Şu an 3. Bölüm görüntüleniyor...
Bölüm Konuları:
Kesirli Sayılarda İşlemler ve Ondalık Sayı Diliminde Yazılması
Ondalık Dilimde Sayı Basamakları , Kesirli Sayılarda İşlem Önceliği
Sonsuz Sayıda Rasyonel Sayının Sayı Doğrusu Üzerinde Gösterilmesi
Yukarıdaki resimde, sadeleşme işlemi yapılan kesirli sayılardaki kesir çizgisi, (/) sembolü ile de ifade edilebilir. Pay / Payda, şeklinde de kesirli sayılar ifade edilebilir. (/) sembolü, bölme işlemini ifade eden sembollerden biridir.
2 / 4 → bölünen sayı olan 2 sayısı, 2 . 1 = 2 şeklinde çarpanlarına ayrılır. Bölen sayı olan 4 sayısı, 2 . 2 = 4 şeklinde çarpanlarına ayrılır. Her iki sayıda, ortak çarpan, 2 sayısıdır. Ortak çarpan olan 2 sayıları sadeleşir ve üzerlerine çizgi çekilir. Geriye kalan kesir sayıları, 1 / 2 şeklinde yazılır.
6 / 4 → bölünen sayı olan 6 sayısı, 3 . 2 = 6 şeklinde çarpanlarına ayrılır. Bölen sayı olan 4 sayısı, 2 . 2 = 4 şeklinde çarpanlarına ayrılır. Her iki sayıda, ortak çarpan, 2 sayısıdır. Ortak çarpan olan 2 sayıları sadeleşir ve üzerlerine çizgi çekilir. Geriye kalan kesir sayıları, 3 / 2 şeklinde yazılır.
9 / 12 → bölünen sayı olan 9 sayısı, 3 . 3 = 9 şeklinde çarpanlarına ayrılır. Bölen sayı olan 12 sayısı, 4 . 3 = 12 şeklinde çarpanlarına ayrılır. Her iki sayıda, ortak çarpan, 3 sayısıdır. Ortak çarpan olan 3 sayıları sadeleşir ve üzerlerine çizgi çekilir. Geriye kalan kesir sayıları, 3 / 4 şeklinde yazılır.
18 / 60 → bölünen sayı olan 9 sayısı, 6 . 3 = 18 şeklinde çarpanlarına ayrılır. Bölen sayı olan 30 sayısı, 6 . 5 = 30 şeklinde çarpanlarına ayrılır. Her iki sayıda, ortak çarpan, 6 sayısıdır. Ortak çarpan olan 6 sayıları sadeleşir ve üzerlerine çizgi çekilir. Geriye kalan kesir sayıları, 3 / 5 şeklinde yazılır.
120 / 216 → Büyük değerli sayılarda, sadeleşme işlemi için, sayılar ayrı ayrı çarpanlarına ayrılır. Her iki sayı, 2 sayısından başlayarak bölünür.
120 için:
120 / 2 = 60 → Tekrar, 2 ile bölünebilir.
60 / 2 = 30 → Tekrar, 2 ile bölünebilir.
30 / 2 = 15 → 2 sayısı ile bölünmediğinden, 3 sayısı ile bölünür.
15 / 3 = 5 → 3 sayısı ile bölünmediğinden, 5 sayısı ile bölünür.
5 / 5 = 1 → 1 sayısına ulaşıldığında, sayı çarpanlarına ayrılmış olur. Yukarıdan başlayarak, 120 sayısını bölen sayılar,
(2 , 2 , 2 , 3 , 5) sayılarıdır.
216 için:
216 / 2 = 108 → Tekrar, 2 ile bölünebilir.
108 / 2 = 54 → Tekrar, 2 ile bölünebilir.
54 / 2 = 27 → 2 sayısı ile bölünmediğinden, 3 sayısı ile bölünür.
27 / 3 = 9 → Tekrar, 3 ile bölünebilir.
9 / 3 = 3 → Tekrar, 3 ile bölünebilir.
3 / 3 = 1 → 1 sayısına ulaşıldığında, sayı çarpanlarına ayrılmış olur. Yukarıdan başlayarak, 216 sayısını bölen sayılar,
(2 , 2 , 2 , 3 , 3 , 3) sayılarıdır.
(2 , 2 , 2 , 3 , 5)
(2 , 2 , 2 , 3 , 3 , 3)
Sadeleşen sayıların, üzeri çizilir. Pay kısımında 5 sayısı, payda kısmında 3 . 3 = 9 sayısı kalır. Sadeleşen kesirli sayı 5 / 9 şeklinde yazılır.
3a / 9b → bölünen sayı olan 3a sayısı, 3 . a şeklinde çarpanlarına ayrılır. Bölen sayı olan 9b sayısı, 3 . 3 . b şeklinde çarpanlarına ayrılır. Her iki sayıda, ortak çarpan, 3 sayısıdır. Ortak çarpan olan 3 sayıları sadeleşir ve üzerlerine çizgi çekilir. Geriye kalan kesir sayıları, a / 3b şeklinde yazılır.
Not: Tam sayı, doğal sayı veya herhangi bir sayı kümesi olarak tanımlanan ab sayısı ile, ab şeklinde iade edilen sayılar birbirinden farklıdır.
ab sayısı, tam sayı olmak üzere dendiğinde → ab = 10a + b
İki basamaklı ab sayısı dendiğinde → ab = 10a + b
a ve b rakam olmak üzere yazılan ab sayısı → ab = 10a + b
a ve b tam sayı olmak üzere ab ifadesi → ab = a . b
Tanımlanmamış → ab = a . b
2x + 2 / 4y + 2x → bölünen sayı olan 2x + 2 ifadesinde, toplanan iki değerin her ikisinde de, 2 sayısı ortaktır. 2.(x + 1) şeklinde, 2 parantezine alınır.
Bölen sayı olan 4y + 2x ifadesinde, toplanan iki değerin her ikisinde de, 2 sayısı ortaktır. 2.(2y + x) şeklinde, 2 parantezine alınır.
Her iki ifadede, ortak çarpan, 2 sayısıdır. Ortak çarpan olan 2 sayıları sadeleşir ve üzerlerine çizgi çekilir. Geriye kalan kesir sayıları, x+1 / 2y+x şeklinde yazılır.
Paydaları eşit olan kesirli sayılar, kesir çizgisinin alt tarafında bulunan sayıları, eşit olan sayılardır. Toplama veya çıkarma işlemi yaparken, alt tarafta bulunan ve eşit olan sayılar ile işlem yapılmaz.
İşlem, kesir çizgisinin üst tarafında bulunan, bölünen sayılar (pay) ile yapılır. Pay kısmında yapılan işlem sonucu, yine pay kısmına yazılır. Eşit olan payda sayıları, aynen yazılır.
Kesirli Sayılarda Toplama ve Çıkarma:
3 / 5 + 6 / 5 → Pay kısmında bulunan, 3 ve 6 sayıları toplanır. 3 + 6 = 9 olur. Eşit olan paydalar, aynen yazılır. İşlemin sonucu 9 / 5 olur.
10 / 11 - 5 / 11 → Pay kısmında bulunan, 10 sayısından, 5 sayısı çıkarılır. 10 - 5 = 5 olur. Eşit olan paydalar, aynen yazılır. İşlemin sonucu 5 / 11 olur.
8 / 4 + 9 / 4 - 7 / 4 → Pay kısmında bulunan, 8 ve 9 sayısının toplamından, 7 sayısı çıkarılır. 8 + 9 - 7 = 10 olur. Eşit olan paydalar, aynen yazılır. İşlemin sonucu 10 / 4 olur. 10 / 4 sonucu sadeleşir. Bölünen sayı olan 10 sayısı, 5 . 2 = 10 şeklinde çarpanlarına ayrılır. Bölen sayı olan 4 sayısı, 2 . 2 = 4 şeklinde çarpanlarına ayrılır. Her iki sayıda, ortak çarpan, 2 sayısıdır. Ortak çarpan olan 2 sayıları sadeleşir ve üzerlerine çizgi çekilir. Geriye kalan kesir sayıları, 5 / 2 şeklinde yazılır.
Paydaları Eşit DEĞİL ise:
Paydaları eşit olmayan kesirli sayılar, kesir çizgisinin alt tarafında bulunan sayıları, eşit olmayan sayılardır. Toplama veya çıkarma işleminden önce, payda'ların eşitlenmesi gerekir.
Paydalar, aralarında asal ise (Tek ortak çarpanı 1 ise):
1 / 2 + 2 / 3 → Payda'da bulunan 2 ve 3 sayıları aralarında asal sayılardır. 1 / 2 sayısının altına, parantez içinde (3) yazılır. 2 / 3 sayısının altına, parantez içinde (2) yazılır.
1 / 2 için:
Pay kısmında bulunan 1 sayısı ile, parantez içindeki 3 sayısı çarpılır ve sonuç pay kısmına yazılır. (3 . 1 = 3)
Payda kısmında bulunan 2 sayısı ile, parantez içindeki 3 sayısı çarpılır ve sonuç payda kısmına yazılır. (3 . 2 = 6)
Yeni sayı 3 / 6 olur.
2 / 3 için:
Pay kısmında bulunan 2 sayısı ile, parantez içindeki 2 sayısı çarpılır ve sonuç pay kısmına yazılır. (2 . 2 = 4)
Payda kısmında bulunan 3 sayısı ile, parantez içindeki 2 sayısı çarpılır ve sonuç payda kısmına yazılır. (3 . 2 = 6)
Yeni sayı 4 / 6 olur.
3 / 6 + 4 / 6 → Pay kısmında bulunan, 3 ve 4 sayıları toplanır. 3 + 4 = 7 olur. Eşitlenmiş olan paydalar, aynen yazılır. İşlemin sonucu 7 / 6 olur.
7 / 8 - 5 / 6 → Payda'da bulunan 8 ve 6 sayıları aralarında asal değillerdir. 8 ve 6 sayısının ortak çarpanı, 2 sayısıdır. 6 sayısı, 2'ye bölündüğünde, 3 sayısı bulunur. 8 sayısı, 2'ye bölündüğünde, 4 sayısı bulunur.
7 / 8 sayısının altına, 6 sayısının 2'ye bölüm sonucu olan 3 sayısı, parantez içinde yazılır. 5 / 6 sayısının altına, 8 sayısının 2'ye bölüm sonucu olan 4 sayısı, parantez içinde yazılır.
Sadeleşmiş olan, 3 ve 4 sayıları aralarında asal sayılardır. Daha büyük sayı değerlerinin paydalarının eşitlenmesinde, sayılar, aralarında asal olana kadar aynı sayılara bölünür. Örneğin, 1 / 144 ve 1 / 168 sayılarının paydaları eşitlenirse;
144 ve 168 → her iki sayıyı 2 böler.
72 ve 84 → her iki sayıyı 2 böler.
36 ve 42 → her iki sayıyı 2 böler.
18 ve 21 → her iki sayıyı 3 böler.
6 ve 7 → aralarında asal sayı oldular.
144 paydasının altına parantez içinde (7), 168 paydasının altına parantez içinde (6) yazılır.
7 / 8 için:
Pay kısmında bulunan 7 sayısı ile, parantez içindeki 3 sayısı çarpılır ve sonuç pay kısmına yazılır. (3 . 7 = 21)
Payda kısmında bulunan 8 sayısı ile, parantez içindeki 3 sayısı çarpılır ve sonuç payda kısmına yazılır. (3 . 8 = 24)
Yeni sayı 21 / 24 olur.
5 / 6 için:
Pay kısmında bulunan 5 sayısı ile, parantez içindeki 4 sayısı çarpılır ve sonuç pay kısmına yazılır. (4 . 5 = 20)
Payda kısmında bulunan 6 sayısı ile, parantez içindeki 4 sayısı çarpılır ve sonuç payda kısmına yazılır. (4 . 6 = 24)
Yeni sayı 20 / 24 olur.
21 / 24 + 20 / 24 → Pay kısmında bulunan, 21 sayısından, 20 sayısı çıkarılır. 21 - 20 = 1 olur. Eşitlenmiş olan paydalar, aynen yazılır. İşlemin sonucu 1 / 24 olur.
x / a + y / b → Payda'da bulunan a ve b sayıları aralarında asal kabul edilir. x / a sayısının altına, parantez içinde (b) yazılır. y / b sayısının altına, parantez içinde (a) yazılır.
x / a için:
Pay kısmında bulunan x sayısı ile, parantez içindeki b sayısı çarpılır ve sonuç pay kısmına yazılır. (b . x)
Payda kısmında bulunan a sayısı ile, parantez içindeki b sayısı çarpılır ve sonuç payda kısmına yazılır. (b . a)
Yeni sayı (b . x) / b . a olur.
y / b için:
Pay kısmında bulunan y sayısı ile, parantez içindeki a sayısı çarpılır ve sonuç pay kısmına yazılır. (a . y)
Payda kısmında bulunan b sayısı ile, parantez içindeki a sayısı çarpılır ve sonuç payda kısmına yazılır. (a . b)
Yeni sayı (a . y) / (a . b) olur.
