Şu an 2. Bölüm görüntüleniyor...
Bölüm Konuları:
Negatif(-) ve Pozitif(+) Sayılar ile Dört İşlem
Rasyonel Sayılar Kümesi
(+) . (+) = (+) → (+) ile (+)'nın (sayının) çarpımı, (+)'dır. → 5 . 5 = 25
(-) . (+) = (-) → (-) ile (+)'nın çarpımı, (-)'dir. → -5 . 5 = -25
(+) . (-) = (-) → (+) ile (-)'nin çarpımı, (-)'dir. → 5 . -5 = -25
(-) . (-) = (+) → (-) ile (-)'nin çarpımı, (+)'dır. → -5 . -5 = 25
0 . (-) = 0 → Sıfır ile (-)'nin çarpımı, sıfırdır. → 0 . -5 = 0
(-) . 0 = 0 → (-) ile sıfırın çarpımı, sıfırdır. → -5 . 0 = 0
0 . (+) = 0 → Sıfır ile (+)'nın çarpımı, sıfırdır. → 0 . 5 = 0
(+) . 0 = 0 → (+) ile sıfırın çarpımı, sıfırdır. → 5 . 0 = 0
1 . 5 = 5 → Çarpma işleminin, değişme özelliği vardır. 1 . 5 = 5 . 1
1 . -5 = -5
-1 . 5 = -5
-1 . -5 = 5
Not:
(+) / (+) = (+) → (+)'nın, (+)'ya (sayıya) bölümü, (+)'dır. → 5 / 5 = 1
(-) / (+) = (-) → (-)'nin, (+)'ya bölümü, (-)'dir. → -5 / 5 = -1
(+) / (-) = (-) → (+)'nın, (-)'ye bölümü, (-)'dir. → 5 / -5 = -1
(-) / (-) = (-) → (-)'nin, (-)'ye bölümü, (+)'dır. → -5 / -5 = 1
0 / (-) = 0 → Sıfırın, (-)'ye bölümü, sıfırdır. → 0 / -5 = 0
(-) / 0 = tanımsız → (-)'nin, sıfıra bölümü, tanımsızdır. → -5 / 0 = tanımsız
0 / (+) = 0 → Sıfırın, (+)'ya bölümü, sıfırdır. → 0 / 5 = 0
(+) / 0 = tanımsız → (+)'nın, sıfıra bölümü, tanımsızdır. → 5 / 0 = tanımsız
0 / 0 = belirsiz → Sıfırın, sıfıra bölümü, belirsizdir. → 0 / 0 = belirsiz
5 / 1 = 5 → Bölme işleminin, değişme özelliği yoktur. 1 / 5 ≠ 5 / 1
5 / -1 = -5
-5 / 1 = -5
-5 / -1 = 5
Not:
(+5) + (+7) = 12 → 5 + 7 = 12
(+5) + (-7) = -2 → 5 -7 = -2 → toplama işleminin işareti olan (+) ile, 7 sayısının işareti olan (-), parantez açmak için çarpılır. (+) . (-) = (-) olacağından, toplanan iki sayı, 5 -7 şeklinde yan yana yazılır. Bu iki sayı, bir araya getirmek için toplanır.
Sonuç -2 olur.
(-5) + (+7) = 2 → -5 +7 = 2 → toplama işleminin işareti olan (+) ile, 7 sayısının işareti olan (+), parantez açmak için çarpılır. (+) . (+) = (+) olacağından, toplanan iki sayı, -5 +7 şeklinde yan yana yazılır. Bu iki sayı, bir araya getirmek için toplanır.
Sonuç 2 olur.
(-5) + (-7) = -12 → -5 -7 = -12 → toplama işleminin işareti olan (+) ile, 7 sayısının işareti olan (-), parantez açmak için çarpılır. (+) . (-) = (-) olacağından, toplanan iki sayı, -5 -7 şeklinde yan yana yazılır. Bu iki sayı, bir araya getirmek için toplanır.
Sonuç -12 olur.
Not: Sıfır (0) sayısı, toplama işleminin, etkisiz elemanıdır. Herhangi bir sayının, sıfır ile toplamı kendisidir.
(+7) - (+5) = 12 → 7 - 5 = 2
(+5) - (-7) = 12 → 5 +7 = 12 → çıkarma işleminin işareti olan (-) ile, 7 sayısının işareti olan (-), parantez açmak için çarpılır. (-) . (-) = (+) olacağından, çıkarılan iki sayı, 5 +7 şeklinde yan yana yazılır. Bu iki sayı, bir araya getirmek için toplanır.
Sonuç 12 olur.
(-5) - (+7) = -12 → -5 -7 = -12 → çıkarma işleminin işareti olan (-) ile, 7 sayısının işareti olan (+), parantez açmak için çarpılır. (-) . (+) = (-) olacağından, çıkarılan iki sayı, -5 -7 şeklinde yan yana yazılır. Bu iki sayı, bir araya getirmek için toplanır.
Sonuç -12 olur.
(-5) - (-7) = 2 → -5 +7 = 2 → çıkarma işleminin işareti olan (-) ile, 7 sayısının işareti olan (-), parantez açmak için çarpılır.
(-) . (-) = (+) olacağından, çıkarılan iki sayı, -5 +7 şeklinde yan yana yazılır. Bu iki sayı, bir araya getirmek için toplanır.
Sonuç 2 olur.
Örnek:
Ardışık 2 tek tam sayının toplamı -32 ise, küçük olan sayı kaçtır?
Çözüm:
Tek tam sayıların, k tam sayı olmak üzere, 2k+1 veya 2k-1 ile ifade edildiğini biliyoruz.
Ardışık, iki tek tam sayı arasındaki fark, 2'dir.
Örneğin;
Tek tam sayılar kümesinden, ardışık dört tane sayı { 1 , 3 , 5 , 7 } olsun.
1 ile 3 ardışık tek tam sayılardır. 3 - 1 = 2
3 ile 5 ardışık tek tam sayılardır. 5 - 3 = 2
5 ile 7 ardışık tek tam sayılardır. 7 - 5 = 2
Küçük olan sayıya 2k+1 denir.
Büyük olan sayı, 2k+1 ifadesinin, 2 fazlası olacaktır.
Küçük sayı: 2k+1
Büyük sayı: (2k+1) + 2 = 2k+3 olur.
Bu iki sayının toplamı -32 ise;
(2k+1) + (2k+3) = -32
Eşitliğin sol tarafındaki k değerleri toplandığında, 2k + 2k = 4k
Eşitliğin sol tarafındaki 1 ile 3 toplandığında, 3 + 1 = 4
4k + 4 = -32 olur.
4k değerini yalnız bırakmak için, +4 sayısı, eşitliğin sağ tarafına alınır. Eşitliğin sağ tarafına geçen +4 sayısı, işaret değiştirip -4 olacaktır. Eşitliğin diğer tarafına geçen sayı, işaret değiştirir.
