Denklem ve Eşitsizlik 4. Bölüm | Eşitsizlikler ve Özellikleri | 1. Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler | Örnek Sorular
Şu an 4. Bölüm görüntüleniyor...
Küçüktür:
x < y → x sayısı, y sayısından küçüktür. Başka bir ifadeyle; y sayısı, x sayısından büyüktür. < sembolü ile gösterilir. Sembolün sivri ucu, küçük sayıyı gösterir. Benzer tüm sembollerde de sivri uç küçük sayıyı gösterir.
Örneğin:
a < 5 → a sayısı, 5 sayısından küçüktür.
a < 0 → a sayısı, 0 sayısından küçüktür.
a < -2 → a sayısı, -2 sayısından küçüktür.
Küçük Eşit:
x ≤ y → x sayısı, y sayısına eşit veya y sayısından küçüktür. Başka bir ifadeyle: y sayısı, x sayısına eşit yada x sayısından büyüktür. x sayısı en çok, y sayısı kadar olabilir. y sayısı en az, x sayısı kadar olabilir. ≤ sembolü ile gösterilir. Yine sivri ucu küçük sayıyı gösterir.
Örneğin:
a ≤ 5 → a sayısı, 5 sayısına eşit veya 5 sayısından küçüktür. a sayısı en çok, 5 sayısı kadar olabilir.
a ≤ 0 → a sayısı, 0 sayısına eşit veya 0 sayısından küçüktür. a sayısı en çok, 0 sayısı kadar olabilir.
a ≤ -2 → a sayısı, -2 sayısına eşit veya -2 sayısından küçüktür. a sayısı en çok, -2 sayısı kadar olabilir.
Büyüktür:
x > y → x sayısı, y sayısından büyüktür. Başka bir ifadeyle; y sayısı, x sayısından küçüktür. > sembolü ile gösterilir. Yine sembolün sivri ucu küçük sayıyı gösterir.
Örneğin:
a > 7 → a sayısı, 7 sayısından büyüktür.
a > 0 → a sayısı, 0 sayısından büyüktür.
a > -16 → a sayısı, -16 sayısından büyüktür.
Büyük Eşit:
x ≥ y → x sayısı, y sayısına eşit veya y sayısından büyüktür. Başka bir ifadeyle: y sayısı, x sayısına eşit yada x sayısından küçüktür. x sayısı en az, y sayısı kadar olabilir. y sayısı en çok, x sayısı kadar olabilir. ≥ sembolü ile gösterilir. Yine sivri ucu küçük sayıyı gösterir.
Örneğin:
a ≥ 7 → a sayısı, 7 sayısına eşit veya 7 sayısından büyüktür. a sayısı en az, 7 sayısı kadar olabilir.
a ≥ 0 → a sayısı, 0 sayısına eşit veya 0 sayısından büyüktür. a sayısı en az, 0 sayısı kadar olabilir.
a ≥ -16 → a sayısı, -16 sayısına eşit veya -16 sayısından büyüktür. a sayısı en az, -16 sayısı kadar olabilir.
Örnek:
x < y < 0 → ifadesi için:
y = -1
x = -2 olabilir.
y = -15
x = -60 olabilir.
y sayısı, 0 sayısından küçüktür.
x sayısı, 0 sayısından küçüktür.
y değeri olan -1 sayısı, x değeri olan -2 sayısından büyüktür.
Negatif sayılarda, sayı büyüdükçe sayı değeri küçülür. ( -2 < -1 )
y değeri olan -15 sayısı, x değeri olan -60 sayısından büyüktür.
Negatif sayılarda, sayı büyüdükçe sayı değeri küçülür. ( -60 < -15 )
Örnek:
x < 0 < y → ifadesi için:
y = 1
x = -1 olabilir.
y = 10
x = -20 olabilir.
y sayısı, 0 sayısından büyüktür.
x sayısı, 0 sayısından küçüktür.
y değeri olan 1 sayısı, x değeri olan -1 sayısından büyüktür.
y değeri olan 10 sayısı, x değeri olan -20 sayısından büyüktür.
Örnek:
x ≤ 0 ≤ y → ifadesi için:
y = 0
x = 0 olabilir.
y = 0
x = -1 olabilir.
y = 1
x = 0 olabilir.
y = 100
x = -100 olabilir.
Özellik - 1
x, y, a ∈ R olmak üzere:
x < y
x + a < y + a
Bir eşitsizliğin, her iki tarafına, aynı sayı eklenirse eşitsizlik değişmez.
Not:
Eşitsizliğin değişmesi, iki yolla olabilir.
1-) ( < ) küçüktür sembolü, ( > ) büyüktür sembolüne döner veya ( ≤ ) küçük eşit sembolü, ( ≥ ) büyük eşit sembolüne döner.
2-) Sembol aynı kalırken, değerlerin yerleri değişebilir.
Örneğin:
5 < 10 → Küçüktür sembolünün ( < ) sol tarafında bulunan 5 sayısı, 10 sayısından küçüktür.
5 + 2 < 10 + 2 → Her iki tarafa 2 sayısı eklendiğinde,
7 < 12 → Küçüktür sembolünün ( < ) sol tarafında bulunan 7 sayısı, 12 sayısından küçüktür.
( < ) küçüktür sembolü ve değerlerin yerleri değişmediğinden, eşitsizlik değişmedi.
Örneğin:
15 > 6 → Büyüktür sembolünün ( > ) sol tarafında bulunan 15 sayısı, 6 sayısından büyüktür.
15 + 20 > 6 + 20 → Her iki tarafa 20 sayısı eklendiğinde,
35 > 26 → Büyüktür sembolünün ( > ) sol tarafında bulunan 35 sayısı, 26 sayısından büyüktür.
( > ) büyüktür sembolü ve değerlerin yerleri değişmediğinden, eşitsizlik değişmedi.
Örneğin:
a ≤ 9 → Küçük eşit sembolünün ( ≤ ) sol tarafında bulunan a sayısı, 9 sayısından küçük veya 9 sayısına eşittir.
a + 3 ≤ 9 + 3 → Her iki tarafa 3 sayısı eklendiğinde,
a + 3 ≤ 12 → Küçük eşit sembolü ( ≤ ) sol tarafında bulunan (a + 3) sayısı, 12 sayısından küçüktür.
Her iki tarafa eklenen 3 sayısı, eşitsizliği değiştirmez.
Denklem için örnek:
Bir denklem eşitliğinin, her iki tarafına aynı sayının eklenmesi, eşitliği değiştirmez.
2x = 10 + x denklemi için:
Bilinmeyen +x sayısı, eşitliğin soluna atıldığında;
2x - x = 10
x = 10 olur.
2x = 10 + x denkleminde, eşitliğin her iki tarafına 5 sayısı eklensin;
2x + 5 = 10 + x + 5
Eşitliğin sağ tarafında bulunan 10 + 5 = 15 işleminden sonra;
2x + 5 = 15 + x
Bilinmeyen +x sayısı eşitliğin soluna, bilinen +5 sayısı eşitliğin sağına atıldığında;
2x - x = 15 - 5
Yine x değeri 10 olur.
x = 10
Özellik - 2
x, y, a ∈ R olmak üzere:
x < y
x - a < y - a
Bir eşitsizliğin, her iki tarafından, aynı sayı çıkarılırsa eşitsizlik değişmez.
Örneğin:
100 < 120 → Küçüktür sembolünün ( < ) sol tarafında bulunan 100 sayısı, 120 sayısından küçüktür.
100 - 7 < 120 - 7 → Her iki taraftan 7 sayısı çıkarıldığında;
93 < 113 → Küçüktür sembolünün ( < ) sol tarafında bulunan 93 sayısı, 113 sayısından küçüktür.
( < ) küçüktür sembolü ve değerlerin yerleri değişmediğinden, eşitsizlik değişmedi.
Örneğin:
1020 > 900 → Büyüktür sembolünün ( > ) sol tarafında bulunan 1020 sayısı, 900 sayısından büyüktür.
1020 - 30 > 900 - 30 → Her iki taraftan 30 sayısı çıkarıldığında;
990 > 870 → Büyüktür sembolünün ( > ) sol tarafında bulunan 990 sayısı, 870 sayısından büyüktür.
( > ) büyüktür sembolü ve değerlerin yerleri değişmediğinden, eşitsizlik değişmedi.
Örneğin:
x ≥ 49 → Büyük eşit sembolünün ( ≥ ) sol tarafında bulunan x sayısı, 49 sayısından büyük veya 49 sayısına eşittir.
x - 11 ≥ 49 - 11 → Her iki taraftan 11 sayısı çıkarıldığında;
x - 11 ≥ 38 → Büyük eşit sembolü ( ≥ ) sol tarafında bulunan (x - 11) sayısı, 38 sayısından büyük veya 38 sayısına eşittir.
Her iki taraftan çıkarılan 11 sayısı, eşitsizliği değiştirmez.
Denklem için örnek:
Bir denklem eşitliğinin, her iki tarafından aynı sayının çıkarılması, eşitliği değiştirmez.
3x = 20 + 2x denklemi için:
Bilinmeyen +2x sayısı, eşitliğin soluna atıldığında;
3x - 2x = 20
x = 20 olur.
3x = 20 + 2x denkleminde, eşitliğin her iki tarafından 6 sayısı çıkarılsın;
3x - 6 = 20 + 2x - 6
Eşitliğin sağ tarafında bulunan 20 - 6 = 14 işleminden sonra;
3x - 6 = 14 + 2x
Bilinmeyen +2x sayısı eşitliğin soluna, bilinen -6 sayısı eşitliğin sağına atıldığında;
3x - 2x = 14 + 6
Yine x değeri 20 olur.
x = 20
Özellik - 3
x, y ∈ R ve a ∈ Z⁺ olmak üzere:
x < y
x . a < y . a
Bir eşitsizliğin, her iki tarafı, aynı pozitif (+) sayı ile çarpılırsa, eşitsizliğin yönü değişmez. Pozitif sayıların işareti olan (+) yazılmayabilir. ( 8 = +8 )
Örneğin:
7 < 9 → Küçüktür sembolünün ( < ) sol tarafında bulunan 7 sayısı, 9 sayısından küçüktür.
7 . 8 < 9 . 8 → Her iki taraf, 8 sayısı ile çarpıldığında;
56 < 72 → Küçüktür sembolünün ( < ) sol tarafında bulunan 56 sayısı, 72 sayısından küçüktür.
( < ) küçüktür sembolü ve değerlerin yerleri değişmediğinden, eşitsizlik değişmedi.
Örneğin:
14 > 11 → Büyüktür sembolünün ( > ) sol tarafında bulunan 14 sayısı, 11 sayısından büyüktür.
14 . 4 > 11 . 4 → Her iki taraf, 4 sayısı ile çarpıldığında;
56 > 44 → Büyüktür sembolünün ( > ) sol tarafında bulunan 56 sayısı, 44 sayısından büyüktür.
( > ) büyüktür sembolü ve değerlerin yerleri değişmediğinden, eşitsizlik değişmedi.
