyeni, eşitliğin sol tarafında yalnız bırakılırsa, değerinin ne olduğu bulunabilir. Eşitliğin solunda olan ax ifadesi, çarpım durumunda olan, a . x sayılarıdır.
x sayısını yalnız bırakmak için, a . x ifadesi, a sayısına bölünür. 2 sayısı, 2'ye bölündüğünde, sonucun 1 olduğu gibi, a . x ifadesindeki a sayısı, a sayısına bölündüğünde sonuç 1 olur. 1 sonucu x bilinmeyeni ile çarpım durumundadır. Çarpma işleminde etkisiz eleman olan 1 sayısı, 1 . x şeklinde yazılmayıp, sadece x olarak yazılır. ( 1 . x = x )
Bu işlem, sadeleşme olarak ifade edilir ve sadeleşen aynı iki sayının üzerine çizgi çizilerek gösterilir. Sadeleşme işlemi, bölme işlemi durumunda olan sayılar arasında olabilir.
Eşitliği bozmamak için, eşitliğin her iki tarafı, a sayısına bölünür.
(
x = ( -b / a ) → Sadeleşme işlemi sonrasında, eşitliğin sol tarafında x sayısı yalnız kalır. Sağ tarafında ( -b / a ) ifadesi kalır. b sayısının önünde bulunan eksi (-) işareti, kesir çizgisinin önüne de yazılabilir. x = -( b / a ) olur.
ax + b = 0 denkleminin çözüm kümesi → Ç = { -(b / a) }
Örnek:
2x + 6 = 0 denklemi için:
a sayısı → 2
b sayısı → 6
2x + 6 = 0 eşitliğinde bilinenler eşitliğin bir tarafında, bilinmeyenler bir tarafında olacak şekilde işlemler yürütülür. İlk aşamada, bilinen 6 sayısı, eşitliğin sağ tarafına atılır.
2x + 6 ifadesinde, toplama işleminin sembolü olan (+) işareti, 6 sayısının işareti olarak kabul edilebilir.
2x +6 = 0 → +6 sayısı, eşitliğin sağına atılırsa, -6 olur ve yeni eşitlik 2x = -6 haline gelir.
2x = -6 → ifadesinde, x bilinmeyeni, eşitliğin sol tarafında yalnız bırakılırsa, değerinin ne olduğu bulunabilir. Eşitliğin solunda olan 2x ifadesi, çarpım durumunda olan, 2 . x sayılarıdır.
x sayısını yalnız bırakmak için, 2 . x ifadesi, 2 sayısına bölünür. 2 sayısı, 2'ye bölündüğünde, sonuç 1 olur. 1 sonucu x bilinmeyeni ile çarpım durumundadır. Çarpma işleminde etkisiz eleman olan 1 sayısı, 1 . x şeklinde yazılmayıp, sadece x olarak yazılır. ( 1 . x = x )
Eşitliği bozmamak için, eşitliğin her iki tarafı, 2 sayısına bölünür.
(
x = ( -6 / 2 ) → Sadeleşme işlemi sonrasında, eşitliğin sol tarafında x sayısı yalnız kalır. Sağ tarafında ( -6 / 2 ) ifadesi kalır.
(-6) sayısı, 2 ile bölündüğünde sonuç (-3) olur.
x = ( -6 / 2 ) → x = -3
2x + 6 = 0 denkleminin çözüm kümesi → Ç = { -3 }
a ve b ∈ R , a = 0 ve b ≠ 0 olmak üzere ax + b = 0 denkleminin çözüm kümesi - 2. Durum
a ve b ∈ R , a = 0 ve b ≠ 0 olmak üzere ax + b = 0 denkleminin çözüm kümesi:
ax + b = 0 şeklinde yazılan bir denklemde, a sayısı sıfıra eşit, b sayısı sıfıra eşit değilse:
ax + b = 0 denklemi için:
a sayısı → 0
b sayısı → Sıfıra eşit olmayan, herhangi bir gerçek sayı olsun.
ax + b = 0 eşitliğinde bilinenler eşitliğin bir tarafında, bilinmeyenler bir tarafında olacak şekilde işlemler yürütülür. İlk aşamada, bilinen b sayısı, eşitliğin sağ tarafına atılır.
ax + b ifadesinde, toplama işleminin sembolü olan (+) işareti, b sayısının işareti olarak kabul edilebilir.
ax +b = 0 → +b sayısı, eşitliğin sağına atılırsa, -b olur ve yeni eşitlik ax = -b haline gelir.
ax = -b → ifadesinde, a sayısının sıfır(0) olan değeri yazılır. Eşitliğin solunda olan 0x ifadesi, çarpım durumunda olan, 0 . x sayılarıdır. Çarpma işleminde yutan eleman olan sıfır sayısı (0), hangi sayı ile çarpılırsa çarpılsın, sonuç sıfır olur.
0 . x = -b → eşitliğinde, eşitliğin solunda bulunan 0 . x ifadesinin değeri sıfırdır.
0 = -b → ifadesinde, b sayısı, sıfır haricinde, hangi gerçek sayı olursa olsun, eşitlik yanlış olur. b sayısının tanımında, b sayısının sıfıra eşit olmadığı belirtilmiştir. (b ≠ 0)
Eşitliğin yanlış olduğu bir denklemin çözüm kümesi, boş kümedir.
Ç = { ∅ }
a ve b ∈ R , a = 0 ve b = 0 olmak üzere ax + b = 0 denkleminin çözüm kümesi - 3. Durum
a ve b ∈ R , a = 0 ve b = 0 olmak üzere ax + b = 0 denkleminin çözüm kümesi:
ax + b = 0 şeklinde yazılan bir denklemde, a sayısı ve b sayısı sıfıra eşit ise:
ax + b = 0 denklemi için:
a sayısı → 0
b sayısı → 0
ax + b = 0 ifadesinde, a sayısının ve b sayısının sıfır(0) olan değerleri yazılır. Eşitliğin solunda olan 0x ifadesi, çarpım durumunda olan, 0 . x sayılarıdır. Çarpma işleminde yutan eleman olan sıfır sayısı (0), hangi sayı ile çarpılırsa çarpılsın, sonuç sıfır olur.
0 . x + 0 = 0 → eşitliğinde, eşitliğin solunda bulunan 0 . x ifadesinin değeri sıfırdır (0).
0 + 0 = 0 → eşitliği doğrudur.
0 . x → ifadesinin değeri, x sayısı, hangi gerçek sayı olursa olsun, sıfır (0) olur ve 0 + 0 = 0 eşitliğini sağlar.
x sayısı, herhangi bir gerçek sayı olabilir.
x = R → Ç = R
1. Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem Örnek Sorular
Örnek - 11. dereceden bir bilinmeyenli denklem örnek soru - 1:
6x + 9 = 0 denklemi için:
a sayısı → 6
b sayısı → 9
6x + 9 = 0 eşitliğinde bilinenler eşitliğin bir tarafında, bilinmeyenler bir tarafında olacak şekilde işlemler yürütülür. İlk aşamada, bilinen 9 sayısı, eşitliğin sağ tarafına atılır.
6x + 9 ifadesinde, toplama işleminin sembolü olan (+) işareti, 9 sayısının işareti olarak kabul edilebilir.
6x +9 = 0 → +9 sayısı, eşitliğin sağına atılırsa, -9 olur ve yeni eşitlik 6x = -9 haline gelir.
6x = -9 → ifadesinde, x bilinmeyeni, eşitliğin sol tarafında yalnız bırakılırsa, değerinin ne olduğu bulunabilir. Eşitliğin solunda olan 6x ifadesi, çarpım durumunda olan, 6 . x sayılarıdır.
x sayısını yalnız bırakmak için, 6 . x ifadesi, 6 sayısına bölünür. 6 sayısı, 6'ya bölündüğünde, sonuç 1 olur. 1 sonucu x bilinmeyeni ile çarpım durumundadır. Çarpma işleminde etkisiz eleman olan 1 sayısı, 1 . x şeklinde yazılmayıp, sadece x olarak yazılır. ( 1 . x = x )
Eşitliği bozmamak için, eşitliğin her iki tarafı, 6 sayısına bölünür.
(
x = ( -9 / 6 ) → Sadeleşme işlemi sonrasında, eşitliğin sol tarafında x sayısı yalnız kalır. Sağ tarafında ( -9 / 6 ) ifadesi kalır.
Eşitliğin sağ tarafında olan ( -9 / 6 ) ifadesinde, 9 sayısının işareti olan eksi (-) işareti, kesir çizgisinin önüne yazılabilir. ( -9 / 6 ) yazımı, - ( 9 / 6 ) haline gelir. Payda bulunan 9 sayısı ile payda'da bulunan 6 sayısı, sadeleşme durumunda olan iki sayıdır.
9 sayısı → 3 . 3 şeklinde yazılabilir.
6 sayısı → 3 . 2 şeklinde yazılabilir.
üç sayıları sadeleşirse, kesirli sayı - (3 / 2) haline gelir.
9 ve 6 sayıları, 3 ile tam bölünebilen iki sayıdır. 9 ve 6 sayılarının üzerleri çizilerek, işlem yapmadan, - (3 / 2) şeklinde de yazılabilir.
x = - (
6x + 9 = 0 denkleminin çözüm kümesi → Ç = { - (3 / 2) }
Örnek - 2
1. dereceden bir bilinmeyenli denklem örnek soru - 2:
5x - 10 = 0 denklemi için:
a sayısı → 5
b sayısı → 10
5x - 10 = 0 eşitliğinde bilinenler eşitliğin bir tarafında, bilinmeyenler bir tarafında olacak şekilde işlemler yürütülür. İlk aşamada, bilinen 10 sayısı, eşitliğin sağ tarafına atılır.
