Şu an 1. Bölüm görüntüleniyor...
Sayı aralıkları, Gerçek sayılar kümesinin sayı doğrusu olan, gerçek sayı doğrusunda gösterilir. Sayı doğrusunun sağ tarafı sonsuz sayıya (+ ∞) , sol tarafı ise eksi sonsuz (- ∞) sayıya giden sayıları temsil eder.
< → Küçüktür sembolüdür. ( a < 5 ) ifadesi, a sayısının, 5 sayısından küçük olduğu anlamına gelir. Başka bir ifadeyle, 5 sayısı, a sayısından büyüktür.
≤ → Küçük eşittir sembolüdür. ( a ≤ 5 ) ifadesi, a sayısının, 5 sayısına eşit veya 5 sayısından küçük olduğu anlamına gelir. Başka bir ifadeyle, 5 sayısı, a sayısına eşit veya a sayısından büyüktür.
Kapalı sayı aralıkları:
Sayı doğrusunda, sağ taraftaki ok, sonsuz sayıya (+ ∞) giden sayıları; sol taraftaki ok, eksi sonsuz sayıya (- ∞) giden sayıları ifade eder.
Resimde, gerçek sayılar kümesinin elemanı olan, x bilinmeyen sayısının, hangi sayı aralığında olduğu gösterilmiştir. x bilinmeyenin olabileceği sayı aralığı, sayı doğrusu üzerinde yeşil renk ile gösterilmiştir.
b sayısı, a sayısından büyük olduğu için, sayı doğrusu üzerinde sağ tarafta; a sayısı, b sayısından küçük olduğu için sayı doğrusu üzerinde sol tarafta gösterilir. (a < b)
Yeşil renkli daireler (içi dolu çemberler), x bilinmeyen sayısının, a ve b sayıları dahil olmak üzere, a ve b arasında olan bütün sayılar olabileceğini gösterir.
x bilinmeyenin olabileceği sayıların kümesi, [ a , b ] şeklinde gösterilir. Köşeli parantezler [ ] , a ve b sayılarının, [ a , b ] kümesinin elemanı olduğunu gösterir. a sayısının yanındaki köşeli parantez [ a , a sayısının dahil olduğunu, b sayısının yanındaki köşeli parantez b ] , b sayısının dahil olduğunu gösterir.
Kapalı sayı aralığı içindeki, tüm x sayılarını kapsayan küme, [ a , b ] şeklinde gösterilir.
[ a , b ] = { x | a ≤ x ≤ b , x ∈ R } ifadesi, [ a , b ] kümesinin elemanı olan, bilinmeyen x sayılarının tanımıdır.
Sarı renkte gösterilen x | ifadesi, tanımlanan bilinmeyenin x olduğunu gösterir.
a ≤ x ≤ b ifadesi, x sayısının en az a sayısı kadar (a sayısına eşit veya büyük) ve x sayısının en çok b sayısı kadar (b sayısına eşit veya küçük) olduğunu gösterir.
x ∈ R ifadesi, x bilinmeyeninin, Gerçek sayı olduğunu gösterir.
Örnek:
Kapalı sayı aralıkları örnek:
[ a , b ] = { x | a ≤ x ≤ b , x ∈ R } ifadesi örneklenirse;
a sayısı -2 olsun
b sayısı 2 olsun
[ -2 , 2 ] = { x | -2 ≤ x ≤ 2 , x ∈ R } tanımı, x sayısının -2 dahil olmak üzere -2 sayısından büyük; 2 sayısı yine dahil olmak üzere 2 sayısından küçük olduğu anlamına gelir.
Örnekte gösterilen sayı doğrusu [ -2 , 2 ] kümesidir. Sayı doğrusu üzerinde gösterilen sayılar, [ -2 , 2 ] kümesinin elemanı ise ∈ sembolü ile, elemanı değilse ∉ sembolü ile gösterilir.
-2 , -1 , 0 , 1 ve 2 ∈ [ -2 , 2 ] → -2 , -1 , 0 , 1 ve 2 sayıları, [ -2 , 2 ] kümesinin elemanıdır ve x bilinmeyeninin alabileceği sayı değerleridir.
-3 ve 3 ∉ [ -2 , 2 ] → -3 ve 3 sayıları, [ -2 , 2 ] kümesinin elemanı değildir ve x bilinmeyeninin alabileceği sayı değerleri değildir.
Açık sayı aralıkları:
Yeşil renkli içi boş çemberler, x bilinmeyen sayısının, a ve b sayıları hariç olmak üzere, a ve b arasında olan bütün sayılar olabileceğini gösterir.
x bilinmeyenin olabileceği sayıların kümesi, ( a , b ) şeklinde gösterilir. Parantezler ( ) , a ve b sayılarının, ( a , b ) kümesinin elemanı olmadığını gösterir. a sayısının yanındaki parantez ( a , a sayısının dahil olmadığını, b sayısının yanındaki parantez b ) , b sayısının dahil olmadığını gösterir.
Açık sayı aralığı içindeki, tüm x sayılarını kapsayan küme, ( a , b ) şeklinde gösterilir.
( a , b ) = { x | a < x < b , x ∈ R } ifadesi, ( a , b ) kümesinin elemanı olan, bilinmeyen x sayılarının tanımıdır.
Yine sarı renkte gösterilen x | ifadesi, tanımlanan bilinmeyenin x olduğunu gösterir.
a < x < b ifadesi, x sayısının a sayısından büyük ve x sayısının b sayısından küçük olduğunu gösterir.
x ∈ R ifadesi, x bilinmeyeninin, Gerçek sayı olduğunu gösterir.
Örnek:
Açık sayı aralıkları örnek:
( a , b ) = { x | a < x < b , x ∈ R } ifadesi örneklenirse;
a sayısı -2 olsun
b sayısı 2 olsun
( -2 , 2 ) = { x | -2 < x < 2 , x ∈ R } tanımı, x sayısının -2 hariç olmak üzere -2 sayısından büyük; 2 sayısı yine hariç olmak üzere 2 sayısından küçük olduğu anlamına gelir.
Örnekte gösterilen sayı doğrusu ( -2 , 2 ) kümesidir. Sayı doğrusu üzerinde gösterilen sayılar, ( -2 , 2 ) kümesinin elemanı ise ∈ sembolü ile, elemanı değilse ∉ sembolü ile gösterilir.
-1 , 0 ve 1 ∈ ( -2 , 2 ) → -1 , 0 ve 1 sayıları, ( -2 , 2 ) kümesinin elemanıdır ve x bilinmeyeninin alabileceği sayı değerleridir.
-3 , -2 , 2 ve 3 ∉ ( -2 , 2 ) → -3 , -2 , 2 ve 3 sayıları, ( -2 , 2 ) kümesinin elemanı değildir ve x bilinmeyeninin alabileceği sayı değerleri değildir.
a ve b ∈ R için, a < b olmak üzere (Gerçek sayılar kümesinin elamanı olan a ve b sayıları için, b sayısı, a sayısından büyük olmak üzere)
Yarı açık (yarı kapalı) sayı aralıkları - 1:
Küçük sayı olan a sayısına ait yeşil renkli içi boş çember, x bilinmeyen sayısının, a sayısı hariç,
büyük sayı olan b sayısına ait yeşil renkli içi dolu çember, x bilinmeyen sayısının, b sayısı dahil,
olmak üzere, a ve b arasında olan bütün sayılar olabileceğini gösterir.
x bilinmeyenin olabileceği sayıların kümesi, ( a , b ] şeklinde gösterilir. a sayısının yanındaki parantez ( a , a sayısının dahil olmadığını, b sayısının yanındaki köşeli parantez b ] , b sayısının dahil olduğunu gösterir.
Küçük sayının açık, büyük sayının kapalı olduğu, yarı açık (yarı kapalı) sayı aralığı içindeki, tüm x sayılarını kapsayan küme, ( a , b ] şeklinde gösterilir.
( a , b ] = { x | a < x ≤ b , x ∈ R } ifadesi, ( a , b ] kümesinin elemanı olan, bilinmeyen x sayılarının tanımıdır.
