Şu an 5. Bölüm görüntüleniyor...
Bölüm Konuları:
Gerçek (Reel) Sayılar Kümesi , Gerçek Sayılar Kümesinde Çarpma İşleminin Özellikleri
Gerçek Sayılar Kümesinde Toplama İşleminin Özellikleri
Parantez Açma ve Paranteze Alma İşlemleri
Gerçek (Reel) sayılar kümesi:
Q ∪ Q' = R → Rasyonel sayılar kümesi ile İrrasyonel sayılar kümesinin birleşim kümesi, Gerçek sayılar kümesidir.
N⁺ ⊂ N → Doğal sayılar kümesi, sayma sayıları kümesini kapsar.
N ⊂ Z → Tam sayılar kümesi, doğal sayılar kümesini kapsar.
Z ⊂ Q → Rasyonel sayılar kümesi, tam sayılar kümesini kapsar.
Q ⊂ R → Gerçek sayılar kümesi, rasyonel sayılar kümesini kapsar.
N⁺ ⊂ N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R → Gerçek sayılar kümesi; sayma sayıları kümesi, doğal sayılar kümesi, tam sayılar kümesi ve rasyonel sayılar kümesini kapsar.
Q' ⊂ R → Gerçek sayılar kümesi, irrasyonel sayılar kümesini kapsar.
Gerçek sayı doğrusu üzerindeki tüm boşlukları, rasyonel ve irrasyonel sayılar doldurur. Rasyonel sayıların oluşturduğu sayı doğrusu üzerindeki boşlukları, irrasyonel sayılar doldurur. Başka bir ifade ile, irrasyonel sayıların oluşturduğu sayı doğrusu üzerindeki boşlukları, rasyonel sayılar doldurur. Hiç boşluk kalmayacak şekilde, yan yana noktaların oluşturduğu sayı doğrusuna, gerçek sayı doğrusu denir.
∀ → Her, bütün demektir.
a, b ∈ R → a ve b sayıları, gerçek sayılar kümesinin herhangi iki elemanıdır.
∀ a, b ∈ R → Gerçek sayılar kümesinin herhangi iki elemanı olan, her a ve her b sayısı için
1-)Kapalılık Özelliği:
∀ a, b ∈ R için a + b ∈ R → Herhangi iki gerçek sayının toplamı, yine gerçek sayıdır.
(∛2 + 2) ∈ R → (∛2 + 2) işleminin sonucu, gerçek sayıdır.
(5 + 3) ∈ R → (5 + 3) işleminin sonucu, gerçek sayıdır.
2-)Değişme Özelliği:
∀ a, b ∈ R için a + b = b + a
(∛2 + 2) = (2 + ∛2)
(5 + 3) = (3 + 5)
(-2) + 5 = (+5) (-2) = 3 → Toplama işleminin sembolü olan (+) işareti, 5 sayısının işareti olarak kabul edilebilir. (+5) ve değişme özelliği ile sağ tarafa geçen (-2) sayıları, yan yana yazılıp bir araya getirildiğinde, 3 sonucu bulunur.
(-2) + 5 = (+5) (-2) = 5 - 2 = 3 → Toplama işleminin sembolü olan (+) işareti, 5 sayısının işareti olarak kabul edilebilir. İşareti (+) olan sayıların işareti yanına yazılmayabilir. Değişme özelliği ile sağ tarafa geçen (-2) sayısının işareti çıkarma işleminin sembolü olarak yazılabilir. (-) işaretli sayı ile (+) işaretli iki sayının toplanmasının, aynı zamanda çıkarma işlemi olduğu da söylenebilir.
-2 + x = x - 2
-b + a = a - b
3-)Birleşme Özelliği:
∀ a, b ve c ∈ R için a + (b + c) = (a + b) + c = (a + c) + b
3⁴ + (∛2 + 2) = (3⁴ + ∛2) + 2 = (3⁴ + 2) + ∛2
2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 4 = (2 + 4) + 3
4-)Etkisiz Eleman Özelliği:
∀ a ∈ R için a + 0 = 0 + a = a olduğundan, toplama işleminin etkisiz elemanı 0'dır.
Bir sayının, sıfır ile toplanması, sonucu değiştirmez. Her sayının, sıfır ile toplanması, kendisini verir. Bu yüzden sıfır sayısı, toplama işleminin etkisiz elemanıdır.
3⁴ + 0 = 3⁴
∛2 + 0 = ∛2
2 + 0 = 2
(-2) + 0 = (-2)
5-)Ters Eleman Özelliği:
∀ a ∈ R için a + (-a) = (-a) + a = 0 olacak şekilde (-a) ∈ R vardır. a sayısının toplama işlemine göre tersi, (-a) sayısıdır.
3⁴ + (-3⁴) = 0 → 3⁴ sayısının toplama işlemine göre tersi, (-3⁴) sayısıdır. Bunun tersi de doğrudur. (-3⁴) sayısının toplama işlemine göre tersi, 3⁴ sayısıdır.
∛2 + (-∛2) = 0 → ∛2 sayısının toplama işlemine göre tersi, (-∛2) sayısıdır. Bunun tersi de doğrudur. (-∛2) sayısının toplama işlemine göre tersi, ∛2 sayısıdır.
2 + (-2) = 0 → 2 sayısının toplama işlemine göre tersi, (-2) sayısıdır. Bunun tersi de doğrudur. (-2) sayısının toplama işlemine göre tersi, 2 sayısıdır.
∀ a, b ∈ R için a . b ∈ R → Herhangi iki gerçek sayının çarpımı, yine gerçek sayıdır.
(∛2 . 2) ∈ R → (∛2 . 2) işleminin sonucu, gerçek sayıdır.
(2 . 5) ∈ R → (2 . 5) işleminin sonucu, gerçek sayıdır.
2-)Değişme Özelliği:
∀ a, b ∈ R için a . b = b . a
(∛2 . 2) = (2 . ∛2)
(5 . 2) = (2 . 5)
3-)Birleşme Özelliği:
∀ a, b ve c ∈ R için a . (b . c) = (a . b) . c = (a . c) . b
3⁴ . (∛2 . 2) = (3⁴ . ∛2) . 2 = (3⁴ . 2) . ∛2
2 . (3 . 4) = (2 . 3) . 4 = (2 . 4) . 3
4-)Etkisiz Eleman Özelliği:
∀ a ∈ R için a . 1 = 1 . a = a olduğundan, çarpma işleminin etkisiz elemanı 1'dir.
Bir sayının, 1 ile çarpılması, sonucu değiştirmez. Her sayının, 1 ile çarpılması, kendisini verir. Bu yüzden 1 sayısı, çarpma işleminin etkisiz elemanıdır.
3⁴ . 1 = 3⁴
∛2 . 1 = ∛2
2 . 1 = 2
(-2) . 1 = (-2)
5-)Ters Eleman Özelliği:
∀ a ∈ R - {0} için tanımında, Gerçek sayılar kümesinin, tek elemanı 0 olan kümeden farkı olan (Sıfır hariç gerçek sayılar), fark kümesinin herhangi bir elamanı olan her a sayısı için, denilmek istenir.
Çarpma işleminde ters eleman özelliği:
Yukarıdaki resimde tanımlanan çarpma işleminin ters eleman özelliği için a sayısı, 2 olsun. Bir sayıyı 2 ile çarpmak ifadesinde, bu çarpma işlemin tersi, aynı sayısıyı 2'ye bölmek olur. Bir sayıyı 2'ye bölmek, aynı sayıyı, (1/2) ile çarpmaktır.
Örneğin:
5 sayısını iki çarpmak ifadesi 5 . 2 = 10 demektir. Bu işlemin tersi, 5 sayısını (1 / 2) ile çarpmak demektir. Başka bir ifadeyle, 5 sayısını (1 / 2) ile çarpmak, 5 sayısını 2'ye bölmek demektir.
5 sayısı ile (1 / 2) sayısının çarpılması işlemi:
5 sayısının paydası görünür kılınır ve (5 / 1) şeklinde yazılır.
(5 / 1) . (1 / 2) işleminde:
Paylar çarpılır. (5 . 1 = 5)
Paydalar çarpılır. (1 . 2 = 2)
Sonuç (5 / 2) olur. (5 / 2) ifadesi, 5 sayısını 2'ye bölmek demektir.
a sayının çarpma işlemine göre tersi ifadesinde, çarpma işleminin tersinin, bölme işlemi olduğu söylenebilir. Bir sayıyı, a sayısına bölmek, aynı sayıyı (1 / a) ifadesi ile çarpmak demektir.
Her gerçek sayının, kendisi ile çarpma işlemine göre tersi çarpılırsa, 1 sonucu bulunur. Aşağıda verilen örneklerde, gerekli sadeleşme işlemleri yapıldığında, 1 sonucu bulunur.
Çarpma işleminde ters eleman özelliği örnekleri:
Kesirli rasyonel sayılarda, çarpma işlemi için ters eleman özelliği örnekleri:
Gerçek sayılar kümesine ait bir sayının, çarpma işlemine göre tersinin; Pay kısmında 1 sayısı ve payda kısmında sayının kendisi olacak şekilde, kesirli ifade edildiğini biliyoruz. Yukarıdaki resimde verilen iki örnek incelendiğinde;
(1 / 5) sayısı için:
Kesir çizgisinin üst tarafına 1 sayısı, kesir çizgisinin alt tarafına (1 / 5) sayısı yazıldığında, (1 / 5) sayısının tersi elde edilmiş olur. Kesir çizgisinin üst tarafına bulunan, 1 sayısının paydası, görünür kılındığında, (1 / 1) sayısı elde edilmiş olur.
(1 / 1) / (1 / 5) → işleminde geniş kesir çizgisinin dış tarafındaki sayılar çarpılır ve pay kısmına yazılır. (5 . 1)
(1 / 1) / (1 / 5) → işleminde geniş kesir çizgisinin iç tarafındaki sayılar çarpılır ve payda kısmına yazılır. (1 . 1)
(5 . 1)
(1 . 1)
sonuç 5 olur. (1 / 5) sayısının çarpma işlemine göre tersi 5 sayısıdır.
( a / (b + 2) ) sayısı için:
Kesir çizgisinin üst tarafına 1 sayısı, kesir çizgisinin alt tarafına ( a / (b + 2) ) sayısı yazıldığında, ( a / (b + 2) ) sayısının tersi elde edilmiş olur. Kesir çizgisinin üst tarafına bulunan, 1 sayısının paydası, görünür kılındığında, (1 / 1) sayısı elde edilmiş olur.
(1 / 1) / (a / b + 2) → işleminde geniş kesir çizgisinin dış tarafındaki sayılar çarpılır ve pay kısmına yazılır. ( (b + 2) . 1)
(1 / 1) / (a / b + 2) → işleminde geniş kesir çizgisinin iç tarafındaki sayılar çarpılır ve payda kısmına yazılır. (a . 1)
( (b + 2) . 1 )
(a . 1)
sonuç ( (b + 2) / a ) olur. ( a / (b + 2) ) sayısının çarpma işlemine göre tersi ( (b + 2) / a ) sayısıdır.
6-)Yutan Eleman Özelliği:
∀ a ∈ R için a . 0 = 0 . a = 0 olduğundan, gerçek sayılar kümesinin, çarpma işlemine göre yutan elemanı 0 (sıfır)'dır.
Her sayının, 0 (sıfır) ile çarpılması, 0 (sıfır) sonucunu verir. Bu yüzden 0 sayısı, çarpma işleminin yutan elemanıdır.