5x - 10 ifadesinde, çıkarma işleminin sembolü olan (-) işareti, 10 sayısının işareti olarak kabul edilebilir.
5x -10 = 0 → -10 sayısı, eşitliğin sağına atılırsa, +10 olur ve yeni eşitlik 5x = +10 haline gelir.
5x = +10 eşitliğinde, 10 sayısının işareti olan (+) işareti yazılmayabilir.
Eşitlik, 5x = 10 şeklinde yazılabilir.
5x = 10 → ifadesinde, x bilinmeyeni, eşitliğin sol tarafında yalnız bırakılırsa, değerinin ne olduğu bulunabilir. Eşitliğin solunda olan 5x ifadesi, çarpım durumunda olan, 5 . x sayılarıdır.
x sayısını yalnız bırakmak için, 5 . x ifadesi, 5 sayısına bölünür. 5 sayısı, 5'e bölündüğünde, sonuç 1 olur. 1 sonucu x bilinmeyeni ile çarpım durumundadır. Çarpma işleminde etkisiz eleman olan 1 sayısı, 1 . x şeklinde yazılmayıp, sadece x olarak yazılır. ( 1 . x = x )
Eşitliği bozmamak için, eşitliğin her iki tarafı, 5 sayısına bölünür.
(
x = ( 10 / 5 ) → Sadeleşme işlemi sonrasında, eşitliğin sol tarafında x sayısı yalnız kalır. Sağ tarafında ( 10 / 5 ) ifadesi kalır.
Eşitliğin sağ tarafında olan ( 10 / 5 ) ifadesinde, payda bulunan 10 sayısı ile payda'da bulunan 5 sayısı, sadeleşme durumunda olan iki sayıdır.
10 sayısı → 5 . 2 şeklinde yazılabilir.
5 sayısı → 5 . 1 şeklinde yazılabilir.
5 sayıları sadeleşirse, kesirli sayı ( 2 / 1 ) haline gelir. ( 2 / 1 ) kesirli sayısı, 2 sayısına eşittir. ( 2 / 1 ) = 2
10 sayısı, 2 sayısına bölünürse sonuç 2 olur. 10 ve 5 sayılarının üzerleri çizilerek, işlem yapmadan, 2 şeklinde de yazılabilir.
x = (
5x - 10 = 0 denkleminin çözüm kümesi → Ç = { 2 }
Örnek - 3
1. dereceden bir bilinmeyenli denklem örnek soru - 3:
4x - 14 = 0 denklemi için:
a sayısı → 4
b sayısı → 14
4x - 14 = 0 eşitliğinde bilinenler eşitliğin bir tarafında, bilinmeyenler bir tarafında olacak şekilde işlemler yürütülür. İlk aşamada, bilinen 14 sayısı, eşitliğin sağ tarafına atılır.
4x - 14 ifadesinde, çıkarma işleminin sembolü olan (-) işareti, 14 sayısının işareti olarak kabul edilebilir.
4x -14 = 0 → -14 sayısı, eşitliğin sağına atılırsa, +14 olur ve yeni eşitlik 4x = +14 haline gelir.
4x = +14 eşitliğinde, 14 sayısının işareti olan (+) işareti yazılmayabilir.
Eşitlik, 4x = 14 şeklinde yazılabilir.
4x = 14 → ifadesinde, x bilinmeyeni, eşitliğin sol tarafında yalnız bırakılırsa, değerinin ne olduğu bulunabilir. Eşitliğin solunda olan 4x ifadesi, çarpım durumunda olan, 4 . x sayılarıdır.
x sayısını yalnız bırakmak için, 4 . x ifadesi, 4 sayısına bölünür. 4 sayısı, 4'e bölündüğünde, sonuç 1 olur. 1 sonucu x bilinmeyeni ile çarpım durumundadır. Çarpma işleminde etkisiz eleman olan 1 sayısı, 1 . x şeklinde yazılmayıp, sadece x olarak yazılır. ( 1 . x = x )
Eşitliği bozmamak için, eşitliğin her iki tarafı, 4 sayısına bölünür.
(
x = ( 14 / 4 ) → Sadeleşme işlemi sonrasında, eşitliğin sol tarafında x sayısı yalnız kalır. Sağ tarafında ( 14 / 4 ) ifadesi kalır.
Eşitliğin sağ tarafında olan ( 14 / 4 ) ifadesinde, payda bulunan 14 sayısı ile payda'da bulunan 4 sayısı, sadeleşme durumunda olan iki sayıdır.
14 sayısı → 2 . 7 şeklinde yazılabilir.
4 sayısı → 2 . 2 şeklinde yazılabilir.
2 sayıları sadeleşirse, kesirli sayı ( 7 / 2 ) haline gelir.
14 ve 4 sayıları, 2 ile tam bölünebilen iki sayıdır. 14 ve 4 sayılarının üzerleri çizilerek, işlem yapmadan, ( 7 / 2 ) şeklinde de yazılabilir.
x = (
4x - 14 = 0 denkleminin çözüm kümesi → Ç = { ( 7 / 2 ) }
Örnek - 4
1. dereceden bir bilinmeyenli denklem örnek soru - 4:
5x - 8 = 2x + 7 denklemi için:
5x - 8 = 2x + 7 denklemi, eşitliğin her iki tarafında x bilinmeyeni olan bir denklemdir.
5x - 8 = 2x + 7 eşitliğinde bilinenler eşitliğin bir tarafında, bilinmeyenler bir tarafında olacak şekilde işlemler yürütülür. İlk aşamada, bilinen 8 sayısı, eşitliğin sağ tarafına atılır.
5x - 8 ifadesinde, çıkarma işleminin sembolü olan (-) işareti, 8 sayısının işareti olarak kabul edilebilir.
5x -8 = 2x + 7 → -8 sayısı, eşitliğin sağına atılırsa, +8 olur ve yeni eşitlik 5x = 2x +8 + 7 haline gelir.
5x = 2x +8 + 7 eşitliğinde, ikinci aşamada, bilinmeyen 2x sayısı, eşitliğin sol tarafına atılır. 2x sayısının işareti görünür kılınırsa, (+2x) şeklinde yazılabilir.
5x = +2x +8 + 7 → +2x sayısı, eşitliğin soluna atılırsa, -2x olur ve yeni eşitlik 5x -2x = +8 + 7 haline gelir.
Not:
Toplama ve çıkarma işlemi, işaretleri belli olan sayıların, bir araya getirilmesi şeklinde düşünülebilir.
+8 +7 → şeklinde ayrı yazılan iki sayı bir araya getirilirse, +15 sayısına ulaşılır.
+8 +7 şeklinde ayrı yazılan iki sayı, +8 sayısının işareti yazılmadan ve +7 sayısının işareti, toplama işlemi sembolü olarak düşünülüp, 8 + 7 şeklinde de yazılabilir.
-8 -7 → şeklinde ayrı yazılan iki sayı bir araya getirilirse, -15 sayısına ulaşılır.
-8 -7 şeklinde ayrı yazılan iki sayı, -8 sayısının işareti aynen bırakılıp ve -7 sayısının işareti, çıkarma işlemi sembolü olarak düşünülüp, -8 - 7 şeklinde de yazılabilir.
+8 -7 → şeklinde ayrı yazılan iki sayı bir araya getirilirse, +1 sayısına ulaşılır.
+8 -7 şeklinde ayrı yazılan iki sayı, +8 sayısının işareti yazılmadan ve -7 sayısının işareti, çıkarma işlemi sembolü olarak düşünülüp, 8 - 7 şeklinde de yazılabilir.
-8 +7 → şeklinde ayrı yazılan iki sayı bir araya getirilirse, -1 sayısına ulaşılır.
-8 +7 şeklinde ayrı yazılan iki sayı, -8 sayısının işareti aynen bırakılıp ve +7 sayısının işareti, toplama işlemi sembolü olarak düşünülüp, -8 + 7 şeklinde veya 7 - 8 şeklinde de yazılabilir.
5x -2x = +8 + 7 eşitliği, 5x - 2x = 8 + 7 şeklinde yazılabilir.
5x - 2x = 8 + 7 eşitliği için:
eşitliğin sol tarafında bulunan işlem yapılır. 5x değerinden, 2x değeri çıkarılır. 5 tane x sayısından, 2 tane x sayısı çıkarılırsa, geriye 3 tane x sayısı kalır. ( 5x - 2x = 3x )
Eşitliğin sağ tarafında bulunan işlem yapılır. ( 8 + 7 = 15 )
5x - 2x = 8 + 7 eşitliğinin, solunda ve sağında yapılan işlemlerden sonra yeni eşitlik:
3x = 15 olur.
3x = 15 → ifadesinde, x bilinmeyeni, eşitliğin sol tarafında yalnız bırakılırsa, değerinin ne olduğu bulunabilir. Eşitliğin solunda olan 3x ifadesi, çarpım durumunda olan, 3 . x sayılarıdır.
x sayısını yalnız bırakmak için, 3 . x ifadesi, 3 sayısına bölünür. 3 sayısı, 3'e bölündüğünde, sonuç 1 olur. 1 sonucu x bilinmeyeni ile çarpım durumundadır. Çarpma işleminde etkisiz eleman olan 1 sayısı, 1 . x şeklinde yazılmayıp, sadece x olarak yazılır. ( 1 . x = x )
Eşitliği bozmamak için, eşitliğin her iki tarafı, 3 sayısına bölünür.