Yine sarı renkte gösterilen x | ifadesi, tanımlanan bilinmeyenin x olduğunu gösterir.
a < x ≤ b ifadesi, x sayısının a sayısından büyük ve x sayısının en çok b sayısı kadar (b sayısına eşit veya küçük) olduğunu gösterir.
x ∈ R ifadesi, x bilinmeyeninin, Gerçek sayı olduğunu gösterir.
Örnek:
Yarı açık (yarı kapalı) sayı aralıkları örnek - 1:
( a , b ] = { x | a < x ≤ b , x ∈ R } ifadesi örneklenirse;
a sayısı -2 olsun
b sayısı 2 olsun
( -2 , 2 ] = { x | -2 < x ≤ 2 , x ∈ R } tanımı, x sayısının -2 hariç olmak üzere -2 sayısından büyük; 2 sayısı dahil olmak üzere 2 sayısından küçük olduğu anlamına gelir.
Örnekte gösterilen sayı doğrusu ( -2 , 2 ] kümesidir. Sayı doğrusu üzerinde gösterilen sayılar, ( -2 , 2 ] kümesinin elemanı ise ∈ sembolü ile, elemanı değilse ∉ sembolü ile gösterilir.
-1 , 0 , 1 ve 2 ∈ ( -2 , 2 ] → -1 , 0 , 1 ve 2 sayıları, ( -2 , 2 ] kümesinin elemanıdır ve x bilinmeyeninin alabileceği sayı değerleridir.
-3 , -2 ve 3 ∉ ( -2 , 2 ] → -3 , -2 ve 3 sayıları, ( -2 , 2 ] kümesinin elemanı değildir ve x bilinmeyeninin alabileceği sayı değerleri değildir.
a sayısı kapalı, b sayısı açık ise:
a ve b ∈ R için, a < b olmak üzere (Gerçek sayılar kümesinin elamanı olan a ve b sayıları için, b sayısı, a sayısından büyük olmak üzere)
Yarı açık (yarı kapalı) sayı aralıkları - 2:
Küçük sayı olan a sayısına ait yeşil renkli içi dolu çember, x bilinmeyen sayısının, a sayısı dahil,
büyük sayı olan b sayısına ait yeşil renkli içi boş çember, x bilinmeyen sayısının, b sayısı hariç,
olmak üzere, a ve b arasında olan bütün sayılar olabileceğini gösterir.
x bilinmeyenin olabileceği sayıların kümesi, [ a , b ) şeklinde gösterilir. a sayısının yanındaki köşeli parantez [ a , a sayısının dahil olduğunu, b sayısının yanındaki parantez b ) , b sayısının dahil olmadığını gösterir.
Küçük sayının kapalı, büyük sayının açık olduğu, yarı açık (yarı kapalı) sayı aralığı içindeki, tüm x sayılarını kapsayan küme, [ a , b ) şeklinde gösterilir.
[ a , b ) = { x | a ≤ x < b , x ∈ R } ifadesi, [ a , b ) kümesinin elemanı olan, bilinmeyen x sayılarının tanımıdır.
Yine sarı renkte gösterilen x | ifadesi, tanımlanan bilinmeyenin x olduğunu gösterir.
a ≤ x < b ifadesi, x sayısının en az a sayısı kadar (a sayısına eşit veya büyük) ve x sayısının b sayısından küçük olduğunu gösterir.
x ∈ R ifadesi, x bilinmeyeninin, Gerçek sayı olduğunu gösterir.
Örnek:
Yarı açık (yarı kapalı) sayı aralıkları örnek - 2:
[ a , b ) = { x | a ≤ x < b , x ∈ R } ifadesi örneklenirse;
a sayısı -2 olsun
b sayısı 2 olsun
[ -2 , 2 ) = { x | -2 ≤ x < 2 , x ∈ R } tanımı, x sayısının -2 dahil olmak üzere -2 sayısından büyük; 2 sayısı hariç olmak üzere 2 sayısından küçük olduğu anlamına gelir.
Örnekte gösterilen sayı doğrusu [ -2 , 2 ) kümesidir. Sayı doğrusu üzerinde gösterilen sayılar, [ -2 , 2 ) kümesinin elemanı ise ∈ sembolü ile, elemanı değilse ∉ sembolü ile gösterilir.
-2 , -1 , 0 ve 1 ∈ [ -2 , 2 ) → -2 , -1 , 0 ve 1 sayıları, [ -2 , 2 ) kümesinin elemanıdır ve x bilinmeyeninin alabileceği sayı değerleridir.
-3 , 2 ve 3 ∉ [ -2 , 2 ) → -3 , 2 ve 3 sayıları, [ -2 , 2 ) kümesinin elemanı değildir ve x bilinmeyeninin alabileceği sayı değerleri değildir.
Not:
Gerçek sayı doğrusunun örneği verilen aralıkları içinde, sadece -2 , -1 , 0 , 1 ve 2 sayıları yoktur. Köklü sayılar, üslü sayılar ve sonsuz sayıda kesirli rasyonel sayı vardır. Örneği verilen aralıklar içindeki x değeri, sonsuz sayıda değer alabilir. Aralıkların anlaşılması açısından, sadece tam sayılar ile örneklendirilmiştir.
a ∈ R olmak üzere (a sayısı, Gerçek sayılar kümesinin elemanı olmak üzere), a sayısı dahil, a sayısından büyük tüm gerçek sayılardan oluşan aralıktır. Sayı doğrusunun sağ tarafındaki sayılar, sonsuza (+ ∞) giden sayılardır.
Kapalı üst sonsuz sayı aralıkları:
Yeşil renkli içi dolu çember, x bilinmeyen sayısının alabileceği değerler arasında, a sayısının da olduğu (dahil olduğu) anlamına gelir. Sağ tarafa doğru giden yeşil çizgi ve ok ise, x bilinmeyen sayısının alabileceği değerlerin, a sayısından büyük, sonsuza (+ ∞) giden tüm gerçek sayılar olduğu anlamına gelir. x sayısının alabileceği değerler, a sayısı dahil olmak üzere, sonsuza (+ ∞) giden tüm gerçek sayılardır.
x bilinmeyenin olabileceği sayıların kümesi, [ a , + ∞ ) şeklinde gösterilir. a sayısının yanındaki köşeli parantez [ a , a sayısının dahil olduğunu, sonsuzluk sembolünün yanındaki parantez + ∞ ) , sonsuz sayıya giden tüm sayıların, x bilinmeyenin değeri olabileceği anlamına gelir.
Kapalı üst sonsuz sayı aralığı içindeki, tüm x sayılarını kapsayan küme, [ a , + ∞ ) şeklinde gösterilir.
[ a , + ∞ ) = { x | a ≤ x ve x ∈ R } ifadesi, [ a , + ∞ ) kümesinin elemanı olan, bilinmeyen x sayılarının tanımıdır.
Yine sarı renkte gösterilen x | ifadesi, tanımlanan bilinmeyenin x olduğunu gösterir.
a ≤ x ifadesi, x sayısının, a sayısı dahil olmak üzere, a sayısından büyük olduğunu gösterir.
x ∈ R ifadesi, x bilinmeyeninin, Gerçek sayı olduğunu gösterir.
Örneğin:
a = 10 olsun
[ 10 , + ∞ ) = { x | 10 ≤ x ve x ∈ R } ifadesi için
x = {10 , 11 , 12 , ....... + ∞} kümesi, x değerinin alabileceği tam sayılar kümesidir.
Açık üst sonsuz sayı aralıkları:
a ∈ R olmak üzere (a sayısı, Gerçek sayılar kümesinin elemanı olmak üzere), a sayısı hariç, a sayısından büyük tüm gerçek sayılardan oluşan aralıktır. Sayı doğrusunun sağ tarafındaki sayılar, sonsuza (+ ∞) giden sayılardır.