(b . x / b . a) ± (a . y / a . b) → Pay kısmında bulunan, (b . x) ve (a . y) sayıları toplanır veya çıkarılır. (b . x) ± (a . y) olur. Eşitlenmiş olan paydalar, aynen yazılır. İşlemin sonucu (b . x) ± (a . y) / a . b olur.
2 / 3 . 5 / 7
2 / 3 sayısının pay kısmında 2 sayısı, 5 / 7 sayının pay kısmında 5 sayısı vardır. (2 . 5 = 10)
2 / 3 sayısının payda kısmında 3 sayısı, 5 / 7 sayının payda kısmında 7 sayısı vardır. (3 . 7 = 21)
Sonuç: 10 / 21
-3 / 5 . 9 / -5
-3 / 5 sayısının pay kısmında -3 sayısı, 9 / -5 sayının pay kısmında 9 sayısı vardır. (-3 . 9 = -27)
-3 / 5 sayısının payda kısmında 5 sayısı, 9 / -5 sayının payda kısmında -5 sayısı vardır. (5 . -5 = -25)
Sonuç: -27 / -25 = 27 / 25 (Eksinin, eksiye bölümü artıdır.)
-7 / -2 . 9 / -8
-7 / -2 sayısının pay kısmında -7 sayısı, 9 / -8 sayının pay kısmında 9 sayısı vardır. (-7 . 9 = -63)
-7 / -2 sayısının payda kısmında -2 sayısı, 9 / -8 sayının payda kısmında -8 sayısı vardır. (-2 . -8 = 16)
Sonuç: -63 / 16
Daha geniş bir kesir çizgisinin üst tarafına birinci kesirli sayı, alt tarafına ise ikinci kesirli sayı yazılır.
(2 / 3) / (5 / 7) → Dış tarafta olan sayıların çarpımı, pay kısmına yazılır (7 . 2 = 14)
(2 / 3) / (5 / 7) → İç tarafta olan sayıların çarpımı, payda kısmına yazılır (5 . 3 = 15 )
Sonuç: 14 / 15 olur.
a / b : x / y → Birinci kesirli sayı olan a / b sayısı, daha geniş çizilmiş kesir çizgisinin üst tarafına yazılır. İkinci kesirli sayı olan x / y sayısı, daha geniş çizilmiş kesir çizgisinin alt tarafına yazılır.
(a / b) / (x / y) → Pay kısmına, dış tarafta kalan mavi renkteki sayıların çarpımı yazılır (y . a) . Payda kısmına, iç tarafta kalan kırmızı renkteki sayıların çarpımı yazılır. (x . b)
Not:
a / b : x / y = a / b . y / x → Yan yana yazılan ve (:) sembolü ile bölünen iki kesirli sayı, birinci kesirli sayı ile ikinci kesirli sayının tersinin çarpımı şeklinde yazılabilir. Bu aynı zamanda, büyük kesir çizgisinin alt tarafında bulunan sayının ters çevrilerek, üst tarafında bulunan sayı ile çarpılması anlamına gelir.
Yukarıda bulunan resim incelendiğinde x / y ifadesinin, y / x ifadesine döndüğü görülebilir.
Örnek:
Yukarıda bulunan resimdeki örnekte, geniş kesir çizgisinin üst tarafında (1 / 2) + (1 / 3) işlemi, alt tarafında ise
(1 / 2) . (1 / 3) işlemi vardır. Geniş kesir çizgisinin üstündeki ve altındaki işlemler ayrı ayrı yapılıp, en son geniş kesir çizgisine ait işlem yapılmalıdır. Geniş kesir çizgisinin hem üst tarafında, hem alt tarafında çarpma işleminin bulunduğu işlemlerde, önce sadeleşme işlemi yapılabilir. Bu sadeleşme işlemleri görülünceye kadar, işlemler ayrı ayrı yapılmalıdır. Çözülen soru sayısı arttıkça, sadeleşme işlemleri daha kolay görülebilir hale gelecektir.
Geniş kesrin üst tarafında (1 / 2) + (1 / 3) işlemi vardır:
(1 / 2) + (1 / 3) → Payda'da bulunan 2 ve 3 sayıları aralarında asal sayılardır. 1 / 2 sayısının altına, parantez içinde (3) yazılır. 1 / 3 sayısının altına, parantez içinde (2) yazılır.
1 / 2 için:
Pay kısmında bulunan 1 sayısı ile, parantez içindeki 3 sayısı çarpılır ve sonuç pay kısmına yazılır. (3 . 1 = 3)
Payda kısmında bulunan 2 sayısı ile, parantez içindeki 3 sayısı çarpılır ve sonuç payda kısmına yazılır. (3 . 2 = 6)
Yeni sayı 3 / 6 olur.
1 / 3 için:
Pay kısmında bulunan 1 sayısı ile, parantez içindeki 2 sayısı çarpılır ve sonuç pay kısmına yazılır. (2 . 1 = 2)
Payda kısmında bulunan 3 sayısı ile, parantez içindeki 2 sayısı çarpılır ve sonuç payda kısmına yazılır. (3 . 2 = 6)
Yeni sayı 2 / 6 olur.
(3 / 6) + (2 / 6) → Pay kısmında bulunan, 3 ve 2 sayıları toplanır. 3 + 2 = 5 olur. Eşitlenmiş olan paydalar, aynen yazılır. Geniş kesrin üst tarafındaki toplama işlemin sonucu 5 / 6 olur.
Geniş kesrin alt tarafında (1 / 2) . (1 / 3) işlemi vardır:
1 / 2 sayısının pay kısmında 1 sayısı, 1 / 3 sayının pay kısmında da 1 sayısı vardır. (1 . 1 = 1)
1 / 2 sayısının payda kısmında 2 sayısı, 1 / 3 sayının payda kısmında 3 sayısı vardır. (3 . 2 = 6)
Geniş kesrin alt tarafındaki çarpma işlemin sonucu 1 / 6 olur.
Geniş kesirdeki bölme işlemi (5 / 6) / (1 / 6) işlemidir.
(5 / 6) / (1 / 6) → Dış tarafta olan sayıların çarpımı, pay kısmına yazılır (6 . 5)
(5 / 6) / (1 / 6) → İç tarafta olan sayıların çarpımı, payda kısmına yazılır (1 . 6)
(6 . 5 )
(1 .6 )
Gerekli sadeleşme işlemi yapıldığında sonuç 5 / 1 = 5 olur.
Kesirli Sayıların Ondalık Sayı Diliminde Yazılması:
Örnek : 1
Kesirli sayılarda bölme işlemi ve örnek çözüm:
1 / 10 → 1 sayısı, 10 sayısına bölünür.
1 sayısının içinde 10 sayısı yok.
1 sayısının sağına 1 tane sıfır eklenir.
1 sayısının içinde 10 sayısı olmadığı için sonuç bölümüne 1 tane sıfır yazılır. 1 sayısının sağına, 1 tane sıfır eklendiğinden, sıfır olan sonucun sağına bir tane virgül eklenir. (0,)
Sağına 1 tane sıfır eklenen 1 sayısı, 10 olur.
10 sayısının içinde, 1 tane 10 var.
(0,) olan sonucun sağına; 10 sayısının, 10 sayısına bölüm sonucu olan 1 sayısı yazılır. (0,1)
1 / 10 = 0,1 olur.
Örnek :
9 / 40 → 9 sayısı, 40 sayısına bölünür.
9 sayısının içinde 40 sayısı yok.
9 sayısının sağına, 1 tane sıfır eklenir.
9 sayısının içinde 40 sayısı olmadığı için sonuç bölümüne 1 tane sıfır yazılır. 9 sayısının sağına, 1 tane sıfır eklendiğinden, sıfır olan sonucun sağına, bir tane virgül eklenir. (0,)
Sağına 1 tane sıfır eklenen 9 sayısı, 90 olur.
90 sayısının içinde, 2 tane 40 var.
(0,) olan sonucun sağına; 90 sayısının, 40 sayısına bölüm sonucu olan 2 sayısı yazılır. (0,2)
90 sayısından, 2 tane 40 (80) eksilince 10 kalır.
10 sayısının içinde, 40 yok.
10 sayısının sağına, 1 tane sıfır eklenir.
10 sayısının içinde 40 sayısı olmadığı için, (0,2) olan sonuç bölümünün sağına, 1 tane sıfır yazılır. (0,20) olan sonucun, sağına yazılan sıfır sayısı, sonucu değiştirmediğinden sonuç hala (0,2)'dir.
10 sayısının sağına 1 sıfır daha eklendiğinden, (0,2) olan sonucun sağına, bir tane daha virgül eklenmesi gerekir. (0,2,) ifadesinde, ikinci virgülden sonra değer olmadığı için, ikinci virgülün sonuca etkisi olmaz ve yazılmaz. Sonuç hala (0,2)'dir.
Not:
İkinci virgülden sonra değer olabilmesi için, içinde bölen olmayan bölünen sayıya, 1 değil de, 2 sıfır eklenseydi, sonuç (0,2,0) şeklinde, bölme sonucunu bekliyor olacaktı. Kalan olan bölünen sayıya, iki sıfır eklendikten sonra, içinde, 2 tane bölen değer olsun diyelim. Sonuç (0,2,02) olurdu. (0,2,02) sonucu, ikinci virgül yazılmadan (0,202) şeklinde ifade edilirdi.
Sağına 1 tane sıfır eklenen 10 sayısı, 100 olur.
100 sayısının içinde, 2 tane 40 var.
0,2 olan sonucun sağına, bir tane daha 2 eklenir ve sonuç 0,22 olur.
100 sayısından, 2 tane 40 (80) eksilince 20 kalır.
20 sayısının içinde, 40 yok.
20 sayısının sağına, 1 tane sıfır eklenir.
20 sayısının içinde 40 sayısı olmadığı için, (0,22) olan sonuç bölümünün sağına, 1 tane sıfır yazılır. (0,220) olan sonucun, sağına yazılan sıfır sayısı, sonucu değiştirmediğinden sonuç hala (0,22)'dir.
20 sayısının sağına 1 sıfır daha eklendiğinden, (0,22) olan sonucun, sağına bir tane daha virgül eklenmesi gerekir. (0,22,) ifadesinde, ikinci virgülden sonra değer olmadığı için, ikinci virgülün sonuca etkisi olmaz ve yazılmaz. Sonuç hala (0,22)'dir.
Sağına 1 tane sıfır eklenen 20 sayısı, 200 olur.
200 sayısının içinde, 5 tane 40 var.
0,22 olan sonucun sağına bir tane 5 eklenir ve sonuç 0,225 olur.
5 tane 40 sayısı, 200 yaptığından, başka kalan sayı yok. İşlem bitti.
Yukarıda verilen örnek, işlemin uzun çözümüdür ve çözüm mantığının anlaşılması için ayrıntılı anlatılmıştır.
Kesirli sayılarda bölme işlemi ve örnek çözüm:
Özetle; Bölme işleminin en başında, sonuç bölümüne (0,) yazılır. Bölünen sayıya eklenen, her sıfır için, (0,) ifadesinin sağına, bölme işleminin sonucu eklenir. İşlemin devamında, bölünen sayıya tekrar eklenen sıfır için, bölme işleminin sonucu, sonuç kısmının en sağına eklenerek işlem sürdürülür.
Örnek:
1 / 99 → 1 sayısı, 99 sayısına bölünür.
1 sayısının içinde 99 sayısı yok.
1 sayısının sağına, 1 tane sıfır eklenir.
10 sayısının içinde 99 sayısı yok.
10 sayısının sağına, 1 tane daha sıfır eklenir.
1 sayısının içinde 99 sayısı olmadığı için, sonuç bölümüne 1 tane sıfır yazılır. 1 sayısının sağına, toplamda 2 tane sıfır eklendiğinden, sıfır olan sonucun sağına, bir tane virgül, bir tane de sıfır eklenir.
(0,0) sonucunda, virgül için, eklenen birinci sıfır kullanılır.
(0,0) sonucunda, virgülden sonra yazılan sıfır için, eklenen ikinci sıfır kullanılır.
Sağına 2 tane sıfır eklenen 1 sayısı, 100 olur.
100 sayısının içinde, 1 tane 99 var.
(0,0) olan sonucun sağına; 100 sayısının, 99 sayısına bölüm sonucu olan 1 sayısı yazılır. (0,01)
100 sayısından, 1 tane 99 eksilince 1 kalır.
1 sayısının içinde 99 sayısı yok.
1 sayısının sağına, 1 tane sıfır eklenir.
10 sayısının içinde 99 sayısı yok.
10 sayısının sağına, 1 tane daha sıfır eklenir.
Sağına 2 tane sıfır eklenen 1 sayısı, 100 olur.
100 sayısının içinde, 1 tane 99 var.
0,01 olan sonucun sağına, bir tane sıfır ve 100 sayısının, 99 sayısına bölüm sonucu olan 1 sayısı yazılır.(0,0101)
1 / 99 işleminin sonucu, 0,01010101... şeklinde sonsuza uzanır. Bu sayı, virgülden sonra gelen ve devreden 01 rakamlarının, üst tarafına çizgi çizilerek ifade edilir.