(
x = ( 15 / 3 ) → Sadeleşme işlemi sonrasında, eşitliğin sol tarafında x sayısı yalnız kalır. Sağ tarafında ( 15 / 3 ) ifadesi kalır.
Eşitliğin sağ tarafında olan ( 15 / 3 ) ifadesinde, payda bulunan 15 sayısı ile payda'da bulunan 3 sayısı, sadeleşme durumunda olan iki sayıdır.
15 sayısı → 3 . 5 şeklinde yazılabilir.
3 sayısı → 3 . 1 şeklinde yazılabilir.
3 sayıları sadeleşirse, kesirli sayı ( 5 / 1 ) haline gelir. ( 5 / 1 ) kesirli sayısı, 5 sayısına eşittir. ( 5 / 1 ) = 5
15 sayısı, 3 sayısına bölünürse sonuç 5 olur. 15 ve 3 sayılarının üzerleri çizilerek, işlem yapmadan, 5 şeklinde de yazılabilir.
x = (
5x - 8 = 2x + 7 denkleminin çözüm kümesi → Ç = { 5 }
Not:
Daha karmaşık denklem çözümlerinden önce:
- Negatif (-) ve Pozitif (+) sayılarda dört işlem
- Kesirli sayılarda işlemler
- İşlem önceliği
- Parantez açma
konularının bilinmesi gerekir. Sayılar 5. Bölüm » başlıklı yazıda bu konulara değinilmiştir.
Örnek - 5
2(x - 2) - 3 = 4(x + 1)
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? (kaynak: Supara)
Çözüm:
1. dereceden bir bilinmeyenli denklem örnek soru - 5:
2(x - 2) - 3 = 4(x + 1) denklemi için:
2(x - 2) - 3 = 4(x + 1) denklemi, eşitliğin her iki tarafında x bilinmeyeni olan bir denklemdir.
2(x - 2) - 3 = 4(x + 1) eşitliğinde ilk aşamada, yeşil renk ile gösterilen, parantez açma işlemi yapılır.
2(x - 2) ifadesi, çarpım durumunda olan iki ifadedir. → 2 . (x - 2)
2 . (x - 2) ifadesinde, parantez içindeki x sayısının işareti görünür kılınır ve (+)x şeklinde yazılır. Çıkarma işleminin sembolü olan (-) işareti, 2 sayısının işareti olarak kabul edilebilir.
2 . ( (+)x (-)2 ) → Parantez dışındaki 2 sayısı ile, parantez içindeki (+)x sayısı çarpılır → 2 . (+x)
2 . ( (+)x (-)2 ) → Parantez dışındaki 2 sayısı ile, parantez içindeki (-)2 sayısı çarpılır → 2 . (-2)
2 . (+x) → 2 ile (+x) çarpıldığında, +2x olur. (+) sayı ile (+) sayının çarpımı, (+) olur.
2 . (-2) → 2 ile (-2) çarpıldığında, -4 olur. (+) sayı ile (-) sayının çarpımı, (-) olur.
+2x -4 sayıları 2x - 4 şeklinde yazılabilir.
2(x - 2) ifadesi parantez açıldıktan sonra 2x - 4 halini alır.
2(x - 2) - 3 = 4(x + 1) eşitliğinde ikinci aşamada, sarı renk ile gösterilen, parantez açma işlemi yapılır.
4(x + 1) ifadesi, çarpım durumunda olan iki ifadedir. → 4 . (x + 1)
4 . (x + 1) ifadesinde, parantez içindeki x sayısının işareti görünür kılınır ve (+)x şeklinde yazılır. toplama işleminin sembolü olan (+) işareti, 1 sayısının işareti olarak kabul edilebilir.
4 . ( (+)x (+)1 ) → Parantez dışındaki 4 sayısı ile, parantez içindeki (+)x sayısı çarpılır → 4 . (+x)
4 . ( (+)x (+)1 ) → Parantez dışındaki 4 sayısı ile, parantez içindeki (+)1 sayısı çarpılır → 4 . (+1)
4 . (+x) → 4 ile (+x) çarpıldığında, +4x olur. (+) sayı ile (+) sayının çarpımı, (+) olur.
4 . (+1) → 4 ile (+1) çarpıldığında, +4 olur. (+) sayı ile (+) sayının çarpımı, (+) olur.
+4x +4 sayıları 4x + 4 şeklinde yazılabilir.
4(x + 1) ifadesi, parantez açıldıktan sonra 4x + 4 halini alır.
Parantez açma işlemlerinden sonra denklem:
2x - 4 - 3 = 4x + 4 halini alır.
Denklemin sol tarafında bulunan, -4 - 3 işlemi yapıldığında, sonuç -7 olur. Denklem yeni hali:
2x - 7 = 4x + 4
2x - 7 = 4x + 4 eşitliğinde bilinenler eşitliğin bir tarafında, bilinmeyenler bir tarafında olacak şekilde işlemler yürütülür. Denklem incelendiğinde, sağ tarafında bulunan +4x değeri sola atılırsa, 2x - 4x sonucu (-) olacağı görülür. İşlemi kolaylaştırmak için, 2x değeri sağa atılabilir. Bilinenler eşitliğin sol tarafında, bilinmeyenler işlemin sağ tarafında olacak şekilde işlemler yürütülür.
Üçüncü aşamada aşamada, bilinen 4 sayısı, eşitliğin sol tarafına atılır.
4x + 4 ifadesinde, toplama işleminin sembolü olan (+) işareti, 4 sayısının işareti olarak kabul edilebilir.
2x - 7 = 4x +4 → +4 sayısı, eşitliğin soluna atılırsa, -4 olur ve yeni eşitlik 2x - 7 -4 = 4x haline gelir.
2x - 7 -4 = 4x eşitliğinde, dördüncü aşamada, bilinmeyen 2x sayısı, eşitliğin sağ tarafına atılır. 2x sayısının işareti görünür kılınırsa, (+2x) şeklinde yazılabilir.
+2x - 7 -4 = 4x → +2x sayısı, eşitliğin soluna atılırsa, -2x olur ve yeni eşitlik -7 -4 = 4x -2x haline gelir.
-7 -4 = 4x -2x eşitliği, -7 - 4 = 4x - 2x şeklinde yazılabilir.
-7 - 4 = 4x - 2x eşitliği için:
eşitliğin sağ tarafında bulunan işlem yapılır. 4x değerinden, 2x değeri çıkarılır. 4 tane x sayısından, 2 tane x sayısı çıkarılırsa, geriye 2 tane x sayısı kalır. ( 4x - 2x = 2x )
Eşitliğin sol tarafında bulunan işlem yapılır. ( -7 - 4 = -11)
-7 - 4 = 4x - 2x eşitliğinin, solunda ve sağında yapılan işlemlerden sonra yeni eşitlik:
-11 = 2x olur.
-11 = 2x → ifadesinde, x bilinmeyeni, eşitliğin sağ tarafında yalnız bırakılırsa, değerinin ne olduğu bulunabilir. Eşitliğin sağında olan 2x ifadesi, çarpım durumunda olan, 2 . x sayılarıdır.
x sayısını yalnız bırakmak için, 2 . x ifadesi, 2 sayısına bölünür. 2 sayısı, 2'e bölündüğünde, sonuç 1 olur. 1 sonucu x bilinmeyeni ile çarpım durumundadır. Çarpma işleminde etkisiz eleman olan 1 sayısı, 1 . x şeklinde yazılmayıp, sadece x olarak yazılır. ( 1 . x = x )
Eşitliği bozmamak için, eşitliğin her iki tarafı, 2 sayısına bölünür.
(
x = ( -11 / 2 ) → Sadeleşme işlemi sonrasında, eşitliğin sağ tarafında x sayısı yalnız kalır. Sol tarafında ( -11 / 2 ) ifadesi kalır.
Eşitliğin sol tarafında olan ( -11 / 2 ) ifadesinde, 11 sayısının işareti olan eksi (-) işareti, kesir çizgisinin önüne yazılabilir. ( -11 / 2 ) yazımı, - ( 11 / 2 ) haline gelir.
x = - ( 11 / 2 )
2(x - 2) - 3 = 4(x + 1) denkleminin çözüm kümesi → Ç = { - ( 11 / 2 ) }
Örnek - 6
-3(-x - 2) - 1 = 2(x - 1)
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm:
1. dereceden bir bilinmeyenli denklem örnek soru - 6:
-3(-x - 2) - 1 = 2(x - 1) denklemi için:
-3(-x - 2) - 1 = 2(x - 1) denklemi, eşitliğin her iki tarafında x bilinmeyeni olan bir denklemdir.
-3(-x - 2) - 1 = 2(x - 1) eşitliğinde ilk aşamada, yeşil renk ile gösterilen, parantez açma işlemi yapılır.
-3(-x - 2) ifadesi, çarpım durumunda olan iki ifadedir. → -3 . (-x - 2)
-3 . (-x - 2) ifadesinde, çıkarma işleminin sembolü olan (-) işareti, parantez içindeki 2 sayısının işareti olarak kabul edilebilir.
-3 . ( (-)x (-)2 ) → Parantez dışındaki -3 sayısı ile, parantez içindeki (-)x sayısı çarpılır → -3 . (-x)
-3 . ( (-)x (-)2 ) → Parantez dışındaki -3 sayısı ile, parantez içindeki (-)2 sayısı çarpılır → -3 . (-2)
-3 . (-x) → -3 ile (-x) çarpıldığında, +3x olur. (-) sayı ile (-) sayının çarpımı, (+) olur.
-3 . (-2) → -3 ile (-2) çarpıldığında, +6 olur. (-) sayı ile (-) sayının çarpımı, (+) olur.
+3x +6 sayıları 3x + 6 şeklinde yazılabilir.