3⁴ . 0 = 0
∛2 . 0 = 0
(-5) . 0 = 0
(1 / 3) . 0 = 0
0 . 0 = 0
7-)Dağılma Özelliği:
Çarpma işleminin, toplama ve çıkarma işlemi üzerinde dağılma özelliği vardır.
Çarpma işleminde dağılma özelliği:
Dağılma özelliği, parantez açma işlemidir.
Çarpma işleminde, toplama ve çıkarma işlemi dağılma özelliği:
a . (b + c) = a . b + a . c → ifadesinde parantez açılmıştır. Önce parantez dışındaki a sayısı ile parantez içindeki b sayısı çarpılır. Sonra a sayısı ile parantez içindeki c sayısı çarpılır. Parantez içindeki işaret (+) olduğundan, (a . b) ifadesi ile (a . c) ifadesi toplanır.
a . (b - c) = a . b - a . c → ifadesinde parantez açılmıştır. Önce a sayısı ile b sayısı çarpılır. Sonra a sayısı ile c sayısı çarpılır. Parantez içindeki işaret (-) olduğundan, (a . b) ifadesinden (a . c) ifadesi çıkarılır.
Örnek:
2 . (x + 2) = 2 . x + 2 . 2 → 2x + 4
Önce parantez dışındaki 2 sayısı ile parantez içindeki x bilinmeyeni çarpılır. (2 . x = 2x)
Sonra parantez dışındaki 2 sayısı ile parantez içindeki 2 sayısı çarpılır. (2 . 2 = 4)
Parantez içindeki işaret (+) olduğundan, (2x) ifadesi ile 4 sayısı toplanır. (2x + 4)
Örnek:
2 . (2x - 1) = 2 . 2x - 2 . 1 → 4x - 2
Önce parantez dışındaki 2 sayısı ile parantez içindeki 2x bilinmeyeni çarpılır. (2 . 2x = 4x)
Sonra parantez dışındaki 2 sayısı ile parantez içindeki 1 sayısı çarpılır. (2 . 1 = 2)
Parantez içindeki işaret (-) olduğundan, (4x) ifadesinden 2 sayısı çıkarılır. (4x - 2)
Örnek:
-6 sayısının çarpma işlemine göre tersi ile
x sayısının toplama işlemine göre tersinin çarpımı 2 olduğuna göre, x kaçtır? (Kaynak: Supara)
Çözüm:
Toplama ve çarpma işlemi için ters eleman özelliği örnek soru çözümü:
Yukarıdaki resimde gösterilen, kesirli sayıların eşitliğinde:
Birbirine eşit olan her rasyonel kesirli sayının, pay ve paydalarının, çapraz şekilde çarpımları, birbirine eşittir.
(a / b) = (x / y) kesirli sayıları birbirine eşit ise, (a . y) = (b . x) 'dir.
(-6) sayısının, çarpma işlemine göre tersi → (-)(1 / 6)
(+x) sayısının, toplama işlemine göre tersi → (-x)
(-)(1 / 6) . (-x) = 2 → Eşitliğinde, (-x) sayısının paydası görünür kılınır. (-)(x / 1)
(-)(1 / 6 ) . (-)(x / 1) = 2 → Paylar çarpılır (1 . x = x) → Paydalar çarpılır (6 . 1 = 6)
Kesirli sayılarda, pay veya paydanın sadece birisinde bulunan (-) işareti, kesir sayısının başına getirilebilir. Bu işlem, (-1) ile çarpım durumunda olan, pay veya paydaki (-1) sayısının, kesirli sayının bütünü ile çarpım durumuna getirilmesidir. Çarpma işleminde, etkisiz eleman olan 1 sayısı yazılmayabilir, fakat, 1 sayısının işareti olan (-) işareti, işleme yazılmalıdır.
(-x) = (-1) . x
(-6) = (-1) . 6
1 / (-1) = (-1)
(-1) / 1 = (-1)
sayılarındaki (-1) çarpanı, kesirli sayının başına getirilmiştir. Çarpma işleminde etkisiz eleman olan 1 sayısı yazılmamış, (-) işareti kesirli sayının başında kalmıştır.
İşaretleri (-) olan, iki kesirli sayının çarpımı, (+) olur. → (-) . (-) = (+)
(x / 6) = 2 → Eşitliğinde 2 sayısının paydası görünür kılınır ve (2 / 1) olur.
(x / 6) = (2 / 1) eşitliğinde, resimde gösterilen formül uygulanır ise → x . 1 = 6 . 2
x = 12 olur.
Yukarıdaki resimde verilen işlemler için:
1-) Numaralı Örnek
-(a + b) ifadesinde, parantez içindeki a sayısının işareti (+) 'dır. İşareti (+) olan bir sayının işareti, önüne yazılmayabilir. Parantez içindeki (+) işareti, toplama işleminin sembolü olsa da, b sayısının işareti olarak olarak kabul edilebilir. Toplama işleminin, işareti belli olan iki tane sayıyı, bir araya getirmek olduğu söylenebilir.
Parantez dışında bulunan (-) işareti ile a sayısının işareti olan, (+) işareti çarpılır. (-) . (+) = (-) işleminin sonucu (-) olur. Bulunan (-) sonucu, a sayısının önüne yazılır ve (-a) olur.
Parantez dışında bulunan (-) işareti ile b sayısının işareti olan, (+) işareti çarpılır. (-) . (+) = (-) işleminin sonucu (-) olur. Bulunan (-) sonucu, b sayısının önüne yazılır ve (-b) olur.
Bulunan iki değer yan yana yazılır. ( -a -b ) şeklinde parantez dışına çıkarlar.
-(2 + 3) ifadesinde, parantez içindeki 2 sayısının işareti (+) 'dır. İşareti (+) olan 2 sayının işareti, önüne yazılmayabilir. Parantez içindeki (+) işareti, toplama işleminin sembolü olsa da, 3 sayısının işareti olarak olarak kabul edilebilir.
Parantez dışında bulunan (-) işareti ile 2 sayısının işareti olan, (+) işareti çarpılır. (-) . (+) = (-) işleminin sonucu (-) olur. Bulunan (-) sonucu, 2 sayısının önüne yazılır ve (-2) olur.
Parantez dışında bulunan (-) işareti ile 3 sayısının işareti olan, (+) işareti çarpılır. (-) . (+) = (-) işleminin sonucu (-) olur. Bulunan (-) sonucu, 3 sayısının önüne yazılır ve (-3) olur.
Bulunan iki değer yan yana yazılır. ( -2 -3 ) şeklinde yan yana yazılan iki sayı, bir araya getirildiğinde sonuç (-5) olur.
2-) Numaralı Örnek
-(a - b) ifadesinde, parantez içindeki a sayısının işareti (+) 'dır. İşareti (+) olan bir sayının işareti, önüne yazılmayabilir. Parantez içindeki (-) işareti, çıkarma işleminin sembolü olsa da, b sayısının işareti olarak olarak kabul edilebilir.
Parantez dışında bulunan (-) işareti ile a sayısının işareti olan, (+) işareti çarpılır. (-) . (+) = (-) işleminin sonucu (-) olur. Bulunan (-) sonucu, a sayısının önüne yazılır ve (-a) olur.
Parantez dışında bulunan (-) işareti ile b sayısının işareti olan, (-) işareti çarpılır. (-) . (-) = (+) işleminin sonucu (+) olur. Bulunan (+) sonucu, b sayısının önüne yazılır (+b) olur.
Bulunan iki değer yan yana yazılır. ( -a +b ) şeklinde parantez dışına çıkarlar.
-(2 - 3) ifadesinde, parantez içindeki 2 sayısının işareti (+) 'dır. İşareti (+) olan 2 sayının işareti, önüne yazılmayabilir. Parantez içindeki (-) işareti, çıkarma işleminin sembolü olsa da, 3 sayısının işareti olarak olarak kabul edilebilir.
Parantez dışında bulunan (-) işareti ile 2 sayısının işareti olan, (+) işareti çarpılır. (-) . (+) = (-) işleminin sonucu (-) olur. Bulunan (-) sonucu, 2 sayısının önüne yazılır ve (-2) olur.
Parantez dışında bulunan (-) işareti ile 3 sayısının işareti olan, (-) işareti çarpılır. (-) . (-) = (+) işleminin sonucu (+) olur. Bulunan (+) sonucu, 3 sayısının önüne yazılır ve (+3) olur.
Bulunan iki değer yan yana yazılır. ( -2 +3 ) şeklinde yan yana yazılan iki sayı, bir araya getirildiğinde sonuç (+1) olur.
3-) Numaralı Örnek
-(-a - b) ifadesinde, parantez içindeki a sayısının işareti (-) 'dir. Parantez içindeki (-) işareti, çıkarma işleminin sembolü olsa da, b sayısının işareti olarak olarak kabul edilebilir.
Parantez dışında bulunan (-) işareti ile a sayısının işareti olan, (-) işareti çarpılır. (-) . (-) = (+) işleminin sonucu (+) olur. Bulunan (+) sonucu, a sayısının önüne yazılır ve (+a) olur.
Parantez dışında bulunan (-) işareti ile b sayısının işareti olan, (-) işareti çarpılır. (-) . (-) = (+) işleminin sonucu (+) olur. Bulunan (+) sonucu, b sayısının önüne yazılır ve (+b) olur.
Bulunan iki değer yan yana yazılır. ( +a +b ) şeklinde parantez dışına çıkarlar.
-(-2 - 3) ifadesinde, parantez içindeki 2 sayısının işareti (-) 'dir. Parantez içindeki (-) işareti, çıkarma işleminin sembolü olsa da, 3 sayısının işareti olarak olarak kabul edilebilir.
Parantez dışında bulunan (-) işareti ile 2 sayısının işareti olan, (-) işareti çarpılır. (-) . (-) = (+) işleminin sonucu (+) olur. Bulunan (+) sonucu, 2 sayısının önüne yazılır ve (+2) olur.
Parantez dışında bulunan (-) işareti ile 3 sayısının işareti olan, (-) işareti çarpılır. (-) . (-) = (+) işleminin sonucu (+) olur. Bulunan (+) sonucu, 3 sayısının önüne yazılır ve (+3) olur.
Bulunan iki değer yan yana yazılır. ( +2 +3 ) şeklinde yan yana yazılan iki sayı, bir araya getirildiğinde sonuç (+5) olur.
4-) Numaralı Örnek
-(-a + b) ifadesinde, parantez içindeki a sayısının işareti (-) 'dir. Parantez içindeki (+) işareti, toplama işleminin sembolü olsa da, b sayısının işareti olarak olarak kabul edilebilir.
Parantez dışında bulunan (-) işareti ile a sayısının işareti olan, (-) işareti çarpılır. (-) . (-) = (+) işleminin sonucu (+) olur. Bulunan (+) sonucu, a sayısının önüne yazılır ve (+a) olur.
Parantez dışında bulunan (-) işareti ile b sayısının işareti olan, (+) işareti çarpılır. (-) . (+) = (-) işleminin sonucu (-) olur. Bulunan (-) sonucu, b sayısının önüne yazılır ve (-b) olur.
Bulunan iki değer yan yana yazılır. ( +a -b ) şeklinde parantez dışına çıkarlar.
-(-2 + 3) ifadesinde, parantez içindeki 2 sayısının işareti (-) 'dir. Parantez içindeki (+) işareti, toplama işleminin sembolü olsa da, 3 sayısının işareti olarak olarak kabul edilebilir.
Parantez dışında bulunan (-) işareti ile 2 sayısının işareti olan, (-) işareti çarpılır. (-) . (-) = (+) işleminin sonucu (+) olur. Bulunan (+) sonucu, 2 sayısının önüne yazılır ve (+2) olur.