Örneğin:
b ≥ 16 → Büyük eşit sembolünün ( ≥ ) sol tarafında bulunan b sayısı, 16 sayısından büyük veya 16 sayısına eşittir.
b . 5 ≥ 16 . 5 → Her iki taraf, 5 sayısı ile çarpıldığında;
5b ≥ 80 → Büyük eşit sembolü ( ≥ ) sol tarafında bulunan 5b sayısı, 80 sayısından büyük veya 80 sayısına eşittir.
Her iki tarafın, 5 sayısı ile çarpılması, eşitsizliği değiştirmez.
Denklem için örnek:
Bir denklem eşitliğinin, her iki tarafı, aynı pozitif sayı ile çarpılırsa, eşitlik değişmez.
5x = 24 + 4x denklemi için:
Bilinmeyen 4x sayısı, eşitliğin soluna atıldığında;
5x - 4x = 24
x = 24 olur.
5x = 24 + 4x denkleminin, her iki tarafı, 4 sayısı ile çarpıldığında:
5x . 4 = ( 24 + 4x ) . 4
Eşitliğin sağ tarafında bulunan parantez açma işlemi yapıldığında;
5x . 4 = 96 + 16x
Eşitliğin sol tarafında bulunan çarpma işlemi yapıldığında;
20x = 96 + 16x
Bilinmeyen +16x sayısı eşitliğin soluna atıldığında;
20x - 16x = 96
Eşitliğin sol tarafındaki çıkarma işleminden sonra;
4x = 96
Eşitliğin her iki tarafı 4 sayısına bölündüğünde;
( 4x / 4 ) = ( 96 / 4 )
Yine x değeri 24 olur.
x = 24
Özellik - 4
Bir eşitsizliğin, her iki tarafı, aynı pozitif (+) sayıya, bölünürse yönü değişmez.
Bir eşitsizliğin, her iki tarafı, aynı pozitif (+) sayıya, bölünürse yönü değişmez:
Örneğin:
63 > 42 eşitsizliğinin, her iki tarafı 7 sayısına bölündüğünde:
Örneğin:
z ≤ 88 eşitsizliğinin, her iki tarafı 8 sayısına bölündüğünde:
Denklem için örnek:
Bir denklem eşitliğinin, her iki tarafının aynı pozitif sayıya bölünmesi, eşitliği değiştirmez.
Bir denklem eşitliğinin, her iki tarafının aynı pozitif sayıya bölünmesi, eşitliği değiştirmez:
10x = 40 + 5x denklemi için:
Bilinmeyen 5x sayısı, eşitliğin soluna atıldığında;
10x - 5x = 40
Eşitliğin sol tarafındaki işlem yapıldığında;
5x = 40
Eşitliğin her iki tarafı 5 sayısına bölündüğünde;
( 5x / 5 ) = ( 40 / 5 )
x = 8 olur.
10x = 40 + 5x denkleminin, her iki tarafı, 5 sayısına bölündüğünde;
( 10x / 5 ) = ( (40 + 5x) / 5 )
Eşitliğin sağ tarafında bulunan kesirli sayı, aynı paydaya sahip, iki kesirli sayıya ayrılabilir.
40 sayısının altına payda olan 5 yazılır. ( 40 / 5 )
5x sayısının altına payda olan 5 yazılır. ( 5x / 5 )
Toplama işleminin sembolü olan (+) işareti, ayrılan kesirli sayıların arasına yazılır.
( 40 / 5 ) + ( 5x / 5 )
Denklemin yeni hali:
( 10x / 5 ) = ( 40 / 5 ) + ( 5x / 5 )
Eşitliğin sağ tarafındaki işlemler yapılır.
( 40 / 5 ) = 8
( 5x / 5 ) = x
Eşitliğin sağ tarafı, yapılan işlemler sonrasında 8 + x halini alır.
Eşitliğin sol tarafındaki işlem yapılır.
( 10x / 5 ) = 2x
Eşitliğin sol tarafı, yapılan işlem sonrasında 2x halini alır.
Denklemin yeni hali:
2x = 8 + x
Bilinmeyen x sayısı, eşitliğin soluna atılıp, çıkarma işlemi yapıldığında:
2x - x = 8
Yine x değeri 8 olur.
x = 8
Özellik - 5
x, y ∈ R ve a ∈ Z⁻ olmak üzere:
x < y
x . a > y . a
Bir eşitsizliğin, her iki tarafı, aynı negatif (-) sayı ile çarpılırsa, eşitsizliğin yönü değişir.
Örneğin:
9 < 10 → Küçüktür sembolünün ( < ) sol tarafında bulunan 9 sayısı, 10 sayısından küçüktür.
9 . (-1) > 10 . (-1) → Her iki taraf, (-1) sayısı ile çarpıldığında;
-9 > -10 → Büyüktür sembolünün ( > ) sol tarafında bulunan -9 sayısı, -10 sayısından büyüktür.
Her iki taraf, (-1) sayısı ile çarpıldığında, ( < ) küçüktür sembolü yerine, ( > ) büyüktür sembolü yazılır ve eşitsizlik yön değiştirir.
Yön değiştirmeden işlemler sürdürülmüş olsaydı:
9 . (-1) < 10 . (-1) → Her iki taraf, (-1) sayısı ile çarpıldığında;
-9 < -10 → Küçüktür sembolünün ( > ) sol tarafında bulunan -9 sayısı, -10 sayısından küçüktür. ifadesi yanlış olurdu.
... -11 , -10 , -9 , -8 , -7 , -6 , -5 , -4 , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 ...
Yukarıdaki, temsili sayı doğrusunda sayılar,
sol tarafa doğru küçülür,
sağ tarafa doğru büyür.
-9 sayısı, -10 sayısından büyüktür.
-10 sayısı, -9 sayısından küçüktür.
9 < 10 → Doğru bir ifade
-9 < -10 → Yanlış bir ifade
-9 > -10 → Doğru bir ifade
Örneğin:
100 > 50 → Büyüktür sembolünün ( > ) sol tarafında bulunan 100 sayısı, 50 sayısından büyüktür.
100 . (-5) < 50 . (-5) → Her iki taraf, (-5) sayısı ile çarpıldığında;
-500 < -250 → Küçüktür sembolünün ( < ) sol tarafında bulunan -500 sayısı, -250 sayısından küçüktür.
Her iki taraf, (-5) sayısı ile çarpıldığında, ( > ) büyüktür sembolü yerine, ( < ) küçüktür sembolü yazılır ve eşitsizlik yön değiştirir.
Örneğin:
c ≤ 15 → Küçük eşit sembolünün ( ≤ ) sol tarafında bulunan c sayısı, 15 sayısından küçük veya 15 sayısına eşittir.
c . (-4) ≥ 15 . (-4) → Her iki taraf, (-4) sayısı ile çarpıldığında;
-4c ≥ -60 → Büyük eşit sembolü ( ≥ ) sol tarafında bulunan -4c sayısı, -60 sayısından büyük veya -60 sayısına eşittir.
Her iki taraf, (-4) sayısı ile çarpıldığında, ( ≤ ) küçük eşit sembolü yerine, ( ≥ ) büyük eşit sembolü yazılır ve eşitsizlik yön değiştirir.
Denklem için örnek:
Bir denklem eşitliğinin, her iki tarafı, aynı negatif sayı ile çarpılırsa, eşitlik değişmez.
-2x = 16 - 3x denklemi için:
Bilinmeyen -3x sayısı, eşitliğin soluna atıldığında;
-2x + 3x = 16
x = 16 olur.
-2x = 16 - 3x denkleminin, her iki tarafı, (-2) sayısı ile çarpıldığında:
-2x . (-2) = ( 16 - 3x ) . (-2)
Eşitliğin sağ tarafında bulunan, ( 16 - 3x ) . (-2) parantez açma işlemi için:
Parantez içindeki 16 sayısının işareti görünür kılınır ve +16 şeklinde yazılır.
Çıkarma işleminin sembolü olan (-) işareti, 3x sayısının işareti olarak kabul edilir.
İşlem ( +16 -3x ) . (-2) şeklinde yazılır.
+16 ile (-2) sayısı çarpılır → (+16) . (-2) = -32
-3x sayısı ile (-2) sayısı çarpılır → (-3x) . (-2) = +6x
-32 +6x → Şeklinde yan yana yazılan iki sonuç, bir araya getirildiğinde,
-32 + 6x şeklinde yazılır.
Denklemin yeni hali:
-2x . (-2) = -32 + 6x
Eşitliğin sol tarafında bulunan çarpma işlemi yapıldığında;
4x = -32 + 6x
Bilinmeyen +6x sayısı eşitliğin soluna atıldığında;
4x - 6x = -32
Eşitliğin sol tarafındaki çıkarma işleminden sonra;
-2x = -32
Eşitliğin her iki tarafı (-2) sayısına bölündüğünde;
( -2x / -2 ) = ( -32 / -2 )
Eşitliğin sol tarafında bulunan, bilinmeyen -2x değeri, (-) işaretlidir.
Her iki taraf, 2 sayısına bölünseydi, x sayısının kat sayısı olan -2 sayısının, 2 sayısına bölümü, -1 olurdu. ( -2 / 2 = -1 )
Bölme işleminden sonra bulunan (-1) sonucu x ile çarpım durumundadır → (-1) . x = -x
Denklemin çözüm kümesi için, x bilinmeyenin işareti (+) olmalıdır.
x bilinmeyenin işaretinin (+) olması için, -2x değeri, -2 sayısına bölünmelidir. (-) sayının, (-) sayıya bölümü, (+) olur.
Yine x değeri 16 olur.
x = 16
Özellik - 6
Bir eşitsizliğin, her iki tarafı, aynı negatif (-) sayıya, bölünürse yönü değişir.
Bir eşitsizliğin, her iki tarafı, aynı negatif (-) sayıya, bölünürse yönü değişir:
Örneğin:
-48 > -60 eşitsizliğinin, her iki tarafı -6 sayısına bölündüğünde:
Örneğin:
m ≥ 32 eşitsizliğinin, her iki tarafı -8 sayısına bölündüğünde:
Denklem için örnek:
Bir denklem eşitliğinin, her iki tarafının aynı negatif sayıya bölünmesi, eşitliği değiştirmez.
Bir denklem eşitliğinin, her iki tarafının aynı negatif sayıya bölünmesi, eşitliği değiştirmez:
Denklem çözümlerinin, birden fazla yolu vardır. Denklemin çözümü bu sebeple uzatılmıştır.
-5x = 10 - 15x denklemi için:
Çıkarma işleminin sembolü olan (-) işareti, 15x sayısının işareti olarak kabul edilir. (-15x)
Bilinmeyen -15x sayısı, eşitliğin soluna atıldığında, işaret değiştirir ve +15x olur
-5x + 15x = 40
Eşitliğin sol tarafındaki işlem yapıldığında;
10x = 10
Eşitliğin her iki tarafı 10 sayısına bölündüğünde;
( 10x / 10 ) = ( 10 / 10 )
x = 1 olur.