-3(-x - 2) ifadesi parantez açıldıktan sonra 3x + 6 halini alır.
-3(-x - 2) - 1 = 2(x - 1) eşitliğinde ikinci aşamada, sarı renk ile gösterilen, parantez açma işlemi yapılır.
2(x - 1) ifadesi, çarpım durumunda olan iki ifadedir. → 2 . (x - 1)
2 . (x - 1) ifadesinde, parantez içindeki x sayısının işareti görünür kılınır ve (+)x şeklinde yazılır. çıkarma işleminin sembolü olan (-) işareti, 1 sayısının işareti olarak kabul edilebilir.
2 . ( (+)x (-)1 ) → Parantez dışındaki 2 sayısı ile, parantez içindeki (+)x sayısı çarpılır → 2 . (+x)
2 . ( (+)x (-)1 ) → Parantez dışındaki 2 sayısı ile, parantez içindeki (-)1 sayısı çarpılır → 2 . (-1)
2 . (+x) → 2 ile (+x) çarpıldığında, +2x olur. (+) sayı ile (+) sayının çarpımı, (+) olur.
2 . (-1) → 2 ile (-1) çarpıldığında, -2 olur. (+) sayı ile (-) sayının çarpımı, (-) olur.
+2x -2 sayıları 2x - 2 şeklinde yazılabilir.
2(x - 1) ifadesi, parantez açıldıktan sonra 2x - 2 halini alır.
Parantez açma işlemlerinden sonra denklem:
3x + 6 - 1 = 2x - 2 halini alır.
Denklemin sol tarafında bulunan, +6 - 1 işlemi yapıldığında, sonuç +5 olur. Denklem yeni hali:
3x + 5 = 2x - 2
3x + 5 = 2x - 2 eşitliğinde bilinenler eşitliğin bir tarafında, bilinmeyenler bir tarafında olacak şekilde işlemler yürütülür. Üçüncü aşamada aşamada, bilinen 5 sayısı, eşitliğin sağ tarafına atılır.
3x + 5 ifadesinde, toplama işleminin sembolü olan (+) işareti, 5 sayısının işareti olarak kabul edilebilir.
3x +5 = 2x - 2 → +5 sayısı, eşitliğin sağına atılırsa, -5 olur ve yeni eşitlik 3x = 2x - 2 -5 haline gelir.
3x = 2x - 2 -5 eşitliğinde, dördüncü aşamada, bilinmeyen 2x sayısı, eşitliğin sol tarafına atılır. 2x sayısının işareti görünür kılınırsa, (+2x) şeklinde yazılabilir.
3x = +2x - 2 -5 → +2x sayısı, eşitliğin soluna atılırsa, -2x olur ve yeni eşitlik 3x -2x = -2 -5 haline gelir.
3x -2x = -2 -5 eşitliği, 3x - 2x = -2 - 5 şeklinde yazılabilir.
3x - 2x = -2 - 5 eşitliği için:
eşitliğin sol tarafında bulunan işlem yapılır. 3x değerinden, 2x değeri çıkarılır. 3 tane x sayısından, 2 tane x sayısı çıkarılırsa, geriye 1 tane x sayısı kalır. ( 3x - 2x = x )
Eşitliğin sağ tarafında bulunan işlem yapılır. ( -2 - 5 = -7)
3x - 2x = -2 - 5 eşitliğinin, solunda ve sağında yapılan işlemlerden sonra yeni eşitlik:
x = -7 olur.
x = -7
-3(-x - 2) - 1 = 2(x - 1) denkleminin çözüm kümesi → Ç = { -7 }
Örnek - 7
5 - [ x + 2(3 - x) ] = 3x + 1
denklemini sağlayan x değeri kaçtır? (kaynak: Supara)
Çözüm:
1. dereceden bir bilinmeyenli denklem örnek soru - 7:
5 - [ x + 2(3 - x) ] = 3x + 1 denklemi için:
İç içe parantez olan denklemlerde, denklemin çözümüne en içte bulunan parantezden başlanır.
5 - [ x + 2(3 - x) ] = 3x + 1 eşitliğinde ilk aşamada, yeşil renk ile gösterilen, parantez açma işlemi yapılır.
2(3 - x) ifadesi, çarpım durumunda olan iki ifadedir. → 2 . (3 - x)
2 . (3 - x) ifadesinde, parantez içindeki 3 sayısının işareti görünür kılınır ve (+)3 şeklinde yazılır. Çıkarma işleminin sembolü olan (-) işareti, x bilinmeyeninin işareti olarak kabul edilebilir.
2 . ( (+)3 (-)x ) → Parantez dışındaki 2 sayısı ile, parantez içindeki (+)3 sayısı çarpılır → 2 . (+3)
2 . ( (+)3 (-)x ) → Parantez dışındaki 2 sayısı ile, parantez içindeki (-)x sayısı çarpılır → 2 . (-x)
2 . (+3) → 2 ile (+3) çarpıldığında, +6 olur. (+) sayı ile (+) sayının çarpımı, (+) olur.
2 . (-x) → 2 ile (-x) çarpıldığında, -2x olur. (+) sayı ile (-) sayının çarpımı, (-) olur.
+6 -2x sayıları 6 - 2x şeklinde yazılabilir.
2(3 - x) ifadesi parantez açıldıktan sonra 6 - 2x halini alır.
5 - [ x + 2(3 - x) ] = 3x + 1 eşitliğinde, 2(3 - x) yerine, 6 - 2x yazılır.
5 - [ x + 6 - 2x ] = 3x + 1
Köşeli parantez içindeki işlem yapılır. x sayısından, 2x sayısı çıkarsa, geriye -x kalır. ( x - 2x = -x )
+6 sayısı ile -x sayısı yan yana 6 - x şeklinde yazılabilir. Köşeli parantez, [ 6 - x ] halini alır.
Denklemin yeni hali:
5 - [ 6 - x ] = 3x + 1
5 - [ 6 - x ] = 3x + 1 eşitliğinde, mor renk ile gösterilen, parantez açma işlemi yapılır. Parantez önünde bulunan (-) işareti ile parantez açılır.
(-)(6 - x) ifadesi, çarpım durumunda olan iki ifadedir. → (-) . (6 - x)
(-) . (6 - x) ifadesinde, parantez içindeki 6 sayısının işareti görünür kılınır ve (+)6 şeklinde yazılır. Çıkarma işleminin sembolü olan (-) işareti, x bilinmeyeninin işareti olarak kabul edilebilir.
(-) . ( (+)6 (-)x ) → Parantez dışındaki (-) işareti ile, parantez içindeki (+)6 sayısı çarpılır → (-) . (+6)
(-) . ( (+)6 (-)x ) → Parantez dışındaki (-) işareti ile, parantez içindeki (-)x sayısı çarpılır → (-) . (-x)
(-) . (+6) → (-) ile (+6) çarpıldığında, -6 olur. (-) sayı ile (+) sayının çarpımı, (-) olur.
(-) . (-x) → (-) ile (-x) çarpıldığında, +x olur. (-) sayı ile (-) sayının çarpımı, (+) olur.
-6 +x sayıları, 5 sayısı ile işleme gireceğinden, -6 +x şeklinde, işaretleri ile beraber yazılır.
- [ 6 - x ] ifadesi parantez açıldıktan sonra -6 +x halini alır.
5 - [ 6 - x ] = 3x + 1 eşitliğinde, - [ 6 - x ] yerine, -6 +x yazılır.
5 - 6 + x = 3x + 1
Eşitliğin sol tarafındaki işlem yapılır. 5 sayısından, 6 sayısı çıkarsa, geriye -1 kalır. ( 5 - 6 = -1 )
Eşitliğin sol tarafında, -1 + x ifadesi kalır.
Denklemin yeni hali:
-1 + x = 3x + 1
-1 + x = 3x + 1 eşitliğinde bilinenler eşitliğin bir tarafında, bilinmeyenler bir tarafında olacak şekilde işlemler yürütülür. Denklem incelendiğinde, sağ tarafında bulunan +3x değeri sola atılırsa, x - 3x sonucunun (-) olacağı görülür. İşlemi kolaylaştırmak için, x değeri sağa atılabilir. Bilinenler eşitliğin sol tarafında, bilinmeyenler işlemin sağ tarafında olacak şekilde işlemler yürütülür.
Bilinen 1 sayısı, eşitliğin sol tarafına atılır.
3x + 1 ifadesinde, toplama işleminin sembolü olan (+) işareti, 1 sayısının işareti olarak kabul edilebilir.
-1 + x = 3x +1 → +1 sayısı, eşitliğin soluna atılırsa, -1 olur ve yeni eşitlik -1 -1 + x = 3x haline gelir.
-1 -1 + x = 3x eşitliğinde, bilinmeyen x sayısı, eşitliğin sağ tarafına atılır. x sayısının işareti görünür kılınırsa, (+x) şeklinde yazılabilir.
-1 -1 +x = 3x → +x sayısı, eşitliğin soluna atılırsa, -x olur ve yeni eşitlik -1 -1 = 3x -x haline gelir.
-1 -1 = 3x -x eşitliği, -1 - 1 = 3x - x şeklinde yazılabilir.
-1 - 1 = 3x - x eşitliği için:
eşitliğin sağ tarafında bulunan işlem yapılır. 3x değerinden, x değeri çıkarılır. 3 tane x sayısından, 1 tane x sayısı çıkarılırsa, geriye 2 tane x sayısı kalır. ( 3x - x = 2x )
Eşitliğin sol tarafında bulunan işlem yapılır. ( -1 - 1 = -2)
-1 - 1 = 3x - x eşitliğinin, solunda ve sağında yapılan işlemlerden sonra yeni eşitlik:
-2 = 2x olur.