Açık üst sonsuz sayı aralıkları:
Yeşil renkli içi boş çember, x bilinmeyen sayısının alabileceği değerler arasında, a sayısının olmadığı (hariç olduğu) anlamına gelir. Sağ tarafa doğru giden yeşil çizgi ve ok ise, x bilinmeyen sayısının alabileceği değerlerin, a sayısından büyük, sonsuza (+ ∞) giden tüm gerçek sayılar olduğu anlamına gelir. x sayısının alabileceği değerler, a sayısı hariç olmak üzere, sonsuza (+ ∞) giden tüm gerçek sayılardır.
x bilinmeyenin olabileceği sayıların kümesi, ( a , + ∞ ) şeklinde gösterilir. a sayısının yanındaki parantez ( a , a sayısının hariç olduğunu, sonsuzluk sembolünün yanındaki parantez + ∞ ), sonsuz sayıya giden tüm sayıların, x bilinmeyenin değeri olabileceği anlamına gelir.
Açık üst sonsuz sayı aralığı içindeki, tüm x sayılarını kapsayan küme, ( a , + ∞ ) şeklinde gösterilir.
( a , + ∞ ) = { x | a < x ve x ∈ R } ifadesi, ( a , + ∞ ) kümesinin elemanı olan, bilinmeyen x sayılarının tanımıdır.
Yine sarı renkte gösterilen x | ifadesi, tanımlanan bilinmeyenin x olduğunu gösterir.
a < x ifadesi, x sayısının, a sayısı hariç olmak üzere, a sayısından büyük olduğunu gösterir.
x ∈ R ifadesi, x bilinmeyeninin, Gerçek sayı olduğunu gösterir.
Örneğin:
a = 10 olsun
( 10 , + ∞ ) = { x | 10 < x ve x ∈ R } ifadesi için
x = {11 , 12 , ....... , + ∞} kümesi, x değerinin alabileceği tam sayılar kümesidir.
a ∈ R olmak üzere (a sayısı, Gerçek sayılar kümesinin elemanı olmak üzere), a sayısı dahil, a sayısından küçük tüm gerçek sayılardan oluşan aralıktır. Sayı doğrusunun sol tarafındaki sayılar, eksi sonsuza (- ∞) giden sayılardır.
Kapalı alt sonsuz sayı aralıkları:
Yeşil renkli içi dolu çember, x bilinmeyen sayısının alabileceği değerler arasında, a sayısının da olduğu (dahil olduğu) anlamına gelir. Sol tarafa doğru giden yeşil çizgi ve ok ise, x bilinmeyen sayısının alabileceği değerlerin, a sayısından küçük, eksi sonsuza (- ∞) giden tüm gerçek sayılar olduğu anlamına gelir. x sayısının alabileceği değerler, a sayısı dahil olmak üzere, eksi sonsuza (- ∞) giden tüm gerçek sayılardır.
x bilinmeyenin olabileceği sayıların kümesi, ( - ∞ , a ] şeklinde gösterilir. a sayısının yanındaki köşeli parantez a ] , a sayısının dahil olduğunu, eksi sonsuz sembolünün yanındaki parantez ( - ∞ , eksi sonsuz sayıya giden tüm sayıların, x bilinmeyenin değeri olabileceği anlamına gelir.
Kapalı alt sonsuz sayı aralığı içindeki, tüm x sayılarını kapsayan küme, ( - ∞ , a ] şeklinde gösterilir.
( - ∞ , a ] = { x | x ≤ a ve x ∈ R } ifadesi, ( - ∞ , a ] kümesinin elemanı olan, bilinmeyen x sayılarının tanımıdır.
Yine sarı renkte gösterilen x | ifadesi, tanımlanan bilinmeyenin x olduğunu gösterir.
x ≤ a ifadesi, x sayısının, a sayısı dahil olmak üzere, a sayısından küçük olduğunu gösterir.
x ∈ R ifadesi, x bilinmeyeninin, Gerçek sayı olduğunu gösterir.
Örneğin:
a = 10 olsun
( - ∞ , 10 ] = { x | x ≤ 10 ve x ∈ R } ifadesi için
x = { - ∞ , ....... , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10} kümesi, x değerinin alabileceği tam sayılar kümesidir.
Açık alt sonsuz sayı aralıkları:
a ∈ R olmak üzere (a sayısı, Gerçek sayılar kümesinin elemanı olmak üzere), a sayısı hariç, a sayısından küçük tüm gerçek sayılardan oluşan aralıktır. Sayı doğrusunun sol tarafındaki sayılar, eksi sonsuza (- ∞) giden sayılardır.
Açık alt sonsuz sayı aralıkları:
Yeşil renkli içi boş çember, x bilinmeyen sayısının alabileceği değerler arasında, a sayısının olmadığı (hariç olduğu) anlamına gelir. Sol tarafa doğru giden yeşil çizgi ve ok ise, x bilinmeyen sayısının alabileceği değerlerin, a sayısından küçük, eksi sonsuza (- ∞) giden tüm gerçek sayılar olduğu anlamına gelir. x sayısının alabileceği değerler, a sayısı hariç olmak üzere, eksi sonsuza (- ∞) giden tüm gerçek sayılardır.
x bilinmeyenin olabileceği sayıların kümesi, ( - ∞ , a ) şeklinde gösterilir. a sayısının yanındaki parantez a ) , a sayısının hariç olduğunu, eksi sonsuz sembolünün yanındaki parantez ( - ∞, eksi sonsuz sayıya giden tüm sayıların, x bilinmeyenin değeri olabileceği anlamına gelir.
Açık alt sonsuz sayı aralığı içindeki, tüm x sayılarını kapsayan küme, ( - ∞ , a ) şeklinde gösterilir.
( - ∞ , a ) = { x | x < a ve x ∈ R } ifadesi, ( - ∞ , a ) kümesinin elemanı olan, bilinmeyen x sayılarının tanımıdır.
Yine sarı renkte gösterilen x | ifadesi, tanımlanan bilinmeyenin x olduğunu gösterir.
x < a ifadesi, x sayısının, a sayısı hariç olmak üzere, a sayısından küçük olduğunu gösterir.
x ∈ R ifadesi, x bilinmeyeninin, Gerçek sayı olduğunu gösterir.
Örneğin:
a = 10 olsun
( - ∞ , 10 ) = { x | x < 10 ve x ∈ R } ifadesi için
x = { - ∞ , ....... , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9} kümesi, x değerinin alabileceği tam sayılar kümesidir.
Gerçek sayı doğrusu aralığı:
Sağ tarafa doğru giden yeşil çizgi ve ok, x bilinmeyen sayısının alabileceği değerlerin, sonsuza (+ ∞) giden tüm gerçek sayılar olduğu anlamına gelir. Sol tarafa doğru giden yeşil çizgi ve ok, x bilinmeyen sayısının alabileceği değerlerin, eksi sonsuza (- ∞) giden tüm gerçek sayılar olduğu anlamına gelir.
x bilinmeyenin olabileceği sayıların kümesi, ( - ∞ , + ∞ ) şeklinde gösterilir. eksi sonsuz yanındaki parantez ( - ∞ , eksi sonsuz sayıya giden tüm sayıların, x bilinmeyenin değeri olabileceği, sonsuzluk sembolünün yanındaki parantez + ∞ ), sonsuz sayıya giden tüm sayıların, x bilinmeyenin değeri olabileceği anlamına gelir.
Gerçek sayı doğrusu aralığı içindeki, tüm x sayılarını kapsayan küme, ( - ∞ , + ∞ ) şeklinde gösterilir.
( - ∞ , + ∞ ) = { x | - ∞ < x < + ∞ , x ∈ R } ifadesi, ( - ∞ , + ∞ ) kümesinin elemanı olan, bilinmeyen x sayılarının tanımıdır.
Yine sarı renkte gösterilen x | ifadesi, tanımlanan bilinmeyenin x olduğunu gösterir.
- ∞ < x < + ∞ ifadesi, x sayısının, tüm gerçek sayılar olabileceği anlamına gelir.
x ∈ R ifadesi, x bilinmeyeninin, Gerçek sayı olduğunu gösterir.
( - ∞ , + ∞ ) = { x | - ∞ < x < + ∞ , x ∈ R } ifadesi için
x = {- ∞ , ...... , -3 , -2 , - 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , ....... , + ∞} kümesi, x değerinin alabileceği tam sayılar kümesidir.
Not:
Artı sonsuz (+ ∞) ve sonsuz ifadeleri (∞) aynı şeyi ifade ederler. (+ ∞) gösterimi, (+) işareti kullanılmadan, sadece (∞) sembolü ile ifade edilebilir.