-5x = 10 - 15x denkleminin, her iki tarafı, -5 sayısına bölündüğünde;
( -5x / -5 ) = ( (10 - 15x) / -5 )
Eşitliğin sağ tarafında bulunan kesirli sayı, aynı paydaya sahip, iki kesirli sayıya ayrılabilir.
10 sayısının altına payda olan -5 yazılır. ( 10 / -5 )
( 10 / -5 ) işleminin sonucu -2 olur.
Çıkarma işleminin sembolü olan (-) işareti 15x sayısının işareti olarak kabul edilir. (-15x)
-15x sayısının altına payda olan -5 yazılır. ( -15x / -5 )
( -15x / -5 ) işleminin sonucu +3x olur.
-2 +3x → Şeklinde yan yana yazılan iki işlem sonucu bir araya getirilip,
-2 + 3x şeklinde yazılabilir.
Denklemin yeni hali:
( -5x / -5 ) = -2 + 3x
Eşitliğin sol tarafındaki işlem yapılır.
( -5x / -5 ) = +x → +x sayısının işareti yazılmayabilir.
Denklemin yeni hali:
x = -2 + 3x
Toplama işleminin sembolü olan (+) işareti, 3x sayısının işareti olarak kabul edilir. (+3x)
+3x sayısı eşitliğin soluna atıldığında -3x olur.
x -3x = -2 → Eşitliğinin sol tarafında bulunan x -3x sayıları bir araya getirilip,
x - 3x şeklinde yazılabilir. Çıkarma işlemi yapılır. 1 tane x sayısından, 3 tane x sayısı çıkarıldığında sonuç -2x olur. ( x - 3x = -2x )
Denklemin yeni hali:
-2x = -2 → Eşitliğinin her iki tarafı 2 sayısına bölünür.
( -2x / 2 ) = ( -2 / 2 )
-x = -1 olur.
-x = -1 → Eşitliğinde, x sayısının işaretinin (+) olması için, her iki taraf (-1) ile çarpılır.
-x . (-1) = -1 . (-1)
+x = +1 olur.
Pozitif sayıların işaretleri yazılmayabilir.
Yine x değeri 1 olur.
x = 1
Özellik - 7
Aynı yönlü eşitsizlikler, taraf tarafa toplanabilir. Sivri uçları aynı yöne bakan eşitsizlikler, aynı yönlü eşitsizliklerdir.
1-) Küçüktür ( < ) sembolü ile ifade edilen iki eşitsizliğin taraf tarafa toplanması:
Küçüktür ( < ) sembolü ile ifade edilen iki eşitsizliğin taraf tarafa toplanması:
Örneğin:
-6 < -1 ve -2 < 10 ile -1 < 0 ve 1 < 6 eşitsizliklerinin taraf tarafa toplamı:
Örneğin:
x < 5 ve -y < -2 ile a < 10 ve 2b < 19 eşitsizliklerinin taraf tarafa toplamı:
2-) Büyüktür ( > ) sembolü ile ifade edilen iki eşitsizliğin taraf tarafa toplanması:
Büyüktür ( > ) sembolü ile ifade edilen iki eşitsizliğin taraf tarafa toplanması:
Örneğin:
-1 > -2 ve -1 > -3 ile 3 > 0 ve -3 > -4 eşitsizliklerinin taraf tarafa toplamı:
Örneğin:
-x > 7 ve y > -6 ile 2a > 15 ve -7b > 32 eşitsizliklerinin taraf tarafa toplamı:
3-) Küçük eşit ( ≤ ) sembolü ile ifade edilen iki eşitsizliğin taraf tarafa toplanması:
Küçük eşit ( ≤ ) sembolü ile ifade edilen iki eşitsizliğin taraf tarafa toplanması:
Örneğin:
x ≤ z ve y ≤ -1 ile ax ≤ 5 ve b ≤ 1 eşitsizliklerinin taraf tarafa toplamı:
4-) Büyük eşit (≥) sembolü ile ifade edilen iki eşitsizliğin taraf tarafa toplanması:
Büyük eşit (≥) sembolü ile ifade edilen iki eşitsizliğin taraf tarafa toplanması:
Örneğin:
-x ≥ 2z ve -y ≥ 2 ile -x ≥ 3 ve by ≥ 1 - x eşitsizliklerinin taraf tarafa toplamı:
5-) Küçük (<) ve küçük eşit (≤) sembolü ile ifade edilen iki eşitsizliğin taraf tarafa toplanması:
Küçük (<) ve küçük eşit (≤) sembolü ile ifade edilen iki eşitsizliğin taraf tarafa toplanması:
Örneğin:
-x ≤ 5 ve 4 < 9 ile -x < 2a ve y ≤ 1 eşitsizliklerinin taraf tarafa toplamı:
6-) Büyük (>) ve büyük eşit (≥) sembolü ile ifade edilen iki eşitsizliğin taraf tarafa toplanması:
Büyük (>) ve büyük eşit (≥) sembolü ile ifade edilen iki eşitsizliğin taraf tarafa toplanması:
Örneğin:
x ≥ 1 ve 3 > 2 ile x > 3 ve -y ≥ 2x eşitsizliklerinin taraf tarafa toplamı:
Denklem için örnek:
Toplamları 100 olan iki doğal sayının, farkları 20 olduğuna göre, büyük sayı kaçtır?
Çözüm:
Denklem için taraf tarafa toplama örnek çözüm:
Taraf tarafa toplama işlemi, iki denklem ile yapılan bir işlemdir. Örnek soru için, iki bilinmeyenli bir denklem kurulur.
Büyük sayıya x denir.
Küçük sayıya y denir.
İki sayının toplamı:
x + y = 100
İki sayının farkı:
x - y = 20
İki denklem taraf tarafa toplanır.
x + y = 100
x - y = 20
+__________
Toplama işleminin sembolü olan (+) işareti ve çıkarma işleminin sembolü olan (-) işareti, denklemlerdeki y bilinmeyenlerinin işareti olarak kabul edilir.
x +y = 100
x -y = 20
+__________
İki tane x toplandığında 2x olur. ( x + x = 2x )
+y ve -y sayılarının toplamı sıfır (0) olur. Birbirini götürme olarak adlandırılan bu işlem sonrasında, y bilinmeyeni işlemden düşer. Birbirini götüren sayıların üzeri çizilir.
+y + (-y) = 0
Denklemlerin eşiti olan sayılar toplanır.
100 + 20 = 120
Yapılan işlemlerden sonra denklemin yeni hali:
2x = 120
x bilinmeyeni yalnız bırakmak için her iki taraf 2 sayısına bölünmesi gerekir.
Bu işlem yapılmadan, 2 ve 120 sayılarının üstleri çizilerek sadeleşme işlemi yapılabilir.
120 sayısının üst kısmına, 120 / 2 = 60 işleminin sonucu olan 60 sayısı, küçük harfle yazılabilir.
2x / 2 işlemi yapılmadan, 2 sayısının üzeri çizilir ve bölme işleminin sonucu olan 1 sayısı, 2x sayısının üst kısmına yazılmayabilir. x bilinmeyeni ile çarpım durumunda olan 1 sayısı, çarpma işleminin etkisiz elemanı olduğu için x sayısının değerini değiştirmez. (1 . x = x)
Denklemin çözümü:
2x = 120
x = 60
şeklinde yazılabilir.
x sayısının değeri olan 60, büyük olan sayıdır. Eğer küçük sayı sorulsaydı, denklemlerin bir tanesinde, x in değeri olan 60 yazılırdı ve y değeri bulunurdu.
x + y = 100 denklemi için, x yerine 60 yazılır.
60 + y = 100
y = 100 - 60
y = 40
x - y = 20 denklemi için, x yerine 60 yazılır.
60 - y = 20
-y = 20 - 60
-y = -40
-y . (-1) = -40 . (-1)
y = 40
Basit sadeleşme işlemi olan denklemlerde, sadeleşen sayıların işlem sonuçları üstlerine küçük harfle yazılabilir ve üstleri çizilebilir.
Özellik - 8
Her iki tarafı da aynı işaretli eşitsizliklerin, çarpma işlemine göre tersi alındığında, eşitsizliğin yönü değişir.
Bir sayının çarpmaya göre tersi, 1 sayısının, sayıya bölümüdür.
a sayısının çarpma işlemine göre tersi → ( 1 / a )
( 1 / a ) sayısının çarpma işlemine göre tersi → a
( a / b ) sayısının çarpma işlemine göre tersi → ( b / a )
Her iki tarafı da aynı işaretli eşitsizlik, iki şekilde olabilir.
Eşitsizliğin her iki tarafı pozitif (+) değerli ifadelerden oluşabilir.
Eşitsizliğin her iki tarafı negatif (-) değerli ifadelerden oluşabilir.
Eşitsizliklerin çarpma işlemine göre tersi:
Resimde, her iki tarafı da pozitif tam sayı olan 3 örnek için:
Örnek-1:
2 < 3 → 2 sayısı, 3 sayısından küçüktür.
2 sayısının çarpma işlemine göre tersi → ( 1 / 2 )
3 sayısının çarpma işlemine göre tersi → ( 1 / 3 )
( 1 / 2 ) > ( 1 / 3 ) → ( 1 / 2 ) sayısı, ( 1 / 3 ) sayısından büyüktür.
Pozitif iki kesirli sayıdan hangisinin büyük olduğu, paydaları eşitlenerek de bulunabilir.
( 1 / 2 ) ve ( 1 / 3 ) sayılarının, paydaları 6 sayısında birleşir.
( 1 / 2 ) sayısının, payı ve paydası 3 sayısı ile çarpılır → ( 3 / 6 )
( 1 / 3 ) sayısının, payı ve paydası 2 sayısı ile çarpılır → ( 2 / 6 )
Paydaları eşit iki kesirli sayıdan, payı büyük olan sayı, daha büyüktür.
( 1 / 2 ) > ( 1 / 3 )
( 3 / 6 ) > ( 2 / 6 )
Örnek-2:
1 < 2 → 1 sayısı, 2 sayısından küçüktür.
1 sayısının çarpma işlemine göre tersi → ( 1 / 1 )
2 sayısının çarpma işlemine göre tersi → ( 1 / 2 )
( 1 / 1 ) > ( 1 / 2 ) → ( 1 / 1 ) sayısı, ( 1 / 2 ) sayısından büyüktür.
İki kesirli sayının paydaları eşitlenirse:
( 1 / 1 ) ve ( 1 / 2 ) sayılarının, paydaları 2 sayısında birleşir.
( 1 / 1 ) sayısının, payı ve paydası 2 sayısı ile çarpılır → ( 2 / 2 )
( 1 / 2 ) sayısının, payı ve paydası 1 sayısı ile çarpılır → ( 1 / 2 )
Paydaları eşit iki kesirli sayıdan, payı büyük olan sayı, daha büyüktür.
( 1 / 1 ) > ( 1 / 2 )
( 2 / 2 ) > ( 1 / 2 )
Örnek-3:
6 > 5 → 6 sayısı, 5 sayısından büyüktür.
