Şu an 1. Bölüm görüntüleniyor...
Bölüm Konuları:
Sayı Kümeleri , Rakamlar Kümesi , Sayma Sayıları Kümesi , Doğal Sayılar Kümesi
Basamaklara Ayırma , Pozitif Tam Sayılar Kümesi , Negatif Tam Sayılar Kümesi
Tam Sayılar Kümesi , Tek ve Çift Tam Sayılar Kümeleri
Sayı Kümeleri, Rakamlar, Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar Kümeleri:
Rakamlar Kümesi = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } sayılarından oluşur. Rakamlar kümesinin 10 elemanı vardır.
Rakamlar kümesinin elemanları ile, tüm gerçek (reel) sayılar ifade edilebilir. Tam sayı, rasyonel ve irrasyonel sayı kümelerinin elemanları, bir takım semboller ile birlikte, yine rakamlar kullanılarak ifade edilir.
N⁺ = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , ...} şeklinde sonsuz sayıdan oluşur. Sayma sayıları kümesinin sonsuz (∞) sayıda elemanı vardır. Küme içerisindeki ...(üç nokta), sonsuza giden sayma sayılarını ifade eder.
Herhangi bir kümedeki elemanlar sayılmaya, 1 sayısından başladığından, bu ismi aldığı söylenebilir.
N = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , ...} şeklinde sonsuz sayıdan oluşur. Doğal sayılar kümesinin sonsuz (∞) sayıda elemanı vardır. Küme içerisindeki ...(üç nokta), sonsuza giden doğal sayıları ifade eder.
Sayma sayıları kümesinden farkı, 0 (sıfır) sayısıdır. Rakamlar kümesi, sayma sayıları kümesinin alt kümesidir. Sayma sayıları kümesi, doğal sayılar kümesinin alt kümesidir. Rakamlar kümesine S dersek:
Basamaklarına ayrılacak sayıları oluşturan rakamlar, sağdan başlayarak sola doğru:
Örneğin: 95876 sayısı için;
A, B, C ve D rakam olmak üzere, ABCD ve 2685 sayılarını basamaklarına ayırınız.
Çözüm:
Basamaklarına ayırma örnek soru:
2685 sayısı için:
-) 2685 sayısı 4 basamaklı bir sayıdır. Birler basamağındaki rakam 5'tir. Birler basamağındaki rakam ile birler basamağının, basamak değeri olan 1 sayısı çarpılır. 5 x 1 = 5
-) Onlar basamağındaki rakam 8'dir. Onlar basamağındaki rakam ile onlar basamağının, basamak değeri olan 10 sayısı çarpılır. 8 x 10 = 80
-) Yüzler basamağındaki rakam 6'dır. Yüzler basamağındaki rakam ile yüzler basamağının, basamak değeri olan 100 sayısı çarpılır. 6 x 100 = 600
-) Binler basamağındaki rakam 2'dir. Binler basamağındaki rakam ile binler basamağının, basamak değeri olan 1000 sayısı çarpılır. 2 x 1000 = 2000
2000 + 600 + 80 + 5 = 2685 olur.
ABCD sayısı için:
-) ABCD sayısı 4 basamaklı bir sayıdır. Birler basamağındaki rakam D'dir. Birler basamağındaki rakam ile birler basamağının, basamak değeri olan 1 sayısı çarpılır. D x 1 = D
-) Onlar basamağındaki rakam C'dir. Onlar basamağındaki rakam ile onlar basamağının, basamak değeri olan 10 sayısı çarpılır. C x 10 = 10C
-) Yüzler basamağındaki rakam B'dir. Yüzler basamağındaki rakam ile yüzler basamağının, basamak değeri olan 100 sayısı çarpılır. B x 100 = 100B
-) Binler basamağındaki rakam A'dır. Binler basamağındaki rakam ile binler basamağının, basamak değeri olan 1000 sayısı çarpılır. A x 1000 = 1000A
1000A + 100B + 10C + D = ABCD olur.
Örnek:
İki basamaklı ab doğal sayısının rakamlarının yerleri değiştirilirse sayı 45 büyüyor.
Buna göre, ab doğal sayısının rakamları çarpımı en az kaçtır? (Kaynak: Supara)
Çözüm:
Basamaklarına ayırma örnek soru çözümü:
Yukarıdaki resimde, ab doğal sayısı ve ba doğal sayısı basamaklarına ayrılmıştır.
-) ab sayısının, rakamları yer değiştirirse, ba sayısı elde edilir.
-) Sayı 45 büyüdüğüne göre ba sayısı, ab sayısından büyük olmalıdır. ba - ab = 45
-)
b - a = 5 sonucuna ulaşılır. b ve a birer rakam olmak üzere, b sayısının ve a sayısının alabileceği değerler aşağıda yazılmıştır. b - a = 5 eşitliğini sağlayan, çıkarma işlemlerinde, soldaki sayı b bilinmeyeninin alabileceği değerleri, sağdaki sayı ise a bilinmeyeninin alabileceği değerleri ifade eder.
5 - 0 = 5 → 5 . 0 = 0
6 - 1 = 5 → 6 . 1 = 6
7 - 2 = 5 → 7 . 2 = 14
8 - 3 = 5 → 8 . 3 = 24
9 - 4 = 5 → 9 . 4 = 36
ab ve ba doğal sayıları rakamlardan oluşur. Soruda, bize, bu sayıların iki basamaklı olduğu söylendiğinden, a değeri 0 olamaz. Eğer, a = 0 olursa, ab sayısı, bir basamaklı (05) bir sayı olur. Buna göre ab doğal sayısının rakamları çarpımı en az, a . b = 1 . 6 = 6 olur. Cevap: 6
Örnek:
a ve b birer doğal sayıdır. a . b = 24 ise, a + b kaç farklı değer alabilir?