4k = -32 -4
4k = -36
k bilinmeyenini yalnız bırakmak için, eşitliğin her iki tarafı, 4 sayısına bölünür. Eşitliğin her iki tarafının, aynı sayıya bölünmesi, eşitliği değiştirmez.
4k / 4 işleminde, 4 sayısının, 4'e bölümü, 1'dir. 1.k = k işleminin sonucu, k olduğundan, k yalnız kalır.
-36 / 4 işleminin sonucu -9'dur.
k = -9 olur.
2k+1 ifadesinde, k yerine -9 yazılırsa,
2.(-9) + 1 = -18 + 1 = -17 olur. (Çarpma ve toplama işleminin bulunduğu bir işlemde, önce, çarpma işlemi yapılır.)
Küçük sayı -17 ise, büyük sayı -15 olmalıdır. Cevap : -17
Yukarıdaki resimde, Rasyonel sayılar kümesi tanımlanır. a / b : ile, a / b şeklinde ifade edilen, rasyonel sayılar tanımlanmıştır. Bu tanıma göre:
a ∈ Z → a , tam sayılar kümesinin bir elemanıdır.
b ∈ Z → b , tam sayılar kümesinin bir elemanıdır.
OBEB(a,b) = 1 → a ve b sayılarının ortak katlarının en büyüğü 1'dir. Bu ifade, bu iki sayının, tek ortak çarpanının 1 olduğu anlamına gelir. Bu iki sayı sadece 1'e bölünebilir. Sadece 1'e bölünebilen iki sayı için, aralarında Asal olduğu söylenir.
Örneğin:
3 ile 5 , 8 ile 9 , 7 ile 16, aralarında asal sayılardır.
a / b ifadesinin, rasyonel sayı olabilmesi için, a / b işleminin sonucu, ondalık sayı diliminde veya devirli ondalık sayı diliminde, ifade edilebilmelidir.
5 / 2 = 2,5 → Rasyonel sayıdır.
10 / 3 = 3,33...... → Rasyonel sayıdır. 3,33... şeklinde sonsuza uzanan sonuç, virgülden (,) sonra gelen 3 sayısının üzerine, çizgi konularak, ondalık sayı diliminde ifade edilebilir. Konu içerisinde tekrar değinilecektir.
Bu koşulları sağlayan sayı kümesine, Rasyonel sayılar kümesi denir. Rasyonel sayılar kümesi, sonsuz bir kümedir ve Q sembolü ile gösterilir.
Sıfırdan (0) büyük rasyonel sayılar kümesine, Pozitif rasyonel sayılar kümesi denir ve Q⁺ sembolü ile gösterilir. Pozitif rasyonel sayılar kümesi, sonsuz bir kümedir.
Q = Q⁻ ∪ {0} ∪ Q⁺ → Negatif rasyonel sayılar kümesinin, sıfır (0) kümesinin ve Pozitif rasyonel sayılar kümesinin birleşim kümesi, Rasyonel sayılar kümesidir.
Pozitif ve negatif rasyonel sayı kümeleri:
3 / 2 ∈ Q⁺ → 3 / 2 , Pozitif rasyonel sayılar kümesinin bir elemanıdır. (3 / 2 = 1,5)
-4 / 5 ∈ Q⁻ → -4 / 5 , Negatif rasyonel sayılar kümesinin bir elemanıdır. (-4 / 5 = -0,8)
3 / 2 , -4 / 5 ∈ Q → 3 / 2 ve -4 / 5 , Rasyonel sayılar kümesinin elemanlarıdır.
Her Tam Sayı, Aynı Zamanda Rasyonel Sayıdır
Tam sayılar kümesi, Rasyonel sayılar kümesinin alt kümesidir:
a, bir tam sayı ve b = 1 için , a / b şeklinde yazılan rasyonel sayılar, aynı zamanda Tam sayılardır.
3 / 1 ∈ Q → 3 / 1 , Rasyonel sayılar kümesinin bir elemanıdır. (3 / 1 = 3)
3 ∈ Q → 3 , Rasyonel sayılar kümesinin bir elemanıdır.
3 ∈ Z → 3 , Tam sayılar kümesinin bir elemanıdır.
-3 / 1 ∈ Q → -3 / 1 , Rasyonel sayılar kümesinin bir elemanıdır. (-3 / 1 = -3)
-3 ∈ Q → -3 , Rasyonel sayılar kümesinin bir elemanıdır.
-3 ∈ Z → -3 , Tam sayılar kümesinin bir elemanıdır.
0 / 1 ∈ Q → 0 / 1 , Rasyonel sayılar kümesinin bir elemanıdır. (0 / 1 = 0)
0 ∈ Q → 0 , Rasyonel sayılar kümesinin bir elemanıdır.
0 ∈ Z → 0 , Tam sayılar kümesinin bir elemanıdır.
Z ⊂ Q → Tam sayılar kümesi, Rasyonel sayılar kümesinin alt kümesidir.
Z⁻ ⊂ Q⁻ → Negatif tam sayılar kümesi, Negatif rasyonel sayılar kümesinin alt kümesidir.
Z⁺ ⊂ Q⁺ → Pozitif tam sayılar kümesi, Pozitif rasyonel sayılar kümesinin alt kümesidir.
a / b şeklinde ifade edilen bir rasyonel sayının, bölme işlemi sonucu, devirli ondalık sayı olabilir. Yukarıdaki resimde gösterilen 2 / 3 rasyonel sayısının işlem sonucu, 0,666... şeklinde sonsuza uzanır. Bu işlem sonucu, virgülden(,) sonra yazılan 6 sayısının üzerine çizgi konularak, resimde gösterildiği gibi ifade edilebilir. Bölme işleminin sonucu devirli ondalık sayı olan ve a / b şeklinde yazılabilen sayılar, rasyonel sayılardır.
33 / 7 = 4,714285714285714285714285.... işleminin sonucu, devreden, virgülden sonraki 714285 rakamlarının üzerine, çizgi konularak ifade edilebilir. Devirli ondalık sayı olarak ifade edilebilen 33 / 7 sayısı, rasyonel bir sayıdır.
Rasyonel olmayan sayılar (İrrasyonel sayılar):
a ≠ 0 ve b = 0 için, a / b ifadesi tanımsız olur.
3 / 0 ∉ Q → 3 / 0 , Rasyonel sayılar kümesinin bir elemanı değildir. (3 / 0 = tanımsız)
a = 0 ve b = 0 için, a / b ifadesi belirsiz olur.
0 / 0 ∉ Q → 0 / 0 , Rasyonel sayılar kümesinin bir elemanı değildir. (0 / 0 = belirsiz)
Pi sayısı (22 / 7), rasyonel bir sayı değildir.
π ∉ Q → π , Rasyonel sayılar kümesinin bir elemanı değildir.
22 / 7 işleminin sonucu olan pi sayısı, 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510.... şeklinde sonsuza uzandığı söylenir. Pi sayısı, devirli ondalık sayı diliminde ifade edilemediği için, rasyonel sayı değildir.