-2 = 2x → ifadesinde, x bilinmeyeni, eşitliğin sağ tarafında yalnız bırakılırsa, değerinin ne olduğu bulunabilir. Eşitliğin sağında olan 2x ifadesi, çarpım durumunda olan, 2 . x sayılarıdır.
x sayısını yalnız bırakmak için, 2 . x ifadesi, 2 sayısına bölünür. 2 sayısı, 2'e bölündüğünde, sonuç 1 olur. 1 sonucu x bilinmeyeni ile çarpım durumundadır. Çarpma işleminde etkisiz eleman olan 1 sayısı, 1 . x şeklinde yazılmayıp, sadece x olarak yazılır. ( 1 . x = x )
Eşitliği bozmamak için, eşitliğin her iki tarafı, 2 sayısına bölünür.
( -2 / 2 ) = (
( -2 / 2 ) = x → Sadeleşme işlemi sonrasında, eşitliğin sağ tarafında x sayısı yalnız kalır. Sol tarafında ( -2 / 2 ) ifadesi kalır.
Eşitliğin sol tarafında bulunan işlem yapılır. -2 sayısı, 2 sayısına bölünürse sonuç -1 olur. -2 ve 2 sayılarının üzerileri çizilerek, işlem yapmadan, -1 şeklinde yazılabilir.
-1 = x
x = -1
Örnek - 8
1. dereceden bir bilinmeyenli denklem örnek soru - 8 (kaynak: Supara):
Çözüm:
1. dereceden bir bilinmeyenli denklem örnek çözüm - 8:
Geniş kesir çizgisinin, hem üst hem de alt tarafında x bilinmeyeni olan denklemin çözümüne, resimde yeşil çerçeve içine alınmış ifadeden başlanabilir.
( 1 / x ) + 1 → işleminde, 1 sayısının paydası görünür kılınır ve (1 / 1) şeklinde yazılır.
( 1 / x ) + ( 1 / 1 ) → işleminde, x sayısının altına parantez içinde (1), 1 sayısının altına parantez içinde (x) yazılarak, paydalar eşitlenir.
( 1 / x ) kesirli sayısının altına parantez içine yazılan (1) sayısı, hem pay hem de payda ile çarpıldığında,
( 1 . 1 / x . 1 ) haline gelir. Çarpma işleminin etkisiz elemanı olan 1 sayısı, pay'daki ve payda'daki sayıları değiştirmez. İfade yine ( 1 / x ) halinde kalır.
( 1 / 1 ) kesirli sayısının altına parantez içine yazılan (x) sayısı, hem pay hem de payda ile çarpıldığında,
( 1 . x / 1 . x ) haline gelir.
Pay'da bulunan 1 sayısı, x ile çarpıldığında x olur. ( 1 . x = x )
Payda'da bulunan 1 sayısı, x ile çarpıldığında x olur. ( 1 . x = x )
( 1 / 1 ) kesirli sayısı, ( x / x ) haline gelir.
Paydalar eşitlendiğinde kesirli işlem → ( 1 / x ) + ( x / x )
Pay bölümünde bulunan sayılar, kesirli sayıların arasında bulunan işlem ile (+) işleme sokulur. ( 1 + x )
Eşitlenen payda, aynen yazılır. (x)
Yeşil çerçeve içindeki ifade, ( 1 + x / x ) haline gelir.
Geniş kesir çizgisinin, alt tarafında bulunan ve resimde sarı çerçeve içine alınmış ifade için:
2 - ( 1 / x ) → işleminde, 2 sayısının paydası görünür kılınır ve (2 / 1) şeklinde yazılır.
( 2 / 1 ) + ( 1 / x ) → işleminde, payda'daki 1 sayısının altına parantez içinde (x), x sayısının altına parantez içinde (1) yazılarak, paydalar eşitlenir.
( 2 / 1 ) kesirli sayısının altına parantez içine yazılan (x) sayısı, hem pay hem de payda ile çarpıldığında,
( 2 . x / 1 . x ) haline gelir.
Pay'da bulunan 2 sayısı, (x) ile çarpıldığında 2x olur. ( 2 . x = 2x )
Payda'da bulunan 1 sayısı (x) ile çarpıldığında x olur. ( 1 . x = x )
( 2 / 1 ) kesirli sayısı, ( 2x / x ) haline gelir.
( 1 / x ) kesirli sayının altına parantez içine yazılan (1) sayısı, hem pay hem de payda ile çarpıldığında,
( 1 . 1 / x . 1 ) haline gelir. Çarpma işleminin etkisiz elemanı olan 1 sayısı, pay'daki ve payda'daki sayıları değiştirmez. İfade yine ( 1 / x ) halinde kalır.
Paydalar eşitlendiğinde kesirli işlem → ( 2x / x ) - ( 1 / x )
Pay bölümünde bulunan sayılar, kesirli sayıların arasında bulunan işlem ile (-) işleme sokulur. ( 2x - 1 )
Eşitlenen payda, aynen yazılır. (x)
Sarı çerçeve içindeki ifade, ( 2x - 1 / x ) haline gelir.
Geniş kesir çizgisinin üst tarafına, yeşil çerçeve içindeki yeni ifade olan, ( 1 + x / x ) yazılır.
Geniş kesir çizgisinin alt tarafına, sarı çerçeve içindeki yeni ifade olan, ( 2x - 1 / x ) yazılır.
( 1 + x / x ) / ( 2x - 1 / x ) → işleminde, mavi renk ile yazılmış sayılar (dış tarafta bulunan sayılar) çarpılarak pay bölümüne; kırımızı renk ile yazılmış sayılar (iç tarafta bulunan sayılar) çarpılarak payda bölümüne yazılır.
x . ( 1 + x ) / ( 2x - 1 ) . x = 1 / 3 haline gelen denklemde, x sayıları sadeleşebilir durumda olan iki sayıdır. Parantez açma işlemi yapmadan, x sayılarının üzerleri, resimde görüldüğü gibi çizilir ve sadeleştirilir.
Yeni denklem:
( 1 + x ) / ( 2x - 1 ) = 1 / 3 haline gelen denklemde, içler dışlar çarpımı yapılır.
Resimde büyük çarpı işareti ile gösterilen içler dışlar çarpımı işleminde;
3 sayısı ile ( 1 + x ) ifadesinin çarpımı, 1 ile ( 2x - 1 ) ifadesinin çarpımına eşittir.
Denklem,
3 . ( 1 + x ) = 1 . ( 2x - 1 ) haline gelir.
Resimde mor çerçeve içine alınmış, parantez açma işlemi yapılır
3 . ( 1 + x )
3 . ( 1 + x ) ifadesinde, parantez içindeki 1 sayısının işareti görünür kılınır ve (+)1 şeklinde yazılır. Toplama işleminin sembolü olan (+) işareti, x sayısının işareti olarak kabul edilebilir.
3 . ( (+)1 (+)x ) → Parantez dışındaki 3 sayısı ile, parantez içindeki (+1) sayısı çarpılır → 3 . (+1)
3 . ( (+)1 (+)x )→ Parantez dışındaki 3 sayısı ile, parantez içindeki (+x) sayısı çarpılır → 3 . (+x)
3 . (+1) → 3 ile (+1) çarpıldığında, +3 olur. (+) sayı ile (+) sayının çarpımı, (+) olur.
3 . (+x) → 3 ile (+x) çarpıldığında, +3x olur. (+) sayı ile (+) sayının çarpımı, (+) olur.
+3 +3x sayıları 3 + 3x şeklinde yazılabilir.
3 . ( 1 + x ) ifadesi parantez açıldıktan sonra 3 + 3x halini alır.
Denklem,
3 + 3x = 1 . ( 2x - 1 ) haline gelir.
Resimde turuncu çerçeve içine alınmış, parantez açma işlemi yapılır.
1 . ( 2x - 1 )
Çarpma işleminin etkisiz elemanı olan 1 sayısı, ( 2x - 1 ) ile çarpıldığında, ( 2x - 1 ) ifadesini değiştirmez.
Denklem,
3 + 3x = 2x - 1 haline gelir.
3 + 3x = 2x - 1 eşitliğinde, bilinenler eşitliğin sağ tarafında, bilinmeyenler eşitliğin sol tarafında olacak şekilde işlemler yürütülür.
3 + 3x ifadesinde, bilinen 3 sayısı, eşitliğin sağ tarafına atılır. 3 sayısının işareti görünür kılınırsa, (+3) şeklinde yazılabilir.
+3 + 3x = 2x - 1 → +3 sayısı, eşitliğin sağına atılırsa, -3 olur ve yeni eşitlik 3x = 2x - 1 -3 haline gelir.
3x = 2x - 1 -3 eşitliğinde, bilinmeyen 2x sayısı, eşitliğin sol tarafına atılır. 2x sayısının işareti görünür kılınırsa, (+2x) şeklinde yazılabilir.
3x = +2x - 1 -3 → +2x sayısı, eşitliğin soluna atılırsa, -2x olur ve yeni eşitlik 3x -2x = -1 -3 haline gelir.
3x -2x = -1 -3 eşitliği, 3x - 2x = -1 - 3 şeklinde yazılabilir.
3x - 2x = -1 - 3 eşitliği için:
eşitliğin sol tarafında bulunan işlem yapılır. 3x değerinden, 2x değeri çıkarılır. 3 tane x sayısından, 2 tane x sayısı çıkarılırsa, geriye 1 tane x sayısı kalır. ( 3x - 2x = x )
Eşitliğin sağ tarafında bulunan işlem yapılır. ( -1 - 3 = -4)
3x - 2x = -1 - 3 eşitliğinin, solunda ve sağında yapılan işlemlerden sonra yeni eşitlik:
x = -4 olur.
