Şu an 4. Bölüm görüntüleniyor...
Bölüm Konuları:
Devirli Ondalık Sayılar
İrrasyonel Sayılar Kümesi
Devirli ondalık sayı örnekleri:
Yukarıda gösterilen (1 / 3) sayısının ondalık açılımı → 0,333... şeklinde sonsuza uzanır. Sonsuz kere tekrar eden 3 rakamının üzerine çizgi konulur.
(23 / 12) sayısının ondalık açılımı → 1,91666... şeklinde sonsuza uzanır. Sonsuz kere tekrar eden 6 rakamının üzerine çizgi konulur.
(87 / 33) sayısının ondalık açılımı → 2,6363... şeklinde sonsuza uzanır. Sonsuz kere tekrar eden 6 ve 3 rakamlarının üzerine çizgi konulur.
Yukarıda gösterilen formül ile, tüm devirli ondalık sayılar, kesirli sayılara çevrilebilir. Formülde gösterilen (-) sembolü çıkarma işlemini temsil eder. Yatay uzun çizgi, kesir çizgisidir.
Formülde gösterilen sayılar:
Tüm rakamların oluşturduğu sayı : Devirli ondalık sayıyı oluşturan tüm rakamlar, yan yana yazıldığında, bir tam sayı oluşturur. Formülde bu sayıya, tüm rakamların oluşturduğu sayı ismi verilmiştir.
Devretmeyen tüm rakamların oluşturduğu sayı : Devretmeyen (üzerinde çizgi bulunmayan) tüm rakamlar, yan yana yazıldığında, bir tam sayı oluşturur. Formülde bu sayıya, devretmeyen tüm rakamların oluşturduğu sayı ismi verilmiştir.
Devreden ondalık rakam sayısı kadar 9 : Devreden (üzerinde çizgi bulunan) rakam kaç tane ise, o kadar sayıda 9 rakamı, kesir çizginin altına yazılır.
Yukarıda örneği verilen 0,333... sayısında, sadece 3 rakamının üstünde çizgi bulunduğu için, 1 tane 9 rakamı, kesir çizgisinin altına yazılır. 9 sayısı, sadeleşme işleminden sonrasında, 3 sayısına dönecektir.
Yine, yukarıda örneği verilen 2,6363... sayısında, 3 ve 6 rakamlarının üstünde çizgi vardır. İki rakamın üstünde çizgi bulunduğundan, 2 tane 9 sayısı, 99 şeklinde, kesir çizgisinin alt tarafına yazılır. 99 sayısı, sadeleşme işleminden sonrasında, 33 sayısına dönecektir.
Devretmeyen ondalık rakam sayısı kadar 0 : Virgülden sonra, devretmeyen (üzerinde çizgi bulunmayan) rakam kaç tane ise, o kadar sayıda sıfır rakamı, kesir çizginin altına, 9 sayısının veya 9 sayılarının sağ tarafına yazılır. Virgülden sonra, devretmeyen ondalık rakamlar, her ondalık sayıda bulunmaz.
Yukarıda örneği verilen 1,91666... sayısında, sadece 6 rakamının üstünde çizgi bulunduğu için, 1 tane 9 rakamı, kesir çizgisinin altına yazılır. Virgülden sonra, 9 ve 1 rakamlarının üstünde çizgi yoktur. Virgülden sonra, üzerinde çizgi bulunmayan, iki tane sayı olduğundan, 2 tane sıfır, 9 sayının yanına, 900 şeklinde yazılır. 900 sayısı, sadeleşme işleminden sonrasında, 12 sayısına dönecektir.
Örnek:
Devirli ondalık sayıların kesirli sayılara çevrilmesine örnek:
AB,CDEF sayısında, E ve F rakamları devrediyor.
Tüm sayıyı oluşturan rakamlar; A , B , C , D , E ve F rakamlarıdır. Bu rakamlar yan yana yazıldığında, ABCDEF sayısı oluşur.
Üzerinde çizgi bulunmayan (devretmeyen) tüm rakamlar; A , B , C ve D rakamlarıdır. Bu rakamlar yan yana yazıldığında, ABCD sayısı oluşur.
Virgülden sonra, üzerinde çizgi bulunan (devreden) rakamlar; E ve F rakamlarıdır. Virgülden sonra iki tane devreden rakam olduğu için, kesir sayısının alt tarafına, 2 tane 9 rakamı, 99 şeklinde yazılır.
Virgülden sonra, üzerinde çizgi bulunmayan (devretmeyen) rakamlar; C ve D rakamlarıdır. Virgülden sonra iki tane devretmeyen rakam olduğu için, kesir çizgisinin alt tarafına, 2 tane sıfır rakamı, 99 sayısının sağ tarafına, 9900 şeklinde yazılır.
(ABCDEF - ABCD) / 9900
Örnek:
Devirli ondalık sayıların kesirli sayılara çevrilmesine örnek:
AB,CDE sayısında, D ve E rakamları devrediyor.
Tüm sayıyı oluşturan rakamlar; A , B , C , D ve E rakamlarıdır. Bu rakamlar yan yana yazıldığında, ABCDE sayısı oluşur.
Üzerinde çizgi bulunmayan (devretmeyen) tüm rakamlar; A , B ve C rakamlarıdır. Bu rakamlar yan yana yazıldığında, ABC sayısı oluşur.
Virgülden sonra, üzerinde çizgi bulunan (devreden) rakamlar; D ve E rakamlarıdır. Virgülden sonra iki tane devreden rakam olduğu için, kesir sayısının alt tarafına, 2 tane 9 rakamı, 99 şeklinde yazılır.
Virgülden sonra, üzerinde çizgi bulunmayan (devretmeyen) rakam, sadece C rakamıdır. Virgülden sonra bir tane devretmeyen rakam olduğu için, kesir çizgisinin alt tarafına, 1 tane sıfır rakamı, 99 sayısının sağ tarafına, 990 şeklinde yazılır.