6 sayısının çarpma işlemine göre tersi → ( 1 / 6 )
5 sayısının çarpma işlemine göre tersi → ( 1 / 5 )
( 1 / 6 ) < ( 1 / 5 ) → ( 1 / 6 ) sayısı, ( 1 / 5 ) sayısından küçüktür.
İki kesirli sayının paydaları eşitlenirse:
( 1 / 6 ) ve ( 1 / 5 ) sayılarının, paydaları 30 sayısında birleşir.
( 1 / 6 ) sayısının, payı ve paydası 5 sayısı ile çarpılır → ( 5 / 30 )
( 1 / 5 ) sayısının, payı ve paydası 6 sayısı ile çarpılır → ( 6 / 30 )
Paydaları eşit iki kesirli sayıdan, payı büyük olan sayı, daha büyüktür.
( 1 / 6 ) < ( 1 / 5 )
( 5 / 30 ) < ( 6 / 30 )
Resimde, her iki tarafı da negatif tam sayı olan 3 örnek için:
Negatif sayılarda, rakamsal değeri büyük olan sayı, rakamsal değeri küçük olan sayıdan, daha küçüktür. Büyük olan rakam daha küçüktür şeklinde akılda tutulabilir.
-5 , -4 , - 3 , -2 , - 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5
-5 sayısı, -4 sayısından küçüktür.
-4 sayısı, -3 sayısından küçüktür.
-3 sayısı, -2 sayısından küçüktür.
-2 sayısı, -1 sayısından küçüktür.
-5 sayısı, -1 sayısından küçüktür.
Örnek-1:
-3 < -2 → -3 sayısı, -2 sayısından küçüktür.
-3 sayısının çarpma işlemine göre tersi → -( 1 / 3 )
-2 sayısının çarpma işlemine göre tersi → -( 1 / 2 )
-( 1 / 3 ) > -( 1 / 2 ) → -( 1 / 3 ) sayısı, -( 1 / 2 ) sayısından büyüktür.
-( 1 / 3 ) işleminin sonucu → -0,333...
-( 1 / 2 ) işleminin sonucu → -0,5
0,5 değeri, 0,333... değerinden büyüktür.
Sayıların değeri negatif ise, -0,333... sayısı, -0,5 sayısından büyüktür.
Negatif iki kesirli sayıdan hangisinin büyük olduğu, paydaları eşitlenerek de bulunabilir.
-( 1 / 3 ) ve -( 1 / 2 ) sayılarının, paydaları 6 sayısında birleşir.
-( 1 / 3 ) sayısının, payı ve paydası 2 sayısı ile çarpılır → -( 2 / 6 )
-( 1 / 2 ) sayısının, payı ve paydası 3 sayısı ile çarpılır → -( 3 / 6 )
Paydaları eşit iki negatif kesirli sayıdan, payı küçük olan sayı, daha büyüktür.
-( 1 / 3 ) > -( 1 / 2 )
-( 2 / 6 ) > -( 3 / 6 )
Örnek-2:
-2 < -1 → -2 sayısı, -1 sayısından küçüktür.
-2 sayısının çarpma işlemine göre tersi → -( 1 / 2 )
-1 sayısının çarpma işlemine göre tersi → -( 1 / 1 )
-( 1 / 2 ) > -( 1 / 1 ) → -( 1 / 2 ) sayısı, -( 1 / 1 ) sayısından büyüktür.
-( 1 / 2 ) işleminin sonucu → -0,5
-( 1 / 1 ) işleminin sonucu → -1
1 değeri, 0,5 değerinden büyüktür.
Sayıların değeri negatif ise, -0,5 sayısı, -1 sayısından büyüktür.
Negatif iki kesirli sayıdan hangisinin büyük olduğu, paydaları eşitlenerek de bulunabilir.
-( 1 / 2 ) ve -( 1 / 1 ) sayılarının, paydaları 2 sayısında birleşir.
-( 1 / 2 ) sayısının, payı ve paydası 1 sayısı ile çarpılır → -( 1 / 2 )
-( 1 / 1 ) sayısının, payı ve paydası 2 sayısı ile çarpılır → -( 2 / 2 )
Paydaları eşit iki negatif kesirli sayıdan, payı küçük olan sayı, daha büyüktür.
-( 1 / 2 ) > -( 1 / 1 )
-( 1 / 2 ) > -( 2 / 2 )
Örnek-3:
-5 > -6 → -5 sayısı, -6 sayısından büyüktür.
-5 sayısının çarpma işlemine göre tersi → -( 1 / 5 )
-6 sayısının çarpma işlemine göre tersi → -( 1 / 6 )
-( 1 / 5 ) < -( 1 / 6 ) → -( 1 / 5 ) sayısı, -( 1 / 6 ) sayısından küçüktür.
-( 1 / 5 ) işleminin sonucu → -0,2
-( 1 / 6 ) işleminin sonucu yaklaşık → -0,166
0,2 değeri, 0,166 değerinden büyüktür.
Sayıların değeri negatif ise, -0,2 sayısı, -0,166 sayısından küçüktür.
İki negatif kesirli sayının paydaları eşitlenirse:
-( 1 / 5 ) ve -( 1 / 6 ) sayılarının, paydaları 30 sayısında birleşir.
-( 1 / 5 ) sayısının, payı ve paydası 6 sayısı ile çarpılır → -( 6 / 30 )
-( 1 / 6 ) sayısının, payı ve paydası 5 sayısı ile çarpılır → -( 5 / 30 )
Paydaları eşit iki negatif kesirli sayıdan, payı küçük olan sayı, daha büyüktür.
-( 1 / 5 ) < -( 1 / 6 )
-( 6 / 30 ) < -( 5 / 30 )
Eşitsizliklerin çarpma işlemine göre tersi:
Yukarıdaki resimde, küçük eşit (≤) ve büyük eşit (≥) eşitsizliklerinin, çarpma işlemine göre tersi incelenebilir.
Kesirli sayıların, çarpma işlemine göre tersi, 1 sayısının, sayıya bölümüdür. Geniş kesir çizgisinin, üst tarafına 1, alt tarafına kesirli sayı yazılır. 1 sayısının, paydası görünür kılınır ve içler dışlar çarpımı yapılır.
(5 / 8) sayısının çarpma işlemine göre tersi → 1 / (5 / 8)
1 sayısının paydası görünür kılınır → (1 / 1) / (5 / 8)
İçler dışlar çarpımı yapılır → (1 / 1) / (5 / 8)
1 . 8 = 8 sonucu pay bölümüne yazılır.
1 . 5 = 5 sonucu payda bölümüne yazılır.
(5 / 8) sayısının çarpma işlemine göre tersi (8 / 5) olur. Pay ve paydada bulunan sayılar yer değiştirdi.
Resimde her iki tarafı pozitif ( 4 / 9 ) < ( 5 / 6 ) eşitsizliği için:
( 4 / 9 ) < ( 5 / 6 ) → ( 4 / 9 ) sayısı, ( 5 / 6 ) sayısından küçüktür.
( 4 / 9 ) sayısının çarpma işlemine göre tersi → ( 9 / 4 )
( 5 / 6 ) sayısının çarpma işlemine göre tersi → ( 6 / 5 )
( 9 / 4 ) > ( 6 / 5 ) → ( 9 / 4 ) sayısı, ( 6 / 5 ) sayısından büyüktür.
Pozitif iki kesirli sayıdan hangisinin büyük olduğu, paydaları eşitlenerek de bulunabilir.
( 9 / 4 ) ve ( 6 / 5 ) sayılarının, paydaları 20 sayısında birleşir.
( 9 / 4 ) sayısının, payı ve paydası 5 sayısı ile çarpılır → ( 45 / 20 )
( 6 / 5 ) sayısının, payı ve paydası 4 sayısı ile çarpılır → ( 24 / 20 )
Paydaları eşit iki kesirli sayıdan, payı büyük olan sayı, daha büyüktür.
( 9 / 4 ) > ( 6 / 5 )
( 45 / 20 ) > ( 24 / 20 )
Resimde her iki tarafı negatif -( 2 / 3 ) > -( 4 / 5 ) eşitsizliği için:
-(2 / 3) > -(4 / 5) → -(2 / 3) sayısı, -(4 / 5) sayısından büyüktür.
-(2 / 3) sayısının çarpma işlemine göre tersi → -( 3 / 2 )
-(4 / 5) sayısının çarpma işlemine göre tersi → -( 5 / 4 )
-( 3 / 2 ) < -( 5 / 4 ) → -( 3 / 2 ) sayısı, -( 5 / 4 ) sayısından küçüktür.
-( 3 / 2 ) işleminin sonucu → -1,5
-( 5 / 4 ) işleminin sonucu → -1,25
1,5 değeri, 1,25 değerinden büyüktür.
Sayıların değeri negatif ise, -1,5 sayısı, -1,25 sayısından küçüktür.
İki negatif kesirli sayının paydaları eşitlenirse:
-( 3 / 2 ) ve -( 5 / 4 ) sayılarının, paydaları 4 sayısında birleşir.
-( 3 / 2 ) sayısının, payı ve paydası 2 sayısı ile çarpılır → -( 6 / 4 )
-( 5 / 4 ) sayısının, payı ve paydası 1 sayısı ile çarpılır → -( 5 / 4 )
Paydaları eşit iki negatif kesirli sayıdan, payı küçük olan sayı, daha büyüktür.
-( 3 / 2 ) < -( 5 / 4 )
-( 6 / 4 ) < -( 5 / 4 )
Özellik - 9
x² < x ise 0 < x < 1
Sıfır (0) ile 1 arasında bulunan her kesirli rasyonel sayının karesi (2. kuvveti), kendisinden küçüktür. Başka bir ifadeyle, bir sayının karesi kendisinden küçükse, sayı, sıfır (0) ile 1 arasında, kesirli rasyonel bir sayıdır.
Payı ve paydası pozitif tam sayı olmak üzere;
Payı, paydasından küçük olan kesirli rasyonel sayılar, 0 ile 1 arasındadır. Başka bir ifade ile, paydası, payından büyük olan kesirli sayılar, 0 ile 1 arasındadır.
x² < x ise 0 < x < 1 :
Resimde verilen 3 örnek için:
Örnek-1:
( 1 / 2 ) → ( 1 / 2 ) sayısının, payı olan 1 sayısı, paydası olan 2 sayısından küçüktür.
( 1 / 2 )² < ( 1 / 2 ) → ( 1 / 2 ) sayısının karesi, kendisinden küçüktür.
( 1 / 2 ) . ( 1 / 2 ) < ( 1 / 2 )
( 1 / 4 ) < ( 1 / 2 ) → ( 1 / 4 ) sayısı, ( 1 / 2 ) sayısından küçüktür.
Örnek-2:
( 3 / 4 ) → ( 3 / 4 ) sayısının, payı olan 3 sayısı, paydası olan 4 sayısından küçüktür.
( 3 / 4 )² < ( 3 / 4 ) → ( 3 / 4 ) sayısının karesi, kendisinden küçüktür.
( 3 / 4 ) . ( 3 / 4 ) < ( 3 / 4 )
( 9 / 16 ) < ( 3 / 4 ) → ( 9 / 16 ) sayısı, ( 3 / 4 ) sayısından küçüktür.