Karekök iki sayısı, rasyonel bir sayı değildir.
√2 ∉ Q → √2 , Rasyonel sayılar kümesinin bir elemanı değildir.
x = √2 dersek ve her iki tarafın karesini alırsak x² = 2 olur. → (√2)² = √2 . √2 = 2
x, öyle bir sayı olsun ki, kendisi ile kendisinin, çarpma işleminin sonucu, 2 olsun. → x . x = 2
√2 sayısının açılımının, 1.4142135623730951.... şeklinde sonsuza uzandığı söylenir. Pi sayısı gibi, √2 sayısı da, devirli ondalık sayı diliminde ifade edilemez. Devirli ondalık sayı diliminde ifade edilemeyen √2 sayısı, rasyonel sayı değildir.
Örnek-1
x = √4 eşitliğinde, x ile x'in çarpımı, 4 olmalıdır.
Karekök (√) işleminin içinde, 4 sayısı vardır. Aynı olan, hangi iki sayı çarpılırsa, 4 sonucunu bulunur, sorusunun cevabı, √4 sayısının, açılımıdır.
x . x = 4
Aranan sayıya x dersek, x . x = 4 olmalıdır.
x . x = 2 . 2 veya x . x = (-2) . (-2)
4 sayısı, 2 . 2 = 4 veya (-2) . (-2) = 4 şeklinde açılabilir. (-) ile (-)'nin çarpım sonucu (+) olduğundan, 4 sayısı, (-2) . (-2) = 4 şeklinde de açılabilir.
x = 2 veya x = -2 olur.
İki tane x'in çarpımı ile 2 tane 2'nin çarpımı eşit ise, x = 2 olur.
İki tane x'in çarpımı ile 2 tane (-2)'nin çarpımı eşit ise, x = -2 olur.
x bilinmeyenin, iki değeri için de, √4 sayısı, rasyonel bir sayıdır.
Örnek-2
x = √8 eşitliğinde, x ile x'in çarpımı, 8 olmalıdır.
Karekök (√) işleminin içinde, 8 sayısı vardır. Aynı olan, hangi iki sayı çarpılırsa, 8 sonucunu bulunur, sorusunun cevabı, √8 sayısının, açılımıdır.
x . x = 4 . 2 = 2 . 2 . 2
Aynı, iki tam sayı çarpılarak, 8 sonucuna ulaşılmaz. 8 sayısı, kendi içinde, aynı iki sayının çarpımı olacak şekilde, çarpanlarına ayrılır. 8 sayısı önce, (4 . 2) şeklinde yazılır. 4 sayısı, (2 . 2) şeklinde yazılır. 8 sayısı (2 . 2) . 2 şeklinde açılmış olur. 4 sayısı, karekök dışına çıkabilecek bir sayıdır.
x . x = 2 . 2 . 2 veya x . x = (-2) . (-2) . 2
4 sayısı, (-2) . (-2) şeklinde de yazılabilir. 4 sayısı, (-2) . (-2) şeklinde açılırsa, 8 sayısı (-2 . -2) . 2 şeklinde açılmış olur. (-2) . (-2) işlem sonucu için, 4 sayısı yine karekök dışına çıkabilecek bir sayıdır.
x = 2√2 veya x = -2√2 olur.
(2 . 2) şeklinde yazılan 2 sayıları , kök dışına çıkar. (2 . 2) . 2 ifadesinde, renkli olan sayılar karekök dışına, bir tane 2 olarak çıkar. Renksiz olan 2 sayısı, karekök içinde kalır.
(-2 ) . (-2) şeklinde yazılan (-2) sayıları , kök dışına çıkar. (-2 . -2) . 2 ifadesinde, renkli olan sayılar karekök dışına, bir tane -2 olarak çıkar. Renksiz olan 2 sayısı, karekök içinde kalır.
x bilinmeyenin, iki değeri için de, √8 sayısı, rasyonel bir sayı değildir.
Örnek-3
x = ∛8 eşitliğinde, x ile x'in çarpımının, tekrar x ile çarpımı 8 olmalıdır. x³ = 8 olur. → (∛8)³ = ∛8 . ∛8 . ∛8 = 8
Küpkök (∛) işleminin içinde, 8 sayısı vardır. Aynı olan, hangi üç sayı çarpılırsa, 8 sonucunu bulunur, sorusunun cevabı, ∛8 sayısının, açılımıdır.
x . x . x = 8
Aranan sayıya x dersek, x . x . x = 8 olmalıdır.
x . x . x = 2 . 2 . 2
8 sayısı, 2 . 2 . 2 = 8 şeklinde açılabilir.
(-2) . (-2) . (-2) şeklinde açılırsa, ilk iki sayının çarpımı olan, (-2) ile (-2)'nin çarpım sonucu (+4) olacağından, (+4) . (-2) = -8 olur. Küpkök (∛8) sayısı içerisinde bulunan, 8 sayısının işareti (+) olmalıdır.
x = 2 olur.
Üç tane x'in çarpımı ile 3 tane 2'nin çarpımı eşit ise, x = 2 olur.
∛8 sayısı, rasyonel bir sayıdır.
Örnek-4
x = ∛-8 eşitliğinde, x ile x'in çarpımının, tekrar x ile çarpımı -8 olmalıdır.
Küpkök (∛) işleminin içinde, -8 sayısı vardır. Aynı olan, hangi üç sayı çarpılırsa, -8 sonucunu bulunur, sorusunun cevabı, ∛-8 sayısının, açılımıdır.
x . x . x = -8
Aranan sayıya x dersek, x . x . x = -8 olmalıdır.
x . x . x = (-2) . (-2) . (-2)
8 sayısı, (-2) . (-2) . (-2) = -8 şeklinde açılabilir. İlk iki sayının çarpımı olan, (-2) ile (-2)'nin çarpım sonucu (+4) olacağından, (+4) . (-2) = -8 olur. Küpkök (∛-8) sayısı içerisinde bulunan, 8 sayısının işareti (-) olmalıdır.
x = -2 olur.
Üç tane x'in çarpımı ile 3 tane (-2)'nin çarpımı eşit ise, x = -2 olur.
∛-8 sayısı, rasyonel bir sayıdır.
Örnek-5
x = ∛16 eşitliğinde, x ile x'in çarpımının, tekrar x ile çarpımı 16 olmalıdır.
Küpkök (∛) işleminin içinde, 16 sayısı vardır. Aynı olan, hangi üç sayı çarpılırsa, 16 sonucunu bulunur, sorusunun cevabı, ∛16 sayısının, açılımıdır.
x . x . x = 16 = 8 . 2
Aynı, üç tam sayı çarpılarak, 16 sonucuna ulaşılmaz. 16 sayısı, kendi içinde, aynı üç sayının çarpımı olacak şekilde, çarpanlarına ayrılır. 16 sayısı önce, (8 . 2) şeklinde yazılır. 8 sayısı, (2 . 2 . 2) şeklinde yazılır. 16 sayısı (2 . 2 . 2) . 2 şeklinde açılmış olur. 8 sayısı, küpkök dışına çıkabilecek bir sayıdır.
x . x . x = 2 . 2 . 2 . 2 veya x . x . x = (-2) . (-2) . (-2) . (-2)
-8 sayısı, (-2) . (-2) . (-2) şeklinde de yazılabilir. -8 sayısı, (-2) . (-2) . (-2) şeklinde açılırsa, 16 sayısı (-2 . -2 . -2) . (-2) şeklinde açılmalıdır. (-2 . -2 . -2) işlem sonucu için, -8 sayısı, küpkök dışına çıkabilecek bir sayıdır.