Parantez dışında bulunan (-) işareti ile 3 sayısının işareti olan, (+) işareti çarpılır. (-) . (+) = (-) işleminin sonucu (-) olur. Bulunan (-) sonucu, 3 sayısının önüne yazılır ve (-3) olur.
Bulunan iki değer yan yana yazılır. ( +2 -3 ) şeklinde yan yana yazılan iki sayı, bir araya getirildiğinde sonuç (-1) olur.
Birinci dereceden bir bilinmeyen ile parantez açma işlemleri:
Yukarıdaki resimde verilen işlemler için:
1-) Numaralı Örnek
2(x + 2) ifadesinde, parantez içindeki x sayısının işareti (+) 'dır. İşareti (+) olan bir sayının işareti, önüne yazılmayabilir. Parantez içindeki (+) işareti, toplama işleminin sembolü olsa da, 2 sayısının işareti olarak olarak kabul edilebilir.
Parantez dışında bulunan 2 sayısının işareti (+) 'dır. Parantez dışında bulunan (+2) sayısı ile parantez içindeki (+x) sayısı çarpılır. (+2) . (+x) = (+2x) işleminin sonucu (+2x) olur.
Parantez dışında bulunan (+2) sayısı ile parantez içinde bulunan (+2) sayısı çarpılır. (+2) . (+2) = (+4) işleminin sonucu (+4) olur.
Bulunan iki değer yan yana yazılır. ( +2x +4 ) şeklinde parantez dışına çıkarlar.
Paranteze Alma:
Bulunan ( +2x +4 ) sonucu için, paranteze alma işlemi yapılabilir.
(+2x) değeri, (+2 . +x) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
(+4) değeri (+2 . +2) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
Yukarıda çarpanlarına ayrılan iki ifadede de (+2) çarpanı ortaktır.
Ortak olan (+2) çarpanı, parantez dışına çıkarılırsa, parantez içinde (+x +2) değerleri kalır.
(+2)(+x +2) → 2(x + 2)
2-) Numaralı Örnek
2(x - 2) ifadesinde, parantez içindeki x sayısının işareti (+) 'dır. İşareti (+) olan bir sayının işareti, önüne yazılmayabilir. Parantez içindeki (-) işareti, çıkarma işleminin sembolü olsa da, 2 sayısının işareti olarak olarak kabul edilebilir.
Parantez dışında bulunan 2 sayısının işareti (+) 'dır. Parantez dışında bulunan (+2) sayısı ile parantez içindeki (+x) sayısı çarpılır. (+2) . (+x) = (+2x) işleminin sonucu (+2x) olur.
Parantez dışında bulunan (+2) sayısı ile parantez içinde bulunan (-2) sayısı çarpılır. (+2) . (-2) = (-4) işleminin sonucu (-4) olur.
Bulunan iki değer yan yana yazılır. ( +2x -4 ) şeklinde parantez dışına çıkarlar.
Paranteze Alma:
Bulunan ( +2x -4 ) sonucu için, paranteze alma işlemi yapılabilir.
(+2x) değeri, (+2 . +x) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
(-4) değeri (+2 . -2) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
Yukarıda çarpanlarına ayrılan iki ifadede de (+2) çarpanı ortaktır.
Ortak olan (+2) çarpanı, parantez dışına çıkarılırsa, parantez içinde (+x -2) değerleri kalır.
(+2)(+x -2) → 2(x - 2)
3-) Numaralı Örnek
2(-x - 2) ifadesinde, parantez içindeki x sayısının işareti (-) 'dir. Parantez içindeki (-) işareti, çıkarma işleminin sembolü olsa da, 2 sayısının işareti olarak olarak kabul edilebilir.
Parantez dışında bulunan 2 sayısının işareti (+) 'dır. Parantez dışında bulunan (+2) sayısı ile parantez içindeki (-x) sayısı çarpılır. (+2) . (-x) = (-2x) işleminin sonucu (-2x) olur.
Parantez dışında bulunan (+2) sayısı ile parantez içinde bulunan (-2) sayısı çarpılır. (+2) . (-2) = (-4) işleminin sonucu (-4) olur.
Bulunan iki değer yan yana yazılır. ( -2x -4 ) şeklinde parantez dışına çıkarlar.
Paranteze Alma:
Bulunan ( -2x -4 ) sonucu için, paranteze alma işlemi yapılabilir.
(-2x) değeri, (+2 . -x) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
(-4) değeri (+2 . -2) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
Yukarıda çarpanlarına ayrılan iki ifadede de (+2) çarpanı ortaktır.
Ortak olan (+2) çarpanı, parantez dışına çıkarılırsa, parantez içinde (-x -2) değerleri kalır.
(+2)(-x -2) → 2(-x - 2)
4-) Numaralı Örnek
2(-x + 2) ifadesinde, parantez içindeki x sayısının işareti (-) 'dir. Parantez içindeki (+) işareti, toplama işleminin sembolü olsa da, 2 sayısının işareti olarak olarak kabul edilebilir.
Parantez dışında bulunan 2 sayısının işareti (+) 'dır. Parantez dışında bulunan (+2) sayısı ile parantez içindeki (-x) sayısı çarpılır. (+2) . (-x) = (-2x) işleminin sonucu (-2x) olur.
Parantez dışında bulunan (+2) sayısı ile parantez içinde bulunan (+2) sayısı çarpılır. (+2) . (+2) = (+4) işleminin sonucu (+4) olur.
Bulunan iki değer yan yana yazılır. ( -2x +4 ) şeklinde parantez dışına çıkarlar.
Paranteze Alma:
Bulunan ( -2x +4 ) sonucu için, paranteze alma işlemi yapılabilir.
(-2x) değeri, (+2 . -x) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
(+4) değeri (+2 . +2) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
Yukarıda çarpanlarına ayrılan iki ifadede de (+2) çarpanı ortaktır.
Ortak olan (+2) çarpanı, parantez dışına çıkarılırsa, parantez içinde (-x +2) değerleri kalır.
(+2)(-x +2) → 2(-x + 2)
Birinci dereceden bir bilinmeyen ile (-) parantez açma işlemleri:
Yukarıdaki resimde verilen işlemler için:
1-) Numaralı Örnek
-2(x + 2) ifadesinde, parantez içindeki x sayısının işareti (+) 'dır. İşareti (+) olan bir sayının işareti, önüne yazılmayabilir. Parantez içindeki (+) işareti, toplama işleminin sembolü olsa da, 2 sayısının işareti olarak olarak kabul edilebilir.
Parantez dışında bulunan 2 sayısının işareti (-) 'dir. Parantez dışında bulunan (-2) sayısı ile parantez içindeki (+x) sayısı çarpılır. (-2) . (+x) = (-2x) işleminin sonucu (-2x) olur.
Parantez dışında bulunan (-2) sayısı ile parantez içinde bulunan (+2) sayısı çarpılır. (-2) . (+2) = (-4) işleminin sonucu (-4) olur.
Bulunan iki değer yan yana yazılır. ( -2x -4 ) şeklinde parantez dışına çıkarlar.
Paranteze Alma:
Bulunan ( -2x -4 ) sonucu için, paranteze alma işlemi yapılabilir.
(-2x) değeri, (-2 . +x) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
(-4) değeri (-2 . +2) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
Yukarıda çarpanlarına ayrılan iki ifadede de (-2) çarpanı ortaktır.
Ortak olan (-2) çarpanı, parantez dışına çıkarılırsa, parantez içinde (+x +2) değerleri kalır.
(-2)(+x +2) → -2(x + 2)
2-) Numaralı Örnek
-2(x - 2) ifadesinde, parantez içindeki x sayısının işareti (+) 'dır. İşareti (+) olan bir sayının işareti, önüne yazılmayabilir. Parantez içindeki (-) işareti, çıkarma işleminin sembolü olsa da, 2 sayısının işareti olarak olarak kabul edilebilir.
Parantez dışında bulunan 2 sayısının işareti (-) 'dir. Parantez dışında bulunan (-2) sayısı ile parantez içindeki (+x) sayısı çarpılır. (-2) . (+x) = (-2x) işleminin sonucu (-2x) olur.
Parantez dışında bulunan (-2) sayısı ile parantez içinde bulunan (-2) sayısı çarpılır. (-2) . (-2) = (+4) işleminin sonucu (+4) olur.
Bulunan iki değer yan yana yazılır. ( -2x +4 ) şeklinde parantez dışına çıkarlar.
Paranteze Alma:
Bulunan ( -2x +4 ) sonucu için, paranteze alma işlemi yapılabilir.
(-2x) değeri, (-2 . +x) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
(+4) değeri (-2 . -2) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
Yukarıda çarpanlarına ayrılan iki ifadede de (-2) çarpanı ortaktır.
Ortak olan (-2) çarpanı, parantez dışına çıkarılırsa, parantez içinde (+x -2) değerleri kalır.
(-2)(+x -2) → -2(x - 2)
3-) Numaralı Örnek
-2(-x - 2) ifadesinde, parantez içindeki x sayısının işareti (-) 'dir. Parantez içindeki (-) işareti, çıkarma işleminin sembolü olsa da, 2 sayısının işareti olarak olarak kabul edilebilir.
Parantez dışında bulunan 2 sayısının işareti (-) 'dir. Parantez dışında bulunan (-2) sayısı ile parantez içindeki (-x) sayısı çarpılır. (-2) . (-x) = (+2x) işleminin sonucu (+2x) olur.
Parantez dışında bulunan (-2) sayısı ile parantez içinde bulunan (-2) sayısı çarpılır. (-2) . (-2) = (+4) işleminin sonucu (+4) olur.
Bulunan iki değer yan yana yazılır. ( +2x +4 ) şeklinde parantez dışına çıkarlar.
Paranteze Alma:
Bulunan ( +2x +4 ) sonucu için, paranteze alma işlemi yapılabilir.
(+2x) değeri, (-2 . -x) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
(+4) değeri (-2 . -2) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
Yukarıda çarpanlarına ayrılan iki ifadede de (-2) çarpanı ortaktır.
Ortak olan (-2) çarpanı, parantez dışına çıkarılırsa, parantez içinde (-x -2) değerleri kalır.
(-2)(-x -2) → -2(-x - 2)
4-) Numaralı Örnek
-2(-x + 2) ifadesinde, parantez içindeki x sayısının işareti (-) 'dir. Parantez içindeki (+) işareti, toplama işleminin sembolü olsa da, 2 sayısının işareti olarak olarak kabul edilebilir.
Parantez dışında bulunan 2 sayısının işareti (-) 'dir. Parantez dışında bulunan (-2) sayısı ile parantez içindeki (-x) sayısı çarpılır. (-2) . (-x) = (+2x) işleminin sonucu (+2x) olur.
Parantez dışında bulunan (-2) sayısı ile parantez içinde bulunan (+2) sayısı çarpılır. (-2) . (+2) = (-4) işleminin sonucu (-4) olur.
Bulunan iki değer yan yana yazılır. ( +2x -4 ) şeklinde parantez dışına çıkarlar.
Paranteze Alma:
Bulunan ( +2x -4 ) sonucu için, paranteze alma işlemi yapılabilir.
(+2x) değeri, (-2 . -x) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
(-4) değeri (-2 . +2) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
Yukarıda çarpanlarına ayrılan iki ifadede de (-2) çarpanı ortaktır.
Ortak olan (-2) çarpanı, parantez dışına çıkarılırsa, parantez içinde (-x +2) değerleri kalır.