Örnek - 9
(a - 1)x - 2 = 4x - b
denklemi x in bütün gerçek sayı değerleri için, sağlandığına göre a + b toplamı kaçtır? (kaynak: Supara)
Çözüm:
Soruda istenen koşul, x in bütün gerçek sayı değerleri için, denklemin sağlanmasıdır.
Daha önce bahsedilmiş olan, 1. dereceden bir bilinmeyenli denklem çözümünün 3. durumu için, a bilinen sayısı ve b bilinen sayısı sıfıra eşit ise, x bilinmeyenin bütün gerçek sayı değerleri, ax + b = 0 eşitliğini sağlar.
ax +b = 0 denkleminde;
a sayısı, x bilinmeyeni ile çarpım durumunda olan ve değeri sıfır olan bir sayıdır. ( a = 0 )
+b sayısı, ax ifadesi ile bir araya getirilen ve değeri sıfır olan bir sayıdır. ( +b = 0 )
(a - 1)x - 2 = 4x - b denkleminde görülen a ve b sayıları, ax + b = 0 denkleminde görülen a ve b sayıları değildir.
(a - 1)x - 2 = 4x - b denklemi → ax +b = 0 denkleminde olduğu gibi, x bilinmeyeni ile çarpım durumunda olan a sayısı ve ax değeri ile bir araya getirilen +b sayısı, haline getirilmelidir.
(a - 1)x - 2 = 4x - b → denkleminde, yeşil renk ile gösterilen x bilinmeyeni ile, çarpım durumunda olan (a - 1) değeri ve 4 sayısı, eşitliğin sol tarafında, x bilinmeyeni ile çarpım durumunda olan tek bir sayı haline gelirse, bu bahsedilen tek bir sayı,
ax +b = 0 denkleminde bahsedilen a sayısı olur.
(a - 1)x - 2 = 4x - b eşitliğinde, bilinmeyen 4x sayısı, eşitliğin sol tarafına atılır. 4x sayısının işareti görünür kılınırsa, (+4x) şeklinde yazılabilir.
(a - 1)x - 2 = +4x - b → +4x sayısı, eşitliğin soluna atılırsa, -4x olur ve yeni eşitlik (a - 1)x -4x - 2 = -b haline gelir.
(a - 1)x -4x → ifadesi iki değerden oluşur.
Birinci ifade → (a - 1)x → (a - 1) . x
İkinci ifade → -4x → -4 . x
Bu iki ifadede, x çarpanı ortaktır. Bu iki ifade, x parantezine alınır. Paranteze alma işlemi, parantez açma işleminin tersidir.
Ortak olan x çarpanı yazılıp parantez açılır.
x(
Birinci ifadede x sayısı ile çarpım durumunda olan (a - 1) ifadesi, açılan parantez içine yazılır. (a - 1) ifadesi, parantez içine alınırken, (+) olan işareti ve parantezleri yazılmayabilir.
x( a - 1
İkinci ifadede x sayısı ile çarpım durumunda olan -4 sayısı, açılan parantez içine yazılır.
x( a - 1 -4
Parantez kapatılır.
x( a - 1 -4 )
x( a - 1 -4 ) ifadesi → x( a -1 - 4) → x( a - 5 ) şeklinde yazılır.
Denklem:
x( a - 5 ) - 2 = - b haline gelir.
x( a - 5 ) - 2 = - b eşitliğinde, bilinen b sayısı, eşitliğin yine sol tarafına atılır. Çıkarma işleminden kalan (-) işareti, b sayısının işareti olarak kabul edilir ve (-b) şeklinde yazılabilir.
x( a - 5 ) - 2 = -b → -b sayısı, eşitliğin soluna atılırsa, +b olur ve yeni eşitlik x( a - 5 ) - 2 +b = 0 haline gelir. Eşitliğin sağ tarafında, hiç bilinen ve bilinmeyen olmadığı için, eşitliğin sağ tarafında, sıfır (0) kalır.
x( a - 5 ) - 2 +b = 0 ifadesi: → x( a - 5 ) - 2 + b = 0 şeklinde yazılabilir.
x( a - 5 ) - 2 + b = 0 → ax +b = 0 İki denklem incelendiğinde:
Kırmızı renk ile gösterilen a - 5 ifadesi, ax +b = 0 denkleminin tanımda olduğu gibi, x bilinmeyeni çarpım durumunda olan a sayısıdır.
Mavi renk ile gösterilen - 2 + b ifadesi, ax +b = 0 denklem tanımda olduğu gibi, ax değeri ile bir araya getirilen +b sayısıdır.
ax +b = 0 eşitliğinde, a ve b sayıları sıfıra eşit ise, x bilinmeyenin tüm gerçek sayı değerleri için, eşitlik sağlanır.
a = 0
+b = 0
x( a - 5 ) -2 + b = 0 eşitliğinde, ( a - 5 ) ve -2 + b ifadeleri sıfıra eşit ise, x bilinmeyenin tüm gerçek sayı değerleri için, eşitlik sağlanır.
a - 5 = 0
-2 + b = 0
a -5 = 0 → eşitliğinde -5 sayısı eşitliğin sağına atılırsa +5 olur. ( a = 5 )
-2 + b = 0 → eşitliğinde -2 sayısı eşitliğin sağına atılırsa +2 olur. ( b = 2 )
a + b = 5 + 2 = 7
Cevap: 7
Örnek - 10
(4 - m²)x + 2m = 3x - 2
denkleminin çözüm kümesi boş küme olduğuna göre, m kaçtır? (kaynak: Supara)
Çözüm:
Soruda istenen koşul, denklemin çözüm kümesinin, boş küme olmasıdır.
Daha önce bahsedilmiş olan, 1. dereceden bir bilinmeyenli denklem çözümünün 2. durumu için, a bilinen sayısı sıfıra eşit, b bilinen sayısı sıfıra eşit değilse, ax + b = 0 denkleminin çözüm kümesi boş kümedir.
ax +b = 0 denkleminde;
a sayısı, x bilinmeyeni ile çarpım durumunda olan ve değeri sıfır olan bir sayıdır. ( a = 0 )
+b sayısı, ax ifadesi ile bir araya getirilen ve değeri sıfıra eşit olmayan bir gerçek sayıdır. ( +b ≠ 0 )
(4 - m²)x + 2m = 3x - 2 denklemi → ax +b = 0 denkleminde olduğu gibi, x bilinmeyeni ile çarpım durumunda olan a sayısı ve ax değeri ile bir araya getirilen +b sayısı, haline getirilmelidir.
(4 - m²)x + 2m = 3x - 2 → denkleminde, yeşil renk ile gösterilen x bilinmeyeni ile, çarpım durumunda olan (4 - m²) değeri ve 3 sayısı, eşitliğin sol tarafında, x bilinmeyeni ile çarpım durumunda olan tek bir sayı haline gelirse, bu bahsedilen tek bir sayı,
ax +b = 0 denkleminde bahsedilen a sayısı olur.
(4 - m²)x + 2m = 3x - 2 eşitliğinde, bilinmeyen 3x sayısı, eşitliğin sol tarafına atılır. 3x sayısının işareti görünür kılınırsa, (+3x) şeklinde yazılabilir.
(4 - m²)x + 2m = +3x - 2 → +3x sayısı, eşitliğin soluna atılırsa, -3x olur ve yeni eşitlik (4 - m²)x -3x + 2m = - 2 haline gelir.
(4 - m²)x -3x → ifadesi iki değerden oluşur.
Birinci ifade → (4 - m²)x → (4 - m²) . x
İkinci ifade → -3x → -3 . x
Bu iki ifadede, x çarpanı ortaktır. Bu iki ifade, x parantezine alınır. Paranteze alma işlemi, parantez açma işleminin tersidir.
Ortak olan x çarpanı yazılıp parantez açılır.
x(
Birinci ifadede x sayısı ile çarpım durumunda olan (4 - m²) ifadesi, açılan parantez içine yazılır. (4 - m²) ifadesi, parantez içine alınırken, (+) olan işareti ve parantezleri yazılmayabilir.
x( 4 - m²
İkinci ifadede x sayısı ile çarpım durumunda olan -3 sayısı, açılan parantez içine yazılır.
x( 4 - m² -3
Parantez kapatılır.
x( 4 - m² -3 )
x( 4 - m² -3 ) ifadesi → x( 4 - 3 - m²) → x( 1 - m² ) şeklinde yazılır.
Denklem:
x( 1 - m² ) + 2m = - 2 haline gelir.
x( 1 - m² ) + 2m = - 2 eşitliğinde, bilinen 2 sayısı, eşitliğin yine sol tarafına atılır. Çıkarma işleminden kalan (-) işareti, 2 sayısının işareti olarak kabul edilir ve (-2) şeklinde yazılabilir.
x( 1 - m² ) + 2m = -2 → -2 sayısı, eşitliğin soluna atılırsa, +2 olur ve yeni eşitlik x( 1 - m² ) + 2m +2 = 0 haline gelir. Eşitliğin sağ tarafında, hiç bilinen ve bilinmeyen olmadığı için, eşitliğin sağ tarafında, sıfır (0) kalır.
x( 1 - m² ) + 2m +2 = 0 ifadesi: → x( 1 - m² ) + 2m + 2 = 0 şeklinde yazılabilir.
x( 1 - m² ) + 2m + 2 = 0 → ax +b = 0 İki denklem incelendiğinde:
Kırmızı renk ile gösterilen ( 1 - m² ) ifadesi, ax +b = 0 denkleminin tanımda olduğu gibi, x bilinmeyeni çarpım durumunda olan a sayısıdır.