Örnek-3:
( 5 / 6 ) → ( 5 / 6 ) sayısının, payı olan 5 sayısı, paydası olan 6 sayısından küçüktür.
( 5 / 6 )² < ( 5 / 6 ) → ( 5 / 6 ) sayısının karesi, kendisinden küçüktür.
( 5 / 6 ) . ( 5 / 6 ) < ( 5 / 6 )
( 25 / 36 ) < ( 5 / 6 ) → ( 25 / 36 ) sayısı, ( 5 / 6 ) sayısından küçüktür.
Özellik - 10
n ∈ Z⁺ olmak üzere, (n sayısı, pozitif tam sayı olmak üzere)
0 < a < b ise, aⁿ < bⁿ olur.
a ve b sayıları, sıfırdan büyük sayılar ve b sayısı, a sayısından büyük ise,
bⁿ sayısı, aⁿ sayısından büyüktür.
Bu özellik için, kuvvet olan n sayısı, tek pozitif tam sayı veya çift pozitif tam sayı olabilir.
Örnek-1:
a sayısı : 1
b sayısı : 2
n sayısı : 2 için
0 < 1 < 2
1² < 2²
1 . 1 < 2 . 2
1 < 4
Örnek-2:
a sayısı : 2
b sayısı : 3
n sayısı : 2 için
0 < 2 < 3
2² < 3²
2 . 2 < 3 . 3
4 < 9
Örnek-3:
a sayısı : 2
b sayısı : 3
n sayısı : 3 için
0 < 2 < 3
2³ < 3³
2 . 2 . 2 < 3 . 3 . 3
8 < 27
Örnek-4:
a sayısı : ∛2
b sayısı : ∛3
n sayısı : 3 için
0 < ∛2 < ∛3
(∛2)³ < (∛3)³
∛2 . ∛2 . ∛2 < ∛3 . ∛3 .∛3
2 < 3
Örnek-5:
İki kesirli sayının 5. kuvvet eşitsizliği:
Özellik - 11
n ∈ Z⁺ olmak üzere, (n sayısı, pozitif tam sayı olmak üzere)
a < b < 0 ise, a²ⁿ > b²ⁿ olur.
a ve b sayıları, sıfırdan küçük sayılar ve b sayısı, a sayısından büyük ise,
a²ⁿ sayısı, b²ⁿ sayısından büyüktür.
Her n sayısı için, kuvvet olan 2n sayısı, pozitif çift sayı olur. Bu özellik için kuvvet olan 2n sayısı, pozitif çift sayı olmalıdır.
n sayısı 1 ise, 2n sayısı 2 olur. ( 1 . 2 = 2 )
n sayısı 2 ise, 2n sayısı 4 olur. ( 2 . 2 = 4 )
n sayısı 3 ise, 2n sayısı 6 olur. ( 3 . 2 = 6 )
n sayısı 4 ise, 2n sayısı 8 olur. ( 4 . 2 = 8 )
n sayısı 5 ise, 2n sayısı 10 olur. ( 5 . 2 = 10 )
Kuvveti alınan negatif bir sayının, kuvveti çift sayı ise, kuvveti alınan sayı, pozitif olur.
(-1) sayısı için:
(-1)² → Kuvveti olan 2 sayısı, çift sayı olduğu için, pozitif sayıdır.
(-1)⁴ → Kuvveti olan 4 sayısı, çift sayı olduğu için, pozitif sayıdır.
(-1)⁶ → Kuvveti olan 6 sayısı, çift sayı olduğu için, pozitif sayıdır.
(-1)⁸ → Kuvveti olan 8 sayısı, çift sayı olduğu için, pozitif sayıdır.
(-1)¹⁰ → Kuvveti olan 10 sayısı, çift sayı olduğu için, pozitif sayıdır.
(-2) sayısı için:
(-2)² → Kuvveti olan 2 sayısı, çift sayı olduğu için, pozitif sayıdır.
(-2)⁴ → Kuvveti olan 4 sayısı, çift sayı olduğu için, pozitif sayıdır.
(-2)⁶ → Kuvveti olan 6 sayısı, çift sayı olduğu için, pozitif sayıdır.
(-2)⁸ → Kuvveti olan 8 sayısı, çift sayı olduğu için, pozitif sayıdır.
(-2)¹⁰ → Kuvveti olan 10 sayısı, çift sayı olduğu için, pozitif sayıdır.
(-23) sayısı için:
(-23)² → Kuvveti olan 2 sayısı, çift sayı olduğu için, pozitif sayıdır.
(-23)⁴ → Kuvveti olan 4 sayısı, çift sayı olduğu için, pozitif sayıdır.
(-23)⁶ → Kuvveti olan 6 sayısı, çift sayı olduğu için, pozitif sayıdır.
(-23)⁸ → Kuvveti olan 8 sayısı, çift sayı olduğu için, pozitif sayıdır.
(-23)¹⁰ → Kuvveti olan 10 sayısı, çift sayı olduğu için, pozitif sayıdır.
-(9 / 11) sayısı için:
( -(9 / 11) )² → Kuvveti olan 2 sayısı, çift sayı olduğu için, pozitif sayıdır.
( -(9 / 11) )⁴ → Kuvveti olan 4 sayısı, çift sayı olduğu için, pozitif sayıdır.
( -(9 / 11) )⁶ → Kuvveti olan 6 sayısı, çift sayı olduğu için, pozitif sayıdır.
( -(9 / 11) )⁸ → Kuvveti olan 8 sayısı, çift sayı olduğu için, pozitif sayıdır.
( -(9 / 11) )¹⁰ → Kuvveti olan 10 sayısı, çift sayı olduğu için, pozitif sayıdır.
-∛2 sayısı için:
( -∛2 )² → Kuvveti olan 2 sayısı, çift sayı olduğu için, pozitif sayıdır.
( -∛2 )⁴ → Kuvveti olan 4 sayısı, çift sayı olduğu için, pozitif sayıdır.
( -∛2 )⁶ → Kuvveti olan 6 sayısı, çift sayı olduğu için, pozitif sayıdır.
( -∛2 )⁸ → Kuvveti olan 8 sayısı, çift sayı olduğu için, pozitif sayıdır.
( -∛2 )¹⁰ → Kuvveti olan 10 sayısı, çift sayı olduğu için, pozitif sayıdır.
Örnek-1:
a sayısı : -2
b sayısı : -1
2n sayısı : 2 için
-2 < -1 < 0
(-2)² > (-1)²
(-2) . (-2) > (-1) . (-1)
4 > 1
Örnek-2:
a sayısı : -3
b sayısı : -2
2n sayısı : 2 için
-3 < -2 < 0
(-3)² > (-2)²
(-3) . (-3) > (-2) . (-2)
9 > 4
Örnek-3:
a sayısı : -3
b sayısı : -2
2n sayısı : 4 için
-3 < -2 < 0
(-3)⁴ > (-2)⁴
(-3) . (-3) . (-3) . (-3) > (-2) . (-2) . (-2) . (-2)
81 > 16
Örnek-4:
Negatif kesirli iki sayının 4. kuvveti eşitsizliği:
Özellik - 12
n ∈ Z⁺ olmak üzere, (n sayısı, pozitif tam sayı olmak üzere)
a < b < 0 ise, a²ⁿ⁺¹ < b²ⁿ⁺¹ olur.
a ve b sayıları, sıfırdan küçük sayılar ve b sayısı, a sayısından büyük ise,
b²ⁿ⁺¹ sayısı, a²ⁿ⁺¹ sayısından büyüktür.
Her n sayısı için, kuvvet olan 2n + 1 sayısı, pozitif tek sayı olur. Bu özellik için kuvvet olan 2n + 1 sayısı, pozitif tek sayı olmalıdır. 2n + 1 değeri, kuvvetin pozitif tek sayı olduğunu gösterir.
n sayısı 1 ise, 2n + 1 sayısı 3 olur. → (2 . 1) + 1 → 2 + 1 = 3
n sayısı 2 ise, 2n + 1 sayısı 5 olur. → (2 . 2) + 1 → 4 + 1 = 5
n sayısı 3 ise, 2n + 1 sayısı 7 olur. → (2 . 3) + 1 → 6 + 1 = 7
n sayısı 4 ise, 2n + 1 sayısı 9 olur. → (2 . 4) + 1 → 8 + 1 = 9
n sayısı 5 ise, 2n + 1 sayısı 11 olur. → (2 . 5) + 1 → 10 + 1 = 11
1 sayısı pozitif tek sayıdır. Bir sayının, 1. kuvveti, yine kendisi olur.
1¹ = 1
(-1)¹ = (-1)
10¹ = 10
(-5)¹ = (-5)
Kuvveti alınan negatif bir sayının, kuvveti tek sayı ise, kuvveti alınan sayı, negatif olur.
(-1) sayısı için:
(-1)³ → Kuvveti olan 3 sayısı, tek sayı olduğu için, negatif sayıdır.
(-1)⁵ → Kuvveti olan 5 sayısı, tek sayı olduğu için, negatif sayıdır.
(-1)⁷ → Kuvveti olan 7 sayısı, tek sayı olduğu için, negatif sayıdır.
(-1)⁹ → Kuvveti olan 9 sayısı, tek sayı olduğu için, negatif sayıdır.
(-1)¹¹ → Kuvveti olan 11 sayısı, tek sayı olduğu için, negatif sayıdır.
(-2) sayısı için:
(-2)³ → Kuvveti olan 3 sayısı, tek sayı olduğu için, negatif sayıdır.
(-2)⁵ → Kuvveti olan 5 sayısı, tek sayı olduğu için, negatif sayıdır.
(-2)⁷ → Kuvveti olan 7 sayısı, tek sayı olduğu için, negatif sayıdır.
(-2)⁹ → Kuvveti olan 9 sayısı, tek sayı olduğu için, negatif sayıdır.
(-2)¹¹ → Kuvveti olan 11 sayısı, tek sayı olduğu için, negatif sayıdır.
(-15) sayısı için:
(-15)³ → Kuvveti olan 3 sayısı, tek sayı olduğu için, negatif sayıdır.
(-15)⁵ → Kuvveti olan 5 sayısı, tek sayı olduğu için, negatif sayıdır.
(-15)⁷ → Kuvveti olan 7 sayısı, tek sayı olduğu için, negatif sayıdır.
(-15)⁹ → Kuvveti olan 9 sayısı, tek sayı olduğu için, negatif sayıdır.
(-15)¹¹ → Kuvveti olan 11 sayısı, tek sayı olduğu için, negatif sayıdır.
-(5 / 7) sayısı için:
( -(5 / 7) )³ → Kuvveti olan 3 sayısı, tek sayı olduğu için, negatif sayıdır.
( -(5 / 7) )⁵ → Kuvveti olan 5 sayısı, tek sayı olduğu için, negatif sayıdır.
( -(5 / 7) )⁷ → Kuvveti olan 7 sayısı, tek sayı olduğu için, negatif sayıdır.
( -(5 / 7) )⁹ → Kuvveti olan 9 sayısı, tek sayı olduğu için, negatif sayıdır.