Kesirli sayılarda bölme işlemi ve örnek çözüm:
Özetle; Bölme işleminin en başında, sonuç bölümüne (0,) yazılır. Bölünen sayıya eklenen birinci sıfır, için, (0,) ifadesinin sağına bir tane sıfır eklenir. Bölünen sayıya eklenen ikinci sıfır için, bölme işleminin sonucu, (0,0) ifadesinin sağına eklenir. İşlemin devamında, bölünen sayıya tekrar eklenen, her 2 tane sıfır için, sonuç kısmının en sağına, bir tane sıfır ve hemen yanına, bölme işleminin sonucu eklenerek işlem sürdürülür.
1 / 10 → Payda'da bulunan 10 sayısında, 1 tane sıfır vardır. Virgülden sonra, sıfır sayısı kadar (1) hane olmalıdır. Pay kısmında, sadece 1 sayısı olduğundan, 1 / 10 sayısı (onda bir) 0,1 şeklinde yazılabilir.
25 / 10 → Payda'da bulunan 10 sayısında, 1 tane sıfır vardır. Virgülden sonra, sıfır sayısı kadar hane olmalıdır. Pay kısmında, 25 sayısı olduğundan 25 / 10 sayısı; 2,5 şeklinde yazılır.
125 / 10 → Payda'da bulunan 10 sayısında, 1 tane sıfır vardır. Virgülden sonra, sıfır sayısı kadar hane olmalıdır. Pay kısmında, 125 sayısı olduğundan 125 / 10 sayısı; 12,5 şeklinde yazılır.
6125 / 10 → Payda'da bulunan 10 sayısında, 1 tane sıfır vardır. Virgülden sonra, sıfır sayısı kadar hane olmalıdır. Pay kısmında, 6125 sayısı olduğundan 6125 / 10 sayısı; 612,5 şeklinde yazılır.
Örneklenen 100'lük dilimdeki sayılar:
1 / 100 → Payda'da bulunan 100 sayısında, 2 tane sıfır vardır. Virgülden sonra, sıfır sayısı kadar (2) hane olmalıdır. Pay kısmında, sadece 1 sayısı olduğundan, 1 / 100 sayısı (yüzde bir) 0,01 şeklinde yazılabilir.
25 / 100 → Payda'da bulunan 100 sayısında, 2 tane sıfır vardır. Virgülden sonra, sıfır sayısı kadar hane olmalıdır. Pay kısmında, sadece 25 sayısı olduğundan 25 / 100 sayısı; 0,25 şeklinde yazılabilir.
125 / 100 → Payda'da bulunan 100 sayısında, 2 tane sıfır vardır. Virgülden sonra, sıfır sayısı kadar hane olmalıdır. Pay kısmında, 125 sayısı olduğundan 125 / 100 sayısı; 1,25 şeklinde yazılır.
6125 / 100 → Payda'da bulunan 100 sayısında, 2 tane sıfır vardır. Virgülden sonra, sıfır sayısı kadar hane olmalıdır. Pay kısmında, 6125 sayısı olduğundan 6125 / 100 sayısı; 61,25 şeklinde yazılır.
Örneklenen 1000'lik dilimdeki sayılar:
1 / 1000 → Payda'da bulunan 1000 sayısında, 3 tane sıfır vardır. Virgülden sonra, sıfır sayısı kadar (3) hane olmalıdır. Pay kısmında, sadece 1 sayısı olduğundan, 1 / 1000 sayısı (binde bir) 0,001 şeklinde yazılabilir.
25 / 1000 → Payda'da bulunan 1000 sayısında, 3 tane sıfır vardır. Virgülden sonra, sıfır sayısı kadar hane olmalıdır. Pay kısmında, sadece 25 sayısı olduğundan 25 / 1000 sayısı; 0,025 şeklinde yazılabilir.
125 / 1000 → Payda'da bulunan 1000 sayısında, 3 tane sıfır vardır. Virgülden sonra, sıfır sayısı kadar hane olmalıdır. Pay kısmında, sadece 125 sayısı olduğundan 125 / 1000 sayısı; 0,125 şeklinde yazılabilir.
6125 / 1000 → Payda'da bulunan 1000 sayısında, 3 tane sıfır vardır. Virgülden sonra, sıfır sayısı kadar hane olmalıdır. Pay kısmında, 6125 sayısı olduğundan 6125 / 1000 sayısı; 6,125 şeklinde yazılır.
Örneklenen 10000'lik dilimdeki sayılar:
1 / 10000 → Payda'da bulunan 10000 sayısında, 4 tane sıfır vardır. Virgülden sonra, sıfır sayısı kadar (4) hane olmalıdır. Pay kısmında, sadece 1 sayısı olduğundan, 1 / 10000 sayısı (on binde bir) 0,0001 şeklinde yazılabilir.
25 / 10000 → Payda'da bulunan 10000 sayısında, 4 tane sıfır vardır. Virgülden sonra, sıfır sayısı kadar hane olmalıdır. Pay kısmında, sadece 25 sayısı olduğundan 25 / 10000 sayısı; 0,0025 şeklinde yazılabilir.
125 / 10000 → Payda'da bulunan 10000 sayısında, 4 tane sıfır vardır. Virgülden sonra, sıfır sayısı kadar hane olmalıdır. Pay kısmında, sadece 125 sayısı olduğundan 125 / 10000 sayısı; 0,0125 şeklinde yazılabilir.
6125 / 10000 → Payda'da bulunan 10000 sayısında, 4 tane sıfır vardır. Virgülden sonra, sıfır sayısı kadar hane olmalıdır. Pay kısmında, sadece 6125 sayısı olduğundan 6125 / 10000 sayısı; 0,6125 şeklinde yazılabilir.
Virgülden önceki ikinci basamak, onlar basamağı (10)
Virgülden önceki birinci basamak, birler basamağı (1)
Virgülden sonraki birinci basamak, onda birler basamağı (1 / 10)
Virgülden sonraki ikinci basamak, yüzde birler basamağı (1 / 100)
Virgülden sonraki üçüncü basamak, binde birler basamağı (1 / 1000)
Virgülden sonraki üçüncü basamak, on binde birler basamağı (1 / 10000) olarak isimlendirilir.
65,3402 sayısı için:
-) 65,3402 sayısı, ondalık dilimde 4 basamağı olan, 2 basamaklı bir sayıdır. On binde birler basamağındaki rakam 2'dir. On binde birler basamağındaki rakam ile on binde birler basamağının, basamak değeri olan 1 / 10000 sayısı çarpılır. 2 . (1 / 10000) = 2 / 10000
-) Binde birler basamağındaki rakam 0'dır. Binde birler basamağındaki rakam ile binde birler basamağının, basamak değeri olan 1 / 1000 sayısı çarpılır. 0 . (1 / 1000) = 0
-) Yüzde birler basamağındaki rakam 4'tür. Yüzde birler basamağındaki rakam ile yüzde birler basamağının, basamak değeri olan 1 / 100 sayısı çarpılır. 4 . (1 / 100) = 4 / 100
-) Onda birler basamağındaki rakam 3'tür. Onda birler basamağındaki rakam ile onda birler basamağının, basamak değeri olan 1 / 10 sayısı çarpılır. 3 . (1 / 10) = 3 / 10
-) Birler basamağındaki rakam 5'tir. Birler basamağındaki rakam ile birler basamağının, basamak değeri olan 1 sayısı çarpılır. 5 . 1 = 5
-) Onlar basamağındaki rakam 6'dır. Onlar basamağındaki rakam ile onlar basamağının, basamak değeri olan 10 sayısı çarpılır. 6 . 10 = 60
-) 60 + 5 + (3 / 10) + (4 / 100) + 0 + (2 / 10000) → Bütün basamak değerleri toplanır.
-) (60 / 1) + (5 / 1) + (3 / 10) + (4 / 100) + (2 / 10000) → 60 ve 5 sayıları kesirli sayıya çevrilir. 60 sayısı (60 / 1) şeklinde, 5 sayısı (5 / 1) şeklinde, kesirli ifade edilir. Paydaları görünür kılınan, tam sayıların değeri değişmez.
-) (600000 / 10000) + (50000 / 10000) + (3000 / 10000) + (400 / 10000) + (2 / 10000) → Paydalar 10000 sayısında birleşir.
-) Sonuç : 653402 / 10000 = 65,3402 olur.
Ondalık dilimdeki XY,ABCD sayısının basamakları:
XY,ABCD sayısı için:
-) XY,ABCD sayısı, ondalık dilimde 4 basamağı olan, 2 basamaklı bir sayıdır. On binde birler basamağındaki rakam D'dir. On binde birler basamağındaki rakam ile on binde birler basamağının, basamak değeri olan 1 / 10000 sayısı çarpılır. D . (1 / 10000) = D / 10000
-) Binde birler basamağındaki rakam C'dir. Binde birler basamağındaki rakam ile binde birler basamağının, basamak değeri olan 1 / 1000 sayısı çarpılır. C . (1 / 1000) = C / 1000
-) Yüzde birler basamağındaki rakam B'dir. Yüzde birler basamağındaki rakam ile yüzde birler basamağının, basamak değeri olan 1 / 100 sayısı çarpılır. B . (1 / 100) = B / 100
-) Onda birler basamağındaki rakam A'dır. Onda birler basamağındaki rakam ile onda birler basamağının, basamak değeri olan 1 / 10 sayısı çarpılır. A . (1 / 10) = A / 10
-) Birler basamağındaki rakam Y'dir. Birler basamağındaki rakam ile birler basamağının, basamak değeri olan 1 sayısı çarpılır. 1 . Y = Y
-) Onlar basamağındaki rakam X'dir. Onlar basamağındaki rakam ile onlar basamağının, basamak değeri olan 10 sayısı çarpılır. X . 10 = 10X
-) 10X + Y + (A / 10) + (B / 100) + (C / 1000) + (D / 10000) → Bütün basamak değerleri toplanır.
-) (10X / 1) + (Y / 1) + (A / 10) + (B / 100) + (C / 1000) + (D / 10000) → 10X ve Y sayıları kesirli sayıya çevrilir. 10X sayısı (10X / 1) şeklinde, Y sayısı (Y / 1) şeklinde, kesirli ifade edilir. Paydaları görünür kılınan, tam sayıların değeri değişmez.
-) (100000X / 10000) + (10000Y / 10000) + (A / 10000) + (B / 10000) + (C / 10000) + (D / 10000) → Paydalar 10000 sayısında birleşir.
-) Sonuç : (100000X + 10000Y + 1000A + 100B + 10C + D) / 10000 olur.
Örnek:
Örneklenen 0,01 / 0,1 işlemi için:
Pay kısmında 0,01 sayısı vardır. 0,01 ifadesinde, virgülden sonra 2 basamak vardır.
0,01 → 0 . (1 / 10) = 0 → onda birler basamağında, 0 sayısı olduğundan (1 / 10) . 0 = 0'dır.
0,01 → 1 . (1 / 100) = 1 / 100 → yüzde birler basamağında, 1 sayısı olduğundan (1 / 100) . 1 = 1 / 100 olur.
Onda birler basamağının değeri ile yüzde birler basamağının değerinin toplamı:
0,01 sayısının, kesirli değerini verir. 0 + (1 / 100) = 1 / 100
0,01 sayısının kesirli yazımı 1 / 100 ifadesidir.
Payda kısmında 0,1 sayısı vardır. 0,1 ifadesinde, virgülden sonra 1 basamak vardır.
Virgülden sonraki birinci basamak, onda birler basamağıdır. (1 / 10)
0,1 → 1 . (1 / 10) = 1 → onda birler basamağında, 1 sayısı olduğundan (1 / 10) . 1 = 1 / 10 olur.
0,1 sayısının, kesirli yazımı 1 / 10 ifadesidir.
Geniş kesirdeki bölme işlemi (1 / 100) / (1 / 10) işlemidir.
(1 / 100) / (1 / 10) → Dış tarafta olan sayıların çarpımı, pay kısmına yazılır (10 . 1)
(1 / 100) / (1 / 10) → İç tarafta olan sayıların çarpımı, payda kısmına yazılır (1 . 100)
(10 . 1)
(1 .10 . 10)
Gerekli sadeleşme işlemi yapıldığında sonuç 1 / 10 olur.
İşlem öncelikleri, sadece kesirli sayılar için değil, dört işlem yapılan, tüm sayı kümeleri için geçerlidir.
Kesirli Sayılarda İşlem Önceliği:
1-) Parantez İçindeki İşlemler: Birinci öncelik parantez içindeki işlemler içindir.
Bir işlemde parantez varsa, parantezin açılması gerekir. Parantez, parantez içindeki işlemler bittikten sonra yada parantez içindeki işlemler yapılmadan açılabilir.
Parantezin önünde; (+) , (-) , çarpma veya bölme işlemlerinden biri bulunabilir. Parantezin önünde, (+) işaretinin bulunması, parantezin (+1) sayısı ile açılacağı; parantezin önünde, (-) işaretinin bulunması, parantezin (-1) sayısı ile açılacağı anlamına gelir.