(-2)(-x +2) → -2(-x + 2)
İkinci dereceden bir bilinmeyen ile parantez açma işlemleri:
Yukarıdaki resimde verilen işlemler için:
1-) Numaralı Örnek
2x(x + 2) ifadesinde, parantez içindeki x sayısının işareti (+) 'dır. İşareti (+) olan bir sayının işareti, önüne yazılmayabilir. Parantez içindeki (+) işareti, toplama işleminin sembolü olsa da, 2 sayısının işareti olarak olarak kabul edilebilir.
Parantez dışında bulunan 2x sayısının işareti (+) 'dır. Parantez dışında bulunan (+2x) sayısı ile parantez içindeki (+x) sayısı çarpılır. (+2x) . (+x) = (+2x²) işleminin sonucu (+2x²) olur.
Not:
x . x = x²
a . a = a²
x . x . x = x³
a . a . a = a³
Parantez dışında bulunan (+2x) sayısı ile parantez içinde bulunan (+2) sayısı çarpılır. (+2x) . (+2) = (+4x) işleminin sonucu (+4x) olur.
Bulunan iki değer yan yana yazılır. ( +2x² +4x ) şeklinde parantez dışına çıkarlar.
Paranteze Alma:
Bulunan ( +2x² +4x ) sonucu için, paranteze alma işlemi yapılabilir.
(+2x²) değeri, (+2x . +x) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
(+4x) değeri (+2x . +2) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
Yukarıda çarpanlarına ayrılan iki ifadede de (+2x) çarpanı ortaktır.
Ortak olan (+2x) çarpanı, parantez dışına çıkarılırsa, parantez içinde (+x +2) değerleri kalır.
(+2x)(+x +2) → 2x(x + 2)
2-) Numaralı Örnek
2x(x - 2) ifadesinde, parantez içindeki x sayısının işareti (+) 'dır. İşareti (+) olan bir sayının işareti, önüne yazılmayabilir. Parantez içindeki (-) işareti, çıkarma işleminin sembolü olsa da, 2 sayısının işareti olarak olarak kabul edilebilir.
Parantez dışında bulunan 2x sayısının işareti (+) 'dır. Parantez dışında bulunan (+2x) sayısı ile parantez içindeki (+x) sayısı çarpılır. (+2x) . (+x) = (+2x²) işleminin sonucu (+2x²) olur.
Parantez dışında bulunan (+2x) sayısı ile parantez içinde bulunan (-2) sayısı çarpılır. (+2x) . (-2) = (-4x) işleminin sonucu (-4x) olur.
Bulunan iki değer yan yana yazılır. ( +2x² -4x ) şeklinde parantez dışına çıkarlar.
Paranteze Alma:
Bulunan ( +2x² -4x ) sonucu için, paranteze alma işlemi yapılabilir.
(+2x²) değeri, (+2x . +x) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
(-4x) değeri (+2x . -2) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
Yukarıda çarpanlarına ayrılan iki ifadede de (+2x) çarpanı ortaktır.
Ortak olan (+2x) çarpanı, parantez dışına çıkarılırsa, parantez içinde (+x -2) değerleri kalır.
(+2x)(+x -2) → 2x(x - 2)
3-) Numaralı Örnek
2x(-x - 2) ifadesinde, parantez içindeki x sayısının işareti (-) 'dir. Parantez içindeki (-) işareti, çıkarma işleminin sembolü olsa da, 2 sayısının işareti olarak olarak kabul edilebilir.
Parantez dışında bulunan 2x sayısının işareti (+) 'dır. Parantez dışında bulunan (+2x) sayısı ile parantez içindeki (-x) sayısı çarpılır. (+2x) . (-x) = (-2x²) işleminin sonucu (-2x²) olur.
Parantez dışında bulunan (+2x) sayısı ile parantez içinde bulunan (-2) sayısı çarpılır. (+2x) . (-2) = (-4x) işleminin sonucu (-4x) olur.
Bulunan iki değer yan yana yazılır. ( -2x² -4x ) şeklinde parantez dışına çıkarlar.
Paranteze Alma:
Bulunan ( -2x² -4x ) sonucu için, paranteze alma işlemi yapılabilir.
(-2x²) değeri, (+2x . -x) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
(-4x) değeri (+2x . -2) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
Yukarıda çarpanlarına ayrılan iki ifadede de (+2x) çarpanı ortaktır.
Ortak olan (+2x) çarpanı, parantez dışına çıkarılırsa, parantez içinde (-x -2) değerleri kalır.
(+2x)(-x -2) → 2x(-x - 2)
4-) Numaralı Örnek
2x(-x + 2) ifadesinde, parantez içindeki x sayısının işareti (-) 'dir. Parantez içindeki (+) işareti, toplama işleminin sembolü olsa da, 2 sayısının işareti olarak olarak kabul edilebilir.
Parantez dışında bulunan 2x sayısının işareti (+) 'dır. Parantez dışında bulunan (+2x) sayısı ile parantez içindeki (-x) sayısı çarpılır. (+2x) . (-x) = (-2x²) işleminin sonucu (-2x²) olur.
Parantez dışında bulunan (+2x) sayısı ile parantez içinde bulunan (+2) sayısı çarpılır. (+2x) . (+2) = (+4x) işleminin sonucu (+4x) olur.
Bulunan iki değer yan yana yazılır. ( -2x² +4x ) şeklinde parantez dışına çıkarlar.
Paranteze Alma:
Bulunan ( -2x² +4x ) sonucu için, paranteze alma işlemi yapılabilir.
(-2x²) değeri, (+2x . -x) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
(+4x) değeri (+2x . +2) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
Yukarıda çarpanlarına ayrılan iki ifadede de (+2x) çarpanı ortaktır.
Ortak olan (+2x) çarpanı, parantez dışına çıkarılırsa, parantez içinde (-x +2) değerleri kalır.
(+2x)(-x +2) → 2x(-x + 2)
İkinci dereceden bir bilinmeyen ile (-) parantez açma işlemleri:
Yukarıdaki resimde verilen işlemler için:
1-) Numaralı Örnek
-2x(x + 2) ifadesinde, parantez içindeki x sayısının işareti (+) 'dır. İşareti (+) olan bir sayının işareti, önüne yazılmayabilir. Parantez içindeki (+) işareti, toplama işleminin sembolü olsa da, 2 sayısının işareti olarak olarak kabul edilebilir.
Parantez dışında bulunan 2x sayısının işareti (-) 'dir. Parantez dışında bulunan (-2x) sayısı ile parantez içindeki (+x) sayısı çarpılır. (-2x) . (+x) = (-2x²) işleminin sonucu (-2x²) olur.
Parantez dışında bulunan (-2x) sayısı ile parantez içinde bulunan (+2) sayısı çarpılır. (-2x) . (+2) = (-4x) işleminin sonucu (-4x) olur.
Bulunan iki değer yan yana yazılır. ( -2x² -4x ) şeklinde parantez dışına çıkarlar.
Paranteze Alma:
Bulunan ( -2x² -4x ) sonucu için, paranteze alma işlemi yapılabilir.
(-2x²) değeri, (-2x . +x) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
(-4x) değeri (-2x . +2) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
Yukarıda çarpanlarına ayrılan iki ifadede de (-2x) çarpanı ortaktır.
Ortak olan (-2x) çarpanı, parantez dışına çıkarılırsa, parantez içinde (+x +2) değerleri kalır.
(-2x)(+x +2) → -2x(x + 2)
2-) Numaralı Örnek
-2x(x - 2) ifadesinde, parantez içindeki x sayısının işareti (+) 'dır. İşareti (+) olan bir sayının işareti, önüne yazılmayabilir. Parantez içindeki (-) işareti, çıkarma işleminin sembolü olsa da, 2 sayısının işareti olarak olarak kabul edilebilir.
Parantez dışında bulunan 2x sayısının işareti (-) 'dir. Parantez dışında bulunan (-2x) sayısı ile parantez içindeki (+x) sayısı çarpılır. (-2x) . (+x) = (-2x²) işleminin sonucu (-2x²) olur.
Parantez dışında bulunan (-2x) sayısı ile parantez içinde bulunan (-2) sayısı çarpılır. (-2x) . (-2) = (+4x) işleminin sonucu (+4x) olur.
Bulunan iki değer yan yana yazılır. ( -2x² +4x ) şeklinde parantez dışına çıkarlar.
Paranteze Alma:
Bulunan ( -2x² +4x ) sonucu için, paranteze alma işlemi yapılabilir.
(-2x²) değeri, (-2x . +x) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
(+4x) değeri (-2x . -2) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
Yukarıda çarpanlarına ayrılan iki ifadede de (-2x) çarpanı ortaktır.
Ortak olan (-2x) çarpanı, parantez dışına çıkarılırsa, parantez içinde (+x -2) değerleri kalır.
(-2x)(+x -2) → -2x(x - 2)
3-) Numaralı Örnek
-2x(-x - 2) ifadesinde, parantez içindeki x sayısının işareti (-) 'dir. Parantez içindeki (-) işareti, çıkarma işleminin sembolü olsa da, 2 sayısının işareti olarak olarak kabul edilebilir.
Parantez dışında bulunan 2x sayısının işareti (-) 'dir. Parantez dışında bulunan (-2x) sayısı ile parantez içindeki (-x) sayısı çarpılır. (-2x) . (-x) = (+2x²) işleminin sonucu (+2x²) olur.
Parantez dışında bulunan (-2x) sayısı ile parantez içinde bulunan (-2) sayısı çarpılır. (-2x) . (-2) = (+4x) işleminin sonucu (+4x) olur.
Bulunan iki değer yan yana yazılır. ( +2x² +4x ) şeklinde parantez dışına çıkarlar.
Paranteze Alma:
Bulunan ( +2x² +4x ) sonucu için, paranteze alma işlemi yapılabilir.
(+2x²) değeri, (-2x . -x) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
(+4x) değeri (-2x . -2) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
Yukarıda çarpanlarına ayrılan iki ifadede de (-2x) çarpanı ortaktır.
Ortak olan (-2x) çarpanı, parantez dışına çıkarılırsa, parantez içinde (-x -2) değerleri kalır.
(-2x)(-x -2) → -2x(-x - 2)
4-) Numaralı Örnek
-2x(-x + 2) ifadesinde, parantez içindeki x sayısının işareti (-) 'dir. Parantez içindeki (+) işareti, toplama işleminin sembolü olsa da, 2 sayısının işareti olarak olarak kabul edilebilir.
Parantez dışında bulunan 2x sayısının işareti (-) 'dir. Parantez dışında bulunan (-2x) sayısı ile parantez içindeki (-x) sayısı çarpılır. (-2x) . (-x) = (+2x²) işleminin sonucu (+2x²) olur.
Parantez dışında bulunan (-2x) sayısı ile parantez içinde bulunan (+2) sayısı çarpılır. (-2x) . (+2) = (-4x) işleminin sonucu (-4x) olur.
Bulunan iki değer yan yana yazılır. ( +2x² -4x ) şeklinde parantez dışına çıkarlar.
Paranteze Alma:
Bulunan ( +2x² -4x ) sonucu için, paranteze alma işlemi yapılabilir.
(+2x²) değeri, (-2x . -x) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
(-4x) değeri (-2x . +2) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
Yukarıda çarpanlarına ayrılan iki ifadede de (-2x) çarpanı ortaktır.
Ortak olan (-2x) çarpanı, parantez dışına çıkarılırsa, parantez içinde (-x +2) değerleri kalır.