(ABCDE - ABC) / 990
Örnek:
Devirli ondalık sayıların kesirli sayılara çevrilmesine örnek:
AB,CD sayısında, C ve D rakamları devrediyor.
Tüm sayıyı oluşturan rakamlar; A , B , C ve D rakamlarıdır. Bu rakamlar yan yana yazıldığında, ABCD sayısı oluşur.
Üzerinde çizgi bulunmayan (devretmeyen) tüm rakamlar; A ve B rakamlarıdır. Bu rakamlar yan yana yazıldığında, AB sayısı oluşur.
Virgülden sonra, üzerinde çizgi bulunan (devreden) rakamlar; C ve D rakamlarıdır. Virgülden sonra iki tane devreden rakam olduğu için, kesir sayısının alt tarafına, 2 tane 9 rakamı, 99 şeklinde yazılır.
Virgülden sonra, üzerinde çizgi bulunmayan (devretmeyen) rakam, yoktur. Virgülden sonra devretmeyen rakam olmadığı için, kesir çizgisinin alt tarafına, 99 sayısının sağ tarafına, hiç sıfır yazılmaz.
(ABCD - AB) / 99
Örnek:
Devirli ondalık sayıların kesirli sayılara çevrilmesine örnek:
AB,CD sayısında, D rakamı devrediyor.
Tüm sayıyı oluşturan rakamlar; A , B , C ve D rakamlarıdır. Bu rakamlar yan yana yazıldığında, ABCD sayısı oluşur.
Üzerinde çizgi bulunmayan (devretmeyen) tüm rakamlar; A , B ve C rakamlarıdır. Bu rakamlar yan yana yazıldığında, ABC sayısı oluşur.
Virgülden sonra, üzerinde çizgi bulunan (devreden) rakam, sadece D rakamıdır. Virgülden sonra bir tane devreden rakam olduğu için, kesir sayısının alt tarafına, 1 tane 9 rakamı yazılır.
Virgülden sonra, üzerinde çizgi bulunmayan (devretmeyen) rakam, sadece C rakamıdır. Virgülden sonra bir tane devretmeyen rakam olduğu için, kesir çizgisinin alt tarafına, 1 tane sıfır rakamı, 9 sayısının sağ tarafına, 90 şeklinde yazılır.
(ABCD - ABC) / 90
Örnek:
Devirli ondalık sayıların kesirli sayılara çevrilmesine örnek:
AB,C sayısında, C rakamı devrediyor.
Tüm sayıyı oluşturan rakamlar; A , B ve C rakamlarıdır. Bu rakamlar yan yana yazıldığında, ABC sayısı oluşur.
Üzerinde çizgi bulunmayan (devretmeyen) tüm rakamlar; A ve B rakamlarıdır. Bu rakamlar yan yana yazıldığında, AB sayısı oluşur.
Virgülden sonra, üzerinde çizgi bulunan (devreden) rakam, sadece C rakamıdır. Virgülden sonra bir tane devreden rakam olduğu için, kesir sayısının alt tarafına, 1 tane 9 rakamı yazılır.
Virgülden sonra, üzerinde çizgi bulunmayan (devretmeyen) rakam, yoktur. Virgülden sonra devretmeyen rakam olmadığı için, kesir çizgisinin alt tarafına, 9 sayısının sağ tarafına, hiç sıfır yazılmaz.
(ABC - AB) / 9
Örnek:
Devirli ondalık sayıların kesirli sayılara çevrilmesine örnek:
0,AB sayısında, B rakamı devrediyor.
Tüm sayıyı oluşturan rakamlar; 0 , A ve B rakamlarıdır. Bu rakamlar yan yana yazıldığında, 0AB sayısı oluşur. 0AB sayısının, yüzler basamağında sıfır rakamı olduğu için, bu sayı, AB şeklinde yazılır.
Üzerinde çizgi bulunmayan (devretmeyen) tüm rakamlar; 0 ve A rakamlarıdır. Bu rakamlar yan yana yazıldığında, 0A sayısı oluşur. 0A sayısının, onlar basamağında sıfır rakamı olduğu için, bu sayı, A şeklinde yazılır.
Virgülden sonra, üzerinde çizgi bulunan (devreden) rakam, sadece B rakamıdır. Virgülden sonra bir tane devreden rakam olduğu için, kesir sayısının alt tarafına, 1 tane 9 rakamı yazılır.
Virgülden sonra, üzerinde çizgi bulunmayan (devretmeyen) rakam, sadece A rakamıdır. Virgülden sonra bir tane devretmeyen rakam olduğu için, kesir çizgisinin alt tarafına, 1 tane sıfır rakamı, 9 sayısının sağ tarafına, 90 şeklinde yazılır.
(AB - A) / 90
Örnek:
Devirli ondalık sayıların kesirli sayılara çevrilmesine örnek:
0,A sayısında, A rakamı devrediyor.
Tüm sayıyı oluşturan rakamlar; 0 ve A rakamlarıdır. Bu rakamlar yan yana yazıldığında, 0A sayısı oluşur. 0A sayısının, onlar basamağında sıfır rakamı olduğu için, bu sayı, A şeklinde yazılır.
Üzerinde çizgi bulunmayan (devretmeyen) tüm rakamlar ifadesi için, sadece 0 rakamı var.
Virgülden sonra, üzerinde çizgi bulunan (devreden) rakam, sadece A rakamıdır. Virgülden sonra bir tane devreden rakam olduğu için, kesir sayısının alt tarafına, 1 tane 9 rakamı yazılır.
Virgülden sonra, üzerinde çizgi bulunmayan (devretmeyen) rakam, yoktur. Virgülden sonra devretmeyen rakam olmadığı için, kesir çizgisinin alt tarafına, 9 sayısının sağ tarafına, hiç sıfır yazılmaz.