Parantez içindeki işlemde, başka bir parantez daha varsa, işlemlere iç bölümdeki parantezden başlanır.
( 3. yapılır ( 2. yapılır (1. yapılır) ) )
Yukarıda resimde, -2(3/2 + 1) işlemi için, iki yol izlenmiştir.
Birinci yol: Parantez içindeki (3/2 + 1) işlemi bitirilir. 1 sayısının, paydası görünür kılınır ve 1/1 haline getirilir. (3 / 2) ve (1 / 1) sayılarının paydaları, 2 sayısında eşitlenir. Parantez içindeki (3 / 2) + (2 / 2) işlemin sonucu, (5 / 2) 'dir. Parantez içindeki (5 / 2) sonucu, parantez dışındaki (-2) sayısı ile çarpılır ve parantez işlemleri bitirilir. -2 . (5 / 2) işlemi bittikten sonra bölme işlemine (:) geçilebilir.
İkinci yol: Parantez içindeki (3/2 + 1) işlemi yapılmadan, parantez, parantez önündeki (-2) sayısı ile açılır. (-2) sayısı önce (3 / 2) sayısı ile çarpılır. (-2) sayısı sonra +1 sayısı ile çarpılır. Parantez açıldığında, -2.3/2 -2.1 ifadeleri kalır. Bu ifadelerle işlem bitirilmeden, önünde bulunan bölme işlemine (:) geçilmez. Bölme işlemine geçilmemesi, 4 : (-2.3/2) işleminin yapılmaması anlamına gelir. Bölme işleminden önce, -2.3/2 -2.1 ifadelerine ait işlemler bitirilmelidir.
2-) Çarpma İşlemi : İkinci öncelik çarpma işlemi içindir.
Birinci yolun devamında:
Parantez içindeki işlem bitirildiğinde (5 / 2) sonucu bulunur. (-2) ile (5 / 2) sayıları çarpıldığında, 2 sayıları sadeleşir ve sonuç (-5) olur.
(-2) sayısı, (-1) . 2 şeklinde düşünüldüğünde, 2 sayıları sadeleştikten sonra kalan 5 ve (-1) sayılarının çarpımı, (-5) olacaktır.
İkinci yolun devamında:
(-2) sayısı ile parantez açıldığı için, -2.3/2 -2.1 ifadesindeki işlemler bitirilmelidir.
(-2) . (3 / 2) işleminde, 2 sayıları sadeleşir ve sonuç (-3) olur.
(-2) . 1 işleminin sonucu (-2) olur.
(-3) ile (-2) sayıları, bir araya getirildiğinde sonuç (-5) olur.
3-) Bölme İşlemi : Üçüncü öncelik bölme işlemi içindir.
1 + 4 : (-5) işleminde, önce (4 / -5) işlemi yapılır. (4 / -5) işleminin sonucu, 1 ile toplanır.
(4 : -5) işleminin sonucu, (-)(4 / 5) olur.
1 + (-)(4 / 5) işleminde, (+) ile (-) 'nin çarpımı, (-) olur ve işlem, 1 - (4 / 5) halini alır.
4-) Toplama veya Çıkarma : Dördüncü öncelik toplama veya çıkarma işlemi içindir.
1 - (4 / 5) halini alan işlemde, 1 sayısının paydası görünür kılınır ve (1 / 1) şeklinde yazılır.
(1 / 1) - (4 / 5) işleminde, paydalar 5 sayısında birleşir.
(5 / 5) - (4 / 5) işleminin sonucu, (1 / 5) olur.
Geniş kesrin üst tarafındaki işlem sonucu (1 / 5) 'tir.
Geniş kesrin alt tarafındaki 0,02 sayısının, yüzde birler basamağında, 2 rakamı vardır.
2 . (1 / 100) = (2 / 100) olur.
Geniş kesrin alt tarafındaki 0,02 sayısının, onda birler basamağında, 0 rakamı vardır.
0 . (1 / 10) = 0 olur.
Geniş kesrin alt tarafındaki 0,02 sayısının, birler basamağında, 0 rakamı vardır.
0 . 1 = 0 olur.
0 + 0 + (2 / 100) = (2 / 100) olur.
Geniş kesrin alt tarafındaki işlem sonucu (2 / 100) 'dür.
(1 / 5) / (2 / 100) → Dış tarafta olan sayıların çarpımı, pay kısmına yazılır (100 . 1 = 100)
(1 / 5) / (2 / 100) → İç tarafta olan sayıların çarpımı, payda kısmına yazılır (2 . 5 = 10 )
(10 . 10)
(10 ) gerekli sadeleşme işlemleri yapıldığında, (100 / 10) işleminin sonucu, 10 olur.
Geniş kesre ait işlemin sonucu 10 'dur. Cevap : 10
Çarpma İşleminin Önceliğine Ait Örnekler
1 + 4 . 5 = ? işleminde
önce → 4 . 5 = 20
sonra → 20 + 1 = 21 işlemi yapılmalıdır.
2 . 5 - 1 = ? işleminde
önce → 2 . 5 = 10
sonra → 10 - 1 = 9 işlemi yapılmalıdır.
2 . (3 / 2) = ? işlemindeki parantez, kesirli sayıyı ayrı bir şekilde göstermek için konulmuştur. Parantez olmadan da ifade edilebilecek bu işlemde;
önce → (3 / 2) = 1,5
sonra → 2 . (1,5) = 3 işlemi de yapılabilir.
İşlemde, önce çarpım işlemi yapılırsa, (2 / 1) şeklinde paydası görünür kılınan 2 sayısı, (3 / 2) sayısı ile çarpılır.
(2 / 1) . (3 / 2) işleminde,
(2 . 3 )
( 1 .2 )
sadeleşmesi ile sonuç 3 / 1 = 3 olur.
Yada, 2 . (3 / 2 ) işleminde, payda eşitleme işlemi yapılmadan, 2 sayılarının sadeleştiği görülebilir. Yalnız kalan 3 sayısı, işlemin sonucu olur.
Not:
Çarpma işleminin ve bölme işleminin aynı işlemler olduğu söylenebilir. Bir sayıyı 2'ye bölmek, aynı sayıyı (1 / 2) ile çarpmak demektir.
3 . (10 / 3) = ? işleminde
Önce, (10 / 3) işlemi yapılmak istendiğinde, sonuç, (3,33...) şeklinde, devirli çıkacaktır. Devirli çıkan bölme işlemi sonlanmayacağı için çarpma işlemine öncelik verilmelidir.
Çarpma işlemine öncelik verilerek, 3 sayıları sadeleştirildiğinde, yalnız kalan 10 sayısı, işlemin sonucu olur.
Çarpma ve bölme işlemlerinin, aynı işlemler olduklarının söylenmeleri ile beraber, çarpma işlemi, bölme işleminden önceliklidir.
Örnek:
Kesirli sayılarda işlemler örnek soru (ÖSS-2005, ÖSYM):
Kesirli sayılarda işlemler örnek soru çözümü:
Geniş kesrin üst tarafındaki işlemlerden başlanır.
Parantez içindeki (3 - 1/3) ifadesi, (-) işareti ile açılır.
3 sayısı ile (-)'nin çarpımı → (-3)
(-)(1 / 3) sayısı ile (-)'nin çarpımı → (+)(1 / 3)
Parantez içindeki (3 - 1/3) ifadesi, -3 + 1/3 halinde, parantez dışına çıkar.
Geniş kesrin üst tarafındaki ifadeler yan yana yazıldığında,
3 + 1/3 -3 + 1/3 → İfadesinde, en başta bulunan, 3 sayısının işareti (+)'dır.
(+3) ile (-3) bir araya getirildiğinde, sonuç sıfır olacağından, bu iki sayının üzerine çizgi çekilir.
Geriye kalan (1 / 3) + (1 / 3) işleminin sonucu (2 / 3)'tür.
Geniş kesrin alt tarafındaki işlemde:
Parantez içindeki (9 - 1/9) ifadesi, (-) işareti ile açılır.
9 sayısı ile (-)'nin çarpımı → (-9)
(-)(1 / 9) sayısı ile (-)'nin çarpımı → (+)(1 / 9)
Parantez içindeki (9 - 1/9) ifadesi, -9 + 1/9 halinde, parantez dışına çıkar.
Geniş kesrin üst tarafındaki ifadeler yan yana yazıldığında,
9 + 1/9 -9 + 1/9 → İfadesinde, en başta bulunan, 9 sayısının işareti (+)'dır.
(+9) ile (-9) bir araya getirildiğinde, sonuç sıfır olacağından, bu iki sayının üzerine çizgi çekilir.
Geriye kalan (1 / 9) + (1 / 9) işleminin sonucu (2 / 9)'dur.
Geniş kesirdeki işlem: (2 / 3) / (2 / 9) işlemidir.
(2 / 3) / (2 / 9) → Dış tarafta olan sayıların çarpımı, pay kısmına yazılır (9 . 2)
(2 / 3) / (2 / 9) → İç tarafta olan sayıların çarpımı, payda kısmına yazılır (2 . 3)
(3 . 3 . 2)
(2 . 3 )
gerekli sadeleşme işlemleri yapıldığında, 3 sayısı kalır. Geniş kesre ait işlemin sonucu 3'tür.
Cevap : 3
İki rasyonel sayının orta noktasını bulmak için, iki sayı toplanır ve bulunan sonuç 2'ye bölünür. a ve b sayıları rasyonel sayılar kümesinin birer elemanı olmak üzere, a ile b sayılarının orta noktası (a + b) / 2 formülü ile bulunur.
Sayı doğrusu üzerinde sonsuz sayıda rasyonel sayının gösterilmesi:
Yukarıdaki resimde, 0 ve 1 sayıları arasında, sonsuz sayıda rasyonel sayı bulunabileceği, sayı doğrusu üzerinde gösterilmiştir.
İlk aşamada, 0 ve 1 sayılarının orta noktası alınmıştır.
a = 0 ve b = 1 için, a ve b sayılarının orta noktası:
(0 + 1) / 2 = 1 / 2 olur.
İkinci aşamada, orta nokta olarak bulunan 1 / 2 sayısı ile 1 sayısının orta noktası alınmıştır.
a = (1 / 2) ve b = 1 için, a ve b sayılarının orta noktası:
(1/2 + 1) / 2 = 3 / 4 olur.
Üçüncü aşamada, orta nokta olarak bulunan 3 / 4 sayısı ile 0 ve 1 sayılarının orta noktası olan, 1 / 2 sayısının orta noktası alınmıştır.
a = (1 / 2) ve b = (3 / 4) için, a ve b sayılarının orta noktası:
(1/2 + 3/4) / 2 = 5 / 8 olur.
5 / 8 sayısı ve 1 / 2 sayısının, orta noktası alınarak işleme devam edilebilir.
veya
5 / 8 sayısı ve 3 / 4 sayısının, orta noktası alınarak işleme devam edilebilir.
Hangi işlemle devam edilirse edilsin, iki rasyonel sayı arasında, her zaman, bir orta nokta bulunacaktır. Sonsuz kere tekrarlanabilecek bu işlemler nedeniyle, iki rasyonel sayı arasında, sonsuz sayıda rasyonel sayı olduğu söylenir.
Bölüm Konuları:
Kesirli Sayılarda İşlemler ve Ondalık Sayı Diliminde Yazılması
Ondalık Dilimde Sayı Basamakları , Kesirli Sayılarda İşlem Önceliği
Sonsuz Sayıda Rasyonel Sayının Sayı Doğrusu Üzerinde Gösterilmesi
Kesirli Sayılarda İşlemler
Kesir çizgisi, pay ve payda'dan oluşurlar. Kesir çizgisi, ___ şeklinde yatay bir çizgidir. Kesir çizgisinin üst tarafına yazılan sayıya pay ismi verilir. Kesir çizgisinin alt tarafına yazılan sayıya ise payda ismi verilir. Kesir çizgisi, bölme işleminin sembollerinden biridir. Kesir çizgisinin üst tarafındaki sayı, bölündüğünden, bölünen sayı ismini de alır. Kesir çizgisinin alt tarafındaki sayı ise böldüğünden, bölen sayı ismini de alır.- Pay → Bölünen sayı
- Kesir çizgisi → Bölme işlemi
- Payda → Bölen sayı
Kesirli Sayılarda Sadeleşme
1 sayısından başka ortak çarpanı olan, bölünen sayı (pay) ve bölen sayı (payda) sadeleşir. Aynı zamanda bölme işlemi olan kesir çizgisi, ortak çarpan olan aynı iki sayıyı, birbirine böler. Bir sayının, kendisine bölümünün sonucu 1'dir. 1 sayısı, bölme işleminin etkisiz elemandır. Birbirine bölünen sayıların üzerine, çizgi çekilir. 1 olan işlem sonucu, tekrar pay veya paydaya yazılmaz.Yukarıdaki resimde, sadeleşme işlemi yapılan kesirli sayılardaki kesir çizgisi, (/) sembolü ile de ifade edilebilir. Pay / Payda, şeklinde de kesirli sayılar ifade edilebilir. (/) sembolü, bölme işlemini ifade eden sembollerden biridir.