(-2x)(-x +2) → -2x(-x + 2)
Bölüm Konuları:
Gerçek (Reel) Sayılar Kümesi , Gerçek Sayılar Kümesinde Çarpma İşleminin Özellikleri
Gerçek Sayılar Kümesinde Toplama İşleminin Özellikleri
Parantez Açma ve Paranteze Alma İşlemleri
Gerçek (Reel) Sayılar Kümesi
Rasyonel sayılar kümesi ile İrrasyonel sayılar kümesinin birleşim kümesi, Gerçek sayılar kümesini oluşturur. Gerçek sayılar kümesi, sonsuz bir kümedir ve R sembolü ile gösterilir.Gerçek (Reel) sayılar kümesi:
Q ∪ Q' = R → Rasyonel sayılar kümesi ile İrrasyonel sayılar kümesinin birleşim kümesi, Gerçek sayılar kümesidir.
N⁺ ⊂ N → Doğal sayılar kümesi, sayma sayıları kümesini kapsar.
N ⊂ Z → Tam sayılar kümesi, doğal sayılar kümesini kapsar.
Z ⊂ Q → Rasyonel sayılar kümesi, tam sayılar kümesini kapsar.
Q ⊂ R → Gerçek sayılar kümesi, rasyonel sayılar kümesini kapsar.
N⁺ ⊂ N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R → Gerçek sayılar kümesi; sayma sayıları kümesi, doğal sayılar kümesi, tam sayılar kümesi ve rasyonel sayılar kümesini kapsar.
Q' ⊂ R → Gerçek sayılar kümesi, irrasyonel sayılar kümesini kapsar.
Gerçek sayı doğrusu üzerindeki tüm boşlukları, rasyonel ve irrasyonel sayılar doldurur. Rasyonel sayıların oluşturduğu sayı doğrusu üzerindeki boşlukları, irrasyonel sayılar doldurur. Başka bir ifade ile, irrasyonel sayıların oluşturduğu sayı doğrusu üzerindeki boşlukları, rasyonel sayılar doldurur. Hiç boşluk kalmayacak şekilde, yan yana noktaların oluşturduğu sayı doğrusuna, gerçek sayı doğrusu denir.
Gerçek Sayılar Kümesinde Toplama İşleminin Özellikleri
∀ a, b ∈ R ifadesinde:∀ → Her, bütün demektir.
a, b ∈ R → a ve b sayıları, gerçek sayılar kümesinin herhangi iki elemanıdır.
∀ a, b ∈ R → Gerçek sayılar kümesinin herhangi iki elemanı olan, her a ve her b sayısı için
1-)Kapalılık Özelliği:
∀ a, b ∈ R için a + b ∈ R → Herhangi iki gerçek sayının toplamı, yine gerçek sayıdır.
(∛2 + 2) ∈ R → (∛2 + 2) işleminin sonucu, gerçek sayıdır.
(5 + 3) ∈ R → (5 + 3) işleminin sonucu, gerçek sayıdır.
2-)Değişme Özelliği:
∀ a, b ∈ R için a + b = b + a
(∛2 + 2) = (2 + ∛2)
(5 + 3) = (3 + 5)
(-2) + 5 = (+5) (-2) = 3 → Toplama işleminin sembolü olan (+) işareti, 5 sayısının işareti olarak kabul edilebilir. (+5) ve değişme özelliği ile sağ tarafa geçen (-2) sayıları, yan yana yazılıp bir araya getirildiğinde, 3 sonucu bulunur.
(-2) + 5 = (+5) (-2) = 5 - 2 = 3 → Toplama işleminin sembolü olan (+) işareti, 5 sayısının işareti olarak kabul edilebilir. İşareti (+) olan sayıların işareti yanına yazılmayabilir. Değişme özelliği ile sağ tarafa geçen (-2) sayısının işareti çıkarma işleminin sembolü olarak yazılabilir. (-) işaretli sayı ile (+) işaretli iki sayının toplanmasının, aynı zamanda çıkarma işlemi olduğu da söylenebilir.
-2 + x = x - 2
-b + a = a - b
3-)Birleşme Özelliği:
∀ a, b ve c ∈ R için a + (b + c) = (a + b) + c = (a + c) + b
3⁴ + (∛2 + 2) = (3⁴ + ∛2) + 2 = (3⁴ + 2) + ∛2
2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 4 = (2 + 4) + 3
4-)Etkisiz Eleman Özelliği:
∀ a ∈ R için a + 0 = 0 + a = a olduğundan, toplama işleminin etkisiz elemanı 0'dır.
Bir sayının, sıfır ile toplanması, sonucu değiştirmez. Her sayının, sıfır ile toplanması, kendisini verir. Bu yüzden sıfır sayısı, toplama işleminin etkisiz elemanıdır.
3⁴ + 0 = 3⁴
∛2 + 0 = ∛2
2 + 0 = 2
(-2) + 0 = (-2)
5-)Ters Eleman Özelliği:
∀ a ∈ R için a + (-a) = (-a) + a = 0 olacak şekilde (-a) ∈ R vardır. a sayısının toplama işlemine göre tersi, (-a) sayısıdır.
3⁴ + (-3⁴) = 0 → 3⁴ sayısının toplama işlemine göre tersi, (-3⁴) sayısıdır. Bunun tersi de doğrudur. (-3⁴) sayısının toplama işlemine göre tersi, 3⁴ sayısıdır.
∛2 + (-∛2) = 0 → ∛2 sayısının toplama işlemine göre tersi, (-∛2) sayısıdır. Bunun tersi de doğrudur. (-∛2) sayısının toplama işlemine göre tersi, ∛2 sayısıdır.
2 + (-2) = 0 → 2 sayısının toplama işlemine göre tersi, (-2) sayısıdır. Bunun tersi de doğrudur. (-2) sayısının toplama işlemine göre tersi, 2 sayısıdır.
Gerçek Sayılar Kümesinde Çarpma İşleminin Özellikleri
1-)Kapalılık Özelliği:∀ a, b ∈ R için a . b ∈ R → Herhangi iki gerçek sayının çarpımı, yine gerçek sayıdır.
(∛2 . 2) ∈ R → (∛2 . 2) işleminin sonucu, gerçek sayıdır.
(2 . 5) ∈ R → (2 . 5) işleminin sonucu, gerçek sayıdır.
2-)Değişme Özelliği:
∀ a, b ∈ R için a . b = b . a
(∛2 . 2) = (2 . ∛2)
(5 . 2) = (2 . 5)
3-)Birleşme Özelliği:
∀ a, b ve c ∈ R için a . (b . c) = (a . b) . c = (a . c) . b
3⁴ . (∛2 . 2) = (3⁴ . ∛2) . 2 = (3⁴ . 2) . ∛2
2 . (3 . 4) = (2 . 3) . 4 = (2 . 4) . 3
4-)Etkisiz Eleman Özelliği:
∀ a ∈ R için a . 1 = 1 . a = a olduğundan, çarpma işleminin etkisiz elemanı 1'dir.
Bir sayının, 1 ile çarpılması, sonucu değiştirmez. Her sayının, 1 ile çarpılması, kendisini verir. Bu yüzden 1 sayısı, çarpma işleminin etkisiz elemanıdır.
3⁴ . 1 = 3⁴
∛2 . 1 = ∛2
2 . 1 = 2
(-2) . 1 = (-2)
5-)Ters Eleman Özelliği:
∀ a ∈ R - {0} için tanımında, Gerçek sayılar kümesinin, tek elemanı 0 olan kümeden farkı olan (Sıfır hariç gerçek sayılar), fark kümesinin herhangi bir elamanı olan her a sayısı için, denilmek istenir.
Çarpma işleminde ters eleman özelliği:
Yukarıdaki resimde tanımlanan çarpma işleminin ters eleman özelliği için a sayısı, 2 olsun. Bir sayıyı 2 ile çarpmak ifadesinde, bu çarpma işlemin tersi, aynı sayısıyı 2'ye bölmek olur. Bir sayıyı 2'ye bölmek, aynı sayıyı, (1/2) ile çarpmaktır.
Örneğin:
5 sayısını iki çarpmak ifadesi 5 . 2 = 10 demektir. Bu işlemin tersi, 5 sayısını (1 / 2) ile çarpmak demektir. Başka bir ifadeyle, 5 sayısını (1 / 2) ile çarpmak, 5 sayısını 2'ye bölmek demektir.
5 sayısı ile (1 / 2) sayısının çarpılması işlemi:
5 sayısının paydası görünür kılınır ve (5 / 1) şeklinde yazılır.
(5 / 1) . (1 / 2) işleminde:
Paylar çarpılır. (5 . 1 = 5)
Paydalar çarpılır. (1 . 2 = 2)
Sonuç (5 / 2) olur. (5 / 2) ifadesi, 5 sayısını 2'ye bölmek demektir.
a sayının çarpma işlemine göre tersi ifadesinde, çarpma işleminin tersinin, bölme işlemi olduğu söylenebilir. Bir sayıyı, a sayısına bölmek, aynı sayıyı (1 / a) ifadesi ile çarpmak demektir.
Her gerçek sayının, kendisi ile çarpma işlemine göre tersi çarpılırsa, 1 sonucu bulunur. Aşağıda verilen örneklerde, gerekli sadeleşme işlemleri yapıldığında, 1 sonucu bulunur.
Çarpma işleminde ters eleman özelliği örnekleri:
Kesirli rasyonel sayılarda, çarpma işlemi için ters eleman özelliği örnekleri:
Gerçek sayılar kümesine ait bir sayının, çarpma işlemine göre tersinin; Pay kısmında 1 sayısı ve payda kısmında sayının kendisi olacak şekilde, kesirli ifade edildiğini biliyoruz. Yukarıdaki resimde verilen iki örnek incelendiğinde;
(1 / 5) sayısı için:
Kesir çizgisinin üst tarafına 1 sayısı, kesir çizgisinin alt tarafına (1 / 5) sayısı yazıldığında, (1 / 5) sayısının tersi elde edilmiş olur. Kesir çizgisinin üst tarafına bulunan, 1 sayısının paydası, görünür kılındığında, (1 / 1) sayısı elde edilmiş olur.
(1 / 1) / (1 / 5) → işleminde geniş kesir çizgisinin dış tarafındaki sayılar çarpılır ve pay kısmına yazılır. (5 . 1)
(1 / 1) / (1 / 5) → işleminde geniş kesir çizgisinin iç tarafındaki sayılar çarpılır ve payda kısmına yazılır. (1 . 1)
(5 . 1)
(1 . 1)
sonuç 5 olur. (1 / 5) sayısının çarpma işlemine göre tersi 5 sayısıdır.
( a / (b + 2) ) sayısı için:
Kesir çizgisinin üst tarafına 1 sayısı, kesir çizgisinin alt tarafına ( a / (b + 2) ) sayısı yazıldığında, ( a / (b + 2) ) sayısının tersi elde edilmiş olur. Kesir çizgisinin üst tarafına bulunan, 1 sayısının paydası, görünür kılındığında, (1 / 1) sayısı elde edilmiş olur.
(1 / 1) / (a / b + 2) → işleminde geniş kesir çizgisinin dış tarafındaki sayılar çarpılır ve pay kısmına yazılır. ( (b + 2) . 1)
(1 / 1) / (a / b + 2) → işleminde geniş kesir çizgisinin iç tarafındaki sayılar çarpılır ve payda kısmına yazılır. (a . 1)
( (b + 2) . 1 )
(a . 1)
sonuç ( (b + 2) / a ) olur. ( a / (b + 2) ) sayısının çarpma işlemine göre tersi ( (b + 2) / a ) sayısıdır.
6-)Yutan Eleman Özelliği:
∀ a ∈ R için a . 0 = 0 . a = 0 olduğundan, gerçek sayılar kümesinin, çarpma işlemine göre yutan elemanı 0 (sıfır)'dır.
Her sayının, 0 (sıfır) ile çarpılması, 0 (sıfır) sonucunu verir. Bu yüzden 0 sayısı, çarpma işleminin yutan elemanıdır.