(-2) . (-2) . (-2) . (-2) ifadesinde, birinci ve ikinci (-2) sayısı için, (-2) . (-2) işleminin sonucu (+4) olur. Üçüncü ve dördüncü (-2) sayısı için, (-2) . (-2) işleminin sonucu, yine (+4) olur. (+4) . (+4) işleminin sonucu 16 olur.
x = 2∛2 veya x = -2∛-2 olur.
(2 . 2 . 2) şeklinde yazılan 2 sayıları , küpkök dışına çıkar. (2 . 2 . 2) . 2 ifadesinde, renkli olan sayılar küpkök dışına, bir tane 2 olarak çıkar. Renksiz olan 2 sayısı, küpkök içinde kalır.
(-2 ) . (-2) . (-2 ) şeklinde yazılan (-2) sayıları, kök dışına çıkar. (-2 . -2 . -2) . (-2) ifadesinde, renkli olan sayılar küpkök dışına, bir tane -2 olarak çıkar. Renksiz olan -2 sayısı, küpkök içinde kalır.
x bilinmeyenin, iki değeri için de, ∛16 sayısı, rasyonel bir sayı değildir.
Örnek Soru:
a, b ve c reel sayılardır.
a³ . b < 0
b³ . c² > 0
c⁵ . a < 0
olduğuna göre, sırasıyla (a, b, c) nin işareti aşağıdakilerden hangisidir? (kaynak: Supara)
Çözüm:
Bölüm Konuları:
Negatif(-) ve Pozitif(+) Sayılar ile Dört İşlem
Rasyonel Sayılar Kümesi
Negatif(-) ve Pozitif(+) Sayılar ile Dört İşlem
Çarpma işlemi
Çarpma işlemi nokta (.) ile de gösterilebilir.(+) . (+) = (+) → (+) ile (+)'nın (sayının) çarpımı, (+)'dır. → 5 . 5 = 25
(-) . (+) = (-) → (-) ile (+)'nın çarpımı, (-)'dir. → -5 . 5 = -25
(+) . (-) = (-) → (+) ile (-)'nin çarpımı, (-)'dir. → 5 . -5 = -25
(-) . (-) = (+) → (-) ile (-)'nin çarpımı, (+)'dır. → -5 . -5 = 25
0 . (-) = 0 → Sıfır ile (-)'nin çarpımı, sıfırdır. → 0 . -5 = 0
(-) . 0 = 0 → (-) ile sıfırın çarpımı, sıfırdır. → -5 . 0 = 0
0 . (+) = 0 → Sıfır ile (+)'nın çarpımı, sıfırdır. → 0 . 5 = 0
(+) . 0 = 0 → (+) ile sıfırın çarpımı, sıfırdır. → 5 . 0 = 0
1 . 5 = 5 → Çarpma işleminin, değişme özelliği vardır. 1 . 5 = 5 . 1
1 . -5 = -5
-1 . 5 = -5
-1 . -5 = 5
Not:
- Sıfır (0), çarpma işleminin yutan elemanıdır.
- Her sayının, sıfır ile çarpımı, sıfırdır.
- 1 sayısı, çarpma işleminin etkisiz elemanıdır.
- Her sayının, 1 ile çarpımı, kendisidir.
- Pozitif(+) işaretli sayıların, işareti, önüne yazılmayabilir. +5 = 5
Bölme işlemi
Sayı işaretlerine göre, bölme işlemi ile çapma işlemi sonuçları, birbirine benzerdir. Bölme işlemi, (/) sembolü ile gösterilmiştir.(+) / (+) = (+) → (+)'nın, (+)'ya (sayıya) bölümü, (+)'dır. → 5 / 5 = 1
(-) / (+) = (-) → (-)'nin, (+)'ya bölümü, (-)'dir. → -5 / 5 = -1
(+) / (-) = (-) → (+)'nın, (-)'ye bölümü, (-)'dir. → 5 / -5 = -1
(-) / (-) = (-) → (-)'nin, (-)'ye bölümü, (+)'dır. → -5 / -5 = 1
0 / (-) = 0 → Sıfırın, (-)'ye bölümü, sıfırdır. → 0 / -5 = 0
(-) / 0 = tanımsız → (-)'nin, sıfıra bölümü, tanımsızdır. → -5 / 0 = tanımsız
0 / (+) = 0 → Sıfırın, (+)'ya bölümü, sıfırdır. → 0 / 5 = 0
(+) / 0 = tanımsız → (+)'nın, sıfıra bölümü, tanımsızdır. → 5 / 0 = tanımsız
0 / 0 = belirsiz → Sıfırın, sıfıra bölümü, belirsizdir. → 0 / 0 = belirsiz
5 / 1 = 5 → Bölme işleminin, değişme özelliği yoktur. 1 / 5 ≠ 5 / 1
5 / -1 = -5
-5 / 1 = -5
-5 / -1 = 5
Not:
- Sıfır (0) sayısının, sıfırdan başka, herhangi bir sayıya bölümü, sıfırdır.
- Sıfırdan başka, herhangi bir sayının, sıfıra bölümü tanımsızdır.
- Sıfır sayısının, sıfıra bölümü belirsizdir.
- Tanımsız veya belirsiz olan, bölme işlemi sonucu, gerçek sayılar kümesinin bir elemanı değildir.
- Bölme işleminde, bölen kısımda olan 1 sayısı, etkisiz elemandır. Her sayının, 1'e bölümü, kendisidir.
Toplama İşlemi
Toplama işleminde, ikinci sayının parantezini açmak gerekir. Toplamı işaretinin sembolü olan (+), aynı zamanda bir işarettir. Toplama işleminin sembolü olan (+), önüne geldiği ikinci sayının işareti ile çarpılır. İlk sayı ve parantezi açılan ikinci sayı; toplama işleminin sembolü olan (+) işareti işleme sokulduğundan, yan yana yazılan iki sayı haline döner. İşlem sonucu bir bütün olduğu için, sayılar bir araya getirilmelidir. Bu iki sayıyı, bir araya getirmek için, toplamak gerekir. Bir araya getirilen sayıların büyüklüğüne göre, işlem işareti değişebileceğinden, örnekler ile açıklanır.(+5) + (+7) = 12 → 5 + 7 = 12
(+5) + (-7) = -2 → 5 -7 = -2 → toplama işleminin işareti olan (+) ile, 7 sayısının işareti olan (-), parantez açmak için çarpılır. (+) . (-) = (-) olacağından, toplanan iki sayı, 5 -7 şeklinde yan yana yazılır. Bu iki sayı, bir araya getirmek için toplanır.