A = (-3 , 2]
B = [-2 , 4)
olduğuna göre, A ∩ B kümesinin gerçek sayı doğrusu üzerindeki gösterimi aşağıdakilerden hangisidir? (kaynak: Supara)
Çözüm:
Sayı aralıkları örnek soru çözümü - 1:
A = (-3 , 2] sayı aralığı kümesi için:
-3 sayısının yanında, parantez olduğu için, -3 sayısı, sayı aralığına dahil değildir.
2 sayısının yanında, köşeli parantez olduğu için, 2 sayısı, sayı aralığına dahildir.
A = (-3 , 2] kümesinin elemanları → { -2 , -1 , 0 , 1 , 2 }
B = [-2 , 4) sayı aralığı kümesi için:
-2 sayısının yanında, köşeli parantez olduğu için, -2 sayısı, sayı aralığına dahildir.
4 sayısının yanında, parantez olduğu için, 4 sayısı, sayı aralığına dahil değildir.
B = [-2 , 4) kümesinin elemanları → { -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 }
A ∩ B kesişim kümesinin elemanları, hem A kümesinde, hem de B kümesinde bulunan elemanlardır.
A = { -2 , -1 , 0 , 1 , 2 }
B = { -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 }
A ∩ B = { -2 , -1 , 0 , 1 , 2 }
-2 , -1 , 0 , 1 , 2 sayıları, gerçek sayı doğrusu üzerinde, 4 farklı şekilde gösterilebilir.
[-2 , 2] → { -2 , -1 , 0 , 1 , 2 }
(-3 , 3) → { -2 , -1 , 0 , 1 , 2 }
(-3 , 2] → { -2 , -1 , 0 , 1 , 2 }
[-2 , 3) → { -2 , -1 , 0 , 1 , 2 }
Örnek - 2
A = {x: -1 ≤ x < 3 , x ∈ R}
kümesi veriliyor.
Buna göre, A' kümesinin gerçek sayı doğrusu üzerindeki gösterimi aşağıdakilerden hangisidir? (kaynak: Supara)
Çözüm:
Sayı aralıkları örnek soru çözümü - 2:
A = {x: -1 ≤ x < 3 , x ∈ R} ifadesi için:
x: → x sayısının tanımıdır.
-1 ≤ x < 3 → x sayısının, -1 dahil olmak üzere, -1 sayısından büyük; 3 sayısı hariç olmak üzere, 3 sayısından küçük olduğu anlamına gelir.
x ∈ R → x bilinmeyen sayısı, Gerçek sayılar kümesinin elemanıdır.
-1 ≤ x < 3 ifadesi için, A kümesinin elemanları olan x bilinmeyen sayıları:
A = { -1 , 0 , 1 , 2} → x sayısının alabileceği değerler.
A' kümesi, A kümesini tümleyen kümedir. Başka bir ifadeyle, A kümesinin tümleyenidir.
Gerçek sayılar kümesi bir bütün ise, A kümesini, gerçek sayılar kümesine tümleyen (bütünleyen) kümedir.
A kümesini oluşturan x sayıları, tanıma göre -1 , 0 , 1 ve 2 sayılarıdır. Bu sayıların haricindeki, gerçek sayılar, A kümesinin tümleyeni olur.
A' = { - ∞ ... , -2 , - , 3 , ... ∞} kümesinde, kırmızı ile gösterilen yerden, A = { -1 , 0 , 1 , 2} kümesi çıkarılmamış olsaydı, bu küme gerçek sayılar kümesi olurdu.
A' kümesi, sayı doğrusu üzerinde, 4 farklı şekilde gösterilebilir.
(- ∞ , -1 ) ∪ ( 2 , ∞ )
(- ∞ , -1 ) ∪ [ 3 , ∞ )
(- ∞ , -2 ] ∪ ( 2 , ∞ )
(- ∞ , -2 ] ∪ [ 3 , ∞ )
Örnek - 3
A = { x: x < -4 , x ∈ R }
B = { x: -6 < x ≤ -1 , x ∈ R }
kümeleri veriliyor.
Buna göre, A' ∪ B' kümesi aşağıdakilerden hangisidir? (kaynak: Supara)
Çözüm:
A = { x: x < -4 , x ∈ R } kümesi için:
x: → x bilinmeyen sayısının tanımdır.
x < -4 → x bilinmeyeni, -4 haricinde, -4 sayısından küçük sayılardır.
x ∈ R → x bilinmeyeni, Gerçek sayılar kümesinin elemanıdır.
A = { -∞ , ... , -6 , -5 } → x bilinmeyenin alabileceği değerler, -4 sayısı hariç olmak üzere, -4 sayısından küçük, eksi sonsuza giden tüm sayılardır.
A' kümesi, A kümesinin tümleyen (bütünleyen) kümesidir. A kümesini, bütün olan Gerçek sayılar kümesine bütünler.
A = { -∞ , ... , -6 , -5 }
A' = { - , -4 , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , ... , ∞ } kümesinde, kırmızı renkle gösterilen yerde A kümesi olasaydı, bu küme, gerçek sayılar kümesi olurdu.
B = { x: -6 < x ≤ -1 , x ∈ R } kümesi için:
x: → x bilinmeyen sayısının tanımdır.
-6 < x ≤ -1 → x bilinmeyeni, -6 haricinde, -6 sayısından küçük; -1 sayısı dahil olmak üzere, -1 sayısından büyük sayılardır.
x ∈ R → x bilinmeyeni, Gerçek sayılar kümesinin elemanıdır.
B = { -5 , -4 , -3 , -2 , -1 } → x bilinmeyenin alabileceği değerler, -5 , -4 , -3 , -2 ve -1 sayılarıdır.
B' kümesi, B kümesinin tümleyen (bütünleyen) kümesidir. B kümesini, bütün olan Gerçek sayılar kümesine bütünler.
B = { -5 , -4 , -3 , -2 , -1 }
B' = { -∞ , ... , -7 , -6 , - , 0 , 1 , ... , ∞ } kümesinde, mavi renkle gösterilen yerde B kümesi olasaydı, bu küme, gerçek sayılar kümesi olurdu.
A' ∪ B' birleşim kümesinde, tüm birleşim kümelerinde olduğu gibi, aynı eleman iki kez yazılmaz. Her eleman bir kez yazılır.
A' = { -4 , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , ... , ∞ }
B' = { -∞ , ... , -7 , -6 , 0 , 1 , ... , ∞ }
B' kümesinde yeşil renk ile gösterilen elemanlar, A' kümesinde yoktur. Bu elemanlar yazılır.
(-∞ , -6]
A' kümesinde mor renk ile gösterilen elemanlar, B' kümesinde yoktur. Bu elemanlar yazılır.
[-4 , -1]
Her iki kümede bulunan sarı renk ile gösterilen elemanlar, bir kez yazılır.
[0 , ∞)
Sadece A' kümesinde bulunan mor renkli elemanlar ile her iki kümede bulunan sarı renkli elemanlar birleştirilir.
A' kümesine bakıldığında, mor ve sarı renkli elemanların, -4 sayısı dahil olmak üzere, -4 sayısından büyük, artı sonsuza giden tüm sayılar olduğu görülür.
[-4 , -1] ve [0 , ∞) → [-4 , ∞)
Birleştirilen kümeye, sadece B' kümesinde bulunan elemanlar eklenir.
(-∞ , -6] ∪ [-4 , ∞)
Gerçek Sayılar Kümesinde Aralıklar
Sayı aralıkları, x ∈ R olmak üzere (x sayısı, gerçek sayılar kümesinin elemanı olmak üzere), x bilinmeyeninin hangi sayı aralığında bulunduğunu gösterirler. Bilinmeyen olarak tanımlanan sayılar, harflerle ifade edilir. (x , y , z , a , b , c gibi)Sayı aralıkları, Gerçek sayılar kümesinin sayı doğrusu olan, gerçek sayı doğrusunda gösterilir. Sayı doğrusunun sağ tarafı sonsuz sayıya (+ ∞) , sol tarafı ise eksi sonsuz (- ∞) sayıya giden sayıları temsil eder.