Çözüm:
Sorudaki ilk koşul, a ve b sayılarının doğal sayılar olduğudur. Doğal sayılar kümesi, 0,1,2,3, ... şeklinde sonsuza kadar giden sayılardan oluşur. İkinci koşul ise, a ve b sayılarının çarpma işleminin sonucunun 24 olmasıdır. Üçüncü koşul ise, a + b değerlerinin, birbirinden farklı olmasıdır.
a ve b sayılarının, 24 sayısının çarpanı olması gerekir. 24 sayısı, tam bölen çarpanlarına ayrılır.
24 / 2 = 12 → İlk çarpan 2 sayısıdır. Bölme işleminin sonucu ile devam edilir.
12 / 2 = 6 → İkinci çarpan 2 sayısıdır.
6 / 2 = 3 → Üçüncü çarpan 2 sayısıdır.
3 / 3 = 1 → Dördüncü çarpan 3 sayısıdır.
1 / 1 = 1 → Beşinci çarpan 1 sayısıdır.
Not:
Çarpanlara ayırma işlemi, çarpanlarına ayrılan sayıyı, tam bölen en küçük asal sayı ile başlar. (2, 3 , 5 , 7)
24 sayısının çarpanları, küçükten büyüğe doğru 1, 2 , 2 , 2 ve 3'tür. Bu çarpanlardan, türeyen çarpanlar:
Küçükten büyüğe doğru çarpılır (1 , 2 , 2 , 2 , 3):
1
1 . 2 = 2
2 . 2 = 4 → Bulunan sonuç, küçükten büyüğe üçüncü çarpan olan 2 ile çarpılır.
4 . 2 = 8 → Bulunan sonuç, küçükten büyüğe dördüncü çarpan olan 2 ile çarpılır.
8 . 3 = 24 → Bulunan sonuç, küçükten büyüğe beşinci çarpan olan 3 ile çarpılır.
Büyükten küçüğe doğru çarpılır (3 , 2 , 2 , 2 , 1):
3
3 . 2 = 6
6 . 2 = 12 → Bulunan sonuç, büyükten küçüğe üçüncü çarpan olan 2 ile çarpılır.
12 . 2 = 24 → Bulunan sonuç, büyükten küçüğe dördüncü çarpan olan 2 ile çarpılır.
24 . 1 = 24 → Bulunan sonuç, büyükten küçüğe beşinci çarpan olan 1 ile çarpılır.
Küçükten büyüğe çarpım sonucuna göre, a veya b sayısının alabileceği değerler: {1,2,4,8,24}
Büyükten küçüğe çarpım sonucuna göre, a veya b sayısının alabileceği değerler: {3,6,12,24}
a veya b'nin alabileceği değerler : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
a = 1 için, b = 24 → 1 . 24 = 24 → a + b = 25
a = 2 için, b = 12 → 2 . 12 = 24 → a + b = 14
a = 3 için, b = 8 → 3 . 8 = 24 → a + b = 11
a = 4 için, b = 6 → 4 . 6 = 24 → a + b = 10
a = 6 için, b = 4 → 6 . 4 = 24 → a + b = 10
a = 8 için, b = 3 → 8 . 3 = 24 → a + b = 11
a = 12 için, b = 2 → 12 . 2 = 24 → a + b = 14
a = 24 için, b = 1 → 24 . 1 = 24 → a + b = 25
a + b değeri, 4 farklı değer alabilir. (10 , 11 , 14 , 25)
Bu uzun çözüm, çözüm yöntemini görmeniz içindir. a değerine verilebilecek en küçük değerden başlanarak, koşulu sağlayan b değerleri bulunabilir.
24 sayısını tam bölen çarpanlar, a değerine verilebilecek en küçük değer olan, 1 sayısı ile başlasın. Doğal sayılar kümesi 0 (sıfır) sayısı ile başlamasına karşın, soru koşulundan dolayı, a sayısı sıfır olamaz. Sıfır sayısı, çarpma işleminin yutan elemanıdır. Tüm sayıların, sıfır ile çarpım sonucu, yine, sıfırdır. a . b işleminde, a yerine sıfır yazılırsa, 0 . b = 0 olur.
Örnek:
a ve b birer rakamdır.
a + b = 14
olduğuna göre, a . b çarpımının alabileceği en büyük değer kaçtır? (Kaynak: Supara)
Çözüm:
Sorudaki ilk koşul, a ve b'nin rakam olduğudur. Rakamlar kümesi, {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} elemanlarından oluşur.
İkinci koşul, a + b = 14 eşitliğinin sağlanmasıdır.
a = 5 için, b = 9 → 5 . 9 = 45
a = 6 için, b = 8 → 6 . 8 = 48
a = 7 için, b = 7 → 7 . 7 = 49
a = 8 için, b = 6 → 8 . 6 = 48
a = 9 için, b = 5 → 9 . 5 = 45
a = 4 için, b = 10 olacağından, a rakamı, 5 sayısından küçük olamaz.
b = 4 için, a = 10 olacağından, b rakamı, 5 sayısından küçük olamaz.
10 sayısı, rakamlar kümesinin elemanı değildir. Rakamlar kümesinin en büyük elemanı, 9 rakamıdır.
Yukarıda a'ya verilen değerler ile a'ya verilen değerler için, b'nin aldığı değerlerin toplamının, 14 olma koşulu sağlanır. Birbirine en yakın a ve b değerlerinin çarpımı, en büyük çarpım sonucunu verir. Birbirine en uzak a ve b değerlerinin çarpımı, en küçük çarpım sonucunu verir.
a . b çarpımının alabileceği en büyük değer, 7 . 7 = 49'dur. Cevap:49
1 sayısından başlayıp, 1 artarak sonsuza kadar giden sayılar, pozitif tam sayılar kümesini oluşturur. Pozitif tam sayılar kümesi, sonsuz bir kümedir. Pozitif tam sayılar kümesi Z⁺ sembolü ile gösterilir.