Sonuç -2 olur.
(-5) + (+7) = 2 → -5 +7 = 2 → toplama işleminin işareti olan (+) ile, 7 sayısının işareti olan (+), parantez açmak için çarpılır. (+) . (+) = (+) olacağından, toplanan iki sayı, -5 +7 şeklinde yan yana yazılır. Bu iki sayı, bir araya getirmek için toplanır.
Sonuç 2 olur.
(-5) + (-7) = -12 → -5 -7 = -12 → toplama işleminin işareti olan (+) ile, 7 sayısının işareti olan (-), parantez açmak için çarpılır. (+) . (-) = (-) olacağından, toplanan iki sayı, -5 -7 şeklinde yan yana yazılır. Bu iki sayı, bir araya getirmek için toplanır.
Sonuç -12 olur.
Not: Sıfır (0) sayısı, toplama işleminin, etkisiz elemanıdır. Herhangi bir sayının, sıfır ile toplamı kendisidir.
Çıkarma İşlemi
Çıkarma işleminde, toplama işlemine benzer işlemler yapılır. Çıkarma işleminde, ikinci sayının parantezini açmak gerekir. Çıkarma işaretinin sembolü olan (-), aynı zamanda bir işarettir. Çıkarma işleminin sembolü olan (-), önüne geldiği ikinci sayının işareti ile çarpılır. İlk sayı ve parantezi açılan ikinci sayı; çıkarma işleminin sembolü olan (-) işareti işleme sokulduğundan, yan yana yazılan iki sayı haline döner. İşlem sonucu bir bütün olduğu için, sayılar bir araya getirilmelidir. Bu iki sayıyı, bir araya getirmek için, yine toplamak gerekir. Parantez açma işlemi yapılan çıkarma işleminin, toplama işlemi olduğu söylenebilir. Bir araya getirilen sayıların büyüklüğüne göre, işlem işareti değişebileceğinden, örnekler ile açıklanır.(+7) - (+5) = 12 → 7 - 5 = 2
(+5) - (-7) = 12 → 5 +7 = 12 → çıkarma işleminin işareti olan (-) ile, 7 sayısının işareti olan (-), parantez açmak için çarpılır. (-) . (-) = (+) olacağından, çıkarılan iki sayı, 5 +7 şeklinde yan yana yazılır. Bu iki sayı, bir araya getirmek için toplanır.
Sonuç 12 olur.
(-5) - (+7) = -12 → -5 -7 = -12 → çıkarma işleminin işareti olan (-) ile, 7 sayısının işareti olan (+), parantez açmak için çarpılır. (-) . (+) = (-) olacağından, çıkarılan iki sayı, -5 -7 şeklinde yan yana yazılır. Bu iki sayı, bir araya getirmek için toplanır.
Sonuç -12 olur.
(-5) - (-7) = 2 → -5 +7 = 2 → çıkarma işleminin işareti olan (-) ile, 7 sayısının işareti olan (-), parantez açmak için çarpılır.
(-) . (-) = (+) olacağından, çıkarılan iki sayı, -5 +7 şeklinde yan yana yazılır. Bu iki sayı, bir araya getirmek için toplanır.
Sonuç 2 olur.
Örnek:
Ardışık 2 tek tam sayının toplamı -32 ise, küçük olan sayı kaçtır?
Çözüm:
Tek tam sayıların, k tam sayı olmak üzere, 2k+1 veya 2k-1 ile ifade edildiğini biliyoruz.
Ardışık, iki tek tam sayı arasındaki fark, 2'dir.
Örneğin;
Tek tam sayılar kümesinden, ardışık dört tane sayı { 1 , 3 , 5 , 7 } olsun.
1 ile 3 ardışık tek tam sayılardır. 3 - 1 = 2
3 ile 5 ardışık tek tam sayılardır. 5 - 3 = 2
5 ile 7 ardışık tek tam sayılardır. 7 - 5 = 2
Küçük olan sayıya 2k+1 denir.
Büyük olan sayı, 2k+1 ifadesinin, 2 fazlası olacaktır.
Küçük sayı: 2k+1
Büyük sayı: (2k+1) + 2 = 2k+3 olur.
Bu iki sayının toplamı -32 ise;
(2k+1) + (2k+3) = -32
Eşitliğin sol tarafındaki k değerleri toplandığında, 2k + 2k = 4k
Eşitliğin sol tarafındaki 1 ile 3 toplandığında, 3 + 1 = 4
4k + 4 = -32 olur.
4k değerini yalnız bırakmak için, +4 sayısı, eşitliğin sağ tarafına alınır. Eşitliğin sağ tarafına geçen +4 sayısı, işaret değiştirip -4 olacaktır. Eşitliğin diğer tarafına geçen sayı, işaret değiştirir.
4k = -32 -4
4k = -36
k bilinmeyenini yalnız bırakmak için, eşitliğin her iki tarafı, 4 sayısına bölünür. Eşitliğin her iki tarafının, aynı sayıya bölünmesi, eşitliği değiştirmez.
4k / 4 işleminde, 4 sayısının, 4'e bölümü, 1'dir. 1.k = k işleminin sonucu, k olduğundan, k yalnız kalır.
-36 / 4 işleminin sonucu -9'dur.
k = -9 olur.
2k+1 ifadesinde, k yerine -9 yazılırsa,
2.(-9) + 1 = -18 + 1 = -17 olur. (Çarpma ve toplama işleminin bulunduğu bir işlemde, önce, çarpma işlemi yapılır.)
Küçük sayı -17 ise, büyük sayı -15 olmalıdır. Cevap : -17
Rasyonel Sayılar Kümesi
Rasyonel sayılar kümesi:Yukarıdaki resimde, Rasyonel sayılar kümesi tanımlanır. a / b : ile, a / b şeklinde ifade edilen, rasyonel sayılar tanımlanmıştır. Bu tanıma göre:
a ∈ Z → a , tam sayılar kümesinin bir elemanıdır.
b ∈ Z → b , tam sayılar kümesinin bir elemanıdır.
OBEB(a,b) = 1 → a ve b sayılarının ortak katlarının en büyüğü 1'dir. Bu ifade, bu iki sayının, tek ortak çarpanının 1 olduğu anlamına gelir. Bu iki sayı sadece 1'e bölünebilir. Sadece 1'e bölünebilen iki sayı için, aralarında Asal olduğu söylenir.
Örneğin:
3 ile 5 , 8 ile 9 , 7 ile 16, aralarında asal sayılardır.
- 3 ile 5 sayılarının, ikisini de bölen tek sayı 1'dir. 3 / 5 ve 5 / 3 sayıları, rasyonel sayılardır.
- 8 ile 9 sayılarının, ikisini de bölen tek sayı 1'dir. 8 / 9 ve 9 / 8 sayıları, rasyonel sayılardır.