(A - 0) / 9 = A / 9
Örnek:
x = 5,2333...
y = 0,333...
olduğuna göre, x - y farkı kaçtır? (Kaynak: Supara)
Çözüm:
Devirli ondalık sayılarda işlemler örnek soru çözümü:
x = 5,23 sayısında, 3 rakamı devrediyor.
Tüm sayıyı oluşturan rakamlar; 5 , 2 ve 3 rakamlarıdır. Bu rakamlar yan yana yazıldığında, 523 sayısı oluşur.
Üzerinde çizgi bulunmayan (devretmeyen) tüm rakamlar; 5 ve 2 rakamlarıdır. Bu rakamlar yan yana yazıldığında, 52 sayısı oluşur.
Virgülden sonra, üzerinde çizgi bulunan (devreden) rakam, sadece 3 rakamıdır. Virgülden sonra bir tane devreden rakam olduğu için, kesir sayısının alt tarafına, 1 tane 9 rakamı yazılır.
Virgülden sonra, üzerinde çizgi bulunmayan (devretmeyen) rakam, sadece 2 rakamıdır. Virgülden sonra bir tane devretmeyen rakam olduğu için, kesir çizgisinin alt tarafına, 1 tane sıfır rakamı, 9 sayısının sağ tarafına, 90 şeklinde yazılır.
x = (523 - 52) / 90 → 471 / 90 olur.
y = 0,3 sayısında, 3 rakamı devrediyor.
Tüm sayıyı oluşturan rakamlar; 0 ve 3 rakamlarıdır. Bu rakamlar yan yana yazıldığında, 03 sayısı oluşur. 03 sayısının, onlar basamağında sıfır rakamı olduğu için, bu sayı, 3 şeklinde yazılır.
Üzerinde çizgi bulunmayan (devretmeyen) tüm rakamlar ifadesi için, sadece 0 rakamı var.
Virgülden sonra, üzerinde çizgi bulunan (devreden) rakam, sadece 3 rakamıdır. Virgülden sonra bir tane devreden rakam olduğu için, kesir sayısının alt tarafına, 1 tane 9 rakamı yazılır.
Virgülden sonra, üzerinde çizgi bulunmayan (devretmeyen) rakam, yoktur. Virgülden sonra devretmeyen rakam olmadığı için, kesir çizgisinin alt tarafına, 9 sayısının sağ tarafına, hiç sıfır yazılmaz.
y = (3 - 0) / 9 → 3 / 9 → 1 / 3 olur.
x - y = (471 / 90) - (1 / 3) işleminde, payda kısmında bulunan sayılar, 90 ve 3 sayılarıdır. (1 / 3) sayısının altına, parantez içinde (30) sayısı yazılırsa, paydalar 90 sayısında eşitlenir. (1 / 3) sayısının payı ve paydası, 30 ile çarpılır. (1 . 30 / 3 . 30) = (30 / 90) olur.
(471 / 90) - (30 / 90) = (471 - 30) / 90 = (441 / 90) olur.
Not:
Rakamları toplamı, 3 veya 3'ün katı olan sayılar, 3'e bölünebilirler.
441 sayısının, rakamları toplandığında, 4 + 4 + 1 = 9 olur. 441 sayısının rakamları toplamı 9'dur. 9 sayısı, 3 sayısının katı olduğundan (3 . 3 = 9), 441 sayısı, 3'e bölünebilir.
Rakamları toplamı, 9 veya 9'un katı olan sayılar, 9'a bölünebilirler.
441 sayısının, rakamları toplandığında, 4 + 4 + 1 = 9 olur. 441 sayısının rakamları toplamı 9 olduğundan, 441 sayısı, 9'a da bölünebilir.
(441 / 90) sayısının, her iki tarafı 3'e bölünerek sadeleştirilir.
(3 . 147)
(3 . 30 ) → (147 / 30)
(147 / 30) sayısının, her iki tarafı 3'e bölünerek sadeleştirilir.
(3 . 49)
(3 . 10 ) → (49 / 10) → 4,9 olur. Cevap: 4,9
(441 / 90) sayısının, her iki tarafı, 9 sayısına bölünerek de cevap bulunabilir.
90 sayısını rakamları toplamı 9 + 0 = 9 olduğundan, bu sayının, 3'e ve 9'a bölünebildiği, işlem yapmadan görülebilir.
Sadeleşme işlemi görülemiyorsa, 441 sayısı, 90 sayısına bölme işlemi ile bölünerek, aynı sonuç bulunabilir.
a / b ifadesinin tanımını için, a / b şeklinde yazılamayan sayılar ile
a / b şeklinde olup, ondalık açılımları, devirsiz ve sonsuz rakamdan oluşan (devirli ondalık sayı şeklinde yazılamayan) sayılar, İrrasyonel sayılar kümesini oluşturur.
a / b ifadesinin tanımı:
a ∈ Z → a , tam sayılar kümesinin bir elemanıdır.
b ∈ Z → b , tam sayılar kümesinin bir elemanıdır.
b ≠ 0 → b tam sayısı, sıfıra eşit değil. b = 0 için, a / b ifadesi, tanımsız veya belirsiz olacaktır. Tanımsız veya belirsiz olan bir ifade, Gerçek sayılar kümesinin elemanı değildir.
Bu koşulları sağlayan sayı kümesine, İrrasyonel sayılar kümesi denir. Rasyonel sayılar kümesi, sonsuz bir kümedir ve Q' sembolü ile gösterilir.
Ondalık açılımları devirli olan sayılar, irrasyonel sayılar kümesinin elemanı değildir. Bu sayılar, rasyonel sayılar kümesinin elemanlarıdır. Devreden rakamları, sonsuz sayıda rakamdan oluşsa da, devreden rakamlarının üzerine çizgi konularak, ifade edilebilir olduklarından, irrasyonel sayılar kümesinin elemanları değillerdir.