< → Küçüktür sembolüdür. ( a < 5 ) ifadesi, a sayısının, 5 sayısından küçük olduğu anlamına gelir. Başka bir ifadeyle, 5 sayısı, a sayısından büyüktür.
≤ → Küçük eşittir sembolüdür. ( a ≤ 5 ) ifadesi, a sayısının, 5 sayısına eşit veya 5 sayısından küçük olduğu anlamına gelir. Başka bir ifadeyle, 5 sayısı, a sayısına eşit veya a sayısından büyüktür.
Kapalı Sayı Aralıkları
a ve b ∈ R için, a < b olmak üzere (Gerçek sayılar kümesinin elamanı olan a ve b sayıları için, b sayısı, a sayısından büyük olmak üzere)Kapalı sayı aralıkları:
Sayı doğrusunda, sağ taraftaki ok, sonsuz sayıya (+ ∞) giden sayıları; sol taraftaki ok, eksi sonsuz sayıya (- ∞) giden sayıları ifade eder.
Resimde, gerçek sayılar kümesinin elemanı olan, x bilinmeyen sayısının, hangi sayı aralığında olduğu gösterilmiştir. x bilinmeyenin olabileceği sayı aralığı, sayı doğrusu üzerinde yeşil renk ile gösterilmiştir.
b sayısı, a sayısından büyük olduğu için, sayı doğrusu üzerinde sağ tarafta; a sayısı, b sayısından küçük olduğu için sayı doğrusu üzerinde sol tarafta gösterilir. (a < b)
Yeşil renkli daireler (içi dolu çemberler), x bilinmeyen sayısının, a ve b sayıları dahil olmak üzere, a ve b arasında olan bütün sayılar olabileceğini gösterir.
x bilinmeyenin olabileceği sayıların kümesi, [ a , b ] şeklinde gösterilir. Köşeli parantezler [ ] , a ve b sayılarının, [ a , b ] kümesinin elemanı olduğunu gösterir. a sayısının yanındaki köşeli parantez [ a , a sayısının dahil olduğunu, b sayısının yanındaki köşeli parantez b ] , b sayısının dahil olduğunu gösterir.
Kapalı sayı aralığı içindeki, tüm x sayılarını kapsayan küme, [ a , b ] şeklinde gösterilir.
[ a , b ] = { x | a ≤ x ≤ b , x ∈ R } ifadesi, [ a , b ] kümesinin elemanı olan, bilinmeyen x sayılarının tanımıdır.
Sarı renkte gösterilen x | ifadesi, tanımlanan bilinmeyenin x olduğunu gösterir.
a ≤ x ≤ b ifadesi, x sayısının en az a sayısı kadar (a sayısına eşit veya büyük) ve x sayısının en çok b sayısı kadar (b sayısına eşit veya küçük) olduğunu gösterir.
x ∈ R ifadesi, x bilinmeyeninin, Gerçek sayı olduğunu gösterir.
Örnek:
Kapalı sayı aralıkları örnek:
[ a , b ] = { x | a ≤ x ≤ b , x ∈ R } ifadesi örneklenirse;
a sayısı -2 olsun
b sayısı 2 olsun
[ -2 , 2 ] = { x | -2 ≤ x ≤ 2 , x ∈ R } tanımı, x sayısının -2 dahil olmak üzere -2 sayısından büyük; 2 sayısı yine dahil olmak üzere 2 sayısından küçük olduğu anlamına gelir.
Örnekte gösterilen sayı doğrusu [ -2 , 2 ] kümesidir. Sayı doğrusu üzerinde gösterilen sayılar, [ -2 , 2 ] kümesinin elemanı ise ∈ sembolü ile, elemanı değilse ∉ sembolü ile gösterilir.
-2 , -1 , 0 , 1 ve 2 ∈ [ -2 , 2 ] → -2 , -1 , 0 , 1 ve 2 sayıları, [ -2 , 2 ] kümesinin elemanıdır ve x bilinmeyeninin alabileceği sayı değerleridir.
-3 ve 3 ∉ [ -2 , 2 ] → -3 ve 3 sayıları, [ -2 , 2 ] kümesinin elemanı değildir ve x bilinmeyeninin alabileceği sayı değerleri değildir.
Açık Sayı Aralıkları
a ve b ∈ R için, a < b olmak üzere (Gerçek sayılar kümesinin elamanı olan a ve b sayıları için, b sayısı, a sayısından büyük olmak üzere)Açık sayı aralıkları:
Yeşil renkli içi boş çemberler, x bilinmeyen sayısının, a ve b sayıları hariç olmak üzere, a ve b arasında olan bütün sayılar olabileceğini gösterir.
x bilinmeyenin olabileceği sayıların kümesi, ( a , b ) şeklinde gösterilir. Parantezler ( ) , a ve b sayılarının, ( a , b ) kümesinin elemanı olmadığını gösterir. a sayısının yanındaki parantez ( a , a sayısının dahil olmadığını, b sayısının yanındaki parantez b ) , b sayısının dahil olmadığını gösterir.
Açık sayı aralığı içindeki, tüm x sayılarını kapsayan küme, ( a , b ) şeklinde gösterilir.
( a , b ) = { x | a < x < b , x ∈ R } ifadesi, ( a , b ) kümesinin elemanı olan, bilinmeyen x sayılarının tanımıdır.
Yine sarı renkte gösterilen x | ifadesi, tanımlanan bilinmeyenin x olduğunu gösterir.
a < x < b ifadesi, x sayısının a sayısından büyük ve x sayısının b sayısından küçük olduğunu gösterir.
x ∈ R ifadesi, x bilinmeyeninin, Gerçek sayı olduğunu gösterir.
Örnek:
Açık sayı aralıkları örnek:
( a , b ) = { x | a < x < b , x ∈ R } ifadesi örneklenirse;
a sayısı -2 olsun
b sayısı 2 olsun
( -2 , 2 ) = { x | -2 < x < 2 , x ∈ R } tanımı, x sayısının -2 hariç olmak üzere -2 sayısından büyük; 2 sayısı yine hariç olmak üzere 2 sayısından küçük olduğu anlamına gelir.
Örnekte gösterilen sayı doğrusu ( -2 , 2 ) kümesidir. Sayı doğrusu üzerinde gösterilen sayılar, ( -2 , 2 ) kümesinin elemanı ise ∈ sembolü ile, elemanı değilse ∉ sembolü ile gösterilir.
-1 , 0 ve 1 ∈ ( -2 , 2 ) → -1 , 0 ve 1 sayıları, ( -2 , 2 ) kümesinin elemanıdır ve x bilinmeyeninin alabileceği sayı değerleridir.
-3 , -2 , 2 ve 3 ∉ ( -2 , 2 ) → -3 , -2 , 2 ve 3 sayıları, ( -2 , 2 ) kümesinin elemanı değildir ve x bilinmeyeninin alabileceği sayı değerleri değildir.
Yarı Açık (Yarı Kapalı) Sayı Aralıkları
a sayısı açık, b sayısı kapalı ise:a ve b ∈ R için, a < b olmak üzere (Gerçek sayılar kümesinin elamanı olan a ve b sayıları için, b sayısı, a sayısından büyük olmak üzere)
Yarı açık (yarı kapalı) sayı aralıkları - 1:
Küçük sayı olan a sayısına ait yeşil renkli içi boş çember, x bilinmeyen sayısının, a sayısı hariç,
büyük sayı olan b sayısına ait yeşil renkli içi dolu çember, x bilinmeyen sayısının, b sayısı dahil,
olmak üzere, a ve b arasında olan bütün sayılar olabileceğini gösterir.
x bilinmeyenin olabileceği sayıların kümesi, ( a , b ] şeklinde gösterilir. a sayısının yanındaki parantez ( a , a sayısının dahil olmadığını, b sayısının yanındaki köşeli parantez b ] , b sayısının dahil olduğunu gösterir.
Küçük sayının açık, büyük sayının kapalı olduğu, yarı açık (yarı kapalı) sayı aralığı içindeki, tüm x sayılarını kapsayan küme, ( a , b ] şeklinde gösterilir.
( a , b ] = { x | a < x ≤ b , x ∈ R } ifadesi, ( a , b ] kümesinin elemanı olan, bilinmeyen x sayılarının tanımıdır.