- Yine, 7 ile 16 sayılarının, ikisini de bölen tek sayı 1'dir. 7 / 16 ve 16 / 7 sayıları, rasyonel sayılardır.
- 4 ile 6 sayılarının, ikisini de bölen sayılar, 2 ve 1'dir. 4 / 6 işleminde, her iki taraf 2'ye bölündüğünde, 2 / 3 sonucu bulunur. 2 / 3 sayısı, rasyonel bir sayıdır. 4 / 6 sayısı, henüz rasyonel bir sayı değildir.
- 5 ile 15 sayılarının, ikisini de bölen sayılar, 5 ve 1'dir. 5 / 15 işleminde, her iki taraf 5'e bölündüğünde, 1 / 3 sonucu bulunur. 1 / 3 sayısı, rasyonel bir sayıdır. 5 / 15 sayısı, henüz rasyonel bir sayı değildir.
- 3 ile 12 sayılarının, ikisini de bölen sayılar, 3 ve 1'dir. 3 / 12 işleminde, her iki taraf 3'e bölündüğünde, 1 / 4 sonucu bulunur. 1 / 4 sayısı, rasyonel bir sayıdır. 5 / 15 sayısı, henüz rasyonel bir sayı değildir.
- 2 sayısının, asal sayı olduğunu biliyoruz. 2 x 1 ifadesine, asal sayı diyemeyeceğimiz gibi, 2 / 4 ifadesine de, rasyonel sayı diyemeyiz. 2 sayına, asal sayı diyebiliriz. 1 / 2 sayısına, rasyonel sayı diyebiliriz.
a / b ifadesinin, rasyonel sayı olabilmesi için, a / b işleminin sonucu, ondalık sayı diliminde veya devirli ondalık sayı diliminde, ifade edilebilmelidir.
5 / 2 = 2,5 → Rasyonel sayıdır.
10 / 3 = 3,33...... → Rasyonel sayıdır. 3,33... şeklinde sonsuza uzanan sonuç, virgülden (,) sonra gelen 3 sayısının üzerine, çizgi konularak, ondalık sayı diliminde ifade edilebilir. Konu içerisinde tekrar değinilecektir.
Bu koşulları sağlayan sayı kümesine, Rasyonel sayılar kümesi denir. Rasyonel sayılar kümesi, sonsuz bir kümedir ve Q sembolü ile gösterilir.
Pozitif ve Negatif Rasyonel Sayı Kümeleri
Sıfırdan (0) küçük rasyonel sayılar kümesine, Negatif rasyonel sayılar kümesi denir ve Q⁻ sembolü ile gösterilir. Negatif rasyonel sayılar kümesi, sonsuz bir kümedir.Sıfırdan (0) büyük rasyonel sayılar kümesine, Pozitif rasyonel sayılar kümesi denir ve Q⁺ sembolü ile gösterilir. Pozitif rasyonel sayılar kümesi, sonsuz bir kümedir.
Q = Q⁻ ∪ {0} ∪ Q⁺ → Negatif rasyonel sayılar kümesinin, sıfır (0) kümesinin ve Pozitif rasyonel sayılar kümesinin birleşim kümesi, Rasyonel sayılar kümesidir.
Pozitif ve negatif rasyonel sayı kümeleri:
3 / 2 ∈ Q⁺ → 3 / 2 , Pozitif rasyonel sayılar kümesinin bir elemanıdır. (3 / 2 = 1,5)
-4 / 5 ∈ Q⁻ → -4 / 5 , Negatif rasyonel sayılar kümesinin bir elemanıdır. (-4 / 5 = -0,8)
3 / 2 , -4 / 5 ∈ Q → 3 / 2 ve -4 / 5 , Rasyonel sayılar kümesinin elemanlarıdır.
Her Tam Sayı, Aynı Zamanda Rasyonel Sayıdır
Tam sayılar kümesi, Rasyonel sayılar kümesinin alt kümesidir:
a, bir tam sayı ve b = 1 için , a / b şeklinde yazılan rasyonel sayılar, aynı zamanda Tam sayılardır.
3 / 1 ∈ Q → 3 / 1 , Rasyonel sayılar kümesinin bir elemanıdır. (3 / 1 = 3)
3 ∈ Q → 3 , Rasyonel sayılar kümesinin bir elemanıdır.
3 ∈ Z → 3 , Tam sayılar kümesinin bir elemanıdır.
-3 / 1 ∈ Q → -3 / 1 , Rasyonel sayılar kümesinin bir elemanıdır. (-3 / 1 = -3)
-3 ∈ Q → -3 , Rasyonel sayılar kümesinin bir elemanıdır.
-3 ∈ Z → -3 , Tam sayılar kümesinin bir elemanıdır.
0 / 1 ∈ Q → 0 / 1 , Rasyonel sayılar kümesinin bir elemanıdır. (0 / 1 = 0)
0 ∈ Q → 0 , Rasyonel sayılar kümesinin bir elemanıdır.
0 ∈ Z → 0 , Tam sayılar kümesinin bir elemanıdır.
Z ⊂ Q → Tam sayılar kümesi, Rasyonel sayılar kümesinin alt kümesidir.
Z⁻ ⊂ Q⁻ → Negatif tam sayılar kümesi, Negatif rasyonel sayılar kümesinin alt kümesidir.
Z⁺ ⊂ Q⁺ → Pozitif tam sayılar kümesi, Pozitif rasyonel sayılar kümesinin alt kümesidir.
Devirli Ondalık Sayı Diliminde İfade Edilebilen Rasyonel Sayılar
Devirli ondalık sayı diliminde ifade edilebilen rasyonel sayılar:a / b şeklinde ifade edilen bir rasyonel sayının, bölme işlemi sonucu, devirli ondalık sayı olabilir. Yukarıdaki resimde gösterilen 2 / 3 rasyonel sayısının işlem sonucu, 0,666... şeklinde sonsuza uzanır. Bu işlem sonucu, virgülden(,) sonra yazılan 6 sayısının üzerine çizgi konularak, resimde gösterildiği gibi ifade edilebilir. Bölme işleminin sonucu devirli ondalık sayı olan ve a / b şeklinde yazılabilen sayılar, rasyonel sayılardır.
33 / 7 = 4,714285714285714285714285.... işleminin sonucu, devreden, virgülden sonraki 714285 rakamlarının üzerine, çizgi konularak ifade edilebilir. Devirli ondalık sayı olarak ifade edilebilen 33 / 7 sayısı, rasyonel bir sayıdır.
Rasyonel Olmayan Sayılar
Rasyonel olmayan sayılar, İrrasyonel sayılardır. İrrasyonel sayılara, başka bir başlık altında değinilecektir.Rasyonel olmayan sayılar (İrrasyonel sayılar):
a ≠ 0 ve b = 0 için, a / b ifadesi tanımsız olur.