(1 / 3) ∉ Q' → (1 / 3) sayısı, irrasyonel sayılar kümesinin elemanı değildir. (1 / 3) sayısı, devreden, 3 rakamının üzerine çizgi konularak, (0,3) şeklinde ifade edilebilir.
(29 / 12) ∉ Q' → (29 / 12) sayısı, irrasyonel sayılar kümesinin elemanı değildir. (29 / 12) sayısı, devreden, 6 rakamının üzerine çizgi konularak, (2,416) şeklinde ifade edilebilir.
(11 / 9) ∉ Q' → (11 / 9) sayısı, irrasyonel sayılar kümesinin elemanı değildir. (11 / 9) sayısı, devreden, 2 rakamının üzerine çizgi konularak, (1,2) şeklinde ifade edilebilir.
a / b İfadesinin Tanımını İçin, a / b Şeklinde Yazılamayan Sayılar
Kök içinden çıkarılamayan irrasyonel sayılar:
Kök içinden çıkarılamayan sayılar, irrasyonel kümesinin elemanıdır. √2 , √3 ve ∛5 gibi, kök içinden çıkarılamayan sayılar, irrasyonel sayılardır. ( √4 = 2 veya -2 ) ve (∛8 = 2 ) gibi, kök içinden çıkarılabilen sayılar, rasyonel sayılardır.
√2 ∈ Q' → √2 sayısı (karekök 2), irrasyonel sayılar kümesinin bir elemanıdır. √2 sayısının, 1.4142135623730951... şeklinde sonsuz rakamdan oluştuğu söylenir. Devirli ondalık sayı şeklinde yazılamayan √2 sayısı, irrasyonel bir sayıdır. √2 sayısı, 2 üssü (1/2) şeklinde de yazılabilir. 2 üssü (1/2) sayısı da irrasyonel bir sayıdır.
√3 ∈ Q' → √3 sayısı, irrasyonel sayılar kümesinin bir elemanıdır. √3 sayısının, 1.7320508075688772... şeklinde sonsuz rakamdan oluştuğu söylenir. Devirli ondalık sayı şeklinde yazılamayan √3 sayısı, irrasyonel bir sayıdır. √3 sayısı, 3 üssü (1/2) şeklinde de yazılabilir. 3 üssü (1/2) sayısı da irrasyonel bir sayıdır.
√5 ∈ Q' → √5 sayısı, irrasyonel sayılar kümesinin bir elemanıdır. √5 sayısının, 2.23606797749979... şeklinde sonsuz rakamdan oluştuğu söylenir. Devirli ondalık sayı şeklinde yazılamayan √5 sayısı, irrasyonel bir sayıdır. √5 sayısı, 5 üssü (1/2) şeklinde de yazılabilir. 5 üssü (1/2) sayısı da irrasyonel bir sayıdır.
∛2 ∈ Q' → ∛2 sayısı (küp kök 2), irrasyonel sayılar kümesinin bir elemanıdır. ∛2 sayısının, 1.2599210498949... şeklinde sonsuz rakamdan oluştuğu söylenir. Devirli ondalık sayı şeklinde yazılamayan ∛2 sayısı, irrasyonel bir sayıdır. ∛2 sayısı, 2 üssü (1/3) şeklinde de yazılabilir. 2 üssü (1/3) sayısı da irrasyonel bir sayıdır.
∛3 ∈ Q' → ∛3 sayısı, irrasyonel sayılar kümesinin bir elemanıdır. ∛3 sayısının, 1.4422495703074... şeklinde sonsuz rakamdan oluştuğu söylenir. Devirli ondalık sayı şeklinde yazılamayan ∛3 sayısı, irrasyonel bir sayıdır. ∛3 sayısı, 3 üssü (1/3) şeklinde de yazılabilir. 3 üssü (1/3) sayısı da irrasyonel bir sayıdır.
∛5 ∈ Q' → ∛5 sayısı, irrasyonel sayılar kümesinin bir elemanıdır. ∛5 sayısının, 1.7099759466767... şeklinde sonsuz rakamdan oluştuğu söylenir. Devirli ondalık sayı şeklinde yazılamayan ∛5 sayısı, irrasyonel bir sayıdır. ∛5 sayısı, 5 üssü (1/3) şeklinde de yazılabilir. 5 üssü (1/3) sayısı da irrasyonel bir sayıdır.
Euler Sabiti, e sayısı:
Doğal logaritmanın tabanı olan e sayısı (Euler sabiti), irrasyonel bir sayıdır.
e ∈ Q' → e sayısı, irrasyonel sayılar kümesinin bir elemanıdır. e sayısının, 2,718281828459045235360287471352662497757247... şeklinde sonsuz rakamdan oluştuğu söylenir. Devirli ondalık sayı şeklinde yazılamayan e sayısı, irrasyonel bir sayıdır.
a / b Şeklinde Olup, Ondalık Açılımları, Devirsiz ve Sonsuz Rakamdan Oluşan Sayılar
Ondalık açılımları sınırsız ve devirsiz olan irrasyonel sayılar:
(22 / 7) şeklinde kesirli ifade edilebilen Pi sayısı (π), irrasyonel bir sayıdır.
π ∈ Q' → π sayısı, irrasyonel sayılar kümesinin bir elemanıdır. Pi sayısının, 3,1415926535... şeklinde sonsuz rakamdan oluştuğu söylenir. Devirli ondalık sayı şeklinde yazılamayan pi sayısı, irrasyonel bir sayıdır.