3⁴ . 0 = 0
∛2 . 0 = 0
(-5) . 0 = 0
(1 / 3) . 0 = 0
0 . 0 = 0
7-)Dağılma Özelliği:
Çarpma işleminin, toplama ve çıkarma işlemi üzerinde dağılma özelliği vardır.
Çarpma işleminde dağılma özelliği:
Dağılma özelliği, parantez açma işlemidir.
Çarpma işleminde, toplama ve çıkarma işlemi dağılma özelliği:
a . (b + c) = a . b + a . c → ifadesinde parantez açılmıştır. Önce parantez dışındaki a sayısı ile parantez içindeki b sayısı çarpılır. Sonra a sayısı ile parantez içindeki c sayısı çarpılır. Parantez içindeki işaret (+) olduğundan, (a . b) ifadesi ile (a . c) ifadesi toplanır.
a . (b - c) = a . b - a . c → ifadesinde parantez açılmıştır. Önce a sayısı ile b sayısı çarpılır. Sonra a sayısı ile c sayısı çarpılır. Parantez içindeki işaret (-) olduğundan, (a . b) ifadesinden (a . c) ifadesi çıkarılır.
Örnek:
2 . (x + 2) = 2 . x + 2 . 2 → 2x + 4
Önce parantez dışındaki 2 sayısı ile parantez içindeki x bilinmeyeni çarpılır. (2 . x = 2x)
Sonra parantez dışındaki 2 sayısı ile parantez içindeki 2 sayısı çarpılır. (2 . 2 = 4)
Parantez içindeki işaret (+) olduğundan, (2x) ifadesi ile 4 sayısı toplanır. (2x + 4)
Örnek:
2 . (2x - 1) = 2 . 2x - 2 . 1 → 4x - 2
Önce parantez dışındaki 2 sayısı ile parantez içindeki 2x bilinmeyeni çarpılır. (2 . 2x = 4x)
Sonra parantez dışındaki 2 sayısı ile parantez içindeki 1 sayısı çarpılır. (2 . 1 = 2)
Parantez içindeki işaret (-) olduğundan, (4x) ifadesinden 2 sayısı çıkarılır. (4x - 2)
Örnek:
-6 sayısının çarpma işlemine göre tersi ile
x sayısının toplama işlemine göre tersinin çarpımı 2 olduğuna göre, x kaçtır? (Kaynak: Supara)
Çözüm:
Toplama ve çarpma işlemi için ters eleman özelliği örnek soru çözümü:
Yukarıdaki resimde gösterilen, kesirli sayıların eşitliğinde:
Birbirine eşit olan her rasyonel kesirli sayının, pay ve paydalarının, çapraz şekilde çarpımları, birbirine eşittir.
(a / b) = (x / y) kesirli sayıları birbirine eşit ise, (a . y) = (b . x) 'dir.
(-6) sayısının, çarpma işlemine göre tersi → (-)(1 / 6)
(+x) sayısının, toplama işlemine göre tersi → (-x)
(-)(1 / 6) . (-x) = 2 → Eşitliğinde, (-x) sayısının paydası görünür kılınır. (-)(x / 1)
(-)(1 / 6 ) . (-)(x / 1) = 2 → Paylar çarpılır (1 . x = x) → Paydalar çarpılır (6 . 1 = 6)
Kesirli sayılarda, pay veya paydanın sadece birisinde bulunan (-) işareti, kesir sayısının başına getirilebilir. Bu işlem, (-1) ile çarpım durumunda olan, pay veya paydaki (-1) sayısının, kesirli sayının bütünü ile çarpım durumuna getirilmesidir. Çarpma işleminde, etkisiz eleman olan 1 sayısı yazılmayabilir, fakat, 1 sayısının işareti olan (-) işareti, işleme yazılmalıdır.
(-x) = (-1) . x
(-6) = (-1) . 6
1 / (-1) = (-1)
(-1) / 1 = (-1)
sayılarındaki (-1) çarpanı, kesirli sayının başına getirilmiştir. Çarpma işleminde etkisiz eleman olan 1 sayısı yazılmamış, (-) işareti kesirli sayının başında kalmıştır.
İşaretleri (-) olan, iki kesirli sayının çarpımı, (+) olur. → (-) . (-) = (+)
(x / 6) = 2 → Eşitliğinde 2 sayısının paydası görünür kılınır ve (2 / 1) olur.
(x / 6) = (2 / 1) eşitliğinde, resimde gösterilen formül uygulanır ise → x . 1 = 6 . 2
x = 12 olur.
Parantez Açma ve Paranteze Alma İşlemleri
(-) eksi işareti ile parantez açma işlemleriYukarıdaki resimde verilen işlemler için:
1-) Numaralı Örnek
-(a + b) ifadesinde, parantez içindeki a sayısının işareti (+) 'dır. İşareti (+) olan bir sayının işareti, önüne yazılmayabilir. Parantez içindeki (+) işareti, toplama işleminin sembolü olsa da, b sayısının işareti olarak olarak kabul edilebilir. Toplama işleminin, işareti belli olan iki tane sayıyı, bir araya getirmek olduğu söylenebilir.
Parantez dışında bulunan (-) işareti ile a sayısının işareti olan, (+) işareti çarpılır. (-) . (+) = (-) işleminin sonucu (-) olur. Bulunan (-) sonucu, a sayısının önüne yazılır ve (-a) olur.
Parantez dışında bulunan (-) işareti ile b sayısının işareti olan, (+) işareti çarpılır. (-) . (+) = (-) işleminin sonucu (-) olur. Bulunan (-) sonucu, b sayısının önüne yazılır ve (-b) olur.
Bulunan iki değer yan yana yazılır. ( -a -b ) şeklinde parantez dışına çıkarlar.
-(2 + 3) ifadesinde, parantez içindeki 2 sayısının işareti (+) 'dır. İşareti (+) olan 2 sayının işareti, önüne yazılmayabilir. Parantez içindeki (+) işareti, toplama işleminin sembolü olsa da, 3 sayısının işareti olarak olarak kabul edilebilir.
Parantez dışında bulunan (-) işareti ile 2 sayısının işareti olan, (+) işareti çarpılır. (-) . (+) = (-) işleminin sonucu (-) olur. Bulunan (-) sonucu, 2 sayısının önüne yazılır ve (-2) olur.
Parantez dışında bulunan (-) işareti ile 3 sayısının işareti olan, (+) işareti çarpılır. (-) . (+) = (-) işleminin sonucu (-) olur. Bulunan (-) sonucu, 3 sayısının önüne yazılır ve (-3) olur.
Bulunan iki değer yan yana yazılır. ( -2 -3 ) şeklinde yan yana yazılan iki sayı, bir araya getirildiğinde sonuç (-5) olur.
2-) Numaralı Örnek
-(a - b) ifadesinde, parantez içindeki a sayısının işareti (+) 'dır. İşareti (+) olan bir sayının işareti, önüne yazılmayabilir. Parantez içindeki (-) işareti, çıkarma işleminin sembolü olsa da, b sayısının işareti olarak olarak kabul edilebilir.
Parantez dışında bulunan (-) işareti ile a sayısının işareti olan, (+) işareti çarpılır. (-) . (+) = (-) işleminin sonucu (-) olur. Bulunan (-) sonucu, a sayısının önüne yazılır ve (-a) olur.
Parantez dışında bulunan (-) işareti ile b sayısının işareti olan, (-) işareti çarpılır. (-) . (-) = (+) işleminin sonucu (+) olur. Bulunan (+) sonucu, b sayısının önüne yazılır (+b) olur.
Bulunan iki değer yan yana yazılır. ( -a +b ) şeklinde parantez dışına çıkarlar.
-(2 - 3) ifadesinde, parantez içindeki 2 sayısının işareti (+) 'dır. İşareti (+) olan 2 sayının işareti, önüne yazılmayabilir. Parantez içindeki (-) işareti, çıkarma işleminin sembolü olsa da, 3 sayısının işareti olarak olarak kabul edilebilir.
Parantez dışında bulunan (-) işareti ile 2 sayısının işareti olan, (+) işareti çarpılır. (-) . (+) = (-) işleminin sonucu (-) olur. Bulunan (-) sonucu, 2 sayısının önüne yazılır ve (-2) olur.
Parantez dışında bulunan (-) işareti ile 3 sayısının işareti olan, (-) işareti çarpılır. (-) . (-) = (+) işleminin sonucu (+) olur. Bulunan (+) sonucu, 3 sayısının önüne yazılır ve (+3) olur.
Bulunan iki değer yan yana yazılır. ( -2 +3 ) şeklinde yan yana yazılan iki sayı, bir araya getirildiğinde sonuç (+1) olur.
3-) Numaralı Örnek
-(-a - b) ifadesinde, parantez içindeki a sayısının işareti (-) 'dir. Parantez içindeki (-) işareti, çıkarma işleminin sembolü olsa da, b sayısının işareti olarak olarak kabul edilebilir.
Parantez dışında bulunan (-) işareti ile a sayısının işareti olan, (-) işareti çarpılır. (-) . (-) = (+) işleminin sonucu (+) olur. Bulunan (+) sonucu, a sayısının önüne yazılır ve (+a) olur.
Parantez dışında bulunan (-) işareti ile b sayısının işareti olan, (-) işareti çarpılır. (-) . (-) = (+) işleminin sonucu (+) olur. Bulunan (+) sonucu, b sayısının önüne yazılır ve (+b) olur.
Bulunan iki değer yan yana yazılır. ( +a +b ) şeklinde parantez dışına çıkarlar.
-(-2 - 3) ifadesinde, parantez içindeki 2 sayısının işareti (-) 'dir. Parantez içindeki (-) işareti, çıkarma işleminin sembolü olsa da, 3 sayısının işareti olarak olarak kabul edilebilir.
Parantez dışında bulunan (-) işareti ile 2 sayısının işareti olan, (-) işareti çarpılır. (-) . (-) = (+) işleminin sonucu (+) olur. Bulunan (+) sonucu, 2 sayısının önüne yazılır ve (+2) olur.
Parantez dışında bulunan (-) işareti ile 3 sayısının işareti olan, (-) işareti çarpılır. (-) . (-) = (+) işleminin sonucu (+) olur. Bulunan (+) sonucu, 3 sayısının önüne yazılır ve (+3) olur.
Bulunan iki değer yan yana yazılır. ( +2 +3 ) şeklinde yan yana yazılan iki sayı, bir araya getirildiğinde sonuç (+5) olur.
4-) Numaralı Örnek
-(-a + b) ifadesinde, parantez içindeki a sayısının işareti (-) 'dir. Parantez içindeki (+) işareti, toplama işleminin sembolü olsa da, b sayısının işareti olarak olarak kabul edilebilir.
Parantez dışında bulunan (-) işareti ile a sayısının işareti olan, (-) işareti çarpılır. (-) . (-) = (+) işleminin sonucu (+) olur. Bulunan (+) sonucu, a sayısının önüne yazılır ve (+a) olur.
Parantez dışında bulunan (-) işareti ile b sayısının işareti olan, (+) işareti çarpılır. (-) . (+) = (-) işleminin sonucu (-) olur. Bulunan (-) sonucu, b sayısının önüne yazılır ve (-b) olur.
Bulunan iki değer yan yana yazılır. ( +a -b ) şeklinde parantez dışına çıkarlar.
-(-2 + 3) ifadesinde, parantez içindeki 2 sayısının işareti (-) 'dir. Parantez içindeki (+) işareti, toplama işleminin sembolü olsa da, 3 sayısının işareti olarak olarak kabul edilebilir.