2 / 4 → bölünen sayı olan 2 sayısı, 2 . 1 = 2 şeklinde çarpanlarına ayrılır. Bölen sayı olan 4 sayısı, 2 . 2 = 4 şeklinde çarpanlarına ayrılır. Her iki sayıda, ortak çarpan, 2 sayısıdır. Ortak çarpan olan 2 sayıları sadeleşir ve üzerlerine çizgi çekilir. Geriye kalan kesir sayıları, 1 / 2 şeklinde yazılır.
6 / 4 → bölünen sayı olan 6 sayısı, 3 . 2 = 6 şeklinde çarpanlarına ayrılır. Bölen sayı olan 4 sayısı, 2 . 2 = 4 şeklinde çarpanlarına ayrılır. Her iki sayıda, ortak çarpan, 2 sayısıdır. Ortak çarpan olan 2 sayıları sadeleşir ve üzerlerine çizgi çekilir. Geriye kalan kesir sayıları, 3 / 2 şeklinde yazılır.
9 / 12 → bölünen sayı olan 9 sayısı, 3 . 3 = 9 şeklinde çarpanlarına ayrılır. Bölen sayı olan 12 sayısı, 4 . 3 = 12 şeklinde çarpanlarına ayrılır. Her iki sayıda, ortak çarpan, 3 sayısıdır. Ortak çarpan olan 3 sayıları sadeleşir ve üzerlerine çizgi çekilir. Geriye kalan kesir sayıları, 3 / 4 şeklinde yazılır.
18 / 60 → bölünen sayı olan 9 sayısı, 6 . 3 = 18 şeklinde çarpanlarına ayrılır. Bölen sayı olan 30 sayısı, 6 . 5 = 30 şeklinde çarpanlarına ayrılır. Her iki sayıda, ortak çarpan, 6 sayısıdır. Ortak çarpan olan 6 sayıları sadeleşir ve üzerlerine çizgi çekilir. Geriye kalan kesir sayıları, 3 / 5 şeklinde yazılır.
120 / 216 → Büyük değerli sayılarda, sadeleşme işlemi için, sayılar ayrı ayrı çarpanlarına ayrılır. Her iki sayı, 2 sayısından başlayarak bölünür.
120 için:
120 / 2 = 60 → Tekrar, 2 ile bölünebilir.
60 / 2 = 30 → Tekrar, 2 ile bölünebilir.
30 / 2 = 15 → 2 sayısı ile bölünmediğinden, 3 sayısı ile bölünür.
15 / 3 = 5 → 3 sayısı ile bölünmediğinden, 5 sayısı ile bölünür.
5 / 5 = 1 → 1 sayısına ulaşıldığında, sayı çarpanlarına ayrılmış olur. Yukarıdan başlayarak, 120 sayısını bölen sayılar,
(2 , 2 , 2 , 3 , 5) sayılarıdır.
216 için:
216 / 2 = 108 → Tekrar, 2 ile bölünebilir.
108 / 2 = 54 → Tekrar, 2 ile bölünebilir.
54 / 2 = 27 → 2 sayısı ile bölünmediğinden, 3 sayısı ile bölünür.
27 / 3 = 9 → Tekrar, 3 ile bölünebilir.
9 / 3 = 3 → Tekrar, 3 ile bölünebilir.
3 / 3 = 1 → 1 sayısına ulaşıldığında, sayı çarpanlarına ayrılmış olur. Yukarıdan başlayarak, 216 sayısını bölen sayılar,
(2 , 2 , 2 , 3 , 3 , 3) sayılarıdır.
(
(
Sadeleşen sayıların, üzeri çizilir. Pay kısımında 5 sayısı, payda kısmında 3 . 3 = 9 sayısı kalır. Sadeleşen kesirli sayı 5 / 9 şeklinde yazılır.
3a / 9b → bölünen sayı olan 3a sayısı, 3 . a şeklinde çarpanlarına ayrılır. Bölen sayı olan 9b sayısı, 3 . 3 . b şeklinde çarpanlarına ayrılır. Her iki sayıda, ortak çarpan, 3 sayısıdır. Ortak çarpan olan 3 sayıları sadeleşir ve üzerlerine çizgi çekilir. Geriye kalan kesir sayıları, a / 3b şeklinde yazılır.
Not: Tam sayı, doğal sayı veya herhangi bir sayı kümesi olarak tanımlanan ab sayısı ile, ab şeklinde iade edilen sayılar birbirinden farklıdır.
ab sayısı, tam sayı olmak üzere dendiğinde → ab = 10a + b
İki basamaklı ab sayısı dendiğinde → ab = 10a + b
a ve b rakam olmak üzere yazılan ab sayısı → ab = 10a + b
a ve b tam sayı olmak üzere ab ifadesi → ab = a . b
Tanımlanmamış → ab = a . b
2x + 2 / 4y + 2x → bölünen sayı olan 2x + 2 ifadesinde, toplanan iki değerin her ikisinde de, 2 sayısı ortaktır. 2.(x + 1) şeklinde, 2 parantezine alınır.
Bölen sayı olan 4y + 2x ifadesinde, toplanan iki değerin her ikisinde de, 2 sayısı ortaktır. 2.(2y + x) şeklinde, 2 parantezine alınır.
Her iki ifadede, ortak çarpan, 2 sayısıdır. Ortak çarpan olan 2 sayıları sadeleşir ve üzerlerine çizgi çekilir. Geriye kalan kesir sayıları, x+1 / 2y+x şeklinde yazılır.
Kesirli Sayılarda Toplama ve Çıkarma
Paydaları EŞİT ise:Paydaları eşit olan kesirli sayılar, kesir çizgisinin alt tarafında bulunan sayıları, eşit olan sayılardır. Toplama veya çıkarma işlemi yaparken, alt tarafta bulunan ve eşit olan sayılar ile işlem yapılmaz.
İşlem, kesir çizgisinin üst tarafında bulunan, bölünen sayılar (pay) ile yapılır. Pay kısmında yapılan işlem sonucu, yine pay kısmına yazılır. Eşit olan payda sayıları, aynen yazılır.
Kesirli Sayılarda Toplama ve Çıkarma:
3 / 5 + 6 / 5 → Pay kısmında bulunan, 3 ve 6 sayıları toplanır. 3 + 6 = 9 olur. Eşit olan paydalar, aynen yazılır. İşlemin sonucu 9 / 5 olur.
10 / 11 - 5 / 11 → Pay kısmında bulunan, 10 sayısından, 5 sayısı çıkarılır. 10 - 5 = 5 olur. Eşit olan paydalar, aynen yazılır. İşlemin sonucu 5 / 11 olur.
8 / 4 + 9 / 4 - 7 / 4 → Pay kısmında bulunan, 8 ve 9 sayısının toplamından, 7 sayısı çıkarılır. 8 + 9 - 7 = 10 olur. Eşit olan paydalar, aynen yazılır. İşlemin sonucu 10 / 4 olur. 10 / 4 sonucu sadeleşir. Bölünen sayı olan 10 sayısı, 5 . 2 = 10 şeklinde çarpanlarına ayrılır. Bölen sayı olan 4 sayısı, 2 . 2 = 4 şeklinde çarpanlarına ayrılır. Her iki sayıda, ortak çarpan, 2 sayısıdır. Ortak çarpan olan 2 sayıları sadeleşir ve üzerlerine çizgi çekilir. Geriye kalan kesir sayıları, 5 / 2 şeklinde yazılır.
Paydaları Eşit DEĞİL ise:
Paydaları eşit olmayan kesirli sayılar, kesir çizgisinin alt tarafında bulunan sayıları, eşit olmayan sayılardır. Toplama veya çıkarma işleminden önce, payda'ların eşitlenmesi gerekir.
Paydalar, aralarında asal ise (Tek ortak çarpanı 1 ise):
- Birinci sayının paydası, ikinci sayının paydasının altına, parantez içinde yazılır.
- İkinci sayının paydası, birinci sayının paydasının altına, parantez içinde yazılır.
- Parantez içindeki sayılar, hangi kesrin altına yazıldıysa, o kesrin payı ve paydası ile çarpılır.
- Çarpma işlemi sonucu elde edilen, yeni, pay ve birbirine eşitlenmiş olan payda değerlerleri ile toplama veya çıkarma işlemi yapılır.
1 / 2 + 2 / 3 → Payda'da bulunan 2 ve 3 sayıları aralarında asal sayılardır. 1 / 2 sayısının altına, parantez içinde (3) yazılır. 2 / 3 sayısının altına, parantez içinde (2) yazılır.
1 / 2 için:
Pay kısmında bulunan 1 sayısı ile, parantez içindeki 3 sayısı çarpılır ve sonuç pay kısmına yazılır. (3 . 1 = 3)
Payda kısmında bulunan 2 sayısı ile, parantez içindeki 3 sayısı çarpılır ve sonuç payda kısmına yazılır. (3 . 2 = 6)
Yeni sayı 3 / 6 olur.
2 / 3 için:
Pay kısmında bulunan 2 sayısı ile, parantez içindeki 2 sayısı çarpılır ve sonuç pay kısmına yazılır. (2 . 2 = 4)
Payda kısmında bulunan 3 sayısı ile, parantez içindeki 2 sayısı çarpılır ve sonuç payda kısmına yazılır. (3 . 2 = 6)
Yeni sayı 4 / 6 olur.
3 / 6 + 4 / 6 → Pay kısmında bulunan, 3 ve 4 sayıları toplanır. 3 + 4 = 7 olur. Eşitlenmiş olan paydalar, aynen yazılır. İşlemin sonucu 7 / 6 olur.
7 / 8 - 5 / 6 → Payda'da bulunan 8 ve 6 sayıları aralarında asal değillerdir. 8 ve 6 sayısının ortak çarpanı, 2 sayısıdır. 6 sayısı, 2'ye bölündüğünde, 3 sayısı bulunur. 8 sayısı, 2'ye bölündüğünde, 4 sayısı bulunur.
7 / 8 sayısının altına, 6 sayısının 2'ye bölüm sonucu olan 3 sayısı, parantez içinde yazılır. 5 / 6 sayısının altına, 8 sayısının 2'ye bölüm sonucu olan 4 sayısı, parantez içinde yazılır.
Sadeleşmiş olan, 3 ve 4 sayıları aralarında asal sayılardır. Daha büyük sayı değerlerinin paydalarının eşitlenmesinde, sayılar, aralarında asal olana kadar aynı sayılara bölünür. Örneğin, 1 / 144 ve 1 / 168 sayılarının paydaları eşitlenirse;
144 ve 168 → her iki sayıyı 2 böler.
72 ve 84 → her iki sayıyı 2 böler.
36 ve 42 → her iki sayıyı 2 böler.
18 ve 21 → her iki sayıyı 3 böler.
6 ve 7 → aralarında asal sayı oldular.
144 paydasının altına parantez içinde (7), 168 paydasının altına parantez içinde (6) yazılır.
7 / 8 için:
Pay kısmında bulunan 7 sayısı ile, parantez içindeki 3 sayısı çarpılır ve sonuç pay kısmına yazılır. (3 . 7 = 21)
Payda kısmında bulunan 8 sayısı ile, parantez içindeki 3 sayısı çarpılır ve sonuç payda kısmına yazılır. (3 . 8 = 24)
Yeni sayı 21 / 24 olur.
5 / 6 için:
Pay kısmında bulunan 5 sayısı ile, parantez içindeki 4 sayısı çarpılır ve sonuç pay kısmına yazılır. (4 . 5 = 20)
Payda kısmında bulunan 6 sayısı ile, parantez içindeki 4 sayısı çarpılır ve sonuç payda kısmına yazılır. (4 . 6 = 24)
Yeni sayı 20 / 24 olur.
21 / 24 + 20 / 24 → Pay kısmında bulunan, 21 sayısından, 20 sayısı çıkarılır. 21 - 20 = 1 olur. Eşitlenmiş olan paydalar, aynen yazılır. İşlemin sonucu 1 / 24 olur.
x / a + y / b → Payda'da bulunan a ve b sayıları aralarında asal kabul edilir. x / a sayısının altına, parantez içinde (b) yazılır. y / b sayısının altına, parantez içinde (a) yazılır.
x / a için:
Pay kısmında bulunan x sayısı ile, parantez içindeki b sayısı çarpılır ve sonuç pay kısmına yazılır. (b . x)
Payda kısmında bulunan a sayısı ile, parantez içindeki b sayısı çarpılır ve sonuç payda kısmına yazılır. (b . a)
Yeni sayı (b . x) / b . a olur.
y / b için:
Pay kısmında bulunan y sayısı ile, parantez içindeki a sayısı çarpılır ve sonuç pay kısmına yazılır. (a . y)
Payda kısmında bulunan b sayısı ile, parantez içindeki a sayısı çarpılır ve sonuç payda kısmına yazılır. (a . b)
Yeni sayı (a . y) / (a . b) olur.
(b . x / b . a) ± (a . y / a . b) → Pay kısmında bulunan, (b . x) ve (a . y) sayıları toplanır veya çıkarılır. (b . x) ± (a . y) olur. Eşitlenmiş olan paydalar, aynen yazılır. İşlemin sonucu (b . x) ± (a . y) / a . b olur.