Z⁺ = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , ...} şeklinde sonsuz sayıdan oluşur. Pozitif tam sayılar kümesinin sonsuz (∞) sayıda elemanı vardır. Küme içerisindeki ...(üç nokta), artı(+) sonsuza giden, pozitif tam sayıları ifade eder.
Sayma sayıları kümesi ve Pozitif tam sayılar kümesi, eşit kümelerdir.
Z⁺ = N⁺
Z⁻ = {... , -12 , -11 , -10 , -9 , -8 , -7 , -6 , -5 , -4 , -3 , -2 , -1 } şeklinde sonsuz sayıdan oluşur. Negatif tam sayılar kümesinin sonsuz (∞) sayıda elemanı vardır. Küme içerisindeki ...(üç nokta), eksi(-) sonsuza giden, negatif tam sayıları ifade eder.
Pozitif tam sayılar kümesinin, {0} kümesinin ve Negatif tam sayılar kümesinin birleşim kümesi, Tam sayılar kümesini oluşturur. Tam sayılar kümesi, sonsuz bir kümedir. Tam sayılar kümesi Z sembolü ile gösterilir. {0}, sıfır sayısının oluşturduğu kümedir.
Z = {... , -6 , -5 , -4 , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , ...} şeklinde sonsuz sayıdan oluşur. Tam sayılar kümesinin sonsuz (∞) sayıda elemanı vardır. Küme içerisinde, sol tarafta bulunan ...(üç nokta), eksi(-) sonsuza giden tam sayıları, sağ tarafta bulunan ...(üç nokta), artı(+) sonsuza giden tam sayıları ifade eder.
Z = Z⁻ ∪ {0} ∪ Z⁺
0 ∉ Z⁻ → 0 sayısı, Negatif tam sayılar kümesinin elemanı değildir.
0 ∉ Z⁺ → 0 sayısı, Pozitif tam sayılar kümesinin elemanı değildir.
0 ∈ Z → 0 sayısı, Tam sayılar kümesinin bir elemanıdır.
Z⁻ ⊂ Z → Negatif tam sayılar kümesi, Tam sayılar kümesinin alt kümesidir.
Z⁺ ⊂ Z → Pozitif tam sayılar kümesi, Tam sayılar kümesinin alt kümesidir.
Örnek:
Tam sayılar örnek soru (Kaynak: Supara):
Çözüm:
Tam sayılar örnek soru çözüm:
Yukarıdaki resimde gösterilen a'nın altındaki uzun çizgi (___), bölme işleminin işaretidir. Bu soruda, bölme işlemi için (/) sembolü kullanılacak.
Sorudaki ilk koşul, a'nın bir tam sayı olduğudur. İkinci koşul ise a/a-2 ifadesinin, 3 katının, negatif bir tam sayı olduğudur. 3 katı ifadesinde, 3 sayısının işareti (+) pozitiftir. Pozitif sayıların, işareti önlerine yazılmayabilir. 3 = +3'tür.
a/a-2 ifadesi ile (+) pozitif bir sayının çarpım sonucu, (-) negatif ise, a/a-2 ifadesi, (-) negatif olmalıdır. Matematikte, (-) . (+) çarpma işleminin sonucu (-) olur. (-) . (+) = (-)
a/a-2 ifadesi (-) negatif ise:
bölünen (-) (üst kısım) ve bölen (+) (alt kısım) olmalıdır. Veya
bölünen (+) ve bölen (-) olmalıdır.
Bölünen ve bölen kısımların, ikisi de (-) ise, sonuç, (+) olur. Bölme işleminde, (-) / (-) işleminin sonucu (+) olur.
(-) / (-) = (+)
Bölünen ve bölen kısımların, ikisi de (+) ise, sonuç, (+) çıkar. Bölme işleminde, (+) / (+) işleminin sonucu (+) olur.
(+) / (+) = (+)
a = 0 için 0 / 0-2 → 0 / -2 = 0 → Sıfır sayısı, bölme işleminde, bölünen kısımda ise, sonuç sıfır'dır. 0 . 3 = 0 olur. Sıfır, tam sayıdır fakat işareti yoktur.
a = -1 için -1 / -1-2 → -1 / -3 = 1 / 3 → 1 / 3 sayısının, 3 katı, 1 olur.
a = -2 için -2 / -2-2 → -2 / -4 = 2 / 4 → 2 / 4 sayısının, 3 katı, 6 / 4 olur.
(-) sonsuza giden, sıfır sayısından küçük, bütün a değerleri için, sonuç pozitif çıkacaktır.
a = 1 için 1 / 1-2 → 1 / -1 = -1 → -1 sayısının, 3 katı, -3 olur. (sağlar)
a = 2 için 2 / 2-2 → 2 / 0 = tanımsızdır. Matematikte, 0 sayısı, bölen kısımda ise sonuç tanımsızdır.
a = 3 için 3 / 3-2 → 3 / 1 = 3 → 3 sayısının, 3 katı, 9 olur.
(+) sonsuza giden, 2 sayısından büyük, bütün a değerleri için, sonuç pozitif çıkacaktır.
a/a-2 ifadesinin, 3 katı negatif tam sayı ise, a'nın değeri, sadece 1 sayısı olabilir. a'nın alabileceği tek değer vardır. Cevap: 1
Herhangi dört tane tam sayıyı (k olsun), 2 ile çarpalım (2k). Çarpım işlemi sonuçları, çift tam sayıdır.
Ç ⊂ Z → Çift tam sayılar kümesi, tam sayılar kümesinin alt kümesidir.
Ardışık, iki çift tam sayı arasındaki fark, 2'dir. Ardışık, birbiri ardına gelen demektir.
Herhangi dört tane tam sayıyı (k olsun), 2 ile çarpıp, 1 ekleyelim (2k+1) veya 2 ile çarpıp, 1 çıkaralım (2k-1). İşlem sonuçları, tek tam sayıdır.