Bölüm Konuları:
Devirli Ondalık Sayılar
İrrasyonel Sayılar Kümesi
Devirli Ondalık Sayılar
Ondalık dilimde yazılmış bir sayının, virgülden sonraki kısmı, sonsuz kere tekrar eden rakamlardan oluşuyorsa, bu sayılara devirli ondalık sayılar denir. Virgülden sonra, sonsuz tekrar eden rakamlara devreden kısım denir. Devreden kısımdaki rakamlar, üzerine çizgi çizilerek gösterilir. Devirli ondalık sayılar rasyonel sayılar kümesinin elemanlarıdır. Devirli ondalık sayıların oluşturduğu küme, rasyonel sayılar kümesinin alt kümesidir.Devirli ondalık sayı örnekleri:
Yukarıda gösterilen (1 / 3) sayısının ondalık açılımı → 0,333... şeklinde sonsuza uzanır. Sonsuz kere tekrar eden 3 rakamının üzerine çizgi konulur.
(23 / 12) sayısının ondalık açılımı → 1,91666... şeklinde sonsuza uzanır. Sonsuz kere tekrar eden 6 rakamının üzerine çizgi konulur.
(87 / 33) sayısının ondalık açılımı → 2,6363... şeklinde sonsuza uzanır. Sonsuz kere tekrar eden 6 ve 3 rakamlarının üzerine çizgi konulur.
Devirli Ondalık Sayıların Kesirli Sayılara Çevrilmesi
Devirli Ondalık Sayıların Kesirli Sayılara Çevrilmesi Formülü:Yukarıda gösterilen formül ile, tüm devirli ondalık sayılar, kesirli sayılara çevrilebilir. Formülde gösterilen (-) sembolü çıkarma işlemini temsil eder. Yatay uzun çizgi, kesir çizgisidir.
Formülde gösterilen sayılar:
Tüm rakamların oluşturduğu sayı : Devirli ondalık sayıyı oluşturan tüm rakamlar, yan yana yazıldığında, bir tam sayı oluşturur. Formülde bu sayıya, tüm rakamların oluşturduğu sayı ismi verilmiştir.
Devretmeyen tüm rakamların oluşturduğu sayı : Devretmeyen (üzerinde çizgi bulunmayan) tüm rakamlar, yan yana yazıldığında, bir tam sayı oluşturur. Formülde bu sayıya, devretmeyen tüm rakamların oluşturduğu sayı ismi verilmiştir.
Devreden ondalık rakam sayısı kadar 9 : Devreden (üzerinde çizgi bulunan) rakam kaç tane ise, o kadar sayıda 9 rakamı, kesir çizginin altına yazılır.
Yukarıda örneği verilen 0,333... sayısında, sadece 3 rakamının üstünde çizgi bulunduğu için, 1 tane 9 rakamı, kesir çizgisinin altına yazılır. 9 sayısı, sadeleşme işleminden sonrasında, 3 sayısına dönecektir.
Yine, yukarıda örneği verilen 2,6363... sayısında, 3 ve 6 rakamlarının üstünde çizgi vardır. İki rakamın üstünde çizgi bulunduğundan, 2 tane 9 sayısı, 99 şeklinde, kesir çizgisinin alt tarafına yazılır. 99 sayısı, sadeleşme işleminden sonrasında, 33 sayısına dönecektir.
Devretmeyen ondalık rakam sayısı kadar 0 : Virgülden sonra, devretmeyen (üzerinde çizgi bulunmayan) rakam kaç tane ise, o kadar sayıda sıfır rakamı, kesir çizginin altına, 9 sayısının veya 9 sayılarının sağ tarafına yazılır. Virgülden sonra, devretmeyen ondalık rakamlar, her ondalık sayıda bulunmaz.
Yukarıda örneği verilen 1,91666... sayısında, sadece 6 rakamının üstünde çizgi bulunduğu için, 1 tane 9 rakamı, kesir çizgisinin altına yazılır. Virgülden sonra, 9 ve 1 rakamlarının üstünde çizgi yoktur. Virgülden sonra, üzerinde çizgi bulunmayan, iki tane sayı olduğundan, 2 tane sıfır, 9 sayının yanına, 900 şeklinde yazılır. 900 sayısı, sadeleşme işleminden sonrasında, 12 sayısına dönecektir.
Örnek:
Devirli ondalık sayıların kesirli sayılara çevrilmesine örnek:
AB,CDEF sayısında, E ve F rakamları devrediyor.
Tüm sayıyı oluşturan rakamlar; A , B , C , D , E ve F rakamlarıdır. Bu rakamlar yan yana yazıldığında, ABCDEF sayısı oluşur.
Üzerinde çizgi bulunmayan (devretmeyen) tüm rakamlar; A , B , C ve D rakamlarıdır. Bu rakamlar yan yana yazıldığında, ABCD sayısı oluşur.
Virgülden sonra, üzerinde çizgi bulunan (devreden) rakamlar; E ve F rakamlarıdır. Virgülden sonra iki tane devreden rakam olduğu için, kesir sayısının alt tarafına, 2 tane 9 rakamı, 99 şeklinde yazılır.
Virgülden sonra, üzerinde çizgi bulunmayan (devretmeyen) rakamlar; C ve D rakamlarıdır. Virgülden sonra iki tane devretmeyen rakam olduğu için, kesir çizgisinin alt tarafına, 2 tane sıfır rakamı, 99 sayısının sağ tarafına, 9900 şeklinde yazılır.
(ABCDEF - ABCD) / 9900
Örnek:
Devirli ondalık sayıların kesirli sayılara çevrilmesine örnek:
AB,CDE sayısında, D ve E rakamları devrediyor.
Tüm sayıyı oluşturan rakamlar; A , B , C , D ve E rakamlarıdır. Bu rakamlar yan yana yazıldığında, ABCDE sayısı oluşur.
Üzerinde çizgi bulunmayan (devretmeyen) tüm rakamlar; A , B ve C rakamlarıdır. Bu rakamlar yan yana yazıldığında, ABC sayısı oluşur.
Virgülden sonra, üzerinde çizgi bulunan (devreden) rakamlar; D ve E rakamlarıdır. Virgülden sonra iki tane devreden rakam olduğu için, kesir sayısının alt tarafına, 2 tane 9 rakamı, 99 şeklinde yazılır.