Kesirli Sayılarda Çarpma
Çarpma işlemi yapılırken, paydaların eşit olma koşulu aranmaz.- Kesir çizgisinin üst tarafında bulunan sayılar çarpılır ve sonuç pay kısmına yazılır.
- Kesir çizgisinin alt tarafında bulunan sayılar çarpılır ve sonuç payda kısmına yazılır.
2 / 3 . 5 / 7
2 / 3 sayısının pay kısmında 2 sayısı, 5 / 7 sayının pay kısmında 5 sayısı vardır. (2 . 5 = 10)
2 / 3 sayısının payda kısmında 3 sayısı, 5 / 7 sayının payda kısmında 7 sayısı vardır. (3 . 7 = 21)
Sonuç: 10 / 21
-3 / 5 . 9 / -5
-3 / 5 sayısının pay kısmında -3 sayısı, 9 / -5 sayının pay kısmında 9 sayısı vardır. (-3 . 9 = -27)
-3 / 5 sayısının payda kısmında 5 sayısı, 9 / -5 sayının payda kısmında -5 sayısı vardır. (5 . -5 = -25)
Sonuç: -27 / -25 = 27 / 25 (Eksinin, eksiye bölümü artıdır.)
-7 / -2 . 9 / -8
-7 / -2 sayısının pay kısmında -7 sayısı, 9 / -8 sayının pay kısmında 9 sayısı vardır. (-7 . 9 = -63)
-7 / -2 sayısının payda kısmında -2 sayısı, 9 / -8 sayının payda kısmında -8 sayısı vardır. (-2 . -8 = 16)
Sonuç: -63 / 16
Kesirli Sayılarda Bölme
Bölme işlemi yapılırken de, paydaların eşit olma koşulu aranmaz. Yan yana yazılan iki kesirli sayıyı bölmek için (:) çift nokta kullanılır.Daha geniş bir kesir çizgisinin üst tarafına birinci kesirli sayı, alt tarafına ise ikinci kesirli sayı yazılır.
- Resimde mavi renkte gösterilen ve dış tarafta kalan sayılar çarpılır. Sonuç pay kısmına yazılır.
- Resimde kırmızı renkte gösterilen ve iç tarafta kalan sayılar çarpılır. Sonuç payda kısmına yazılır.
(2 / 3) / (5 / 7) → Dış tarafta olan sayıların çarpımı, pay kısmına yazılır (7 . 2 = 14)
(2 / 3) / (5 / 7) → İç tarafta olan sayıların çarpımı, payda kısmına yazılır (5 . 3 = 15 )
Sonuç: 14 / 15 olur.
a / b : x / y → Birinci kesirli sayı olan a / b sayısı, daha geniş çizilmiş kesir çizgisinin üst tarafına yazılır. İkinci kesirli sayı olan x / y sayısı, daha geniş çizilmiş kesir çizgisinin alt tarafına yazılır.
(a / b) / (x / y) → Pay kısmına, dış tarafta kalan mavi renkteki sayıların çarpımı yazılır (y . a) . Payda kısmına, iç tarafta kalan kırmızı renkteki sayıların çarpımı yazılır. (x . b)
Not:
a / b : x / y = a / b . y / x → Yan yana yazılan ve (:) sembolü ile bölünen iki kesirli sayı, birinci kesirli sayı ile ikinci kesirli sayının tersinin çarpımı şeklinde yazılabilir. Bu aynı zamanda, büyük kesir çizgisinin alt tarafında bulunan sayının ters çevrilerek, üst tarafında bulunan sayı ile çarpılması anlamına gelir.
Yukarıda bulunan resim incelendiğinde x / y ifadesinin, y / x ifadesine döndüğü görülebilir.
Örnek:
Yukarıda bulunan resimdeki örnekte, geniş kesir çizgisinin üst tarafında (1 / 2) + (1 / 3) işlemi, alt tarafında ise
(1 / 2) . (1 / 3) işlemi vardır. Geniş kesir çizgisinin üstündeki ve altındaki işlemler ayrı ayrı yapılıp, en son geniş kesir çizgisine ait işlem yapılmalıdır. Geniş kesir çizgisinin hem üst tarafında, hem alt tarafında çarpma işleminin bulunduğu işlemlerde, önce sadeleşme işlemi yapılabilir. Bu sadeleşme işlemleri görülünceye kadar, işlemler ayrı ayrı yapılmalıdır. Çözülen soru sayısı arttıkça, sadeleşme işlemleri daha kolay görülebilir hale gelecektir.
Geniş kesrin üst tarafında (1 / 2) + (1 / 3) işlemi vardır:
(1 / 2) + (1 / 3) → Payda'da bulunan 2 ve 3 sayıları aralarında asal sayılardır. 1 / 2 sayısının altına, parantez içinde (3) yazılır. 1 / 3 sayısının altına, parantez içinde (2) yazılır.
1 / 2 için:
Pay kısmında bulunan 1 sayısı ile, parantez içindeki 3 sayısı çarpılır ve sonuç pay kısmına yazılır. (3 . 1 = 3)
Payda kısmında bulunan 2 sayısı ile, parantez içindeki 3 sayısı çarpılır ve sonuç payda kısmına yazılır. (3 . 2 = 6)
Yeni sayı 3 / 6 olur.
1 / 3 için:
Pay kısmında bulunan 1 sayısı ile, parantez içindeki 2 sayısı çarpılır ve sonuç pay kısmına yazılır. (2 . 1 = 2)
Payda kısmında bulunan 3 sayısı ile, parantez içindeki 2 sayısı çarpılır ve sonuç payda kısmına yazılır. (3 . 2 = 6)
Yeni sayı 2 / 6 olur.
(3 / 6) + (2 / 6) → Pay kısmında bulunan, 3 ve 2 sayıları toplanır. 3 + 2 = 5 olur. Eşitlenmiş olan paydalar, aynen yazılır. Geniş kesrin üst tarafındaki toplama işlemin sonucu 5 / 6 olur.
Geniş kesrin alt tarafında (1 / 2) . (1 / 3) işlemi vardır:
1 / 2 sayısının pay kısmında 1 sayısı, 1 / 3 sayının pay kısmında da 1 sayısı vardır. (1 . 1 = 1)
1 / 2 sayısının payda kısmında 2 sayısı, 1 / 3 sayının payda kısmında 3 sayısı vardır. (3 . 2 = 6)
Geniş kesrin alt tarafındaki çarpma işlemin sonucu 1 / 6 olur.
Geniş kesirdeki bölme işlemi (5 / 6) / (1 / 6) işlemidir.
(5 / 6) / (1 / 6) → Dış tarafta olan sayıların çarpımı, pay kısmına yazılır (6 . 5)
(5 / 6) / (1 / 6) → İç tarafta olan sayıların çarpımı, payda kısmına yazılır (1 . 6)
(
(1 .
Gerekli sadeleşme işlemi yapıldığında sonuç 5 / 1 = 5 olur.
Kesirli Sayıların Ondalık Sayı Diliminde Yazılması
Bir kesirli sayı, pay'ın (bölünen sayı), payda'ya (bölen sayı) bölünmesi ile ondalık sayı dilimine çevrilir.Kesirli Sayıların Ondalık Sayı Diliminde Yazılması:
Örnek : 1
Kesirli sayılarda bölme işlemi ve örnek çözüm:
1 / 10 → 1 sayısı, 10 sayısına bölünür.
1 sayısının içinde 10 sayısı yok.
1 sayısının sağına 1 tane sıfır eklenir.
1 sayısının içinde 10 sayısı olmadığı için sonuç bölümüne 1 tane sıfır yazılır. 1 sayısının sağına, 1 tane sıfır eklendiğinden, sıfır olan sonucun sağına bir tane virgül eklenir. (0,)
Sağına 1 tane sıfır eklenen 1 sayısı, 10 olur.
10 sayısının içinde, 1 tane 10 var.
(0,) olan sonucun sağına; 10 sayısının, 10 sayısına bölüm sonucu olan 1 sayısı yazılır. (0,1)
1 / 10 = 0,1 olur.
Örnek :
9 / 40 → 9 sayısı, 40 sayısına bölünür.
9 sayısının içinde 40 sayısı yok.
9 sayısının sağına, 1 tane sıfır eklenir.
9 sayısının içinde 40 sayısı olmadığı için sonuç bölümüne 1 tane sıfır yazılır. 9 sayısının sağına, 1 tane sıfır eklendiğinden, sıfır olan sonucun sağına, bir tane virgül eklenir. (0,)
Sağına 1 tane sıfır eklenen 9 sayısı, 90 olur.
90 sayısının içinde, 2 tane 40 var.
(0,) olan sonucun sağına; 90 sayısının, 40 sayısına bölüm sonucu olan 2 sayısı yazılır. (0,2)
90 sayısından, 2 tane 40 (80) eksilince 10 kalır.
10 sayısının içinde, 40 yok.
10 sayısının sağına, 1 tane sıfır eklenir.
10 sayısının içinde 40 sayısı olmadığı için, (0,2) olan sonuç bölümünün sağına, 1 tane sıfır yazılır. (0,20) olan sonucun, sağına yazılan sıfır sayısı, sonucu değiştirmediğinden sonuç hala (0,2)'dir.
10 sayısının sağına 1 sıfır daha eklendiğinden, (0,2) olan sonucun sağına, bir tane daha virgül eklenmesi gerekir. (0,2,) ifadesinde, ikinci virgülden sonra değer olmadığı için, ikinci virgülün sonuca etkisi olmaz ve yazılmaz. Sonuç hala (0,2)'dir.
Not:
İkinci virgülden sonra değer olabilmesi için, içinde bölen olmayan bölünen sayıya, 1 değil de, 2 sıfır eklenseydi, sonuç (0,2,0) şeklinde, bölme sonucunu bekliyor olacaktı. Kalan olan bölünen sayıya, iki sıfır eklendikten sonra, içinde, 2 tane bölen değer olsun diyelim. Sonuç (0,2,02) olurdu. (0,2,02) sonucu, ikinci virgül yazılmadan (0,202) şeklinde ifade edilirdi.
Sağına 1 tane sıfır eklenen 10 sayısı, 100 olur.
100 sayısının içinde, 2 tane 40 var.
0,2 olan sonucun sağına, bir tane daha 2 eklenir ve sonuç 0,22 olur.
100 sayısından, 2 tane 40 (80) eksilince 20 kalır.
20 sayısının içinde, 40 yok.
20 sayısının sağına, 1 tane sıfır eklenir.
20 sayısının içinde 40 sayısı olmadığı için, (0,22) olan sonuç bölümünün sağına, 1 tane sıfır yazılır. (0,220) olan sonucun, sağına yazılan sıfır sayısı, sonucu değiştirmediğinden sonuç hala (0,22)'dir.
20 sayısının sağına 1 sıfır daha eklendiğinden, (0,22) olan sonucun, sağına bir tane daha virgül eklenmesi gerekir. (0,22,) ifadesinde, ikinci virgülden sonra değer olmadığı için, ikinci virgülün sonuca etkisi olmaz ve yazılmaz. Sonuç hala (0,22)'dir.
Sağına 1 tane sıfır eklenen 20 sayısı, 200 olur.
200 sayısının içinde, 5 tane 40 var.
0,22 olan sonucun sağına bir tane 5 eklenir ve sonuç 0,225 olur.
5 tane 40 sayısı, 200 yaptığından, başka kalan sayı yok. İşlem bitti.
Yukarıda verilen örnek, işlemin uzun çözümüdür ve çözüm mantığının anlaşılması için ayrıntılı anlatılmıştır.
Kesirli sayılarda bölme işlemi ve örnek çözüm:
Özetle; Bölme işleminin en başında, sonuç bölümüne (0,) yazılır. Bölünen sayıya eklenen, her sıfır için, (0,) ifadesinin sağına, bölme işleminin sonucu eklenir. İşlemin devamında, bölünen sayıya tekrar eklenen sıfır için, bölme işleminin sonucu, sonuç kısmının en sağına eklenerek işlem sürdürülür.
Örnek:
1 / 99 → 1 sayısı, 99 sayısına bölünür.
1 sayısının içinde 99 sayısı yok.
1 sayısının sağına, 1 tane sıfır eklenir.
10 sayısının içinde 99 sayısı yok.
10 sayısının sağına, 1 tane daha sıfır eklenir.
1 sayısının içinde 99 sayısı olmadığı için, sonuç bölümüne 1 tane sıfır yazılır. 1 sayısının sağına, toplamda 2 tane sıfır eklendiğinden, sıfır olan sonucun sağına, bir tane virgül, bir tane de sıfır eklenir.
(0,0) sonucunda, virgül için, eklenen birinci sıfır kullanılır.
(0,0) sonucunda, virgülden sonra yazılan sıfır için, eklenen ikinci sıfır kullanılır.
Sağına 2 tane sıfır eklenen 1 sayısı, 100 olur.
100 sayısının içinde, 1 tane 99 var.
(0,0) olan sonucun sağına; 100 sayısının, 99 sayısına bölüm sonucu olan 1 sayısı yazılır. (0,01)
100 sayısından, 1 tane 99 eksilince 1 kalır.