T ⊂ Z → Tek tam sayılar kümesi, tam sayılar kümesinin alt kümesidir.
Ç ∪ T = Z → Çift tam sayılar kümesinin ve Tek tam sayılar kümesinin birleşim kümesi, Tam sayılar kümesidir.
0 ∈ Ç → Sıfır sayısı, Çift tam sayılar kümesinin elemanıdır.
0 ∉ T → Sıfır sayısı, Tek tam sayılar kümesinin elemanı değildir.
Ardışık, iki tek tam sayı arasındaki fark, 2'dir.
Aşağıda belirtilen, tek sayı veya çift sayı olma durumları, işlem yapılan sayılara değer vererek de bulunabilir. Ezberlenmek zorunda değildir.
Ç : Çift tam sayılar → 2 ile tam bölünebilen tam sayılar
T : Tek tam sayılar → 2 ile tam bölünemeyen tam sayılar
± : Toplama veya çıkarma işlemi
Ç ± Ç = Ç → Çift tam sayı ile çift tam sayı arasındaki, toplama veya çıkarma işleminin sonucu, çift tam sayıdır.
2 + 4 = 6
4 - 2 = 2
T ± T = Ç → Tek tam sayı ile tek tam sayı arasındaki, toplama veya çıkarma işleminin sonucu, çift tam sayıdır.
3 + 1 = 4
3 - 1 = 2
T ± Ç = T → Tek tam sayı ile çift tam sayı arasındaki, toplama veya çıkarma işleminin sonucu, tek tam sayıdır. (Ç ± T = T)
3 + 2 = 5
3 - 2 = 1
Ç . Ç = Ç → Çift tam sayı ile çift tam sayı arasındaki, çarpma veya bölme işleminin sonucu, çift tam sayıdır.
2 . 4 = 8
4 / 2 = 2
T . T = T → Tek tam sayı ile tek tam sayı arasındaki, çarpma veya bölme işleminin sonucu, tek tam sayıdır.
3 . 9 = 27
9 / 3 = 3
T . Ç = Ç → Tek tam sayı ile çift tam sayı arasındaki, çarpma veya bölme işleminin sonucu, çift tam sayıdır. (Ç . T = Ç)
3 . 6 = 18
6 / 3 = 2
Tⁿ = T (n ∈ Z⁺ ) → n, pozitif tam sayılar kümesinin bir elemanı olmak üzere, Tⁿ , tek tam sayıdır.
3⁴ = 3 . 3 . 3 . 3 = 81
3⁵ = 3 . 3 . 3 . 3 . 3 = 243
Çⁿ = Ç (n ∈ Z⁺ ) → n, pozitif tam sayılar kümesinin bir elemanı olmak üzere, Çⁿ , çift tam sayıdır.
2⁴ = 2 . 2 . 2 . 2 = 16
2⁵ = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 32
Bölüm Konuları:
Sayı Kümeleri , Rakamlar Kümesi , Sayma Sayıları Kümesi , Doğal Sayılar Kümesi
Basamaklara Ayırma , Pozitif Tam Sayılar Kümesi , Negatif Tam Sayılar Kümesi
Tam Sayılar Kümesi , Tek ve Çift Tam Sayılar Kümeleri
Sayı Kümeleri, Rakamlar, Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar Kümeleri:
Rakamlar Kümesi
Sayıları yazmak için kullanılan sembollere rakam adı verilir. Bu rakamlar, sonlu bir küme olan, rakamlar kümesini oluşturur.Rakamlar Kümesi = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } sayılarından oluşur. Rakamlar kümesinin 10 elemanı vardır.
Rakamlar kümesinin elemanları ile, tüm gerçek (reel) sayılar ifade edilebilir. Tam sayı, rasyonel ve irrasyonel sayı kümelerinin elemanları, bir takım semboller ile birlikte, yine rakamlar kullanılarak ifade edilir.
Sayma Sayıları Kümesi
1 sayısından başlayıp, 1 artarak sonsuza kadar giden sayılar, sayma sayıları kümesini oluşturur. Sayma sayıları kümesi sonsuz bir kümedir. Sayma sayıları kümesi N⁺ sembolü ile gösterilir..N⁺ = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , ...} şeklinde sonsuz sayıdan oluşur. Sayma sayıları kümesinin sonsuz (∞) sayıda elemanı vardır. Küme içerisindeki ...(üç nokta), sonsuza giden sayma sayılarını ifade eder.
Herhangi bir kümedeki elemanlar sayılmaya, 1 sayısından başladığından, bu ismi aldığı söylenebilir.
Doğal Sayılar Kümesi
0 (sıfır) sayısından başlayıp, 1 artarak sonsuza kadar giden sayılar, doğal sayılar kümesini oluşturur. Doğal sayılar kümesi sonsuz bir kümedir. Doğal sayılar kümesi N sembolü gösterilir.N = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , ...} şeklinde sonsuz sayıdan oluşur. Doğal sayılar kümesinin sonsuz (∞) sayıda elemanı vardır. Küme içerisindeki ...(üç nokta), sonsuza giden doğal sayıları ifade eder.
Sayma sayıları kümesinden farkı, 0 (sıfır) sayısıdır. Rakamlar kümesi, sayma sayıları kümesinin alt kümesidir. Sayma sayıları kümesi, doğal sayılar kümesinin alt kümesidir. Rakamlar kümesine S dersek:
- S ⊂ N⁺
- N⁺ ⊂ N
- S ⊂ N
- S ⊂ N⁺ ⊂ N
Basamaklara Ayırma
Basamak: Tam sayılar ve doğal sayılar için, bir sayı kaç rakamdan oluşuyorsa, rakam sayısı kadar basamağı olduğu söylenir.- 9 sayısı, tek rakamdan oluşan, 1 basamaklı bir sayıdır.