Parantez dışında bulunan (-) işareti ile 2 sayısının işareti olan, (-) işareti çarpılır. (-) . (-) = (+) işleminin sonucu (+) olur. Bulunan (+) sonucu, 2 sayısının önüne yazılır ve (+2) olur.
Parantez dışında bulunan (-) işareti ile 3 sayısının işareti olan, (+) işareti çarpılır. (-) . (+) = (-) işleminin sonucu (-) olur. Bulunan (-) sonucu, 3 sayısının önüne yazılır ve (-3) olur.
Bulunan iki değer yan yana yazılır. ( +2 -3 ) şeklinde yan yana yazılan iki sayı, bir araya getirildiğinde sonuç (-1) olur.
Birinci dereceden bir bilinmeyen ile parantez açma işlemleri:
Yukarıdaki resimde verilen işlemler için:
1-) Numaralı Örnek
2(x + 2) ifadesinde, parantez içindeki x sayısının işareti (+) 'dır. İşareti (+) olan bir sayının işareti, önüne yazılmayabilir. Parantez içindeki (+) işareti, toplama işleminin sembolü olsa da, 2 sayısının işareti olarak olarak kabul edilebilir.
Parantez dışında bulunan 2 sayısının işareti (+) 'dır. Parantez dışında bulunan (+2) sayısı ile parantez içindeki (+x) sayısı çarpılır. (+2) . (+x) = (+2x) işleminin sonucu (+2x) olur.
Parantez dışında bulunan (+2) sayısı ile parantez içinde bulunan (+2) sayısı çarpılır. (+2) . (+2) = (+4) işleminin sonucu (+4) olur.
Bulunan iki değer yan yana yazılır. ( +2x +4 ) şeklinde parantez dışına çıkarlar.
Paranteze Alma:
Bulunan ( +2x +4 ) sonucu için, paranteze alma işlemi yapılabilir.
(+2x) değeri, (+2 . +x) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
(+4) değeri (+2 . +2) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
Yukarıda çarpanlarına ayrılan iki ifadede de (+2) çarpanı ortaktır.
Ortak olan (+2) çarpanı, parantez dışına çıkarılırsa, parantez içinde (+x +2) değerleri kalır.
(+2)(+x +2) → 2(x + 2)
2-) Numaralı Örnek
2(x - 2) ifadesinde, parantez içindeki x sayısının işareti (+) 'dır. İşareti (+) olan bir sayının işareti, önüne yazılmayabilir. Parantez içindeki (-) işareti, çıkarma işleminin sembolü olsa da, 2 sayısının işareti olarak olarak kabul edilebilir.
Parantez dışında bulunan 2 sayısının işareti (+) 'dır. Parantez dışında bulunan (+2) sayısı ile parantez içindeki (+x) sayısı çarpılır. (+2) . (+x) = (+2x) işleminin sonucu (+2x) olur.
Parantez dışında bulunan (+2) sayısı ile parantez içinde bulunan (-2) sayısı çarpılır. (+2) . (-2) = (-4) işleminin sonucu (-4) olur.
Bulunan iki değer yan yana yazılır. ( +2x -4 ) şeklinde parantez dışına çıkarlar.
Paranteze Alma:
Bulunan ( +2x -4 ) sonucu için, paranteze alma işlemi yapılabilir.
(+2x) değeri, (+2 . +x) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
(-4) değeri (+2 . -2) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
Yukarıda çarpanlarına ayrılan iki ifadede de (+2) çarpanı ortaktır.
Ortak olan (+2) çarpanı, parantez dışına çıkarılırsa, parantez içinde (+x -2) değerleri kalır.
(+2)(+x -2) → 2(x - 2)
3-) Numaralı Örnek
2(-x - 2) ifadesinde, parantez içindeki x sayısının işareti (-) 'dir. Parantez içindeki (-) işareti, çıkarma işleminin sembolü olsa da, 2 sayısının işareti olarak olarak kabul edilebilir.
Parantez dışında bulunan 2 sayısının işareti (+) 'dır. Parantez dışında bulunan (+2) sayısı ile parantez içindeki (-x) sayısı çarpılır. (+2) . (-x) = (-2x) işleminin sonucu (-2x) olur.
Parantez dışında bulunan (+2) sayısı ile parantez içinde bulunan (-2) sayısı çarpılır. (+2) . (-2) = (-4) işleminin sonucu (-4) olur.
Bulunan iki değer yan yana yazılır. ( -2x -4 ) şeklinde parantez dışına çıkarlar.
Paranteze Alma:
Bulunan ( -2x -4 ) sonucu için, paranteze alma işlemi yapılabilir.
(-2x) değeri, (+2 . -x) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
(-4) değeri (+2 . -2) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
Yukarıda çarpanlarına ayrılan iki ifadede de (+2) çarpanı ortaktır.
Ortak olan (+2) çarpanı, parantez dışına çıkarılırsa, parantez içinde (-x -2) değerleri kalır.
(+2)(-x -2) → 2(-x - 2)
4-) Numaralı Örnek
2(-x + 2) ifadesinde, parantez içindeki x sayısının işareti (-) 'dir. Parantez içindeki (+) işareti, toplama işleminin sembolü olsa da, 2 sayısının işareti olarak olarak kabul edilebilir.
Parantez dışında bulunan 2 sayısının işareti (+) 'dır. Parantez dışında bulunan (+2) sayısı ile parantez içindeki (-x) sayısı çarpılır. (+2) . (-x) = (-2x) işleminin sonucu (-2x) olur.
Parantez dışında bulunan (+2) sayısı ile parantez içinde bulunan (+2) sayısı çarpılır. (+2) . (+2) = (+4) işleminin sonucu (+4) olur.
Bulunan iki değer yan yana yazılır. ( -2x +4 ) şeklinde parantez dışına çıkarlar.
Paranteze Alma:
Bulunan ( -2x +4 ) sonucu için, paranteze alma işlemi yapılabilir.
(-2x) değeri, (+2 . -x) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
(+4) değeri (+2 . +2) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
Yukarıda çarpanlarına ayrılan iki ifadede de (+2) çarpanı ortaktır.
Ortak olan (+2) çarpanı, parantez dışına çıkarılırsa, parantez içinde (-x +2) değerleri kalır.
(+2)(-x +2) → 2(-x + 2)
Birinci dereceden bir bilinmeyen ile (-) parantez açma işlemleri:
Yukarıdaki resimde verilen işlemler için:
1-) Numaralı Örnek
-2(x + 2) ifadesinde, parantez içindeki x sayısının işareti (+) 'dır. İşareti (+) olan bir sayının işareti, önüne yazılmayabilir. Parantez içindeki (+) işareti, toplama işleminin sembolü olsa da, 2 sayısının işareti olarak olarak kabul edilebilir.
Parantez dışında bulunan 2 sayısının işareti (-) 'dir. Parantez dışında bulunan (-2) sayısı ile parantez içindeki (+x) sayısı çarpılır. (-2) . (+x) = (-2x) işleminin sonucu (-2x) olur.
Parantez dışında bulunan (-2) sayısı ile parantez içinde bulunan (+2) sayısı çarpılır. (-2) . (+2) = (-4) işleminin sonucu (-4) olur.
Bulunan iki değer yan yana yazılır. ( -2x -4 ) şeklinde parantez dışına çıkarlar.
Paranteze Alma:
Bulunan ( -2x -4 ) sonucu için, paranteze alma işlemi yapılabilir.
(-2x) değeri, (-2 . +x) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
(-4) değeri (-2 . +2) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
Yukarıda çarpanlarına ayrılan iki ifadede de (-2) çarpanı ortaktır.
Ortak olan (-2) çarpanı, parantez dışına çıkarılırsa, parantez içinde (+x +2) değerleri kalır.
(-2)(+x +2) → -2(x + 2)
2-) Numaralı Örnek
-2(x - 2) ifadesinde, parantez içindeki x sayısının işareti (+) 'dır. İşareti (+) olan bir sayının işareti, önüne yazılmayabilir. Parantez içindeki (-) işareti, çıkarma işleminin sembolü olsa da, 2 sayısının işareti olarak olarak kabul edilebilir.
Parantez dışında bulunan 2 sayısının işareti (-) 'dir. Parantez dışında bulunan (-2) sayısı ile parantez içindeki (+x) sayısı çarpılır. (-2) . (+x) = (-2x) işleminin sonucu (-2x) olur.
Parantez dışında bulunan (-2) sayısı ile parantez içinde bulunan (-2) sayısı çarpılır. (-2) . (-2) = (+4) işleminin sonucu (+4) olur.
Bulunan iki değer yan yana yazılır. ( -2x +4 ) şeklinde parantez dışına çıkarlar.
Paranteze Alma:
Bulunan ( -2x +4 ) sonucu için, paranteze alma işlemi yapılabilir.
(-2x) değeri, (-2 . +x) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
(+4) değeri (-2 . -2) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
Yukarıda çarpanlarına ayrılan iki ifadede de (-2) çarpanı ortaktır.
Ortak olan (-2) çarpanı, parantez dışına çıkarılırsa, parantez içinde (+x -2) değerleri kalır.
(-2)(+x -2) → -2(x - 2)
3-) Numaralı Örnek
-2(-x - 2) ifadesinde, parantez içindeki x sayısının işareti (-) 'dir. Parantez içindeki (-) işareti, çıkarma işleminin sembolü olsa da, 2 sayısının işareti olarak olarak kabul edilebilir.
Parantez dışında bulunan 2 sayısının işareti (-) 'dir. Parantez dışında bulunan (-2) sayısı ile parantez içindeki (-x) sayısı çarpılır. (-2) . (-x) = (+2x) işleminin sonucu (+2x) olur.
Parantez dışında bulunan (-2) sayısı ile parantez içinde bulunan (-2) sayısı çarpılır. (-2) . (-2) = (+4) işleminin sonucu (+4) olur.
Bulunan iki değer yan yana yazılır. ( +2x +4 ) şeklinde parantez dışına çıkarlar.
Paranteze Alma:
Bulunan ( +2x +4 ) sonucu için, paranteze alma işlemi yapılabilir.
(+2x) değeri, (-2 . -x) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
(+4) değeri (-2 . -2) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
Yukarıda çarpanlarına ayrılan iki ifadede de (-2) çarpanı ortaktır.
Ortak olan (-2) çarpanı, parantez dışına çıkarılırsa, parantez içinde (-x -2) değerleri kalır.
(-2)(-x -2) → -2(-x - 2)
4-) Numaralı Örnek
-2(-x + 2) ifadesinde, parantez içindeki x sayısının işareti (-) 'dir. Parantez içindeki (+) işareti, toplama işleminin sembolü olsa da, 2 sayısının işareti olarak olarak kabul edilebilir.
Parantez dışında bulunan 2 sayısının işareti (-) 'dir. Parantez dışında bulunan (-2) sayısı ile parantez içindeki (-x) sayısı çarpılır. (-2) . (-x) = (+2x) işleminin sonucu (+2x) olur.
Parantez dışında bulunan (-2) sayısı ile parantez içinde bulunan (+2) sayısı çarpılır. (-2) . (+2) = (-4) işleminin sonucu (-4) olur.
Bulunan iki değer yan yana yazılır. ( +2x -4 ) şeklinde parantez dışına çıkarlar.
Paranteze Alma:
Bulunan ( +2x -4 ) sonucu için, paranteze alma işlemi yapılabilir.
(+2x) değeri, (-2 . -x) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
(-4) değeri (-2 . +2) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
Yukarıda çarpanlarına ayrılan iki ifadede de (-2) çarpanı ortaktır.
Ortak olan (-2) çarpanı, parantez dışına çıkarılırsa, parantez içinde (-x +2) değerleri kalır.