Yine sarı renkte gösterilen x | ifadesi, tanımlanan bilinmeyenin x olduğunu gösterir.
a < x ≤ b ifadesi, x sayısının a sayısından büyük ve x sayısının en çok b sayısı kadar (b sayısına eşit veya küçük) olduğunu gösterir.
x ∈ R ifadesi, x bilinmeyeninin, Gerçek sayı olduğunu gösterir.
Örnek:
Yarı açık (yarı kapalı) sayı aralıkları örnek - 1:
( a , b ] = { x | a < x ≤ b , x ∈ R } ifadesi örneklenirse;
a sayısı -2 olsun
b sayısı 2 olsun
( -2 , 2 ] = { x | -2 < x ≤ 2 , x ∈ R } tanımı, x sayısının -2 hariç olmak üzere -2 sayısından büyük; 2 sayısı dahil olmak üzere 2 sayısından küçük olduğu anlamına gelir.
Örnekte gösterilen sayı doğrusu ( -2 , 2 ] kümesidir. Sayı doğrusu üzerinde gösterilen sayılar, ( -2 , 2 ] kümesinin elemanı ise ∈ sembolü ile, elemanı değilse ∉ sembolü ile gösterilir.
-1 , 0 , 1 ve 2 ∈ ( -2 , 2 ] → -1 , 0 , 1 ve 2 sayıları, ( -2 , 2 ] kümesinin elemanıdır ve x bilinmeyeninin alabileceği sayı değerleridir.
-3 , -2 ve 3 ∉ ( -2 , 2 ] → -3 , -2 ve 3 sayıları, ( -2 , 2 ] kümesinin elemanı değildir ve x bilinmeyeninin alabileceği sayı değerleri değildir.
a sayısı kapalı, b sayısı açık ise:
a ve b ∈ R için, a < b olmak üzere (Gerçek sayılar kümesinin elamanı olan a ve b sayıları için, b sayısı, a sayısından büyük olmak üzere)
Yarı açık (yarı kapalı) sayı aralıkları - 2:
Küçük sayı olan a sayısına ait yeşil renkli içi dolu çember, x bilinmeyen sayısının, a sayısı dahil,
büyük sayı olan b sayısına ait yeşil renkli içi boş çember, x bilinmeyen sayısının, b sayısı hariç,
olmak üzere, a ve b arasında olan bütün sayılar olabileceğini gösterir.
x bilinmeyenin olabileceği sayıların kümesi, [ a , b ) şeklinde gösterilir. a sayısının yanındaki köşeli parantez [ a , a sayısının dahil olduğunu, b sayısının yanındaki parantez b ) , b sayısının dahil olmadığını gösterir.
Küçük sayının kapalı, büyük sayının açık olduğu, yarı açık (yarı kapalı) sayı aralığı içindeki, tüm x sayılarını kapsayan küme, [ a , b ) şeklinde gösterilir.
[ a , b ) = { x | a ≤ x < b , x ∈ R } ifadesi, [ a , b ) kümesinin elemanı olan, bilinmeyen x sayılarının tanımıdır.
Yine sarı renkte gösterilen x | ifadesi, tanımlanan bilinmeyenin x olduğunu gösterir.
a ≤ x < b ifadesi, x sayısının en az a sayısı kadar (a sayısına eşit veya büyük) ve x sayısının b sayısından küçük olduğunu gösterir.
x ∈ R ifadesi, x bilinmeyeninin, Gerçek sayı olduğunu gösterir.
Örnek:
Yarı açık (yarı kapalı) sayı aralıkları örnek - 2:
[ a , b ) = { x | a ≤ x < b , x ∈ R } ifadesi örneklenirse;
a sayısı -2 olsun
b sayısı 2 olsun
[ -2 , 2 ) = { x | -2 ≤ x < 2 , x ∈ R } tanımı, x sayısının -2 dahil olmak üzere -2 sayısından büyük; 2 sayısı hariç olmak üzere 2 sayısından küçük olduğu anlamına gelir.
Örnekte gösterilen sayı doğrusu [ -2 , 2 ) kümesidir. Sayı doğrusu üzerinde gösterilen sayılar, [ -2 , 2 ) kümesinin elemanı ise ∈ sembolü ile, elemanı değilse ∉ sembolü ile gösterilir.
-2 , -1 , 0 ve 1 ∈ [ -2 , 2 ) → -2 , -1 , 0 ve 1 sayıları, [ -2 , 2 ) kümesinin elemanıdır ve x bilinmeyeninin alabileceği sayı değerleridir.
-3 , 2 ve 3 ∉ [ -2 , 2 ) → -3 , 2 ve 3 sayıları, [ -2 , 2 ) kümesinin elemanı değildir ve x bilinmeyeninin alabileceği sayı değerleri değildir.
Not:
Gerçek sayı doğrusunun örneği verilen aralıkları içinde, sadece -2 , -1 , 0 , 1 ve 2 sayıları yoktur. Köklü sayılar, üslü sayılar ve sonsuz sayıda kesirli rasyonel sayı vardır. Örneği verilen aralıklar içindeki x değeri, sonsuz sayıda değer alabilir. Aralıkların anlaşılması açısından, sadece tam sayılar ile örneklendirilmiştir.
Üst Sonsuz Sayı Aralıkları
Kapalı üst sonsuz sayı aralıkları:a ∈ R olmak üzere (a sayısı, Gerçek sayılar kümesinin elemanı olmak üzere), a sayısı dahil, a sayısından büyük tüm gerçek sayılardan oluşan aralıktır. Sayı doğrusunun sağ tarafındaki sayılar, sonsuza (+ ∞) giden sayılardır.
Kapalı üst sonsuz sayı aralıkları:
Yeşil renkli içi dolu çember, x bilinmeyen sayısının alabileceği değerler arasında, a sayısının da olduğu (dahil olduğu) anlamına gelir. Sağ tarafa doğru giden yeşil çizgi ve ok ise, x bilinmeyen sayısının alabileceği değerlerin, a sayısından büyük, sonsuza (+ ∞) giden tüm gerçek sayılar olduğu anlamına gelir. x sayısının alabileceği değerler, a sayısı dahil olmak üzere, sonsuza (+ ∞) giden tüm gerçek sayılardır.
x bilinmeyenin olabileceği sayıların kümesi, [ a , + ∞ ) şeklinde gösterilir. a sayısının yanındaki köşeli parantez [ a , a sayısının dahil olduğunu, sonsuzluk sembolünün yanındaki parantez + ∞ ) , sonsuz sayıya giden tüm sayıların, x bilinmeyenin değeri olabileceği anlamına gelir.
Kapalı üst sonsuz sayı aralığı içindeki, tüm x sayılarını kapsayan küme, [ a , + ∞ ) şeklinde gösterilir.
[ a , + ∞ ) = { x | a ≤ x ve x ∈ R } ifadesi, [ a , + ∞ ) kümesinin elemanı olan, bilinmeyen x sayılarının tanımıdır.
Yine sarı renkte gösterilen x | ifadesi, tanımlanan bilinmeyenin x olduğunu gösterir.
a ≤ x ifadesi, x sayısının, a sayısı dahil olmak üzere, a sayısından büyük olduğunu gösterir.
x ∈ R ifadesi, x bilinmeyeninin, Gerçek sayı olduğunu gösterir.
Örneğin:
a = 10 olsun
[ 10 , + ∞ ) = { x | 10 ≤ x ve x ∈ R } ifadesi için
x = {10 , 11 , 12 , ....... + ∞} kümesi, x değerinin alabileceği tam sayılar kümesidir.
Açık üst sonsuz sayı aralıkları:
a ∈ R olmak üzere (a sayısı, Gerçek sayılar kümesinin elemanı olmak üzere), a sayısı hariç, a sayısından büyük tüm gerçek sayılardan oluşan aralıktır. Sayı doğrusunun sağ tarafındaki sayılar, sonsuza (+ ∞) giden sayılardır.