Mavi renk ile gösterilen + 2m + 2 ifadesi, ax +b = 0 denklem tanımda olduğu gibi, ax değeri ile bir araya getirilen +b sayısıdır.
ax +b = 0 eşitliğinde, a sayısı sıfıra eşit, b sayısı sıfıra eşit değilse, denklemin çözüm kümesi boş kümedir.
a = 0
+b ≠ 0
x( 1 - m² ) + 2m + 2 = 0 eşitliğinde, ( 1 - m² ) ifadesi sıfıra eşit, + 2m + 2 ifadesi sıfıra eşit değilse, denklemin çözüm kümesi boş kümedir.
1 - m² = 0
+2m + 2 ≠ 0
1 - m² = 0 koşulu için:
1 -m² = 0 → eşitliğinde -m² sayısı eşitliğin sağına atılırsa +m² olur.
1 = +m² ifadesi, m² = 1 şeklinde de yazılabilir.
m² = m . m = 1 → Hangi iki sayının çarpımı 1 olur sorusunun cevabı, m değeridir.
m = 1 → değeri için
1 . 1 = 1 → iki tane 1 sayısının çarpımı 1 'dir.
m = (-1) → değeri için
(-1) . (-1) = 1 → iki tane (-1) sayısının çarpımı 1 'dir.
1 -m² = 0 eşitliğini sağlayan m değeri, 1 veya (-1) olabilir.
+2m + 2 ≠ 0 koşulu için:
m değerinin, +2m + 2 ≠ 0 koşulunu da sağlaması gerekir.
+2m + 2 ≠ 0 ifadesi → 2m +2 ≠ 0 şeklinde yazılabilir.
m = 1 → değeri için
2m +2 = 2 . 1 + 2 = 2 + 2 = 4 → 4 sayısı, sıfıra eşit değildir. ( 4 ≠ 0 )
m = (-1) → değeri için
2m +2 = 2 . (-1) + 2 = (-2) +2 = 0 → m = (-1) değeri için, 2m +2 ifadesi sıfıra eşit olduğundan, m değeri (-1) olmaz.
1 - m² değerini sıfır, 2m +2 değerini sıfır yapmayan m değeri, 1 sayısıdır.
m = 1
Cevap: 1
Örnek - 11
1. dereceden bir bilinmeyenli denklem örnek soru - 11 (kaynak: Supara):
Çözüm:
1. dereceden bir bilinmeyenli denklem örnek çözüm - 11:
Not:
Sıfır haricinde, her gerçek sayının, sıfıra bölümü tanımsızdır.
Örneğin:
( 1 / 0 ) → 1 sayısının sıfıra bölümü, tanımsızdır.
( 17 / 0 ) → 17 sayısının sıfıra bölümü, tanımsızdır.
( -25 / 0 ) → -25 sayısının sıfıra bölümü, tanımsızdır.
( a / 0 ) → a sayısının sıfıra bölümü, tanımsızdır.
( a + b / 0 ) → a + b ifadesinin sıfıra bölümü, tanımsızdır.
Sıfır sayısının, sıfır haricinde, her gerçek sayıya bölümü sıfırdır.
Örneğin:
( 0 / 1 ) → 0 sayısının, 1 sayısına bölümü, sıfırdır.
( 0 / 17 ) → 0 sayısının, 17 sayısına bölümü, sıfırdır.
( 0 / -25 ) → 0 sayısının, -25 sayısına bölümü, sıfırdır.
( 0 / a ) → 0 sayısının, a sayısına bölümü, sıfırdır.
( 0 / a + b ) → 0 sayısının, a + b ifadesine bölümü, sıfırdır.
Sıfır sayısının, sıfır sayısına bölümü belirsizdir.
( 0 / 0 ) → 0 sayısının, 0 sayısına bölümü, belirsizdir.
Soruda yeşil çerçeve içine alınmış ( 2 / x + 3 ) ifadesi için:
x + 3 → değeri sıfıra eşit olursa, yeşil çerçeve içindeki kesirli sayı, ( 2 / 0 ) olur. 2 sayısının sıfır sayısına bölümü tanımsızdır.
x + 3 = 0 → x +3 = 0 → x = -3
x = -3 için, yeşil çerçeve içindeki kesirli sayı tanımsız olur. Yeşil çerçeve içindeki sayının tanımsız olması, kırmızı çerçeve içindeki büyük kesirli sayıyı tanımsız yapar.
Büyük kesirli sayının, payda bölümü sıfıra eşit olursa da, kesirli sayı tanımsız olur. Büyük kesirli sayının payda bölümü, x türünden yazılır.
Büyük kesirli sayının, payda bölümünde bulunan 1 - ( 2 / x + 3 ) ifadesi için:
1 sayısının paydası görünür kılınır ve ( 1 / 1 ) şeklinde yazılır.
İşlem, ( 1 / 1 ) - ( 2 / x + 3 ) halini alır.
( 1 / 1 ) sayısının altına parantez içinde (x + 3),
( 2 / x + 3 ) sayısının altına parantez içinde (1) yazılır ve paydalar eşitlenir.
( 1 / 1 ) sayısının pay ve payda'sı, parantez içinde yazılan (x + 3) ile çarpılır.
( 1 / 1 ) sayısı, (x + 3) / (x + 3) halini alır.
( 2 / x + 3 ) sayısının pay ve payda'sı, parantez içinde yazılan (1) ile çarpılır. Çarpma işleminin etkisiz elemanı olan 1 sayısı ile çarpılan pay ve payda aynen yazılır.
İşlem:
(x + 3) / (x + 3) - (2) / (x + 3 ) halini alır.
Pay bölümünde bulunan sayılar, kesirli sayıların arasında bulunan çıkarma işlemi ile işleme sokulur.
(x + 3) - 2 → x + 3 - 2 → ( x + 1 )
Eşitlenen payda aynen yazılır.
( x + 3 )
Büyük kesirli sayının payda bölümünde olan ifade, ( x + 1 ) / ( x + 3 ) halini alır.
Mavi çerçeve içindeki, ( x + 1 ) / ( x + 3 ) ifadesi, sıfıra eşit olursa, kırmızı çerçeve içindeki büyük kesirli sayı tanımsız olur.
( x + 1 ) / ( x + 3 ) ifadesinin, pay bölümünde bulunan ( x + 1 ) değeri, sıfıra eşit olursa, mavi çerçeve içerisindeki kesirli sayı, 0 / ( x + 3 ) olur. Sıfır(0) sayısının, ( x + 3 ) ifadesine bölümü sıfır olur.
x + 1 = 0 → x +1 = 0 → x = -1
x = -1 için, mavi çerçeve içindeki kesirli sayı sıfır (0) olur. Mavi çerçeve içindeki kesirli sayının sıfır olması, kırmızı çerçeve içindeki kesirli sayıyı tanımsız yapar.
Kesirli sayıyı tanımsız yapan x değerleri (-3) ve (-1) sayılarıdır.
(-3) + (-1) = -4
Cevap: -4
Örnek - 12
Ardışık üç çift sayının toplamı, bu sayıların en küçüğünün 4 katının 8 eksiğine eşittir.
Buna göre, bu sayıların çarpımı aşağıdakilerden hangisine tam bölünemez? (kaynak: Supara)
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
E) 12
Çözüm:
Ardışık çift sayıların arasında, 2 sayı fark bulunur. Başka bir ifadeyle, ardışık çift sayılar, 2 artarak ardışırlar.
2 , 4 , 6 , 8 , 10 , .....
2 ile 4 arasında, 2 sayı fark vardır.
4 ile 6 arasında, 2 sayı fark vardır.
6 ile 8 arasında, 2 sayı fark vardır.
Bu sayılardan en küçük olanına x denirse:
1. çift sayı = x
2. çift sayı = x + 2
3. çift sayı = x + 2 + 2 = x + 4 olur.
Ardışık üç çift sayının toplamı:
x + x + 2 + x + 4
3 tane x bilinmeyeninin toplamı: x + x + x → 3x
2 ile 4 sayısının toplamı: 2 + 4 → 6
Ardışık üç çift sayının toplamı: → 3x + 6
Sayılardan en küçük olanına x dendiğine göre:
En küçük sayının 4 katı → 4x
En küçük sayının 4 katının 8 eksiği → 4x - 8
Sayıların toplamı olan 3x + 6 ifadesi, sayılardan en küçük olanının, 4 katının 8 eksiğine eşittir.
3x + 6 = 4x - 8 denklemi çözülür ve en küçük sayı olan x değeri bulunur.
3x + 6 = 4x - 8 eşitliğinde bilinenler eşitliğin bir tarafında, bilinmeyenler bir tarafında olacak şekilde işlemler yürütülür. Denklem incelendiğinde, sağ tarafında bulunan +4x değeri sola atılırsa, 3x - 4x sonucu (-) olacağı görülür. İşlemi kolaylaştırmak için, 3x değeri sağa atılabilir. Bilinenler eşitliğin sol tarafında, bilinmeyenler işlemin sağ tarafında olacak şekilde işlemler yürütülür.
4x - 8 ifadesinde, çıkarma işleminin sembolü olan (-) işareti, 8 sayısının işareti olarak kabul edilebilir.
3x + 6 = 4x -8 → -8 sayısı, eşitliğin soluna atılırsa, +8 olur ve yeni eşitlik 3x + 6 +8 = 4x haline gelir.