( -(5 / 7) )¹¹ → Kuvveti olan 11 sayısı, tek sayı olduğu için, negatif sayıdır..
-∛2 sayısı için:
( -∛9 )³ → Kuvveti olan 3 sayısı, tek sayı olduğu için, negatif sayıdır.
( -∛9 )⁵ → Kuvveti olan 5 sayısı, tek sayı olduğu için, negatif sayıdır.
( -∛9 )⁷ → Kuvveti olan 7 sayısı, tek sayı olduğu için, negatif sayıdır.
( -∛9 )⁹ → Kuvveti olan 9 sayısı, tek sayı olduğu için, negatif sayıdır.
( -∛9 )¹¹ → Kuvveti olan 11 sayısı, tek sayı olduğu için, negatif sayıdır.
Örnek-1:
a sayısı : -2
b sayısı : -1
2n + 1 sayısı : 3 için
-2 < -1 < 0
(-2)³ < (-1)³
(-2) . (-2) . (-2) < (-1) . (-1) . (-1)
-8 < -1
Örnek-2:
a sayısı : -3
b sayısı : -2
2n + 1 sayısı : 5 için
-3 < -2 < 0
(-3)⁵ < (-2)⁵
(-3) . (-3) . (-3) . (-3) . (-3) < (-2) . (-2) . (-2) . (-2) . (-2)
-243 < -32
Örnek-3:
a sayısı : -5
b sayısı : -4
2n + 1 sayısı : 3 için
-5 < -4 < 0
(-5)³ < (-4)³
(-5) . (-5) . (-5) < (-4) . (-4) . (-4)
-125 < -64
Örnek-4:
Negatif kesirli iki sayının 3. kuvveti eşitsizliği:
Özellik - 13
a, b ve c ∈ R olmak üzere, (a, b ve c sayıları gerçek (reel) sayılar olmak üzere)
a < b
b < c
ise, a < c olur.
b sayısı, a sayısından büyük
c sayısı, b sayısından büyük ise
c sayısı, a sayısından büyüktür.
(<) küçüktür ve (>) büyüktür işlemlerinin geçişme özelliği vardır.
Örneğin:
a = 2
b = 3
c = 4 için
2 < 3 → 3 sayısı, 2 sayısından büyüktür.
3 < 4 → 4 sayısı, 3 sayısından büyük ise
2 < 4 → 4 sayısı, 2 sayısından büyüktür.
Örneğin:
b = 5
a < 5 → 5 sayısı, a sayısından büyüktür.
5 < c → c sayısı, 5 sayısından büyük ise
a < c → c sayısı, a sayısından büyüktür.
ax + b < 0
ax + b ≤ 0
ax + b > 0
ax + b ≥ 0
şeklindeki ifadelere, x değişkenine bağlı, birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik denir. Çözüm kümeleri, "Gerçek Sayılar Kümesinde Aralıklar" konusunda bahsedilen, sayı aralıklarıdır.
Örnek - 1
1. dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik örnek soru ve çözüm - 1 (kaynak: Supara):
3x - 4 ≤ 9 - 2x → Eşitsizliğin sol tarafındaki çıkarma işleminin sembolü olan (-) işareti, 4 sayısının işareti olarak kabul edilir ve -4 şeklinde yazılır. Eşitsizliğin sağ tarafındaki çıkarma işleminin sembolü olan (-) işareti, 2x sayısının işareti olarak kabul edilir ve -2x şeklinde yazılır.
3x -4 ≤ 9 -2x → Eşitsizliğinde -2x sayısı, eşitsizliğin soluna atıldığında işareti değiştirir ve +2x olur. -4 sayısı eşitsizliğin sağına atıldığında işareti değişir ve +4 olur.
Eşitsizlik 3x +2x ≤ 9 +4 halini alır.
3x +2x ≤ 9 +4 → 3x + 2x ≤ 9 + 4 şeklinde yazılabilir.
Eşitsizliğin sol tarafında bulunan işlem yapılır.
3x + 2x = 5x
Eşitsizliğin sağ tarafında bulunan işlem yapılır.
9 + 4 = 13
Eşitsizlik 5x ≤ 13 halini alır.
x bilinmeyenini yalnız bırakmak için her iki taraf 5 sayısına bölünür. Eşitsizliğin her iki tarafı pozitif 5 sayısına bölündüğünde, eşitsizliğin yönü değişmez.
5x ≤ 13
5.x sayısı, 5'e bölündüğünde 5 sayıları sadeleşir ve sonuç 1.x olur. Çarpma işleminin etkisiz elemanı olan 1 sayısı yazılmayabilir.
13 sayısı, 5'e bölündüğünde, sonuç 2,6 olur.
Eşitsizliğin her iki tarafı 5 sayısına bölündükten sonra eşitsizlik:
x ≤ 2,6
x sayısı, 2,6 sayısına eşit veya küçük değerler alabilir. Soruda istenen koşul, x sayısının alabileceği en büyük tam sayı değeridir.
-2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3
2,6 sayısı, temsili sayı doğrusu üzerinde, kırmızı ile gösterilen yerdedir.
2,6 sayısından küçük, en büyük tam sayı 2 sayısıdır.
Cevap: 2
Örnek - 2
x ve y gerçek sayılardır.
2 < x < 6
-1 < y < 3
olduğuna göre, 2x - 3y ifadesinin alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır? (kaynak: Supara)
Çözüm:
2x - 3y ifadesinde, x sayısının kat sayısı 2 dir.
2 < x < 6 → eşitsizliğindeki x sayısının, kat sayısının 2 olması için (2x), eşitsizlik 2 ile çarpılır.
2 < x < 6 → Eşitsizliği, 2 sayısı ile çarpılınca, eşitsizlik yön değiştirmez.
2 . ( 2 < x < 6 ) işlemi için:
2 ile 2 çarpılır. ( 2 . 2 = 4 )
( < ) küçüktür sembolü, 4 sayısının yanına yazılır.
4 <
2 ile x sayısı çarpılır. ( 2 . x = 2x ) Sonuç, 4 < ifadesinin sağına yazılır.
4 < 2x
Diğer ( < ) küçüktür sembolü, 4 < 2x ifadesinin yanına yazılır.
4 < 2x <
2 ile 6 çarpılır. ( 2 . 6 = 12 ) Sonuç, 4 < 2x < ifadesinin yanına yazılır.
4 < 2x < 12
2x - 3y ifadesinde, y sayısının kat sayısı -3 tür.
Not :
Aynı yönlü eşitsizliklerde, taraf tarafa çıkarma, bölme ve çarpma işlemi yapılmaz.
2x - 3y ifadesindeki, (-) işareti, 3y sayısının işareti olarak kabul edilir. (-3y)
2x eşitsizliği ve -3y eşitsizliği taraf tarafa toplanır.
-1 < y < 3 → eşitsizliğindeki y sayısının, kat sayısının -3 olması için (-3y), eşitsizlik (-3) ile çarpılır.
-1 < y < 3 → Eşitsizliği, (-3) sayısı ile çarpılınca, eşitsizliği oluşturan iki eşitsizlik, yön değiştirir.
-1 < y < 3 → Eşitsizliği, iki eşitsizlikten oluşur.
-1 < y eşitsizliği ve y < 3 eşitsizliği
-1 < y eşitsizliğinin, her iki tarafı (-3) ile çarpılır ve eşitsizlik yön değiştirir.
(-1) sayısı ile (-3) sayısı çarpılır. (-1) . (-3) = 3 ; Sonuç ve yön değiştiren eşitsizlik yazılır.
3 >
y sayısı ile (-3) sayısı çarpılır. y . (-3) = -3y ; Sonuç, 3 > ifadesinin yanına yazılır.
3 > -3y
y < 3 eşitsizliğinin de, her iki tarafı (-3) ile çarpılır ve eşitsizlik yön değiştirir.
y sayısı ile (-3) sayısı çarpılır. y . (-3) = -3y ; Sonuç ve yön değiştiren eşitsizlik yazılır.
-3y >
3 sayısı ile (-3) sayısı çarpılır. 3 . (-3) = -9 ; Sonuç, -3y > ifadesinin yanına yazılır.
-3y > -9
4 < 2x < 12 eşitsizliği küçüktür sembolünden oluşmaktadır. y sayısının olduğu eşitsizlik, küçüktür sembolü ile yazılırsa, iki eşitsizlik taraf tarafa toplanabilir.
3 > -3y → ifadesinin küçüktür sembolü ile yazılması için, önce küçük değer yazılmalıdır.
-3y sayısı, 3 sayısından küçüktür. -3y < 3
-3y > -9 → ifadesinin küçüktür sembolü ile yazılması için, önce küçük değer yazılmalıdır.
-9 sayısı, -3y sayısından küçüktür. -9 < -3y
-3y değeri ortada olacak şekilde iki eşitsizlik birleştirilir.
İki eşitsizlik;
-9 < -3y < 3 şeklinde yazılır.
Aynı yönlü eşitsizlikler taraf tarafa toplanabilir. x eşitsizliği ve y eşitsizliği taraf tarafa toplanır.
4 < 2x < 12
-9 < -3y < 3
_____________
-5 < 2x - 3y < 15
2x - 3y ifadesinin, -5 sayısından büyük olmalıdır.
2x - 3y ifadesinin alabileceği en küçük tam sayı değeri, -4 tür.
-5 , -4 , -3 , -2 , -1 , 0 , 1
Cevap: -4
y eşitsizliği için 2. çözüm:
-1 < y < 3 eşitsizliğinin her iki tarafı (-3) ile çarpılınca eşitsizlik yön değiştirir.
Yön değişimi iki yolla olabilir.
1-) Eşitsizlik sembolü değişir.
2-) Sembol aynı kalırken, değerlerin yerleri değişebilir.
(-3) . ( -1 < y < 3 ) → ( 3 < -3y < -9 )
( 3 < -3y < -9 ) → Sembol aynı kalırken değerlerin yerleri değiştirildiğinde → ( -9 < -3y < 3 )
Örnek - 3
1. dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik örnek soru ve çözüm - 3 (kaynak: Supara):
(4 - 2x) / 3 > 2 eşitsizliğinde, 2 sayısının, 1 olan paydası görünür kılınarak içler dışlar çarpımı yapılabilir. Denklem eşitliklerinde sonucu değiştirmeyen çarpım sırası, eşitsizlik çözümlerinde doğru sıra ile yapılmalıdır.
x işareti ile sembolize edilen içler dışlar çarpımı, resimde mor renkle gösterilen 1 sayılarının olduğu yerlerdeki pay ve payda çarpılıp eşitsizliğin sol tarafına, resimde yeşil renkle gösterilen 2 sayılarının olduğu yerlerdeki pay ve payda çarpılıp eşitsizliğin sağ tarafına yazılır.
2. Çözüm:
(4 - 2x) / 3 > 2 → eşitsizliğinin her iki tarafı 3 sayısı ile çarpılır. Eşitsizliğin her iki tarafı 3 sayısı ile çarpılırsa, eşitsizlik yön değiştirmez.