- 87 sayısı, iki rakamdan oluşan, 2 basamaklı bir sayıdır.
- 101 sayısı, üç rakamdan oluşan, 3 basamaklı bir sayıdır.
- 9564 sayısı dört rakamdan oluşan, 4 basamaklı bir sayıdır.
Basamaklarına ayrılacak sayıları oluşturan rakamlar, sağdan başlayarak sola doğru:
- Birler Basamağı (1)
- Onlar Basamağı (10)
- Yüzler Basamağı (100)
- Binler Basamağı (1.000)
- On Binler Basamağı (10.000)
- Yüz Binler Basamağı (100.000)
- Milyonlar Basamağı (1.000.000)
Örneğin: 95876 sayısı için;
- 6 sayısı, Birler basamağı
- 7 sayısı, Onlar basamağı
- 8 sayısı, Yüzler basamağı
- 5 sayısı, Binler basamağı
- 9 sayısı, On Binler basamağı'dır.
A, B, C ve D rakam olmak üzere, ABCD ve 2685 sayılarını basamaklarına ayırınız.
Çözüm:
Basamaklarına ayırma örnek soru:
2685 sayısı için:
-) 2685 sayısı 4 basamaklı bir sayıdır. Birler basamağındaki rakam 5'tir. Birler basamağındaki rakam ile birler basamağının, basamak değeri olan 1 sayısı çarpılır. 5 x 1 = 5
-) Onlar basamağındaki rakam 8'dir. Onlar basamağındaki rakam ile onlar basamağının, basamak değeri olan 10 sayısı çarpılır. 8 x 10 = 80
-) Yüzler basamağındaki rakam 6'dır. Yüzler basamağındaki rakam ile yüzler basamağının, basamak değeri olan 100 sayısı çarpılır. 6 x 100 = 600
-) Binler basamağındaki rakam 2'dir. Binler basamağındaki rakam ile binler basamağının, basamak değeri olan 1000 sayısı çarpılır. 2 x 1000 = 2000
2000 + 600 + 80 + 5 = 2685 olur.
ABCD sayısı için:
-) ABCD sayısı 4 basamaklı bir sayıdır. Birler basamağındaki rakam D'dir. Birler basamağındaki rakam ile birler basamağının, basamak değeri olan 1 sayısı çarpılır. D x 1 = D
-) Onlar basamağındaki rakam C'dir. Onlar basamağındaki rakam ile onlar basamağının, basamak değeri olan 10 sayısı çarpılır. C x 10 = 10C
-) Yüzler basamağındaki rakam B'dir. Yüzler basamağındaki rakam ile yüzler basamağının, basamak değeri olan 100 sayısı çarpılır. B x 100 = 100B
-) Binler basamağındaki rakam A'dır. Binler basamağındaki rakam ile binler basamağının, basamak değeri olan 1000 sayısı çarpılır. A x 1000 = 1000A
1000A + 100B + 10C + D = ABCD olur.
Örnek:
İki basamaklı ab doğal sayısının rakamlarının yerleri değiştirilirse sayı 45 büyüyor.
Buna göre, ab doğal sayısının rakamları çarpımı en az kaçtır? (Kaynak: Supara)
Çözüm:
Basamaklarına ayırma örnek soru çözümü:
Yukarıdaki resimde, ab doğal sayısı ve ba doğal sayısı basamaklarına ayrılmıştır.
-) ab sayısının, rakamları yer değiştirirse, ba sayısı elde edilir.
-) Sayı 45 büyüdüğüne göre ba sayısı, ab sayısından büyük olmalıdır. ba - ab = 45
-)
- ab sayısının, birler basamağında b sayısı vardır. b x 1 = b
- Onlar basamağında a sayısı vardır. a x 10 = 10a
- Buna göre, ab = 10a + b olur.
- ba sayısının, birler basamağında a sayısı vardır. a x 1 = a
- Onlar basamağında b sayısı vardır. b x 10 = 10b
- Buna göre, ba = 10b + a olur.
- ba sayısı yerine 10b + a
- ab sayısı yerine 10a + b yazılırsa;
- 10b + a - (10a + b) = 45 olur.
- (-) . 10a = -10a
- (-) . b = -b olur.
- Çarpma işlemi nokta (.) işareti ile de yapılabilir.
- 1.a = a şeklinde,
- 1.(-b) = -b şeklinde yazılabilir.
- Çarpma işleminin, etkisiz elemanı olan 1 sayısı, işlemlerde yazılmayabilir.
- b bilinmeyeni için: 10b - b = 9b olur.
- a bilinmeyeni için: a - 10a = -9a olur.
- 9b - 9a = 45 eşitliğinde, a ve b bilinmeyenleri için, 9 sayısı ortak çarpan olduğundan, eşitlik 9 parantezine alınır.
b - a = 5 sonucuna ulaşılır. b ve a birer rakam olmak üzere, b sayısının ve a sayısının alabileceği değerler aşağıda yazılmıştır. b - a = 5 eşitliğini sağlayan, çıkarma işlemlerinde, soldaki sayı b bilinmeyeninin alabileceği değerleri, sağdaki sayı ise a bilinmeyeninin alabileceği değerleri ifade eder.
5 - 0 = 5 → 5 . 0 = 0
6 - 1 = 5 → 6 . 1 = 6
7 - 2 = 5 → 7 . 2 = 14
8 - 3 = 5 → 8 . 3 = 24
9 - 4 = 5 → 9 . 4 = 36
ab ve ba doğal sayıları rakamlardan oluşur. Soruda, bize, bu sayıların iki basamaklı olduğu söylendiğinden, a değeri 0 olamaz. Eğer, a = 0 olursa, ab sayısı, bir basamaklı (05) bir sayı olur. Buna göre ab doğal sayısının rakamları çarpımı en az, a . b = 1 . 6 = 6 olur. Cevap: 6
Örnek:
a ve b birer doğal sayıdır. a . b = 24 ise, a + b kaç farklı değer alabilir?