(-2)(-x +2) → -2(-x + 2)
İkinci dereceden bir bilinmeyen ile parantez açma işlemleri:
Yukarıdaki resimde verilen işlemler için:
1-) Numaralı Örnek
2x(x + 2) ifadesinde, parantez içindeki x sayısının işareti (+) 'dır. İşareti (+) olan bir sayının işareti, önüne yazılmayabilir. Parantez içindeki (+) işareti, toplama işleminin sembolü olsa da, 2 sayısının işareti olarak olarak kabul edilebilir.
Parantez dışında bulunan 2x sayısının işareti (+) 'dır. Parantez dışında bulunan (+2x) sayısı ile parantez içindeki (+x) sayısı çarpılır. (+2x) . (+x) = (+2x²) işleminin sonucu (+2x²) olur.
Not:
x . x = x²
a . a = a²
x . x . x = x³
a . a . a = a³
Parantez dışında bulunan (+2x) sayısı ile parantez içinde bulunan (+2) sayısı çarpılır. (+2x) . (+2) = (+4x) işleminin sonucu (+4x) olur.
Bulunan iki değer yan yana yazılır. ( +2x² +4x ) şeklinde parantez dışına çıkarlar.
Paranteze Alma:
Bulunan ( +2x² +4x ) sonucu için, paranteze alma işlemi yapılabilir.
(+2x²) değeri, (+2x . +x) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
(+4x) değeri (+2x . +2) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
Yukarıda çarpanlarına ayrılan iki ifadede de (+2x) çarpanı ortaktır.
Ortak olan (+2x) çarpanı, parantez dışına çıkarılırsa, parantez içinde (+x +2) değerleri kalır.
(+2x)(+x +2) → 2x(x + 2)
2-) Numaralı Örnek
2x(x - 2) ifadesinde, parantez içindeki x sayısının işareti (+) 'dır. İşareti (+) olan bir sayının işareti, önüne yazılmayabilir. Parantez içindeki (-) işareti, çıkarma işleminin sembolü olsa da, 2 sayısının işareti olarak olarak kabul edilebilir.
Parantez dışında bulunan 2x sayısının işareti (+) 'dır. Parantez dışında bulunan (+2x) sayısı ile parantez içindeki (+x) sayısı çarpılır. (+2x) . (+x) = (+2x²) işleminin sonucu (+2x²) olur.
Parantez dışında bulunan (+2x) sayısı ile parantez içinde bulunan (-2) sayısı çarpılır. (+2x) . (-2) = (-4x) işleminin sonucu (-4x) olur.
Bulunan iki değer yan yana yazılır. ( +2x² -4x ) şeklinde parantez dışına çıkarlar.
Paranteze Alma:
Bulunan ( +2x² -4x ) sonucu için, paranteze alma işlemi yapılabilir.
(+2x²) değeri, (+2x . +x) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
(-4x) değeri (+2x . -2) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
Yukarıda çarpanlarına ayrılan iki ifadede de (+2x) çarpanı ortaktır.
Ortak olan (+2x) çarpanı, parantez dışına çıkarılırsa, parantez içinde (+x -2) değerleri kalır.
(+2x)(+x -2) → 2x(x - 2)
3-) Numaralı Örnek
2x(-x - 2) ifadesinde, parantez içindeki x sayısının işareti (-) 'dir. Parantez içindeki (-) işareti, çıkarma işleminin sembolü olsa da, 2 sayısının işareti olarak olarak kabul edilebilir.
Parantez dışında bulunan 2x sayısının işareti (+) 'dır. Parantez dışında bulunan (+2x) sayısı ile parantez içindeki (-x) sayısı çarpılır. (+2x) . (-x) = (-2x²) işleminin sonucu (-2x²) olur.
Parantez dışında bulunan (+2x) sayısı ile parantez içinde bulunan (-2) sayısı çarpılır. (+2x) . (-2) = (-4x) işleminin sonucu (-4x) olur.
Bulunan iki değer yan yana yazılır. ( -2x² -4x ) şeklinde parantez dışına çıkarlar.
Paranteze Alma:
Bulunan ( -2x² -4x ) sonucu için, paranteze alma işlemi yapılabilir.
(-2x²) değeri, (+2x . -x) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
(-4x) değeri (+2x . -2) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
Yukarıda çarpanlarına ayrılan iki ifadede de (+2x) çarpanı ortaktır.
Ortak olan (+2x) çarpanı, parantez dışına çıkarılırsa, parantez içinde (-x -2) değerleri kalır.
(+2x)(-x -2) → 2x(-x - 2)
4-) Numaralı Örnek
2x(-x + 2) ifadesinde, parantez içindeki x sayısının işareti (-) 'dir. Parantez içindeki (+) işareti, toplama işleminin sembolü olsa da, 2 sayısının işareti olarak olarak kabul edilebilir.
Parantez dışında bulunan 2x sayısının işareti (+) 'dır. Parantez dışında bulunan (+2x) sayısı ile parantez içindeki (-x) sayısı çarpılır. (+2x) . (-x) = (-2x²) işleminin sonucu (-2x²) olur.
Parantez dışında bulunan (+2x) sayısı ile parantez içinde bulunan (+2) sayısı çarpılır. (+2x) . (+2) = (+4x) işleminin sonucu (+4x) olur.
Bulunan iki değer yan yana yazılır. ( -2x² +4x ) şeklinde parantez dışına çıkarlar.
Paranteze Alma:
Bulunan ( -2x² +4x ) sonucu için, paranteze alma işlemi yapılabilir.
(-2x²) değeri, (+2x . -x) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
(+4x) değeri (+2x . +2) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
Yukarıda çarpanlarına ayrılan iki ifadede de (+2x) çarpanı ortaktır.
Ortak olan (+2x) çarpanı, parantez dışına çıkarılırsa, parantez içinde (-x +2) değerleri kalır.
(+2x)(-x +2) → 2x(-x + 2)
İkinci dereceden bir bilinmeyen ile (-) parantez açma işlemleri:
Yukarıdaki resimde verilen işlemler için:
1-) Numaralı Örnek
-2x(x + 2) ifadesinde, parantez içindeki x sayısının işareti (+) 'dır. İşareti (+) olan bir sayının işareti, önüne yazılmayabilir. Parantez içindeki (+) işareti, toplama işleminin sembolü olsa da, 2 sayısının işareti olarak olarak kabul edilebilir.
Parantez dışında bulunan 2x sayısının işareti (-) 'dir. Parantez dışında bulunan (-2x) sayısı ile parantez içindeki (+x) sayısı çarpılır. (-2x) . (+x) = (-2x²) işleminin sonucu (-2x²) olur.
Parantez dışında bulunan (-2x) sayısı ile parantez içinde bulunan (+2) sayısı çarpılır. (-2x) . (+2) = (-4x) işleminin sonucu (-4x) olur.
Bulunan iki değer yan yana yazılır. ( -2x² -4x ) şeklinde parantez dışına çıkarlar.
Paranteze Alma:
Bulunan ( -2x² -4x ) sonucu için, paranteze alma işlemi yapılabilir.
(-2x²) değeri, (-2x . +x) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
(-4x) değeri (-2x . +2) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
Yukarıda çarpanlarına ayrılan iki ifadede de (-2x) çarpanı ortaktır.
Ortak olan (-2x) çarpanı, parantez dışına çıkarılırsa, parantez içinde (+x +2) değerleri kalır.
(-2x)(+x +2) → -2x(x + 2)
2-) Numaralı Örnek
-2x(x - 2) ifadesinde, parantez içindeki x sayısının işareti (+) 'dır. İşareti (+) olan bir sayının işareti, önüne yazılmayabilir. Parantez içindeki (-) işareti, çıkarma işleminin sembolü olsa da, 2 sayısının işareti olarak olarak kabul edilebilir.
Parantez dışında bulunan 2x sayısının işareti (-) 'dir. Parantez dışında bulunan (-2x) sayısı ile parantez içindeki (+x) sayısı çarpılır. (-2x) . (+x) = (-2x²) işleminin sonucu (-2x²) olur.
Parantez dışında bulunan (-2x) sayısı ile parantez içinde bulunan (-2) sayısı çarpılır. (-2x) . (-2) = (+4x) işleminin sonucu (+4x) olur.
Bulunan iki değer yan yana yazılır. ( -2x² +4x ) şeklinde parantez dışına çıkarlar.
Paranteze Alma:
Bulunan ( -2x² +4x ) sonucu için, paranteze alma işlemi yapılabilir.
(-2x²) değeri, (-2x . +x) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
(+4x) değeri (-2x . -2) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
Yukarıda çarpanlarına ayrılan iki ifadede de (-2x) çarpanı ortaktır.
Ortak olan (-2x) çarpanı, parantez dışına çıkarılırsa, parantez içinde (+x -2) değerleri kalır.
(-2x)(+x -2) → -2x(x - 2)
3-) Numaralı Örnek
-2x(-x - 2) ifadesinde, parantez içindeki x sayısının işareti (-) 'dir. Parantez içindeki (-) işareti, çıkarma işleminin sembolü olsa da, 2 sayısının işareti olarak olarak kabul edilebilir.
Parantez dışında bulunan 2x sayısının işareti (-) 'dir. Parantez dışında bulunan (-2x) sayısı ile parantez içindeki (-x) sayısı çarpılır. (-2x) . (-x) = (+2x²) işleminin sonucu (+2x²) olur.
Parantez dışında bulunan (-2x) sayısı ile parantez içinde bulunan (-2) sayısı çarpılır. (-2x) . (-2) = (+4x) işleminin sonucu (+4x) olur.
Bulunan iki değer yan yana yazılır. ( +2x² +4x ) şeklinde parantez dışına çıkarlar.
Paranteze Alma:
Bulunan ( +2x² +4x ) sonucu için, paranteze alma işlemi yapılabilir.
(+2x²) değeri, (-2x . -x) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
(+4x) değeri (-2x . -2) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
Yukarıda çarpanlarına ayrılan iki ifadede de (-2x) çarpanı ortaktır.
Ortak olan (-2x) çarpanı, parantez dışına çıkarılırsa, parantez içinde (-x -2) değerleri kalır.
(-2x)(-x -2) → -2x(-x - 2)
4-) Numaralı Örnek
-2x(-x + 2) ifadesinde, parantez içindeki x sayısının işareti (-) 'dir. Parantez içindeki (+) işareti, toplama işleminin sembolü olsa da, 2 sayısının işareti olarak olarak kabul edilebilir.
Parantez dışında bulunan 2x sayısının işareti (-) 'dir. Parantez dışında bulunan (-2x) sayısı ile parantez içindeki (-x) sayısı çarpılır. (-2x) . (-x) = (+2x²) işleminin sonucu (+2x²) olur.
Parantez dışında bulunan (-2x) sayısı ile parantez içinde bulunan (+2) sayısı çarpılır. (-2x) . (+2) = (-4x) işleminin sonucu (-4x) olur.
Bulunan iki değer yan yana yazılır. ( +2x² -4x ) şeklinde parantez dışına çıkarlar.
Paranteze Alma:
Bulunan ( +2x² -4x ) sonucu için, paranteze alma işlemi yapılabilir.
(+2x²) değeri, (-2x . -x) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
(-4x) değeri (-2x . +2) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
Yukarıda çarpanlarına ayrılan iki ifadede de (-2x) çarpanı ortaktır.
Ortak olan (-2x) çarpanı, parantez dışına çıkarılırsa, parantez içinde (-x +2) değerleri kalır.
(-2x)(-x +2) → -2x(-x + 2)
Yorumlar
Yorum Gönder