3x + 6 +8 = 4x eşitliğinde, bilinmeyen 3x sayısı, eşitliğin sağ tarafına atılır. 3x sayısının işareti görünür kılınırsa, (+3x) şeklinde yazılabilir.
+3x + 6 +8 = 4x → +3x sayısı, eşitliğin sağına atılırsa, -3x olur ve yeni eşitlik +6 +8 = 4x -3x haline gelir.
+6 +8 = 4x -3x eşitliği, 6 + 8 = 4x - 3x şeklinde yazılabilir.
6 + 8 = 4x - 3x eşitliği için:
eşitliğin sağ tarafında bulunan işlem yapılır. 4x değerinden, 3x değeri çıkarılır. 4 tane x sayısından, 3 tane x sayısı çıkarılırsa, geriye 1 tane x sayısı kalır. ( 4x - 3x = x )
Eşitliğin sol tarafında bulunan işlem yapılır. ( 6 + 8 = 14 )
6 + 8 = 4x - 3x eşitliğinin, solunda ve sağında yapılan işlemlerden sonra yeni eşitlik:
14 = x olur.
x değeri olan 14, en küçük çift sayıdır.
14 sayısından sonra gelen ardışık çift sayılar:
14 sayısının 2 fazlası olan 16 sayısı → ( 14 + 2 = 16 )
16 sayısının 2 fazlası olan 18 sayısı → ( 16 + 2 = 18 ) olur.
Ardışık üç çift sayının çarpımı:
14 . 16 . 18
14 sayısı → 7 . 2
16 sayısı → 2 . 2 . 2 . 2
18 sayısı → 2 . 3 . 3
şeklinde asal çarpanlarına ayrılır.
Ardışık üç sayının çarpımı, asal çarpanlarının çarpımları şeklinde yazılırsa:
7 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 3 . 3
İfadede, 7 sayısı çarpan olduğundan, 7 sayısına tam bölünür.
8 sayısı, 3 tane 2 sayısının çarpımı olarak yazılabilir. İfadede, 3 tane 2 sayısı çarpım durumunda olduğundan, 8 sayısına tam bölünür. ( 2 . 2 . 2 ) = 8
9 sayısı, 2 tane 3 sayısının çarpımı olarak yazılabilir. İfadede, 2 tane 3 sayısı çarpım durumunda olduğundan, 9 sayısına tam bölünür. ( 3 . 3 ) = 9
10 sayısı, 2 ile 5 sayısının çarpımı olarak yazılabilir. İfadede, 2 sayısı olmasına karşın, 5 sayısı yoktur. 10 sayısına tam bölünemez.
12 sayısı, 2 tane 2 sayısının çarpımı ile 3 sayısının çarpımı şeklinde yazılabilir. İfadede, 2 tane 2 sayısı çarpımı ile 3 sayısı çarpım durumunda olduğundan, 12 sayısına tam bölünür. ( 2 . 2 . 3 ) = 12
Üç sayı çarpılarak da, şıklarda olan sayılara tam bölünüp bölünemediği bulunabilir.
Yanıt: D şıkkı
Örnek - 13
1. dereceden bir bilinmeyenli denklem örnek soru 13 (kaynak: Supara):
Çözüm:
1. dereceden bir bilinmeyenli denklem örnek çözüm 13:
Kesirli iki ifade birbirine eşit ise, resimde görüldüğü gibi içler dışlar çarpımı yapılarak, çarpım durumunda eşitlenebilir. Büyük çarpı işaretini oluşturan çizgilerin birleştirdiği ifadeler, birbirleri ile çarpılır.
İçler dışlar çarpımı yapılan kesirli denklemdeki, çarpım durumunda olan ifadeler parantez içinde alınarak, aşağıdaki gibi yazılır.
( x - 1 ) . ( x + 1 ) = ( x + 2 ) . ( x - 3 )
( x - 1 ) . ( x + 1 ) işlemi, parantez açma işlemine benzer işlemdir.
( x - 1 ) . ( x + 1 ) → x bilinmeyenlerinin işaretleri görünür kılınır ve (+)x şeklinde yazılır.
İşlem, ( (+)x - 1 ) . ( (+)x + 1 ) halini alır.
( (+)x - 1 ) . ( (+)x + 1 ) → Toplama işleminin sembolü olan (+) işareti ve çıkarma işleminin sembolü olan (-) işareti, 1 sayılarının işareti olarak kabul edilebilir.
İşlem, ( (+)x (-)1 ) . ( (+)x (+)1 ) halini alır.
( (+)x (-)1 ) . ( (+)x (+)1 ) → Birinci parantez içindeki (+)x sayısı, ikinci parantez içindeki (+)x ve (+)1 sayıları ile çarpılır.
(+)x . (+)x = +x²
(+)x . (+)1 = +x
( (+)x (-)1 ) . ( (+)x (+)1 ) → Birinci parantez içindeki (-)1 sayısı, yine ikinci parantez içindeki (+)x ve (+)1 sayıları ile çarpılır.
(-)1 . (+)x = -x
(-)1 . (+)1 = -1
Çarpma işleminin sonuçları yan yana yazılırsa:
+x² +x -x -1 halini alır.
+x² +x -x -1 → işleminde, +x -x ifadesi, x - x şeklinde yazılabilir. x sayısından, x sayısı çıkarsa sonu. sıfır (0) olur. ( x - x = 0 ) Bu işlem, birbirine zıt işaretli, aynı iki değerin, birbirini götürmesi şeklinde açıklanır. Birbirini götüren iki değerin üstü çizilir.
+x² +
+x² -1 → x² -1 şeklinde yazılabilir.
( x - 1 ) . ( x + 1 ) işleminin sonucu → x² -1 olur.
( x + 2 ) . ( x - 3 ) işlemi de, parantez açma işlemine benzer işlemdir.
( x + 2 ) . ( x - 3 ) → x bilinmeyenlerinin işaretleri görünür kılınır ve (+)x şeklinde yazılır.
İşlem, ( (+)x + 2 ) . ( (+)x - 3 ) halini alır.
( (+)x + 2 ) . ( (+)x - 3 ) → Toplama işleminin sembolü olan (+) işareti, 2 sayısının işareti olarak kabul edilebilir. Çıkarma işleminin sembolü olan (-) işareti, 3 sayısının işareti olarak kabul edilebilir.
İşlem, ( (+)x (+)2 ) . ( (+)x (-)3 ) halini alır.
( (+)x (+)2 ) . ( (+)x (-)3 ) → Birinci parantez içindeki (+)x sayısı, ikinci parantez içindeki (+)x ve (-)3 sayıları ile çarpılır.
(+)x . (+)x = +x²
(+)x . (-)3 = -3x
( (+)x (+)2 ) . ( (+)x (-)3 ) → Birinci parantez içindeki (+)2 sayısı, yine ikinci parantez içindeki (+)x ve (+)1 sayıları ile çarpılır.
(+)2 . (+)x = +2x
(+)2 . (-)3 = -6
Çarpma işleminin sonuçları yan yana yazılırsa:
+x² -3x +2x -6 halini alır.
+x² -3x +2x -6 → işleminde, -3x +2x ifadesi, 2x - 3x şeklinde yazılabilir. 2 tane x sayısından, 3 tane x saysı çıkarsa, sonuç -1x olur.
-1x sayısı → (-) . 1 . x şeklinde yazılabilir. Çarpma işleminin etkisiz elemanı olan 1 sayısı, yazılmazsa, işlem (-) . x haline gelir. (-) . x işleminin sonucu -x olur. ( 2x - 3x = -x )
+x² -3x +2x -6 ifadesi → +x² -x -6 halini alır.
+x² -x -6 → x² -x -6 şeklinde yazılabilir.
( x + 2 ) . ( x - 3 ) işleminin sonucu → x² -x -6 olur.
( x - 1 ) . ( x + 1 ) = ( x + 2 ) . ( x - 3 ) eşitliği, parantez açma işlemlerinden sonra,
x² -1 = x² -x -6 halini alır.
x² -1 = x² -x -6 → eşitliğinde, bilinenler eşitliğin sağ tarafında, bilinmeyenler eşitliğin sol tarafında olacak şekilde işlemler yürütülür.
x² -x -6 ifadesinde, bilinmeyen x² -x ifadesi, eşitliğin sol tarafına atılır. x² -x ifadesinde, x² sayısının işareti görünür kılınır ve (+x²) şeklinde yazılır. x² -x ifadesi, +x² -x halini alır.
x² -1 = +x² -x -6 → eşitliğinde, +x² -x ifadesi, eşitliğin soluna atılırsa, +x² ve -x sayıları işaret değiştirir ve -x² +x haline gelir. Yeni eşitlik, x² -x² +x -1 = -6 halini alır.
x² -x² +x -1 = -6 → eşitliğinde, -1 sayısı, eşitliğin sağına atılırsa, +1 olur ve
yeni eşitlik x² -x² +x = -6 +1 haline gelir.
x² -x² +x = -6 +1 → eşitliği, en başta bulunan x² sayısının işareti görünür kılınarak:
+x² -x² +x = -6 +1 şeklinde yazılabilir.
+x² -x² işaretleri zıt olan, +x² ve -x² sayıları birbirini götürür ve bu sayıların üstleri çizilir.
+x = -6 +1 eşitliği → x = -6 + 1 şeklinde yazılabilir. -6 sayısı ile 1 sayısı toplandığında sonuç -5 olur.
x = -5
Ç = { -5 }
Not:
x² -1 = x² -x -6
denklemde, x² bilinmeyenlerinin, işlemlerin devamında birbirini götüreceği görülüp, işlem yapmadan üstleri çizilerek, işlem kolaylaştırılabilir.
Yorumlar
Yorum Gönder