Çözüm:
Sorudaki ilk koşul, a ve b sayılarının doğal sayılar olduğudur. Doğal sayılar kümesi, 0,1,2,3, ... şeklinde sonsuza kadar giden sayılardan oluşur. İkinci koşul ise, a ve b sayılarının çarpma işleminin sonucunun 24 olmasıdır. Üçüncü koşul ise, a + b değerlerinin, birbirinden farklı olmasıdır.
a ve b sayılarının, 24 sayısının çarpanı olması gerekir. 24 sayısı, tam bölen çarpanlarına ayrılır.
24 / 2 = 12 → İlk çarpan 2 sayısıdır. Bölme işleminin sonucu ile devam edilir.
12 / 2 = 6 → İkinci çarpan 2 sayısıdır.
6 / 2 = 3 → Üçüncü çarpan 2 sayısıdır.
3 / 3 = 1 → Dördüncü çarpan 3 sayısıdır.
1 / 1 = 1 → Beşinci çarpan 1 sayısıdır.
Not:
Çarpanlara ayırma işlemi, çarpanlarına ayrılan sayıyı, tam bölen en küçük asal sayı ile başlar. (2, 3 , 5 , 7)
24 sayısının çarpanları, küçükten büyüğe doğru 1, 2 , 2 , 2 ve 3'tür. Bu çarpanlardan, türeyen çarpanlar:
Küçükten büyüğe doğru çarpılır (1 , 2 , 2 , 2 , 3):
1
1 . 2 = 2
2 . 2 = 4 → Bulunan sonuç, küçükten büyüğe üçüncü çarpan olan 2 ile çarpılır.
4 . 2 = 8 → Bulunan sonuç, küçükten büyüğe dördüncü çarpan olan 2 ile çarpılır.
8 . 3 = 24 → Bulunan sonuç, küçükten büyüğe beşinci çarpan olan 3 ile çarpılır.
Büyükten küçüğe doğru çarpılır (3 , 2 , 2 , 2 , 1):
3
3 . 2 = 6
6 . 2 = 12 → Bulunan sonuç, büyükten küçüğe üçüncü çarpan olan 2 ile çarpılır.
12 . 2 = 24 → Bulunan sonuç, büyükten küçüğe dördüncü çarpan olan 2 ile çarpılır.
24 . 1 = 24 → Bulunan sonuç, büyükten küçüğe beşinci çarpan olan 1 ile çarpılır.
Küçükten büyüğe çarpım sonucuna göre, a veya b sayısının alabileceği değerler: {1,2,4,8,24}
Büyükten küçüğe çarpım sonucuna göre, a veya b sayısının alabileceği değerler: {3,6,12,24}
a veya b'nin alabileceği değerler : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
a = 1 için, b = 24 → 1 . 24 = 24 → a + b = 25
a = 2 için, b = 12 → 2 . 12 = 24 → a + b = 14
a = 3 için, b = 8 → 3 . 8 = 24 → a + b = 11
a = 4 için, b = 6 → 4 . 6 = 24 → a + b = 10
a = 6 için, b = 4 → 6 . 4 = 24 → a + b = 10
a = 8 için, b = 3 → 8 . 3 = 24 → a + b = 11
a = 12 için, b = 2 → 12 . 2 = 24 → a + b = 14
a = 24 için, b = 1 → 24 . 1 = 24 → a + b = 25
a + b değeri, 4 farklı değer alabilir. (10 , 11 , 14 , 25)
Bu uzun çözüm, çözüm yöntemini görmeniz içindir. a değerine verilebilecek en küçük değerden başlanarak, koşulu sağlayan b değerleri bulunabilir.
24 sayısını tam bölen çarpanlar, a değerine verilebilecek en küçük değer olan, 1 sayısı ile başlasın. Doğal sayılar kümesi 0 (sıfır) sayısı ile başlamasına karşın, soru koşulundan dolayı, a sayısı sıfır olamaz. Sıfır sayısı, çarpma işleminin yutan elemanıdır. Tüm sayıların, sıfır ile çarpım sonucu, yine, sıfırdır. a . b işleminde, a yerine sıfır yazılırsa, 0 . b = 0 olur.
Örnek:
a ve b birer rakamdır.
a + b = 14
olduğuna göre, a . b çarpımının alabileceği en büyük değer kaçtır? (Kaynak: Supara)
Çözüm:
Sorudaki ilk koşul, a ve b'nin rakam olduğudur. Rakamlar kümesi, {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} elemanlarından oluşur.
İkinci koşul, a + b = 14 eşitliğinin sağlanmasıdır.
a = 5 için, b = 9 → 5 . 9 = 45
a = 6 için, b = 8 → 6 . 8 = 48
a = 7 için, b = 7 → 7 . 7 = 49
a = 8 için, b = 6 → 8 . 6 = 48
a = 9 için, b = 5 → 9 . 5 = 45
a = 4 için, b = 10 olacağından, a rakamı, 5 sayısından küçük olamaz.
b = 4 için, a = 10 olacağından, b rakamı, 5 sayısından küçük olamaz.
10 sayısı, rakamlar kümesinin elemanı değildir. Rakamlar kümesinin en büyük elemanı, 9 rakamıdır.
Yukarıda a'ya verilen değerler ile a'ya verilen değerler için, b'nin aldığı değerlerin toplamının, 14 olma koşulu sağlanır. Birbirine en yakın a ve b değerlerinin çarpımı, en büyük çarpım sonucunu verir. Birbirine en uzak a ve b değerlerinin çarpımı, en küçük çarpım sonucunu verir.
a . b çarpımının alabileceği en büyük değer, 7 . 7 = 49'dur. Cevap:49
Pozitif Tam Sayılar Kümesi
Tam sayılar kümesi, Pozitif tam sayılar ve Negatif tam sayılar:1 sayısından başlayıp, 1 artarak sonsuza kadar giden sayılar, pozitif tam sayılar kümesini oluşturur. Pozitif tam sayılar kümesi, sonsuz bir kümedir. Pozitif tam sayılar kümesi Z⁺ sembolü ile gösterilir.