Açık üst sonsuz sayı aralıkları:
Yeşil renkli içi boş çember, x bilinmeyen sayısının alabileceği değerler arasında, a sayısının olmadığı (hariç olduğu) anlamına gelir. Sağ tarafa doğru giden yeşil çizgi ve ok ise, x bilinmeyen sayısının alabileceği değerlerin, a sayısından büyük, sonsuza (+ ∞) giden tüm gerçek sayılar olduğu anlamına gelir. x sayısının alabileceği değerler, a sayısı hariç olmak üzere, sonsuza (+ ∞) giden tüm gerçek sayılardır.
x bilinmeyenin olabileceği sayıların kümesi, ( a , + ∞ ) şeklinde gösterilir. a sayısının yanındaki parantez ( a , a sayısının hariç olduğunu, sonsuzluk sembolünün yanındaki parantez + ∞ ), sonsuz sayıya giden tüm sayıların, x bilinmeyenin değeri olabileceği anlamına gelir.
Açık üst sonsuz sayı aralığı içindeki, tüm x sayılarını kapsayan küme, ( a , + ∞ ) şeklinde gösterilir.
( a , + ∞ ) = { x | a < x ve x ∈ R } ifadesi, ( a , + ∞ ) kümesinin elemanı olan, bilinmeyen x sayılarının tanımıdır.
Yine sarı renkte gösterilen x | ifadesi, tanımlanan bilinmeyenin x olduğunu gösterir.
a < x ifadesi, x sayısının, a sayısı hariç olmak üzere, a sayısından büyük olduğunu gösterir.
x ∈ R ifadesi, x bilinmeyeninin, Gerçek sayı olduğunu gösterir.
Örneğin:
a = 10 olsun
( 10 , + ∞ ) = { x | 10 < x ve x ∈ R } ifadesi için
x = {11 , 12 , ....... , + ∞} kümesi, x değerinin alabileceği tam sayılar kümesidir.
Alt Sonsuz Sayı Aralıkları
Kapalı alt sonsuz sayı aralıkları:a ∈ R olmak üzere (a sayısı, Gerçek sayılar kümesinin elemanı olmak üzere), a sayısı dahil, a sayısından küçük tüm gerçek sayılardan oluşan aralıktır. Sayı doğrusunun sol tarafındaki sayılar, eksi sonsuza (- ∞) giden sayılardır.
Kapalı alt sonsuz sayı aralıkları:
Yeşil renkli içi dolu çember, x bilinmeyen sayısının alabileceği değerler arasında, a sayısının da olduğu (dahil olduğu) anlamına gelir. Sol tarafa doğru giden yeşil çizgi ve ok ise, x bilinmeyen sayısının alabileceği değerlerin, a sayısından küçük, eksi sonsuza (- ∞) giden tüm gerçek sayılar olduğu anlamına gelir. x sayısının alabileceği değerler, a sayısı dahil olmak üzere, eksi sonsuza (- ∞) giden tüm gerçek sayılardır.
x bilinmeyenin olabileceği sayıların kümesi, ( - ∞ , a ] şeklinde gösterilir. a sayısının yanındaki köşeli parantez a ] , a sayısının dahil olduğunu, eksi sonsuz sembolünün yanındaki parantez ( - ∞ , eksi sonsuz sayıya giden tüm sayıların, x bilinmeyenin değeri olabileceği anlamına gelir.
Kapalı alt sonsuz sayı aralığı içindeki, tüm x sayılarını kapsayan küme, ( - ∞ , a ] şeklinde gösterilir.
( - ∞ , a ] = { x | x ≤ a ve x ∈ R } ifadesi, ( - ∞ , a ] kümesinin elemanı olan, bilinmeyen x sayılarının tanımıdır.
Yine sarı renkte gösterilen x | ifadesi, tanımlanan bilinmeyenin x olduğunu gösterir.
x ≤ a ifadesi, x sayısının, a sayısı dahil olmak üzere, a sayısından küçük olduğunu gösterir.
x ∈ R ifadesi, x bilinmeyeninin, Gerçek sayı olduğunu gösterir.
Örneğin:
a = 10 olsun
( - ∞ , 10 ] = { x | x ≤ 10 ve x ∈ R } ifadesi için
x = { - ∞ , ....... , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10} kümesi, x değerinin alabileceği tam sayılar kümesidir.
Açık alt sonsuz sayı aralıkları:
a ∈ R olmak üzere (a sayısı, Gerçek sayılar kümesinin elemanı olmak üzere), a sayısı hariç, a sayısından küçük tüm gerçek sayılardan oluşan aralıktır. Sayı doğrusunun sol tarafındaki sayılar, eksi sonsuza (- ∞) giden sayılardır.
Açık alt sonsuz sayı aralıkları:
Yeşil renkli içi boş çember, x bilinmeyen sayısının alabileceği değerler arasında, a sayısının olmadığı (hariç olduğu) anlamına gelir. Sol tarafa doğru giden yeşil çizgi ve ok ise, x bilinmeyen sayısının alabileceği değerlerin, a sayısından küçük, eksi sonsuza (- ∞) giden tüm gerçek sayılar olduğu anlamına gelir. x sayısının alabileceği değerler, a sayısı hariç olmak üzere, eksi sonsuza (- ∞) giden tüm gerçek sayılardır.
x bilinmeyenin olabileceği sayıların kümesi, ( - ∞ , a ) şeklinde gösterilir. a sayısının yanındaki parantez a ) , a sayısının hariç olduğunu, eksi sonsuz sembolünün yanındaki parantez ( - ∞, eksi sonsuz sayıya giden tüm sayıların, x bilinmeyenin değeri olabileceği anlamına gelir.
Açık alt sonsuz sayı aralığı içindeki, tüm x sayılarını kapsayan küme, ( - ∞ , a ) şeklinde gösterilir.
( - ∞ , a ) = { x | x < a ve x ∈ R } ifadesi, ( - ∞ , a ) kümesinin elemanı olan, bilinmeyen x sayılarının tanımıdır.
Yine sarı renkte gösterilen x | ifadesi, tanımlanan bilinmeyenin x olduğunu gösterir.
x < a ifadesi, x sayısının, a sayısı hariç olmak üzere, a sayısından küçük olduğunu gösterir.
x ∈ R ifadesi, x bilinmeyeninin, Gerçek sayı olduğunu gösterir.
Örneğin:
a = 10 olsun
( - ∞ , 10 ) = { x | x < 10 ve x ∈ R } ifadesi için
x = { - ∞ , ....... , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9} kümesi, x değerinin alabileceği tam sayılar kümesidir.
Gerçek Sayı Doğrusu Aralığı
Gerçek sayıları kümesinin kendisi de bir aralıktır. Sayı doğrusunun sol tarafındaki sayılar, eksi sonsuza (- ∞) giden sayılardır. Sayı doğrusunun sağ tarafındaki sayılar, sonsuza (+ ∞) giden sayılardır.Gerçek sayı doğrusu aralığı:
Sağ tarafa doğru giden yeşil çizgi ve ok, x bilinmeyen sayısının alabileceği değerlerin, sonsuza (+ ∞) giden tüm gerçek sayılar olduğu anlamına gelir. Sol tarafa doğru giden yeşil çizgi ve ok, x bilinmeyen sayısının alabileceği değerlerin, eksi sonsuza (- ∞) giden tüm gerçek sayılar olduğu anlamına gelir.
x bilinmeyenin olabileceği sayıların kümesi, ( - ∞ , + ∞ ) şeklinde gösterilir. eksi sonsuz yanındaki parantez ( - ∞ , eksi sonsuz sayıya giden tüm sayıların, x bilinmeyenin değeri olabileceği, sonsuzluk sembolünün yanındaki parantez + ∞ ), sonsuz sayıya giden tüm sayıların, x bilinmeyenin değeri olabileceği anlamına gelir.
Gerçek sayı doğrusu aralığı içindeki, tüm x sayılarını kapsayan küme, ( - ∞ , + ∞ ) şeklinde gösterilir.
( - ∞ , + ∞ ) = { x | - ∞ < x < + ∞ , x ∈ R } ifadesi, ( - ∞ , + ∞ ) kümesinin elemanı olan, bilinmeyen x sayılarının tanımıdır.
Yine sarı renkte gösterilen x | ifadesi, tanımlanan bilinmeyenin x olduğunu gösterir.