Eşitsizliğin sol tarafı 3 sayısı ile çarpıldığında, 3 paydası ve çarpılan 3 sayısı sadeleşir.
3 . (4 - 2x) / 3
Eşitsizliğin sağ tarafı 3 sayısı ile çarpıldığında, 2 ile 3 sayısının çarpımı, 2 . 3 = 6 olur.
Eşitsizliğin her iki tarafı 3 ile çarpıldıktan ve yapılan işlem sonrasında:
4 - 2x > 6
Not:
İçler dışlar çarpımı sonrasında da eşitsizlik, 4 - 2x > 6 haline gelecekti.
4 - 2x > 6 → Eşitsizliğinde, 4 sayısının (+) olan işareti görünür kılınır. Eşitsizlik +4 - 2x > 6 halini alır.
+4 - 2x > 6 → Eşitsizliğinde, çıkarma işleminin sembolü olan (-) işareti, 2x sayısının işareti olarak kabul edilir ve eşitsizlik +4 -2x > 6 şeklinde yazılır.
+4 -2x > 6 → Eşitsizliğinde, +4 sayısı, eşitsizliğin sağına atıldığında -4 olur ve eşitsizlik -2x > 6 -4 halini alır.
-2x > 6 -4 → -2x > 6 - 4 şeklinde yazılabilir.
-2x > 6 - 4 → Eşitsizliğin sağ tarafında bulunan işlem yapılır. ( 6 - 4 = 2 )
-2x > 2 → Eşitsizliğin, her iki tarafı -2 sayısına bölünerek, x sayısı yalnız bırakılır. Eşitsizliğin her iki tarafı -2 sayısına bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirir.
Eşitsizliğin sol tarafındaki işlem yapılır:
-2x / -2 → İşleminde, -2 sayıları sadeleşir ve x yalnız kalır.
Eşitsizliğin sağ tarafındaki işlem yapılır:
2 / -2 → İşleminin sonucu olan -1 sayısı eşitsizliğin sağına yazılır.
x < -1 → Her iki taraf -2 sayısına bölündüğü için eşitsizlik yön değiştirir.
x sayısı, -1 sayısından küçük tüm gerçek sayılardır.
Çözüm kümesi ( -∞ , -1 ) şeklinde gösterilir.
Cevap: ( -∞ , -1 )
Örnek - 4
1. dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik örnek soru ve çözüm - 4 (kaynak: Supara):
3 < (3 - 2x) / 3 ≤ 9 → Eşitsizliğinde, 3 paydasından kurtulmak için, eşitsizlik 3 sayısı ile çarpılır. Eşitsizliği oluşturan tüm değerler 3 ile çarpılır ve küçüktür sembolü aynen yazılır.
Eşitsizliğin en solunda bulunan 3 sayısı ile 3 çarpılır. ( 3 . 3 = 9 )
Eşitsizliğin ortasında bulunan (3 - 2x) / 3 kesirli sayısı ile 3 çarpılır. Payda olan 3 sayısı ve çarpım durumundaki 3 sayısı sadeleşir.
3 . [ (3 - 2x) / 3 ] → Sonuç, 3 - 2x olur.
Eşitsizliğin en sağında bulunan 9 sayısı ile 3 çarpılır. ( 9 . 3 = 27 )
Bulunan 3 sonuç, küçüktür sembolü aynen bırakılarak, sırası ile yazılır.
9 < 3 - 2x ≤ 27
9 < 3 - 2x ≤ 27 → Eşitsizliğinin ortasında bulunan -2x sayısını yalnız bırakmak için, eşitsizliğin her üç tarafından 3 sayısı çıkarılır.
3 - 2x → İfadesinde, 3 sayısının işareti görünür kılınır ve +3 şeklinde yazılır. Çıkarma işleminin sembolü olan (-) işareti, 2x sayısının işareti olarak kabul edilir ve -2x şeklinde yazılır.
3 - 2x → +3 -2x
9 -3 < +3 -2x -3 ≤ 27 -3 → Eşitsizliğin her üç tarafından 3 sayısı çıkarıldı.
Eşitsizliğin en solunda bulunan 9 sayısından, 3 sayısı çıkarılır. ( 9 - 3 = 6 )
Eşitsizliğin ortasında bulunan +3 -2x -3 ifadesinde, +3 ve - 3 sayıları birbirini götürür.
+3 -2x -3 → -2x
Eşitsizliğin en sağında bulunan 27 sayısından, 3 sayısı çıkarılır. ( 27 - 3 = 24 )
Yine bulunan 3 sonuç, küçüktür sembolü aynen bırakılarak, sırası ile yazılır.
6 < -2x ≤ 24
6 < -2x ≤ 24 → Eşitsizliğinin ortasında bulunan -2x sayısını yalnız bırakmak için, eşitsizliğin her üç tarafı, -2 sayısına bölünür. Eşitsizliğin her üç tarafı -2 sayısına bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirir.
Daha önce bahsedildiği gibi, eşitsizlik iki şekilde yön değiştirir.
1-) Eşitsizlik sembolü değişebilir.
2-) Sembol aynı kalırken değerlerin yerleri değişebilir. Aynı yönlü, farklı iki sembolden oluşan eşitsizliklerde, değerler ile birlikte, sembollerin de yerleri değişir.
Eşitsizliğin en solunda bulunan 6 sayısı, -2 sayısına bölünür. ( 6 / -2 ) = -3
Eşitsizliğin ortasında bulunan -2x sayısı, -2 sayısına bölünür. ( -2x / -2 ) = x
Eşitsizliğin en sağında bulunan 24 sayısı, -2 sayısına bölünür. ( 24 / -2 ) = -12
1-)
Bulunan 3 sonuç, eşitsizlik yönleri değiştirilerek, sırası ile yazılır.
6 < -2x ≤ 24 → Eşitsizliğinin, -2 sayısına bölünmeden önceki hali: (Karşılaştırma için yazıldı)
-3 > x ≥ -12
Yukarıdaki eşitsizlik, en küçük sayıdan başlayarak yazılabilir.
-12 sayısı, x sayısına eşit veya küçüktür ifadesinden başlayarak;
-12 ≤ x < 3 → şeklinde, tersten yazılabilir.
2-)
Bulunan 3 sonuç, değerlerin yerleri değiştirilerek de yazılabilir. Değerler ile birlikte aynen yazılan, küçüktür ve küçük eşit sembollerinin de yerleri değişir.
6 < -2x ≤ 24 → Eşitsizliğinin, -2 sayısına bölünmeden önceki hali: (Karşılaştırma için yazıldı)
-12 ≤ x < -3
x tam sayısı, -3 sayısından küçük, -12 sayısına eşit veya büyüktür.
( -12 , -11 , -10 , -9 , -8 , -7 , -6 , -5 , -4 ) olmak üzere, 9 farklı x tam sayı değeri vardır.
Cevap: 9
Örnek - 5
1. dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik örnek soru ve çözüm - 5 (kaynak: Supara):
3x - 2 < x + 1 < 4x - 2 → Eşitsizliği için:
Eşitsizliğin ortasında bulunan x + 1 ifadesi ile sağında bulunan 4x - 2 ifadesinin eşitsizliği,
x + 1 < 4x - 2 şeklinde yazılır.
Eşitsizliğin ortasında bulunan x + 1 ifadesi ile solunda bulunan 3x - 2 ifadesinin eşitsizliği;
3x - 2 < x + 1 şeklinde yazılır.
3x - 2 < x + 1 → Eşitsizliğinin çözümü, resimden incelenebilir. ( x < 1,5 )
x + 1 < 4x - 2 → Eşitsizliğinin çözümü, resimden incelenebilir. ( 1 ≤ x )
İki eşitsizliğin sonuçları:
x < 1,5 → x sayısı, 1,5 ( bir buçuk ) sayısından küçüktür.
1 ≤ x → x sayısı, 1 sayısına eşit veya büyüktür.
Eşitsizlik sonuçları en küçük değerden başlayarak, birleştirilebilir. x sayısı, 1 sayısına eşit veya büyüktür ifadesinden başlayarak, eşitsizlik sonuçları birleştirilir.
1 ≤ x < 1,5
Soruda, x değerinin tam sayı olma koşulu vardır. x değeri sadece 1 sayısı olabilir.
Cevap: 1
Örnek-6:
a ve b gerçek sayılardır.
-2 < a < 3
-3 < b < 6
olduğuna göre, a.b çarpımının alabileceği değerlerin bulunduğu en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir? (kaynak: Supara)
Çözüm:
a.b çarpımının en geniş aralığını bulmak için, eşitsizliklerin, sağında ve solunda bulunan bütün değerleri birbiri ile çarpılır.
Çarpma işlemleri iki bölüme ayrılabilir.
1-) Çapraz köşelerindeki değerler çarpılır.
2-) Alt alta olan değerler çarpılır.
1-) Çapraz köşelerindeki değerler çarpılır.
-2 < a < 3
-3 < b < 6
(-2) . 6 = -12
(-3) . 3 = -9
2-) Alt alta olan değerler çarpılır.
-2 < a < 3
-3 < b < 6
(-2) . (-3) = 6
3 . 6 = 18
Tüm sonuçlar küçükten büyüğe yazıldığında,
-12 , -9 , 6 , 18
a.b çarpımının bulunduğu en geniş aralık, en küçük sonuç ile en büyük sonuç arasındadır.
-12 < a.b < 18 → ( -12 , 18 )
Not:
Eşitsizliklerden biri küçük eşit ( ≤ ), diğer eşitsizlik (<) küçüktür ise, a.b çarpımının bulunduğu en geniş aralık eşitsizliği, (<) küçüktür eşitsizliği ile yazılır.
Eşitsizliklerden biri büyük eşit ( ≥ ), diğeri eşitsizlik (>) büyüktür ise, a.b çarpımının bulunduğu en geniş aralık eşitsizliği, (>) büyüktür eşitsizliği ile yazılır.
Cevap: ( -12 , 18 )
Örnek-7 :
1. dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik örnek soru ve çözüm - 7 (kaynak: Supara):
-3 ≤ 1 - 2x < 1 → Eşitsizliği, iki eşitsizliğe ayrılır.
Eşitsizliğin ortasında bulunan 1 - 2x ifadesi ile sağında bulunan 1 sayısının oluşturduğu eşitsizlik,
1 - 2x < 1 şeklinde yazılır.
Eşitsizliğin ortasında bulunan 1 - 2x ifadesi ile solunda bulunan -3 sayısının oluşturduğu eşitsizlik,
-3 ≤ 1 - 2x şeklinde yazılır.
-3 ≤ 1 - 2x → Eşitsizliğinin çözümü, resimden incelenebilir. ( 2 ≥ x )
1 - 2x < 1 → Eşitsizliğinin çözümü, resimden incelenebilir. ( x > 0 )
İki eşitsizlik sonucu yan yana yazılır.
2 ≥ x ve x > 0 → 2 ≥ x > 0
2 ≥ x > 0 → Eşitsizlik, en küçük değerden başlayarak da yazılabilir.