Z⁺ = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , ...} şeklinde sonsuz sayıdan oluşur. Pozitif tam sayılar kümesinin sonsuz (∞) sayıda elemanı vardır. Küme içerisindeki ...(üç nokta), artı(+) sonsuza giden, pozitif tam sayıları ifade eder.
Sayma sayıları kümesi ve Pozitif tam sayılar kümesi, eşit kümelerdir.
Z⁺ = N⁺
Negatif Tam Sayılar Kümesi
-1 sayısından başlayıp, 1 azalarak eksi(-) sonsuza giden sayılar, negatif tam sayılar kümesini oluşturur. Negatif tam sayılar kümesi, sonsuz bir kümedir. Negatif tam sayılar kümesi Z⁻ sembolü ile gösterilir.Z⁻ = {... , -12 , -11 , -10 , -9 , -8 , -7 , -6 , -5 , -4 , -3 , -2 , -1 } şeklinde sonsuz sayıdan oluşur. Negatif tam sayılar kümesinin sonsuz (∞) sayıda elemanı vardır. Küme içerisindeki ...(üç nokta), eksi(-) sonsuza giden, negatif tam sayıları ifade eder.
Tam Sayılar Kümesi
Tam sayıların, sayı doğrusu üzerinde gösterilmesi:Pozitif tam sayılar kümesinin, {0} kümesinin ve Negatif tam sayılar kümesinin birleşim kümesi, Tam sayılar kümesini oluşturur. Tam sayılar kümesi, sonsuz bir kümedir. Tam sayılar kümesi Z sembolü ile gösterilir. {0}, sıfır sayısının oluşturduğu kümedir.
Z = {... , -6 , -5 , -4 , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , ...} şeklinde sonsuz sayıdan oluşur. Tam sayılar kümesinin sonsuz (∞) sayıda elemanı vardır. Küme içerisinde, sol tarafta bulunan ...(üç nokta), eksi(-) sonsuza giden tam sayıları, sağ tarafta bulunan ...(üç nokta), artı(+) sonsuza giden tam sayıları ifade eder.
Z = Z⁻ ∪ {0} ∪ Z⁺
0 ∉ Z⁻ → 0 sayısı, Negatif tam sayılar kümesinin elemanı değildir.
0 ∉ Z⁺ → 0 sayısı, Pozitif tam sayılar kümesinin elemanı değildir.
0 ∈ Z → 0 sayısı, Tam sayılar kümesinin bir elemanıdır.
Z⁻ ⊂ Z → Negatif tam sayılar kümesi, Tam sayılar kümesinin alt kümesidir.
Z⁺ ⊂ Z → Pozitif tam sayılar kümesi, Tam sayılar kümesinin alt kümesidir.
Örnek:
Tam sayılar örnek soru (Kaynak: Supara):
Çözüm:
Tam sayılar örnek soru çözüm:
Yukarıdaki resimde gösterilen a'nın altındaki uzun çizgi (___), bölme işleminin işaretidir. Bu soruda, bölme işlemi için (/) sembolü kullanılacak.
Sorudaki ilk koşul, a'nın bir tam sayı olduğudur. İkinci koşul ise a/a-2 ifadesinin, 3 katının, negatif bir tam sayı olduğudur. 3 katı ifadesinde, 3 sayısının işareti (+) pozitiftir. Pozitif sayıların, işareti önlerine yazılmayabilir. 3 = +3'tür.
a/a-2 ifadesi ile (+) pozitif bir sayının çarpım sonucu, (-) negatif ise, a/a-2 ifadesi, (-) negatif olmalıdır. Matematikte, (-) . (+) çarpma işleminin sonucu (-) olur. (-) . (+) = (-)
a/a-2 ifadesi (-) negatif ise:
bölünen (-) (üst kısım) ve bölen (+) (alt kısım) olmalıdır. Veya
bölünen (+) ve bölen (-) olmalıdır.
Bölünen ve bölen kısımların, ikisi de (-) ise, sonuç, (+) olur. Bölme işleminde, (-) / (-) işleminin sonucu (+) olur.
(-) / (-) = (+)
Bölünen ve bölen kısımların, ikisi de (+) ise, sonuç, (+) çıkar. Bölme işleminde, (+) / (+) işleminin sonucu (+) olur.
(+) / (+) = (+)
a = 0 için 0 / 0-2 → 0 / -2 = 0 → Sıfır sayısı, bölme işleminde, bölünen kısımda ise, sonuç sıfır'dır. 0 . 3 = 0 olur. Sıfır, tam sayıdır fakat işareti yoktur.
a = -1 için -1 / -1-2 → -1 / -3 = 1 / 3 → 1 / 3 sayısının, 3 katı, 1 olur.
a = -2 için -2 / -2-2 → -2 / -4 = 2 / 4 → 2 / 4 sayısının, 3 katı, 6 / 4 olur.
(-) sonsuza giden, sıfır sayısından küçük, bütün a değerleri için, sonuç pozitif çıkacaktır.
a = 1 için 1 / 1-2 → 1 / -1 = -1 → -1 sayısının, 3 katı, -3 olur. (sağlar)
a = 2 için 2 / 2-2 → 2 / 0 = tanımsızdır. Matematikte, 0 sayısı, bölen kısımda ise sonuç tanımsızdır.
a = 3 için 3 / 3-2 → 3 / 1 = 3 → 3 sayısının, 3 katı, 9 olur.