3 / 0 ∉ Q → 3 / 0 , Rasyonel sayılar kümesinin bir elemanı değildir. (3 / 0 = tanımsız)
a = 0 ve b = 0 için, a / b ifadesi belirsiz olur.
0 / 0 ∉ Q → 0 / 0 , Rasyonel sayılar kümesinin bir elemanı değildir. (0 / 0 = belirsiz)
Pi sayısı (22 / 7), rasyonel bir sayı değildir.
π ∉ Q → π , Rasyonel sayılar kümesinin bir elemanı değildir.
22 / 7 işleminin sonucu olan pi sayısı, 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510.... şeklinde sonsuza uzandığı söylenir. Pi sayısı, devirli ondalık sayı diliminde ifade edilemediği için, rasyonel sayı değildir.
Karekök iki sayısı, rasyonel bir sayı değildir.
√2 ∉ Q → √2 , Rasyonel sayılar kümesinin bir elemanı değildir.
x = √2 dersek ve her iki tarafın karesini alırsak x² = 2 olur. → (√2)² = √2 . √2 = 2
x, öyle bir sayı olsun ki, kendisi ile kendisinin, çarpma işleminin sonucu, 2 olsun. → x . x = 2
√2 sayısının açılımının, 1.4142135623730951.... şeklinde sonsuza uzandığı söylenir. Pi sayısı gibi, √2 sayısı da, devirli ondalık sayı diliminde ifade edilemez. Devirli ondalık sayı diliminde ifade edilemeyen √2 sayısı, rasyonel sayı değildir.
Örnek-1
x = √4 eşitliğinde, x ile x'in çarpımı, 4 olmalıdır.
Karekök (√) işleminin içinde, 4 sayısı vardır. Aynı olan, hangi iki sayı çarpılırsa, 4 sonucunu bulunur, sorusunun cevabı, √4 sayısının, açılımıdır.
x . x = 4
Aranan sayıya x dersek, x . x = 4 olmalıdır.
x . x = 2 . 2 veya x . x = (-2) . (-2)
4 sayısı, 2 . 2 = 4 veya (-2) . (-2) = 4 şeklinde açılabilir. (-) ile (-)'nin çarpım sonucu (+) olduğundan, 4 sayısı, (-2) . (-2) = 4 şeklinde de açılabilir.
x = 2 veya x = -2 olur.
İki tane x'in çarpımı ile 2 tane 2'nin çarpımı eşit ise, x = 2 olur.
İki tane x'in çarpımı ile 2 tane (-2)'nin çarpımı eşit ise, x = -2 olur.
x bilinmeyenin, iki değeri için de, √4 sayısı, rasyonel bir sayıdır.
Örnek-2
x = √8 eşitliğinde, x ile x'in çarpımı, 8 olmalıdır.
Karekök (√) işleminin içinde, 8 sayısı vardır. Aynı olan, hangi iki sayı çarpılırsa, 8 sonucunu bulunur, sorusunun cevabı, √8 sayısının, açılımıdır.
x . x = 4 . 2 = 2 . 2 . 2
Aynı, iki tam sayı çarpılarak, 8 sonucuna ulaşılmaz. 8 sayısı, kendi içinde, aynı iki sayının çarpımı olacak şekilde, çarpanlarına ayrılır. 8 sayısı önce, (4 . 2) şeklinde yazılır. 4 sayısı, (2 . 2) şeklinde yazılır. 8 sayısı (2 . 2) . 2 şeklinde açılmış olur. 4 sayısı, karekök dışına çıkabilecek bir sayıdır.
x . x = 2 . 2 . 2 veya x . x = (-2) . (-2) . 2
4 sayısı, (-2) . (-2) şeklinde de yazılabilir. 4 sayısı, (-2) . (-2) şeklinde açılırsa, 8 sayısı (-2 . -2) . 2 şeklinde açılmış olur. (-2) . (-2) işlem sonucu için, 4 sayısı yine karekök dışına çıkabilecek bir sayıdır.
x = 2√2 veya x = -2√2 olur.
(2 . 2) şeklinde yazılan 2 sayıları , kök dışına çıkar. (2 . 2) . 2 ifadesinde, renkli olan sayılar karekök dışına, bir tane 2 olarak çıkar. Renksiz olan 2 sayısı, karekök içinde kalır.
(-2 ) . (-2) şeklinde yazılan (-2) sayıları , kök dışına çıkar. (-2 . -2) . 2 ifadesinde, renkli olan sayılar karekök dışına, bir tane -2 olarak çıkar. Renksiz olan 2 sayısı, karekök içinde kalır.
x bilinmeyenin, iki değeri için de, √8 sayısı, rasyonel bir sayı değildir.
Örnek-3
x = ∛8 eşitliğinde, x ile x'in çarpımının, tekrar x ile çarpımı 8 olmalıdır. x³ = 8 olur. → (∛8)³ = ∛8 . ∛8 . ∛8 = 8
Küpkök (∛) işleminin içinde, 8 sayısı vardır. Aynı olan, hangi üç sayı çarpılırsa, 8 sonucunu bulunur, sorusunun cevabı, ∛8 sayısının, açılımıdır.
x . x . x = 8
Aranan sayıya x dersek, x . x . x = 8 olmalıdır.
x . x . x = 2 . 2 . 2
8 sayısı, 2 . 2 . 2 = 8 şeklinde açılabilir.
(-2) . (-2) . (-2) şeklinde açılırsa, ilk iki sayının çarpımı olan, (-2) ile (-2)'nin çarpım sonucu (+4) olacağından, (+4) . (-2) = -8 olur. Küpkök (∛8) sayısı içerisinde bulunan, 8 sayısının işareti (+) olmalıdır.
x = 2 olur.
Üç tane x'in çarpımı ile 3 tane 2'nin çarpımı eşit ise, x = 2 olur.
∛8 sayısı, rasyonel bir sayıdır.
Örnek-4
x = ∛-8 eşitliğinde, x ile x'in çarpımının, tekrar x ile çarpımı -8 olmalıdır.
Küpkök (∛) işleminin içinde, -8 sayısı vardır. Aynı olan, hangi üç sayı çarpılırsa, -8 sonucunu bulunur, sorusunun cevabı, ∛-8 sayısının, açılımıdır.
x . x . x = -8
Aranan sayıya x dersek, x . x . x = -8 olmalıdır.
x . x . x = (-2) . (-2) . (-2)
8 sayısı, (-2) . (-2) . (-2) = -8 şeklinde açılabilir. İlk iki sayının çarpımı olan, (-2) ile (-2)'nin çarpım sonucu (+4) olacağından, (+4) . (-2) = -8 olur. Küpkök (∛-8) sayısı içerisinde bulunan, 8 sayısının işareti (-) olmalıdır.
x = -2 olur.
Üç tane x'in çarpımı ile 3 tane (-2)'nin çarpımı eşit ise, x = -2 olur.
∛-8 sayısı, rasyonel bir sayıdır.
Örnek-5
x = ∛16 eşitliğinde, x ile x'in çarpımının, tekrar x ile çarpımı 16 olmalıdır.