Virgülden sonra, üzerinde çizgi bulunmayan (devretmeyen) rakam, sadece C rakamıdır. Virgülden sonra bir tane devretmeyen rakam olduğu için, kesir çizgisinin alt tarafına, 1 tane sıfır rakamı, 99 sayısının sağ tarafına, 990 şeklinde yazılır.
(ABCDE - ABC) / 990
Örnek:
Devirli ondalık sayıların kesirli sayılara çevrilmesine örnek:
AB,CD sayısında, C ve D rakamları devrediyor.
Tüm sayıyı oluşturan rakamlar; A , B , C ve D rakamlarıdır. Bu rakamlar yan yana yazıldığında, ABCD sayısı oluşur.
Üzerinde çizgi bulunmayan (devretmeyen) tüm rakamlar; A ve B rakamlarıdır. Bu rakamlar yan yana yazıldığında, AB sayısı oluşur.
Virgülden sonra, üzerinde çizgi bulunan (devreden) rakamlar; C ve D rakamlarıdır. Virgülden sonra iki tane devreden rakam olduğu için, kesir sayısının alt tarafına, 2 tane 9 rakamı, 99 şeklinde yazılır.
Virgülden sonra, üzerinde çizgi bulunmayan (devretmeyen) rakam, yoktur. Virgülden sonra devretmeyen rakam olmadığı için, kesir çizgisinin alt tarafına, 99 sayısının sağ tarafına, hiç sıfır yazılmaz.
(ABCD - AB) / 99
Örnek:
Devirli ondalık sayıların kesirli sayılara çevrilmesine örnek:
AB,CD sayısında, D rakamı devrediyor.
Tüm sayıyı oluşturan rakamlar; A , B , C ve D rakamlarıdır. Bu rakamlar yan yana yazıldığında, ABCD sayısı oluşur.
Üzerinde çizgi bulunmayan (devretmeyen) tüm rakamlar; A , B ve C rakamlarıdır. Bu rakamlar yan yana yazıldığında, ABC sayısı oluşur.
Virgülden sonra, üzerinde çizgi bulunan (devreden) rakam, sadece D rakamıdır. Virgülden sonra bir tane devreden rakam olduğu için, kesir sayısının alt tarafına, 1 tane 9 rakamı yazılır.
Virgülden sonra, üzerinde çizgi bulunmayan (devretmeyen) rakam, sadece C rakamıdır. Virgülden sonra bir tane devretmeyen rakam olduğu için, kesir çizgisinin alt tarafına, 1 tane sıfır rakamı, 9 sayısının sağ tarafına, 90 şeklinde yazılır.
(ABCD - ABC) / 90
Örnek:
Devirli ondalık sayıların kesirli sayılara çevrilmesine örnek:
AB,C sayısında, C rakamı devrediyor.
Tüm sayıyı oluşturan rakamlar; A , B ve C rakamlarıdır. Bu rakamlar yan yana yazıldığında, ABC sayısı oluşur.
Üzerinde çizgi bulunmayan (devretmeyen) tüm rakamlar; A ve B rakamlarıdır. Bu rakamlar yan yana yazıldığında, AB sayısı oluşur.
Virgülden sonra, üzerinde çizgi bulunan (devreden) rakam, sadece C rakamıdır. Virgülden sonra bir tane devreden rakam olduğu için, kesir sayısının alt tarafına, 1 tane 9 rakamı yazılır.
Virgülden sonra, üzerinde çizgi bulunmayan (devretmeyen) rakam, yoktur. Virgülden sonra devretmeyen rakam olmadığı için, kesir çizgisinin alt tarafına, 9 sayısının sağ tarafına, hiç sıfır yazılmaz.
(ABC - AB) / 9
Örnek:
Devirli ondalık sayıların kesirli sayılara çevrilmesine örnek:
0,AB sayısında, B rakamı devrediyor.
Tüm sayıyı oluşturan rakamlar; 0 , A ve B rakamlarıdır. Bu rakamlar yan yana yazıldığında, 0AB sayısı oluşur. 0AB sayısının, yüzler basamağında sıfır rakamı olduğu için, bu sayı, AB şeklinde yazılır.
Üzerinde çizgi bulunmayan (devretmeyen) tüm rakamlar; 0 ve A rakamlarıdır. Bu rakamlar yan yana yazıldığında, 0A sayısı oluşur. 0A sayısının, onlar basamağında sıfır rakamı olduğu için, bu sayı, A şeklinde yazılır.
Virgülden sonra, üzerinde çizgi bulunan (devreden) rakam, sadece B rakamıdır. Virgülden sonra bir tane devreden rakam olduğu için, kesir sayısının alt tarafına, 1 tane 9 rakamı yazılır.
Virgülden sonra, üzerinde çizgi bulunmayan (devretmeyen) rakam, sadece A rakamıdır. Virgülden sonra bir tane devretmeyen rakam olduğu için, kesir çizgisinin alt tarafına, 1 tane sıfır rakamı, 9 sayısının sağ tarafına, 90 şeklinde yazılır.
(AB - A) / 90
Örnek:
Devirli ondalık sayıların kesirli sayılara çevrilmesine örnek:
0,A sayısında, A rakamı devrediyor.
Tüm sayıyı oluşturan rakamlar; 0 ve A rakamlarıdır. Bu rakamlar yan yana yazıldığında, 0A sayısı oluşur. 0A sayısının, onlar basamağında sıfır rakamı olduğu için, bu sayı, A şeklinde yazılır.
Üzerinde çizgi bulunmayan (devretmeyen) tüm rakamlar ifadesi için, sadece 0 rakamı var.
Virgülden sonra, üzerinde çizgi bulunan (devreden) rakam, sadece A rakamıdır. Virgülden sonra bir tane devreden rakam olduğu için, kesir sayısının alt tarafına, 1 tane 9 rakamı yazılır.