1 sayısının içinde 99 sayısı yok.
1 sayısının sağına, 1 tane sıfır eklenir.
10 sayısının içinde 99 sayısı yok.
10 sayısının sağına, 1 tane daha sıfır eklenir.
Sağına 2 tane sıfır eklenen 1 sayısı, 100 olur.
100 sayısının içinde, 1 tane 99 var.
0,01 olan sonucun sağına, bir tane sıfır ve 100 sayısının, 99 sayısına bölüm sonucu olan 1 sayısı yazılır.(0,0101)
1 / 99 işleminin sonucu, 0,01010101... şeklinde sonsuza uzanır. Bu sayı, virgülden sonra gelen ve devreden 01 rakamlarının, üst tarafına çizgi çizilerek ifade edilir.
Kesirli sayılarda bölme işlemi ve örnek çözüm:
Özetle; Bölme işleminin en başında, sonuç bölümüne (0,) yazılır. Bölünen sayıya eklenen birinci sıfır, için, (0,) ifadesinin sağına bir tane sıfır eklenir. Bölünen sayıya eklenen ikinci sıfır için, bölme işleminin sonucu, (0,0) ifadesinin sağına eklenir. İşlemin devamında, bölünen sayıya tekrar eklenen, her 2 tane sıfır için, sonuç kısmının en sağına, bir tane sıfır ve hemen yanına, bölme işleminin sonucu eklenerek işlem sürdürülür.
10'luk , 100'lük , 1000'lik ve 10000'lik Dilimde Sayılar
Örneklenen 10'luk dilimdeki sayılar:1 / 10 → Payda'da bulunan 10 sayısında, 1 tane sıfır vardır. Virgülden sonra, sıfır sayısı kadar (1) hane olmalıdır. Pay kısmında, sadece 1 sayısı olduğundan, 1 / 10 sayısı (onda bir) 0,1 şeklinde yazılabilir.
25 / 10 → Payda'da bulunan 10 sayısında, 1 tane sıfır vardır. Virgülden sonra, sıfır sayısı kadar hane olmalıdır. Pay kısmında, 25 sayısı olduğundan 25 / 10 sayısı; 2,5 şeklinde yazılır.
125 / 10 → Payda'da bulunan 10 sayısında, 1 tane sıfır vardır. Virgülden sonra, sıfır sayısı kadar hane olmalıdır. Pay kısmında, 125 sayısı olduğundan 125 / 10 sayısı; 12,5 şeklinde yazılır.
6125 / 10 → Payda'da bulunan 10 sayısında, 1 tane sıfır vardır. Virgülden sonra, sıfır sayısı kadar hane olmalıdır. Pay kısmında, 6125 sayısı olduğundan 6125 / 10 sayısı; 612,5 şeklinde yazılır.
Örneklenen 100'lük dilimdeki sayılar:
1 / 100 → Payda'da bulunan 100 sayısında, 2 tane sıfır vardır. Virgülden sonra, sıfır sayısı kadar (2) hane olmalıdır. Pay kısmında, sadece 1 sayısı olduğundan, 1 / 100 sayısı (yüzde bir) 0,01 şeklinde yazılabilir.
25 / 100 → Payda'da bulunan 100 sayısında, 2 tane sıfır vardır. Virgülden sonra, sıfır sayısı kadar hane olmalıdır. Pay kısmında, sadece 25 sayısı olduğundan 25 / 100 sayısı; 0,25 şeklinde yazılabilir.
125 / 100 → Payda'da bulunan 100 sayısında, 2 tane sıfır vardır. Virgülden sonra, sıfır sayısı kadar hane olmalıdır. Pay kısmında, 125 sayısı olduğundan 125 / 100 sayısı; 1,25 şeklinde yazılır.
6125 / 100 → Payda'da bulunan 100 sayısında, 2 tane sıfır vardır. Virgülden sonra, sıfır sayısı kadar hane olmalıdır. Pay kısmında, 6125 sayısı olduğundan 6125 / 100 sayısı; 61,25 şeklinde yazılır.
Örneklenen 1000'lik dilimdeki sayılar:
1 / 1000 → Payda'da bulunan 1000 sayısında, 3 tane sıfır vardır. Virgülden sonra, sıfır sayısı kadar (3) hane olmalıdır. Pay kısmında, sadece 1 sayısı olduğundan, 1 / 1000 sayısı (binde bir) 0,001 şeklinde yazılabilir.
25 / 1000 → Payda'da bulunan 1000 sayısında, 3 tane sıfır vardır. Virgülden sonra, sıfır sayısı kadar hane olmalıdır. Pay kısmında, sadece 25 sayısı olduğundan 25 / 1000 sayısı; 0,025 şeklinde yazılabilir.
125 / 1000 → Payda'da bulunan 1000 sayısında, 3 tane sıfır vardır. Virgülden sonra, sıfır sayısı kadar hane olmalıdır. Pay kısmında, sadece 125 sayısı olduğundan 125 / 1000 sayısı; 0,125 şeklinde yazılabilir.
6125 / 1000 → Payda'da bulunan 1000 sayısında, 3 tane sıfır vardır. Virgülden sonra, sıfır sayısı kadar hane olmalıdır. Pay kısmında, 6125 sayısı olduğundan 6125 / 1000 sayısı; 6,125 şeklinde yazılır.
Örneklenen 10000'lik dilimdeki sayılar:
1 / 10000 → Payda'da bulunan 10000 sayısında, 4 tane sıfır vardır. Virgülden sonra, sıfır sayısı kadar (4) hane olmalıdır. Pay kısmında, sadece 1 sayısı olduğundan, 1 / 10000 sayısı (on binde bir) 0,0001 şeklinde yazılabilir.
25 / 10000 → Payda'da bulunan 10000 sayısında, 4 tane sıfır vardır. Virgülden sonra, sıfır sayısı kadar hane olmalıdır. Pay kısmında, sadece 25 sayısı olduğundan 25 / 10000 sayısı; 0,0025 şeklinde yazılabilir.
125 / 10000 → Payda'da bulunan 10000 sayısında, 4 tane sıfır vardır. Virgülden sonra, sıfır sayısı kadar hane olmalıdır. Pay kısmında, sadece 125 sayısı olduğundan 125 / 10000 sayısı; 0,0125 şeklinde yazılabilir.
6125 / 10000 → Payda'da bulunan 10000 sayısında, 4 tane sıfır vardır. Virgülden sonra, sıfır sayısı kadar hane olmalıdır. Pay kısmında, sadece 6125 sayısı olduğundan 6125 / 10000 sayısı; 0,6125 şeklinde yazılabilir.
Ondalık Dilimde Sayı Basamakları
Ondalık dilimde sayı basamakları:Virgülden önceki ikinci basamak, onlar basamağı (10)
Virgülden önceki birinci basamak, birler basamağı (1)
Virgülden sonraki birinci basamak, onda birler basamağı (1 / 10)
Virgülden sonraki ikinci basamak, yüzde birler basamağı (1 / 100)
Virgülden sonraki üçüncü basamak, binde birler basamağı (1 / 1000)
Virgülden sonraki üçüncü basamak, on binde birler basamağı (1 / 10000) olarak isimlendirilir.
65,3402 sayısı için:
-) 65,3402 sayısı, ondalık dilimde 4 basamağı olan, 2 basamaklı bir sayıdır. On binde birler basamağındaki rakam 2'dir. On binde birler basamağındaki rakam ile on binde birler basamağının, basamak değeri olan 1 / 10000 sayısı çarpılır. 2 . (1 / 10000) = 2 / 10000
-) Binde birler basamağındaki rakam 0'dır. Binde birler basamağındaki rakam ile binde birler basamağının, basamak değeri olan 1 / 1000 sayısı çarpılır. 0 . (1 / 1000) = 0
-) Yüzde birler basamağındaki rakam 4'tür. Yüzde birler basamağındaki rakam ile yüzde birler basamağının, basamak değeri olan 1 / 100 sayısı çarpılır. 4 . (1 / 100) = 4 / 100
-) Onda birler basamağındaki rakam 3'tür. Onda birler basamağındaki rakam ile onda birler basamağının, basamak değeri olan 1 / 10 sayısı çarpılır. 3 . (1 / 10) = 3 / 10
-) Birler basamağındaki rakam 5'tir. Birler basamağındaki rakam ile birler basamağının, basamak değeri olan 1 sayısı çarpılır. 5 . 1 = 5
-) Onlar basamağındaki rakam 6'dır. Onlar basamağındaki rakam ile onlar basamağının, basamak değeri olan 10 sayısı çarpılır. 6 . 10 = 60
-) 60 + 5 + (3 / 10) + (4 / 100) + 0 + (2 / 10000) → Bütün basamak değerleri toplanır.
-) (60 / 1) + (5 / 1) + (3 / 10) + (4 / 100) + (2 / 10000) → 60 ve 5 sayıları kesirli sayıya çevrilir. 60 sayısı (60 / 1) şeklinde, 5 sayısı (5 / 1) şeklinde, kesirli ifade edilir. Paydaları görünür kılınan, tam sayıların değeri değişmez.
-) (600000 / 10000) + (50000 / 10000) + (3000 / 10000) + (400 / 10000) + (2 / 10000) → Paydalar 10000 sayısında birleşir.
-) Sonuç : 653402 / 10000 = 65,3402 olur.
Ondalık dilimdeki XY,ABCD sayısının basamakları:
XY,ABCD sayısı için:
-) XY,ABCD sayısı, ondalık dilimde 4 basamağı olan, 2 basamaklı bir sayıdır. On binde birler basamağındaki rakam D'dir. On binde birler basamağındaki rakam ile on binde birler basamağının, basamak değeri olan 1 / 10000 sayısı çarpılır. D . (1 / 10000) = D / 10000
-) Binde birler basamağındaki rakam C'dir. Binde birler basamağındaki rakam ile binde birler basamağının, basamak değeri olan 1 / 1000 sayısı çarpılır. C . (1 / 1000) = C / 1000
-) Yüzde birler basamağındaki rakam B'dir. Yüzde birler basamağındaki rakam ile yüzde birler basamağının, basamak değeri olan 1 / 100 sayısı çarpılır. B . (1 / 100) = B / 100
-) Onda birler basamağındaki rakam A'dır. Onda birler basamağındaki rakam ile onda birler basamağının, basamak değeri olan 1 / 10 sayısı çarpılır. A . (1 / 10) = A / 10
-) Birler basamağındaki rakam Y'dir. Birler basamağındaki rakam ile birler basamağının, basamak değeri olan 1 sayısı çarpılır. 1 . Y = Y
-) Onlar basamağındaki rakam X'dir. Onlar basamağındaki rakam ile onlar basamağının, basamak değeri olan 10 sayısı çarpılır. X . 10 = 10X
-) 10X + Y + (A / 10) + (B / 100) + (C / 1000) + (D / 10000) → Bütün basamak değerleri toplanır.
-) (10X / 1) + (Y / 1) + (A / 10) + (B / 100) + (C / 1000) + (D / 10000) → 10X ve Y sayıları kesirli sayıya çevrilir. 10X sayısı (10X / 1) şeklinde, Y sayısı (Y / 1) şeklinde, kesirli ifade edilir. Paydaları görünür kılınan, tam sayıların değeri değişmez.
-) (100000X / 10000) + (10000Y / 10000) + (A / 10000) + (B / 10000) + (C / 10000) + (D / 10000) → Paydalar 10000 sayısında birleşir.
-) Sonuç : (100000X + 10000Y + 1000A + 100B + 10C + D) / 10000 olur.
Örnek:
Örneklenen 0,01 / 0,1 işlemi için:
Pay kısmında 0,01 sayısı vardır. 0,01 ifadesinde, virgülden sonra 2 basamak vardır.
0,01 → 0 . (1 / 10) = 0 → onda birler basamağında, 0 sayısı olduğundan (1 / 10) . 0 = 0'dır.
0,01 → 1 . (1 / 100) = 1 / 100 → yüzde birler basamağında, 1 sayısı olduğundan (1 / 100) . 1 = 1 / 100 olur.
Onda birler basamağının değeri ile yüzde birler basamağının değerinin toplamı:
0,01 sayısının, kesirli değerini verir. 0 + (1 / 100) = 1 / 100
0,01 sayısının kesirli yazımı 1 / 100 ifadesidir.
Payda kısmında 0,1 sayısı vardır. 0,1 ifadesinde, virgülden sonra 1 basamak vardır.
Virgülden sonraki birinci basamak, onda birler basamağıdır. (1 / 10)
0,1 → 1 . (1 / 10) = 1 → onda birler basamağında, 1 sayısı olduğundan (1 / 10) . 1 = 1 / 10 olur.
0,1 sayısının, kesirli yazımı 1 / 10 ifadesidir.
Geniş kesirdeki bölme işlemi (1 / 100) / (1 / 10) işlemidir.
(1 / 100) / (1 / 10) → Dış tarafta olan sayıların çarpımı, pay kısmına yazılır (10 . 1)
(1 / 100) / (1 / 10) → İç tarafta olan sayıların çarpımı, payda kısmına yazılır (1 . 100)
(
(1 .