(+) sonsuza giden, 2 sayısından büyük, bütün a değerleri için, sonuç pozitif çıkacaktır.
a/a-2 ifadesinin, 3 katı negatif tam sayı ise, a'nın değeri, sadece 1 sayısı olabilir. a'nın alabileceği tek değer vardır. Cevap: 1
Tek ve Çift Tam Sayılar Kümeleri
Tek ve çift tam sayılar kümeleri:Çift Tam Sayılar Kümesi
2 ile tam bölünebilen tam sayılar, çift tam sayılar kümesini oluşturur. Çift tam sayılar kümesi, sonsuz bir kümedir. k ∈ Z olmak üzere, 2k ile ifade edilirler. Herhangi bir tam sayının 2 ile çarpımı, çift tam sayıdır.Herhangi dört tane tam sayıyı (k olsun), 2 ile çarpalım (2k). Çarpım işlemi sonuçları, çift tam sayıdır.
- 3 . 2 = 6
- 8 . 2 = 16
- (-1) . 2 = -2
- (-22) . 2 = -44
Ç ⊂ Z → Çift tam sayılar kümesi, tam sayılar kümesinin alt kümesidir.
Ardışık, iki çift tam sayı arasındaki fark, 2'dir. Ardışık, birbiri ardına gelen demektir.
- 2 ve 4 için, 4 - 2 = 2 olur.
- -2 ve -4 için, (-2) - (-4) = 2 olur. (-4) sayısının parantezi, çıkarma işleminin (-) işareti ile açıldığında, (-) ile (-) işaretin çarpımı (+) olacağından, (-2) + 4 = 2 olur. (-2) sayısı, (-4) sayısından büyüktür.
Tek Tam Sayılar Kümesi
2 ile tam bölünemeyen tam sayılar, tek tam sayılar kümesini oluşturur. Tek tam sayılar kümesi, sonsuz bir kümedir. k ∈ Z olmak üzere, 2k + 1 veya 2k - 1 şeklinde ifade edilirler. Herhangi bir tam sayının 2 katının 1 fazlası veya 2 katının 1 eksiği, tek tam sayıdır.Herhangi dört tane tam sayıyı (k olsun), 2 ile çarpıp, 1 ekleyelim (2k+1) veya 2 ile çarpıp, 1 çıkaralım (2k-1). İşlem sonuçları, tek tam sayıdır.
- 3 için → 2 . 3 = 6 → 6 + 1 = 7 veya 6 - 1 = 5
- 4 için → 2 . 4 = 8 → 8 + 1 = 9 veya 8 - 1 = 7
- (-1) için → 2 . (-1) = -2 → -2 + 1 = -1 veya -2 - 1 = -3
- (-4) için → 2 . (-4) = -8 → -8 + 1 = -7 veya -8 - 1 = -9
T ⊂ Z → Tek tam sayılar kümesi, tam sayılar kümesinin alt kümesidir.
Ç ∪ T = Z → Çift tam sayılar kümesinin ve Tek tam sayılar kümesinin birleşim kümesi, Tam sayılar kümesidir.
0 ∈ Ç → Sıfır sayısı, Çift tam sayılar kümesinin elemanıdır.
0 ∉ T → Sıfır sayısı, Tek tam sayılar kümesinin elemanı değildir.
Ardışık, iki tek tam sayı arasındaki fark, 2'dir.
- 1 ve 3 için, 3 - 1 = 2 olur.
- -1 ve -3 için, (-1) - (-3) = 2 olur. (-3) sayısının parantezi, çıkarma işleminin (-) işareti ile açıldığında, (-) ile (-) işaretin çarpımı (+) olacağından, (-1) + 3 = 2 olur. (-1) sayısı, (-3) sayısından büyüktür.
Aşağıda belirtilen, tek sayı veya çift sayı olma durumları, işlem yapılan sayılara değer vererek de bulunabilir. Ezberlenmek zorunda değildir.
Ç : Çift tam sayılar → 2 ile tam bölünebilen tam sayılar
T : Tek tam sayılar → 2 ile tam bölünemeyen tam sayılar
± : Toplama veya çıkarma işlemi
Ç ± Ç = Ç → Çift tam sayı ile çift tam sayı arasındaki, toplama veya çıkarma işleminin sonucu, çift tam sayıdır.
2 + 4 = 6
4 - 2 = 2
T ± T = Ç → Tek tam sayı ile tek tam sayı arasındaki, toplama veya çıkarma işleminin sonucu, çift tam sayıdır.
3 + 1 = 4
3 - 1 = 2
T ± Ç = T → Tek tam sayı ile çift tam sayı arasındaki, toplama veya çıkarma işleminin sonucu, tek tam sayıdır. (Ç ± T = T)
3 + 2 = 5
3 - 2 = 1
Ç . Ç = Ç → Çift tam sayı ile çift tam sayı arasındaki, çarpma veya bölme işleminin sonucu, çift tam sayıdır.
2 . 4 = 8
4 / 2 = 2
T . T = T → Tek tam sayı ile tek tam sayı arasındaki, çarpma veya bölme işleminin sonucu, tek tam sayıdır.
3 . 9 = 27
9 / 3 = 3
T . Ç = Ç → Tek tam sayı ile çift tam sayı arasındaki, çarpma veya bölme işleminin sonucu, çift tam sayıdır. (Ç . T = Ç)
3 . 6 = 18
6 / 3 = 2
Tⁿ = T (n ∈ Z⁺ ) → n, pozitif tam sayılar kümesinin bir elemanı olmak üzere, Tⁿ , tek tam sayıdır.
3⁴ = 3 . 3 . 3 . 3 = 81
3⁵ = 3 . 3 . 3 . 3 . 3 = 243
Çⁿ = Ç (n ∈ Z⁺ ) → n, pozitif tam sayılar kümesinin bir elemanı olmak üzere, Çⁿ , çift tam sayıdır.
2⁴ = 2 . 2 . 2 . 2 = 16
2⁵ = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 32
Yorumlar
Yorum Gönder