Virgülden sonra, üzerinde çizgi bulunmayan (devretmeyen) rakam, yoktur. Virgülden sonra devretmeyen rakam olmadığı için, kesir çizgisinin alt tarafına, 9 sayısının sağ tarafına, hiç sıfır yazılmaz.
(A - 0) / 9 = A / 9
Örnek:
x = 5,2333...
y = 0,333...
olduğuna göre, x - y farkı kaçtır? (Kaynak: Supara)
Çözüm:
Devirli ondalık sayılarda işlemler örnek soru çözümü:
x = 5,23 sayısında, 3 rakamı devrediyor.
Tüm sayıyı oluşturan rakamlar; 5 , 2 ve 3 rakamlarıdır. Bu rakamlar yan yana yazıldığında, 523 sayısı oluşur.
Üzerinde çizgi bulunmayan (devretmeyen) tüm rakamlar; 5 ve 2 rakamlarıdır. Bu rakamlar yan yana yazıldığında, 52 sayısı oluşur.
Virgülden sonra, üzerinde çizgi bulunan (devreden) rakam, sadece 3 rakamıdır. Virgülden sonra bir tane devreden rakam olduğu için, kesir sayısının alt tarafına, 1 tane 9 rakamı yazılır.
Virgülden sonra, üzerinde çizgi bulunmayan (devretmeyen) rakam, sadece 2 rakamıdır. Virgülden sonra bir tane devretmeyen rakam olduğu için, kesir çizgisinin alt tarafına, 1 tane sıfır rakamı, 9 sayısının sağ tarafına, 90 şeklinde yazılır.
x = (523 - 52) / 90 → 471 / 90 olur.
y = 0,3 sayısında, 3 rakamı devrediyor.
Tüm sayıyı oluşturan rakamlar; 0 ve 3 rakamlarıdır. Bu rakamlar yan yana yazıldığında, 03 sayısı oluşur. 03 sayısının, onlar basamağında sıfır rakamı olduğu için, bu sayı, 3 şeklinde yazılır.
Üzerinde çizgi bulunmayan (devretmeyen) tüm rakamlar ifadesi için, sadece 0 rakamı var.
Virgülden sonra, üzerinde çizgi bulunan (devreden) rakam, sadece 3 rakamıdır. Virgülden sonra bir tane devreden rakam olduğu için, kesir sayısının alt tarafına, 1 tane 9 rakamı yazılır.
Virgülden sonra, üzerinde çizgi bulunmayan (devretmeyen) rakam, yoktur. Virgülden sonra devretmeyen rakam olmadığı için, kesir çizgisinin alt tarafına, 9 sayısının sağ tarafına, hiç sıfır yazılmaz.
y = (3 - 0) / 9 → 3 / 9 → 1 / 3 olur.
x - y = (471 / 90) - (1 / 3) işleminde, payda kısmında bulunan sayılar, 90 ve 3 sayılarıdır. (1 / 3) sayısının altına, parantez içinde (30) sayısı yazılırsa, paydalar 90 sayısında eşitlenir. (1 / 3) sayısının payı ve paydası, 30 ile çarpılır. (1 . 30 / 3 . 30) = (30 / 90) olur.
(471 / 90) - (30 / 90) = (471 - 30) / 90 = (441 / 90) olur.
Not:
Rakamları toplamı, 3 veya 3'ün katı olan sayılar, 3'e bölünebilirler.
441 sayısının, rakamları toplandığında, 4 + 4 + 1 = 9 olur. 441 sayısının rakamları toplamı 9'dur. 9 sayısı, 3 sayısının katı olduğundan (3 . 3 = 9), 441 sayısı, 3'e bölünebilir.
Rakamları toplamı, 9 veya 9'un katı olan sayılar, 9'a bölünebilirler.
441 sayısının, rakamları toplandığında, 4 + 4 + 1 = 9 olur. 441 sayısının rakamları toplamı 9 olduğundan, 441 sayısı, 9'a da bölünebilir.
(441 / 90) sayısının, her iki tarafı 3'e bölünerek sadeleştirilir.
(
(
(147 / 30) sayısının, her iki tarafı 3'e bölünerek sadeleştirilir.
(
(
(441 / 90) sayısının, her iki tarafı, 9 sayısına bölünerek de cevap bulunabilir.
90 sayısını rakamları toplamı 9 + 0 = 9 olduğundan, bu sayının, 3'e ve 9'a bölünebildiği, işlem yapmadan görülebilir.
Sadeleşme işlemi görülemiyorsa, 441 sayısı, 90 sayısına bölme işlemi ile bölünerek, aynı sonuç bulunabilir.
İrrasyonel Sayılar Kümesi
İrrasyonel sayılar kümesi:a / b ifadesinin tanımını için, a / b şeklinde yazılamayan sayılar ile
a / b şeklinde olup, ondalık açılımları, devirsiz ve sonsuz rakamdan oluşan (devirli ondalık sayı şeklinde yazılamayan) sayılar, İrrasyonel sayılar kümesini oluşturur.
a / b ifadesinin tanımı:
a ∈ Z → a , tam sayılar kümesinin bir elemanıdır.
b ∈ Z → b , tam sayılar kümesinin bir elemanıdır.
b ≠ 0 → b tam sayısı, sıfıra eşit değil. b = 0 için, a / b ifadesi, tanımsız veya belirsiz olacaktır. Tanımsız veya belirsiz olan bir ifade, Gerçek sayılar kümesinin elemanı değildir.
Bu koşulları sağlayan sayı kümesine, İrrasyonel sayılar kümesi denir. Rasyonel sayılar kümesi, sonsuz bir kümedir ve Q' sembolü ile gösterilir.