- ∞ < x < + ∞ ifadesi, x sayısının, tüm gerçek sayılar olabileceği anlamına gelir.
x ∈ R ifadesi, x bilinmeyeninin, Gerçek sayı olduğunu gösterir.
( - ∞ , + ∞ ) = { x | - ∞ < x < + ∞ , x ∈ R } ifadesi için
x = {- ∞ , ...... , -3 , -2 , - 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , ....... , + ∞} kümesi, x değerinin alabileceği tam sayılar kümesidir.
Not:
Artı sonsuz (+ ∞) ve sonsuz ifadeleri (∞) aynı şeyi ifade ederler. (+ ∞) gösterimi, (+) işareti kullanılmadan, sadece (∞) sembolü ile ifade edilebilir.
Sayı Aralıkları Örnek Sorular
Örnek - 1A = (-3 , 2]
B = [-2 , 4)
olduğuna göre, A ∩ B kümesinin gerçek sayı doğrusu üzerindeki gösterimi aşağıdakilerden hangisidir? (kaynak: Supara)
Çözüm:
Sayı aralıkları örnek soru çözümü - 1:
A = (-3 , 2] sayı aralığı kümesi için:
-3 sayısının yanında, parantez olduğu için, -3 sayısı, sayı aralığına dahil değildir.
2 sayısının yanında, köşeli parantez olduğu için, 2 sayısı, sayı aralığına dahildir.
A = (-3 , 2] kümesinin elemanları → { -2 , -1 , 0 , 1 , 2 }
B = [-2 , 4) sayı aralığı kümesi için:
-2 sayısının yanında, köşeli parantez olduğu için, -2 sayısı, sayı aralığına dahildir.
4 sayısının yanında, parantez olduğu için, 4 sayısı, sayı aralığına dahil değildir.
B = [-2 , 4) kümesinin elemanları → { -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 }
A ∩ B kesişim kümesinin elemanları, hem A kümesinde, hem de B kümesinde bulunan elemanlardır.
A = { -2 , -1 , 0 , 1 , 2 }
B = { -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 }
A ∩ B = { -2 , -1 , 0 , 1 , 2 }
-2 , -1 , 0 , 1 , 2 sayıları, gerçek sayı doğrusu üzerinde, 4 farklı şekilde gösterilebilir.
[-2 , 2] → { -2 , -1 , 0 , 1 , 2 }
(-3 , 3) → { -2 , -1 , 0 , 1 , 2 }
(-3 , 2] → { -2 , -1 , 0 , 1 , 2 }
[-2 , 3) → { -2 , -1 , 0 , 1 , 2 }
Örnek - 2
A = {x: -1 ≤ x < 3 , x ∈ R}
kümesi veriliyor.
Buna göre, A' kümesinin gerçek sayı doğrusu üzerindeki gösterimi aşağıdakilerden hangisidir? (kaynak: Supara)
Çözüm:
Sayı aralıkları örnek soru çözümü - 2:
A = {x: -1 ≤ x < 3 , x ∈ R} ifadesi için:
x: → x sayısının tanımıdır.
-1 ≤ x < 3 → x sayısının, -1 dahil olmak üzere, -1 sayısından büyük; 3 sayısı hariç olmak üzere, 3 sayısından küçük olduğu anlamına gelir.
x ∈ R → x bilinmeyen sayısı, Gerçek sayılar kümesinin elemanıdır.
-1 ≤ x < 3 ifadesi için, A kümesinin elemanları olan x bilinmeyen sayıları:
A = { -1 , 0 , 1 , 2} → x sayısının alabileceği değerler.
A' kümesi, A kümesini tümleyen kümedir. Başka bir ifadeyle, A kümesinin tümleyenidir.
Gerçek sayılar kümesi bir bütün ise, A kümesini, gerçek sayılar kümesine tümleyen (bütünleyen) kümedir.
A kümesini oluşturan x sayıları, tanıma göre -1 , 0 , 1 ve 2 sayılarıdır. Bu sayıların haricindeki, gerçek sayılar, A kümesinin tümleyeni olur.
A' = { - ∞ ... , -2 , - , 3 , ... ∞} kümesinde, kırmızı ile gösterilen yerden, A = { -1 , 0 , 1 , 2} kümesi çıkarılmamış olsaydı, bu küme gerçek sayılar kümesi olurdu.
A' kümesi, sayı doğrusu üzerinde, 4 farklı şekilde gösterilebilir.
(- ∞ , -1 ) ∪ ( 2 , ∞ )
(- ∞ , -1 ) ∪ [ 3 , ∞ )
(- ∞ , -2 ] ∪ ( 2 , ∞ )
(- ∞ , -2 ] ∪ [ 3 , ∞ )
Örnek - 3
A = { x: x < -4 , x ∈ R }
B = { x: -6 < x ≤ -1 , x ∈ R }
kümeleri veriliyor.
Buna göre, A' ∪ B' kümesi aşağıdakilerden hangisidir? (kaynak: Supara)
Çözüm:
A = { x: x < -4 , x ∈ R } kümesi için:
x: → x bilinmeyen sayısının tanımdır.
x < -4 → x bilinmeyeni, -4 haricinde, -4 sayısından küçük sayılardır.
x ∈ R → x bilinmeyeni, Gerçek sayılar kümesinin elemanıdır.
A = { -∞ , ... , -6 , -5 } → x bilinmeyenin alabileceği değerler, -4 sayısı hariç olmak üzere, -4 sayısından küçük, eksi sonsuza giden tüm sayılardır.
A' kümesi, A kümesinin tümleyen (bütünleyen) kümesidir. A kümesini, bütün olan Gerçek sayılar kümesine bütünler.
A = { -∞ , ... , -6 , -5 }
A' = { - , -4 , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , ... , ∞ } kümesinde, kırmızı renkle gösterilen yerde A kümesi olasaydı, bu küme, gerçek sayılar kümesi olurdu.
B = { x: -6 < x ≤ -1 , x ∈ R } kümesi için:
x: → x bilinmeyen sayısının tanımdır.
-6 < x ≤ -1 → x bilinmeyeni, -6 haricinde, -6 sayısından küçük; -1 sayısı dahil olmak üzere, -1 sayısından büyük sayılardır.
x ∈ R → x bilinmeyeni, Gerçek sayılar kümesinin elemanıdır.
B = { -5 , -4 , -3 , -2 , -1 } → x bilinmeyenin alabileceği değerler, -5 , -4 , -3 , -2 ve -1 sayılarıdır.
B' kümesi, B kümesinin tümleyen (bütünleyen) kümesidir. B kümesini, bütün olan Gerçek sayılar kümesine bütünler.
B = { -5 , -4 , -3 , -2 , -1 }
B' = { -∞ , ... , -7 , -6 , - , 0 , 1 , ... , ∞ } kümesinde, mavi renkle gösterilen yerde B kümesi olasaydı, bu küme, gerçek sayılar kümesi olurdu.
A' ∪ B' birleşim kümesinde, tüm birleşim kümelerinde olduğu gibi, aynı eleman iki kez yazılmaz. Her eleman bir kez yazılır.
A' = { -4 , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , ... , ∞ }
B' = { -∞ , ... , -7 , -6 , 0 , 1 , ... , ∞ }
B' kümesinde yeşil renk ile gösterilen elemanlar, A' kümesinde yoktur. Bu elemanlar yazılır.
(-∞ , -6]
A' kümesinde mor renk ile gösterilen elemanlar, B' kümesinde yoktur. Bu elemanlar yazılır.
[-4 , -1]
Her iki kümede bulunan sarı renk ile gösterilen elemanlar, bir kez yazılır.
[0 , ∞)
Sadece A' kümesinde bulunan mor renkli elemanlar ile her iki kümede bulunan sarı renkli elemanlar birleştirilir.
A' kümesine bakıldığında, mor ve sarı renkli elemanların, -4 sayısı dahil olmak üzere, -4 sayısından büyük, artı sonsuza giden tüm sayılar olduğu görülür.
[-4 , -1] ve [0 , ∞) → [-4 , ∞)
Birleştirilen kümeye, sadece B' kümesinde bulunan elemanlar eklenir.
(-∞ , -6] ∪ [-4 , ∞)
Yorumlar
Yorum Gönder