Küpkök (∛) işleminin içinde, 16 sayısı vardır. Aynı olan, hangi üç sayı çarpılırsa, 16 sonucunu bulunur, sorusunun cevabı, ∛16 sayısının, açılımıdır.
x . x . x = 16 = 8 . 2
Aynı, üç tam sayı çarpılarak, 16 sonucuna ulaşılmaz. 16 sayısı, kendi içinde, aynı üç sayının çarpımı olacak şekilde, çarpanlarına ayrılır. 16 sayısı önce, (8 . 2) şeklinde yazılır. 8 sayısı, (2 . 2 . 2) şeklinde yazılır. 16 sayısı (2 . 2 . 2) . 2 şeklinde açılmış olur. 8 sayısı, küpkök dışına çıkabilecek bir sayıdır.
x . x . x = 2 . 2 . 2 . 2 veya x . x . x = (-2) . (-2) . (-2) . (-2)
-8 sayısı, (-2) . (-2) . (-2) şeklinde de yazılabilir. -8 sayısı, (-2) . (-2) . (-2) şeklinde açılırsa, 16 sayısı (-2 . -2 . -2) . (-2) şeklinde açılmalıdır. (-2 . -2 . -2) işlem sonucu için, -8 sayısı, küpkök dışına çıkabilecek bir sayıdır.
(-2) . (-2) . (-2) . (-2) ifadesinde, birinci ve ikinci (-2) sayısı için, (-2) . (-2) işleminin sonucu (+4) olur. Üçüncü ve dördüncü (-2) sayısı için, (-2) . (-2) işleminin sonucu, yine (+4) olur. (+4) . (+4) işleminin sonucu 16 olur.
x = 2∛2 veya x = -2∛-2 olur.
(2 . 2 . 2) şeklinde yazılan 2 sayıları , küpkök dışına çıkar. (2 . 2 . 2) . 2 ifadesinde, renkli olan sayılar küpkök dışına, bir tane 2 olarak çıkar. Renksiz olan 2 sayısı, küpkök içinde kalır.
(-2 ) . (-2) . (-2 ) şeklinde yazılan (-2) sayıları, kök dışına çıkar. (-2 . -2 . -2) . (-2) ifadesinde, renkli olan sayılar küpkök dışına, bir tane -2 olarak çıkar. Renksiz olan -2 sayısı, küpkök içinde kalır.
x bilinmeyenin, iki değeri için de, ∛16 sayısı, rasyonel bir sayı değildir.
Örnek Soru:
a, b ve c reel sayılardır.
a³ . b < 0
b³ . c² > 0
c⁵ . a < 0
olduğuna göre, sırasıyla (a, b, c) nin işareti aşağıdakilerden hangisidir? (kaynak: Supara)
Çözüm:
Not:
a³ → a . a . a
b³ → b . b . b
c² → c . c
c⁵ → c . c . c . c . c
Küçüktür işareti: <
Büyüktür işareti: >
Büyüktür ve küçüktür işaretlerinin sivri tarafı, küçük sayıyı gösterir.
a³ → a . a . a
b³ → b . b . b
c² → c . c
c⁵ → c . c . c . c . c
Küçüktür işareti: <
Büyüktür işareti: >
Büyüktür ve küçüktür işaretlerinin sivri tarafı, küçük sayıyı gösterir.
b³ . c² > 0 → ifadesi, sıfırdan büyüktür.
c sayısı, (-) sayı ise,
c² = (-) . (-) = (+)
c sayısı, (+) sayı ise,
c² = (+) . (+) = (+)
c sayısı (-) olsa da, (+) olsa da, c² sayısı (+) olur.
b³ . c² > 0 → ifadesinde, c² yerine (+) yazılırsa,
b³ . (+) > 0
b sayısı, (-) sayı ise,
b³ = (-) . (-) . (-) = (-) olur.
İlk iki (-) işaretin çarpımı (+) dır.
(+) ile, üçüncü (-) işaretin çarpımı (-) olur.
b sayısı, (+) sayı ise,
b³ = (+) . (+) . (+) = (+)
b sayısı (-) ise, b³ sayısı (-) dir. b sayısı (+) ise, b³ sayısı (+) dır.
b³ . (+) > 0 → ifadesi sıfırdan büyükse, b³ sayısı (+) dır. b³ sayısı (+) ise, b sayısı (+) işaretlidir.
b > 0 → (+)
c sayısı, (-) sayı ise,
c² = (-) . (-) = (+)
c sayısı, (+) sayı ise,
c² = (+) . (+) = (+)
c sayısı (-) olsa da, (+) olsa da, c² sayısı (+) olur.
b³ . c² > 0 → ifadesinde, c² yerine (+) yazılırsa,
b³ . (+) > 0
b sayısı, (-) sayı ise,
b³ = (-) . (-) . (-) = (-) olur.
İlk iki (-) işaretin çarpımı (+) dır.
(+) ile, üçüncü (-) işaretin çarpımı (-) olur.
b sayısı, (+) sayı ise,
b³ = (+) . (+) . (+) = (+)
b sayısı (-) ise, b³ sayısı (-) dir. b sayısı (+) ise, b³ sayısı (+) dır.
b³ . (+) > 0 → ifadesi sıfırdan büyükse, b³ sayısı (+) dır. b³ sayısı (+) ise, b sayısı (+) işaretlidir.
b > 0 → (+)
a³ . b < 0 → ifadesi, sıfırdan küçüktür. İfadede, b yerine (+) yazılırsa,
a³ . (+) < 0 → ifadesi sıfırdan küçükse, a³ sayısı (-) dir. a³ sayısı (-) ise, a sayısı (-) işaretlidir.
a < 0 → (-)
a³ . (+) < 0 → ifadesi sıfırdan küçükse, a³ sayısı (-) dir. a³ sayısı (-) ise, a sayısı (-) işaretlidir.
a < 0 → (-)
c⁵ . a < 0 → ifadesi, sıfırdan küçüktür. İfadede, a yerine (-) yazılırsa,
c⁵ . (-) < 0 → ifadesi sıfırdan küçükse, c⁵ sayısı (+) dır.
c sayısı, (-) sayı ise,
c⁵ = (-) . (-) . (-) . (-) . (-) = (-)
c sayısı, (+) sayı ise,
c⁵ = (+) . (+) . (+) . (+) . (+) = (+)
c⁵ sayısı (+) ise, c sayısı (+) işaretlidir.
c > 0 → (+)
c⁵ . (-) < 0 → ifadesi sıfırdan küçükse, c⁵ sayısı (+) dır.
c sayısı, (-) sayı ise,
c⁵ = (-) . (-) . (-) . (-) . (-) = (-)
c sayısı, (+) sayı ise,
c⁵ = (+) . (+) . (+) . (+) . (+) = (+)
c⁵ sayısı (+) ise, c sayısı (+) işaretlidir.
c > 0 → (+)
Yorumlar
Yorum Gönder