Gerekli sadeleşme işlemi yapıldığında sonuç 1 / 10 olur.
Kesirli Sayılarda İşlem Önceliği
İlk olarak geniş kesir çizgisinin üst tarafında olan işlemler yapılır. Geniş kesir çizgisinin üst tarafındaki işlemler, yapılmadan veya bir kısmı yapıldıktan sonra, yapılabilecek sadeleşme işlemleri olsa da, sadeleşme işlemleri görülünceye kadar, üst taraftaki işlemler yapılmalıdır. Çözülen soru sayısı arttıkça, sadeleşme işlemleri, daha kolay görülebilir hale gelir.İşlem öncelikleri, sadece kesirli sayılar için değil, dört işlem yapılan, tüm sayı kümeleri için geçerlidir.
Kesirli Sayılarda İşlem Önceliği:
1-) Parantez İçindeki İşlemler: Birinci öncelik parantez içindeki işlemler içindir.
Bir işlemde parantez varsa, parantezin açılması gerekir. Parantez, parantez içindeki işlemler bittikten sonra yada parantez içindeki işlemler yapılmadan açılabilir.
Parantezin önünde; (+) , (-) , çarpma veya bölme işlemlerinden biri bulunabilir. Parantezin önünde, (+) işaretinin bulunması, parantezin (+1) sayısı ile açılacağı; parantezin önünde, (-) işaretinin bulunması, parantezin (-1) sayısı ile açılacağı anlamına gelir.
Parantez içindeki işlemde, başka bir parantez daha varsa, işlemlere iç bölümdeki parantezden başlanır.
( 3. yapılır ( 2. yapılır (1. yapılır) ) )
Yukarıda resimde, -2(3/2 + 1) işlemi için, iki yol izlenmiştir.
Birinci yol: Parantez içindeki (3/2 + 1) işlemi bitirilir. 1 sayısının, paydası görünür kılınır ve 1/1 haline getirilir. (3 / 2) ve (1 / 1) sayılarının paydaları, 2 sayısında eşitlenir. Parantez içindeki (3 / 2) + (2 / 2) işlemin sonucu, (5 / 2) 'dir. Parantez içindeki (5 / 2) sonucu, parantez dışındaki (-2) sayısı ile çarpılır ve parantez işlemleri bitirilir. -2 . (5 / 2) işlemi bittikten sonra bölme işlemine (:) geçilebilir.
İkinci yol: Parantez içindeki (3/2 + 1) işlemi yapılmadan, parantez, parantez önündeki (-2) sayısı ile açılır. (-2) sayısı önce (3 / 2) sayısı ile çarpılır. (-2) sayısı sonra +1 sayısı ile çarpılır. Parantez açıldığında, -2.3/2 -2.1 ifadeleri kalır. Bu ifadelerle işlem bitirilmeden, önünde bulunan bölme işlemine (:) geçilmez. Bölme işlemine geçilmemesi, 4 : (-2.3/2) işleminin yapılmaması anlamına gelir. Bölme işleminden önce, -2.3/2 -2.1 ifadelerine ait işlemler bitirilmelidir.
2-) Çarpma İşlemi : İkinci öncelik çarpma işlemi içindir.
Birinci yolun devamında:
Parantez içindeki işlem bitirildiğinde (5 / 2) sonucu bulunur. (-2) ile (5 / 2) sayıları çarpıldığında, 2 sayıları sadeleşir ve sonuç (-5) olur.
(-2) sayısı, (-1) . 2 şeklinde düşünüldüğünde, 2 sayıları sadeleştikten sonra kalan 5 ve (-1) sayılarının çarpımı, (-5) olacaktır.
İkinci yolun devamında:
(-2) sayısı ile parantez açıldığı için, -2.3/2 -2.1 ifadesindeki işlemler bitirilmelidir.
(-2) . (3 / 2) işleminde, 2 sayıları sadeleşir ve sonuç (-3) olur.
(-2) . 1 işleminin sonucu (-2) olur.
(-3) ile (-2) sayıları, bir araya getirildiğinde sonuç (-5) olur.
3-) Bölme İşlemi : Üçüncü öncelik bölme işlemi içindir.
1 + 4 : (-5) işleminde, önce (4 / -5) işlemi yapılır. (4 / -5) işleminin sonucu, 1 ile toplanır.
(4 : -5) işleminin sonucu, (-)(4 / 5) olur.
1 + (-)(4 / 5) işleminde, (+) ile (-) 'nin çarpımı, (-) olur ve işlem, 1 - (4 / 5) halini alır.
4-) Toplama veya Çıkarma : Dördüncü öncelik toplama veya çıkarma işlemi içindir.
1 - (4 / 5) halini alan işlemde, 1 sayısının paydası görünür kılınır ve (1 / 1) şeklinde yazılır.
(1 / 1) - (4 / 5) işleminde, paydalar 5 sayısında birleşir.
(5 / 5) - (4 / 5) işleminin sonucu, (1 / 5) olur.
Geniş kesrin üst tarafındaki işlem sonucu (1 / 5) 'tir.
Geniş kesrin alt tarafındaki 0,02 sayısının, yüzde birler basamağında, 2 rakamı vardır.
2 . (1 / 100) = (2 / 100) olur.
Geniş kesrin alt tarafındaki 0,02 sayısının, onda birler basamağında, 0 rakamı vardır.
0 . (1 / 10) = 0 olur.
Geniş kesrin alt tarafındaki 0,02 sayısının, birler basamağında, 0 rakamı vardır.
0 . 1 = 0 olur.
0 + 0 + (2 / 100) = (2 / 100) olur.
Geniş kesrin alt tarafındaki işlem sonucu (2 / 100) 'dür.
(1 / 5) / (2 / 100) → Dış tarafta olan sayıların çarpımı, pay kısmına yazılır (100 . 1 = 100)
(1 / 5) / (2 / 100) → İç tarafta olan sayıların çarpımı, payda kısmına yazılır (2 . 5 = 10 )
(
(
Geniş kesre ait işlemin sonucu 10 'dur. Cevap : 10
Çarpma İşleminin Önceliğine Ait Örnekler
1 + 4 . 5 = ? işleminde
önce → 4 . 5 = 20
sonra → 20 + 1 = 21 işlemi yapılmalıdır.
2 . 5 - 1 = ? işleminde
önce → 2 . 5 = 10
sonra → 10 - 1 = 9 işlemi yapılmalıdır.
2 . (3 / 2) = ? işlemindeki parantez, kesirli sayıyı ayrı bir şekilde göstermek için konulmuştur. Parantez olmadan da ifade edilebilecek bu işlemde;
önce → (3 / 2) = 1,5
sonra → 2 . (1,5) = 3 işlemi de yapılabilir.
İşlemde, önce çarpım işlemi yapılırsa, (2 / 1) şeklinde paydası görünür kılınan 2 sayısı, (3 / 2) sayısı ile çarpılır.
(2 / 1) . (3 / 2) işleminde,
(
( 1 .
sadeleşmesi ile sonuç 3 / 1 = 3 olur.
Yada, 2 . (3 / 2 ) işleminde, payda eşitleme işlemi yapılmadan, 2 sayılarının sadeleştiği görülebilir. Yalnız kalan 3 sayısı, işlemin sonucu olur.
Not:
Çarpma işleminin ve bölme işleminin aynı işlemler olduğu söylenebilir. Bir sayıyı 2'ye bölmek, aynı sayıyı (1 / 2) ile çarpmak demektir.
3 . (10 / 3) = ? işleminde
Önce, (10 / 3) işlemi yapılmak istendiğinde, sonuç, (3,33...) şeklinde, devirli çıkacaktır. Devirli çıkan bölme işlemi sonlanmayacağı için çarpma işlemine öncelik verilmelidir.
Çarpma işlemine öncelik verilerek, 3 sayıları sadeleştirildiğinde, yalnız kalan 10 sayısı, işlemin sonucu olur.
Çarpma ve bölme işlemlerinin, aynı işlemler olduklarının söylenmeleri ile beraber, çarpma işlemi, bölme işleminden önceliklidir.
Örnek:
Kesirli sayılarda işlemler örnek soru (ÖSS-2005, ÖSYM):
Kesirli sayılarda işlemler örnek soru çözümü:
Geniş kesrin üst tarafındaki işlemlerden başlanır.
Parantez içindeki (3 - 1/3) ifadesi, (-) işareti ile açılır.
3 sayısı ile (-)'nin çarpımı → (-3)
(-)(1 / 3) sayısı ile (-)'nin çarpımı → (+)(1 / 3)
Parantez içindeki (3 - 1/3) ifadesi, -3 + 1/3 halinde, parantez dışına çıkar.
Geniş kesrin üst tarafındaki ifadeler yan yana yazıldığında,
3 + 1/3 -3 + 1/3 → İfadesinde, en başta bulunan, 3 sayısının işareti (+)'dır.
(+3) ile (-3) bir araya getirildiğinde, sonuç sıfır olacağından, bu iki sayının üzerine çizgi çekilir.
Geriye kalan (1 / 3) + (1 / 3) işleminin sonucu (2 / 3)'tür.
Geniş kesrin alt tarafındaki işlemde:
Parantez içindeki (9 - 1/9) ifadesi, (-) işareti ile açılır.
9 sayısı ile (-)'nin çarpımı → (-9)
(-)(1 / 9) sayısı ile (-)'nin çarpımı → (+)(1 / 9)
Parantez içindeki (9 - 1/9) ifadesi, -9 + 1/9 halinde, parantez dışına çıkar.
Geniş kesrin üst tarafındaki ifadeler yan yana yazıldığında,
9 + 1/9 -9 + 1/9 → İfadesinde, en başta bulunan, 9 sayısının işareti (+)'dır.
(+9) ile (-9) bir araya getirildiğinde, sonuç sıfır olacağından, bu iki sayının üzerine çizgi çekilir.
Geriye kalan (1 / 9) + (1 / 9) işleminin sonucu (2 / 9)'dur.
Geniş kesirdeki işlem: (2 / 3) / (2 / 9) işlemidir.
(2 / 3) / (2 / 9) → Dış tarafta olan sayıların çarpımı, pay kısmına yazılır (9 . 2)
(2 / 3) / (2 / 9) → İç tarafta olan sayıların çarpımı, payda kısmına yazılır (2 . 3)
(
(
gerekli sadeleşme işlemleri yapıldığında, 3 sayısı kalır. Geniş kesre ait işlemin sonucu 3'tür.
Cevap : 3
Sonsuz Sayıda Rasyonel Sayının Sayı Doğrusu Üzerinde Gösterilmesi
Herhangi iki rasyonel sayı arasında, sonsuz sayıda rasyonel sayı olduğu söylenir. Sayı doğrusu üzerinde, iki rasyonel sayının orta noktası alındığında; Orta noktası alınan sayılardan biri ile orta nokta arasında da bir orta nokta olduğu görülür. İki rasyonel sayı arasında sonsuz sayıda rasyonel sayı bulunması, rasyonel sayılar, sayı doğrusu üzerinde yoğundur şeklinde ifade edilir.İki rasyonel sayının orta noktasını bulmak için, iki sayı toplanır ve bulunan sonuç 2'ye bölünür. a ve b sayıları rasyonel sayılar kümesinin birer elemanı olmak üzere, a ile b sayılarının orta noktası (a + b) / 2 formülü ile bulunur.
Sayı doğrusu üzerinde sonsuz sayıda rasyonel sayının gösterilmesi:
Yukarıdaki resimde, 0 ve 1 sayıları arasında, sonsuz sayıda rasyonel sayı bulunabileceği, sayı doğrusu üzerinde gösterilmiştir.
İlk aşamada, 0 ve 1 sayılarının orta noktası alınmıştır.
a = 0 ve b = 1 için, a ve b sayılarının orta noktası:
(0 + 1) / 2 = 1 / 2 olur.
İkinci aşamada, orta nokta olarak bulunan 1 / 2 sayısı ile 1 sayısının orta noktası alınmıştır.
a = (1 / 2) ve b = 1 için, a ve b sayılarının orta noktası:
(1/2 + 1) / 2 = 3 / 4 olur.
Üçüncü aşamada, orta nokta olarak bulunan 3 / 4 sayısı ile 0 ve 1 sayılarının orta noktası olan, 1 / 2 sayısının orta noktası alınmıştır.
a = (1 / 2) ve b = (3 / 4) için, a ve b sayılarının orta noktası:
(1/2 + 3/4) / 2 = 5 / 8 olur.
5 / 8 sayısı ve 1 / 2 sayısının, orta noktası alınarak işleme devam edilebilir.
veya
5 / 8 sayısı ve 3 / 4 sayısının, orta noktası alınarak işleme devam edilebilir.
Hangi işlemle devam edilirse edilsin, iki rasyonel sayı arasında, her zaman, bir orta nokta bulunacaktır. Sonsuz kere tekrarlanabilecek bu işlemler nedeniyle, iki rasyonel sayı arasında, sonsuz sayıda rasyonel sayı olduğu söylenir.
Yorumlar
Yorum Gönder