Ondalık Açılımları Devirli Olan Sayılar
Ondalık açılımları devirli olan sayılar:Ondalık açılımları devirli olan sayılar, irrasyonel sayılar kümesinin elemanı değildir. Bu sayılar, rasyonel sayılar kümesinin elemanlarıdır. Devreden rakamları, sonsuz sayıda rakamdan oluşsa da, devreden rakamlarının üzerine çizgi konularak, ifade edilebilir olduklarından, irrasyonel sayılar kümesinin elemanları değillerdir.
(1 / 3) ∉ Q' → (1 / 3) sayısı, irrasyonel sayılar kümesinin elemanı değildir. (1 / 3) sayısı, devreden, 3 rakamının üzerine çizgi konularak, (0,3) şeklinde ifade edilebilir.
(29 / 12) ∉ Q' → (29 / 12) sayısı, irrasyonel sayılar kümesinin elemanı değildir. (29 / 12) sayısı, devreden, 6 rakamının üzerine çizgi konularak, (2,416) şeklinde ifade edilebilir.
(11 / 9) ∉ Q' → (11 / 9) sayısı, irrasyonel sayılar kümesinin elemanı değildir. (11 / 9) sayısı, devreden, 2 rakamının üzerine çizgi konularak, (1,2) şeklinde ifade edilebilir.
a / b İfadesinin Tanımını İçin, a / b Şeklinde Yazılamayan Sayılar
Kök içinden çıkarılamayan irrasyonel sayılar:
Kök içinden çıkarılamayan sayılar, irrasyonel kümesinin elemanıdır. √2 , √3 ve ∛5 gibi, kök içinden çıkarılamayan sayılar, irrasyonel sayılardır. ( √4 = 2 veya -2 ) ve (∛8 = 2 ) gibi, kök içinden çıkarılabilen sayılar, rasyonel sayılardır.
√2 ∈ Q' → √2 sayısı (karekök 2), irrasyonel sayılar kümesinin bir elemanıdır. √2 sayısının, 1.4142135623730951... şeklinde sonsuz rakamdan oluştuğu söylenir. Devirli ondalık sayı şeklinde yazılamayan √2 sayısı, irrasyonel bir sayıdır. √2 sayısı, 2 üssü (1/2) şeklinde de yazılabilir. 2 üssü (1/2) sayısı da irrasyonel bir sayıdır.
√3 ∈ Q' → √3 sayısı, irrasyonel sayılar kümesinin bir elemanıdır. √3 sayısının, 1.7320508075688772... şeklinde sonsuz rakamdan oluştuğu söylenir. Devirli ondalık sayı şeklinde yazılamayan √3 sayısı, irrasyonel bir sayıdır. √3 sayısı, 3 üssü (1/2) şeklinde de yazılabilir. 3 üssü (1/2) sayısı da irrasyonel bir sayıdır.
√5 ∈ Q' → √5 sayısı, irrasyonel sayılar kümesinin bir elemanıdır. √5 sayısının, 2.23606797749979... şeklinde sonsuz rakamdan oluştuğu söylenir. Devirli ondalık sayı şeklinde yazılamayan √5 sayısı, irrasyonel bir sayıdır. √5 sayısı, 5 üssü (1/2) şeklinde de yazılabilir. 5 üssü (1/2) sayısı da irrasyonel bir sayıdır.
∛2 ∈ Q' → ∛2 sayısı (küp kök 2), irrasyonel sayılar kümesinin bir elemanıdır. ∛2 sayısının, 1.2599210498949... şeklinde sonsuz rakamdan oluştuğu söylenir. Devirli ondalık sayı şeklinde yazılamayan ∛2 sayısı, irrasyonel bir sayıdır. ∛2 sayısı, 2 üssü (1/3) şeklinde de yazılabilir. 2 üssü (1/3) sayısı da irrasyonel bir sayıdır.
∛3 ∈ Q' → ∛3 sayısı, irrasyonel sayılar kümesinin bir elemanıdır. ∛3 sayısının, 1.4422495703074... şeklinde sonsuz rakamdan oluştuğu söylenir. Devirli ondalık sayı şeklinde yazılamayan ∛3 sayısı, irrasyonel bir sayıdır. ∛3 sayısı, 3 üssü (1/3) şeklinde de yazılabilir. 3 üssü (1/3) sayısı da irrasyonel bir sayıdır.
∛5 ∈ Q' → ∛5 sayısı, irrasyonel sayılar kümesinin bir elemanıdır. ∛5 sayısının, 1.7099759466767... şeklinde sonsuz rakamdan oluştuğu söylenir. Devirli ondalık sayı şeklinde yazılamayan ∛5 sayısı, irrasyonel bir sayıdır. ∛5 sayısı, 5 üssü (1/3) şeklinde de yazılabilir. 5 üssü (1/3) sayısı da irrasyonel bir sayıdır.
Euler Sabiti, e sayısı:
Doğal logaritmanın tabanı olan e sayısı (Euler sabiti), irrasyonel bir sayıdır.
e ∈ Q' → e sayısı, irrasyonel sayılar kümesinin bir elemanıdır. e sayısının, 2,718281828459045235360287471352662497757247... şeklinde sonsuz rakamdan oluştuğu söylenir. Devirli ondalık sayı şeklinde yazılamayan e sayısı, irrasyonel bir sayıdır.
a / b Şeklinde Olup, Ondalık Açılımları, Devirsiz ve Sonsuz Rakamdan Oluşan Sayılar
Ondalık açılımları sınırsız ve devirsiz olan irrasyonel sayılar:
(22 / 7) şeklinde kesirli ifade edilebilen Pi sayısı (π), irrasyonel bir sayıdır.
π ∈ Q' → π sayısı, irrasyonel sayılar kümesinin bir elemanıdır. Pi sayısının, 3,1415926535... şeklinde sonsuz rakamdan oluştuğu söylenir. Devirli ondalık sayı şeklinde yazılamayan pi sayısı, irrasyonel bir sayıdır.
Yorumlar
Yorum Gönder