0 sayısı, x sayısından küçüktür ; x sayısı, 2 sayısına eşit veya küçüktür.
0 < x ≤ 2
0 < x ≤ 2 → şeklinde de yazılabilen eşitsizliğin değer aralığı, ( 0 , 2 ] şeklinde yazılır.
( 0 , 2 ] ifadesinin, sayı doğrusu üzerindeki gösterimi, resimden incelenebilir.
Örnek-8 :
(4 - x)² . (2x - 15)³ < 0
Eşitsizliğini sağlayan x doğal sayılarının toplamı kaçtır? (kaynak: Supara)
Çözüm:
(4 - x)² . (2x - 15)³ < 0 → Eşitsizliğinin, sol tarafında, çarpım durumunda bulunan, iki ifade vardır. Bu iki ifadenin çarpım sonucu sıfırdan küçük ise, çarpım sonucu negatif (-) olmalıdır.
(4 - x)² → Birinci ifade
(2x - 15)³ → İkinci ifade
İki ifadenin, çarpım sonucu, sıfır (0) sayısından küçük ise, ifadelerden biri negatif (-), diğeri pozitif (+) olmalıdır.
(-) . (-) = (+) → İki negatif değerin çarpımı (+) olduğundan, iki ifadenin de işareti (-) değildir.
(-) . (+) = (-) → (-) ile (+) çarpım sonucu (-) olduğundan, ifadelerden biri (-), diğeri (+) olabilir.
(+) . (-) = (-) → (+) ile (-) çarpım sonucu (-) olduğundan, ifadelerden biri (+), diğeri (-) olabilir.
(+) . (+) = (+) → İki pozitif değerin çarpımı (+) olduğundan, iki ifadenin de işareti (+) değildir.
(4 - x)² → ifadesi, (4 - x) sayısının karesidir. Karesi alınan her sayının işareti pozitif (+) olur.
Örneğin:
2 sayısının karesi, pozitiftir.
2² → 2 . 2 = 4
(-2) sayısınında karesi de pozitiftir.
(-2)² → (-2) . (-2) = 4
(4 - x)² → ifadesi, pozitif bir sayıdır. (4 - x)² ifadesi pozitif ise, (2x - 15)³ ifadesi ile çarpımlarının negatif olması için:
(2x - 15)³ → ifadesi, negatif olmalıdır.
(2x - 15)³ → ifadesi, (2x - 15) sayısının küpüdür. Küpü alınan bir sayı, negatif ise, sayı negatif olmalıdır.
Örneğin:
2 sayısının küpü, pozitiftir.
2³ → 2 . 2 . 2 = 8
(-2) sayısının küpü, negatiftir.
(-2)³ → (-2) . (-2) . (-2) = (-8)
2x - 15 → ifadesi, negatif bir sayı olmalıdır. Negatif bir sayı, sıfır (0) sayısından küçüktür.
2x - 15 < 0
2x - 15 < 0 → Eşitsizliği çözülüp, x sayısının değer aralığı bulunur. Çıkarma işleminin sembolü olan (-) işareti, 15 sayısının işareti kabul edilir ve -15 şeklinde yazılıp, eşitliğin sağ tarafına atılır. Eşitliğin sağ tarafına atılan -15 sayısı işaret değiştirir ve +15 şeklinde yazılır.
2x < +15 → Pozitif olan 15 sayısının işareti yazılmayabilir.
2x < 15 → x sayısını yalnız bırakmak için, eşitsizliğin her iki tarafı 2 sayısına bölünür.
Eşitsizliğin sol tarafındaki işlem yapılır. ( 2x / 2 = x )
Eşitsizliğin sağ tarafındaki işlem yapılır. ( 15 / 2 = 7,5 )
x < 7,5
x sayısı, 7,5 sayısından küçük doğal sayılardır. Soruda x sayısının doğal sayı olma koşulu vardır.
7,5 sayısından küçük doğal sayılar:
7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0 sayılarıdır.
(4 - x)² → Birinci ifadede, x değeri 4 olursa:
(4 - 4)² = 0² = 0 olur.
(4 - x)² . (2x - 15)³ < 0 → Eşitsizliğinde, birinci ifade olan (4 - x)² değeri, 0 olursa eşitsizlik yanlış olur.
Eşitsizlikte, (4 - x)² yerine sıfır (0) yazılırsa:
0 . (2x - 15)³ < 0
Çarpma işleminin yutan elemanı olan sıfır sayısı, eşitsizliğin sol tarafını sıfır yapar ve
0 < 0 eşitsizliği yanlış bir eşitsizlik olur. Bu yüzden x sayısı, 4 değildir.
4 haricindeki, 7,5 sayısından küçük doğal sayıların toplamı:
0 + 1 + 2 + 3 + 5 + 6 + 7 = 24
Cevap:24
Örnek-9 :
x² ≤ x
olduğuna göre, 2x + 4 ifadesinin alabileceği farklı tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır? (kaynak: Supara)
Çözüm:
x² ≤ x → Eşitsizliğinde, x sayısının karesi (x²) , kendisine eşit veya küçüktür.
Ali, Burak ve Cenk isimli üç kişinin yaşları ile ilgili olarak aşağıdaki bilgiler verilmiştir.
Çözüm:
Ali'nin yaşı : 2a
Burak'ın yaşı : a + 2
Cenk'in yaşı : 4a - 6
Eşitsizlikler
Basit Eşitsizlikler
x ve y ∈ R olmak üzere, x < y , x ≤ y , x > y , x ≥ y şeklindeki ifadelere basit eşitsizlikler denir.Küçüktür:
x < y → x sayısı, y sayısından küçüktür. Başka bir ifadeyle; y sayısı, x sayısından büyüktür. < sembolü ile gösterilir. Sembolün sivri ucu, küçük sayıyı gösterir. Benzer tüm sembollerde de sivri uç küçük sayıyı gösterir.
Örneğin:
a < 5 → a sayısı, 5 sayısından küçüktür.
a < 0 → a sayısı, 0 sayısından küçüktür.
a < -2 → a sayısı, -2 sayısından küçüktür.
Küçük Eşit:
x ≤ y → x sayısı, y sayısına eşit veya y sayısından küçüktür. Başka bir ifadeyle: y sayısı, x sayısına eşit yada x sayısından büyüktür. x sayısı en çok, y sayısı kadar olabilir. y sayısı en az, x sayısı kadar olabilir. ≤ sembolü ile gösterilir. Yine sivri ucu küçük sayıyı gösterir.
Örneğin:
a ≤ 5 → a sayısı, 5 sayısına eşit veya 5 sayısından küçüktür. a sayısı en çok, 5 sayısı kadar olabilir.
a ≤ 0 → a sayısı, 0 sayısına eşit veya 0 sayısından küçüktür. a sayısı en çok, 0 sayısı kadar olabilir.
a ≤ -2 → a sayısı, -2 sayısına eşit veya -2 sayısından küçüktür. a sayısı en çok, -2 sayısı kadar olabilir.
Büyüktür:
x > y → x sayısı, y sayısından büyüktür. Başka bir ifadeyle; y sayısı, x sayısından küçüktür. > sembolü ile gösterilir. Yine sembolün sivri ucu küçük sayıyı gösterir.
Örneğin:
a > 7 → a sayısı, 7 sayısından büyüktür.
a > 0 → a sayısı, 0 sayısından büyüktür.
a > -16 → a sayısı, -16 sayısından büyüktür.
Büyük Eşit:
x ≥ y → x sayısı, y sayısına eşit veya y sayısından büyüktür. Başka bir ifadeyle: y sayısı, x sayısına eşit yada x sayısından küçüktür. x sayısı en az, y sayısı kadar olabilir. y sayısı en çok, x sayısı kadar olabilir. ≥ sembolü ile gösterilir. Yine sivri ucu küçük sayıyı gösterir.
Örneğin:
a ≥ 7 → a sayısı, 7 sayısına eşit veya 7 sayısından büyüktür. a sayısı en az, 7 sayısı kadar olabilir.
a ≥ 0 → a sayısı, 0 sayısına eşit veya 0 sayısından büyüktür. a sayısı en az, 0 sayısı kadar olabilir.
a ≥ -16 → a sayısı, -16 sayısına eşit veya -16 sayısından büyüktür. a sayısı en az, -16 sayısı kadar olabilir.
Örnek:
x < y < 0 → ifadesi için:
y = -1
x = -2 olabilir.
y = -15
x = -60 olabilir.
y sayısı, 0 sayısından küçüktür.
x sayısı, 0 sayısından küçüktür.
y değeri olan -1 sayısı, x değeri olan -2 sayısından büyüktür.
Negatif sayılarda, sayı büyüdükçe sayı değeri küçülür. ( -2 < -1 )
y değeri olan -15 sayısı, x değeri olan -60 sayısından büyüktür.
Negatif sayılarda, sayı büyüdükçe sayı değeri küçülür. ( -60 < -15 )
Örnek:
x < 0 < y → ifadesi için:
y = 1
x = -1 olabilir.
y = 10
x = -20 olabilir.
y sayısı, 0 sayısından büyüktür.
x sayısı, 0 sayısından küçüktür.
y değeri olan 1 sayısı, x değeri olan -1 sayısından büyüktür.
y değeri olan 10 sayısı, x değeri olan -20 sayısından büyüktür.
Örnek:
x ≤ 0 ≤ y → ifadesi için:
y = 0
x = 0 olabilir.
y = 0
x = -1 olabilir.
y = 1
x = 0 olabilir.
y = 100
x = -100 olabilir.
Basit Eşitsizliklerin Özellikleri
Basit eşitsizliklerin bazı özellikleri, denklem eşitlikleri için de geçerlidir. Denklem eşitlikleri için de geçerli olan özellikler, özellik içinde belirtilecektir.Özellik - 1
x, y, a ∈ R olmak üzere:
x < y
x + a < y + a
Bir eşitsizliğin, her iki tarafına, aynı sayı eklenirse eşitsizlik değişmez.
Not:
Eşitsizliğin değişmesi, iki yolla olabilir.
1-) ( < ) küçüktür sembolü, ( > ) büyüktür sembolüne döner veya ( ≤ ) küçük eşit sembolü, ( ≥ ) büyük eşit sembolüne döner.
2-) Sembol aynı kalırken, değerlerin yerleri değişebilir.
Örneğin:
5 < 10 → Küçüktür sembolünün ( < ) sol tarafında bulunan 5 sayısı, 10 sayısından küçüktür.
5 + 2 < 10 + 2 → Her iki tarafa 2 sayısı eklendiğinde,
7 < 12 → Küçüktür sembolünün ( < ) sol tarafında bulunan 7 sayısı, 12 sayısından küçüktür.
( < ) küçüktür sembolü ve değerlerin yerleri değişmediğinden, eşitsizlik değişmedi.
Örneğin:
15 > 6 → Büyüktür sembolünün ( > ) sol tarafında bulunan 15 sayısı, 6 sayısından büyüktür.
15 + 20 > 6 + 20 → Her iki tarafa 20 sayısı eklendiğinde,
35 > 26 → Büyüktür sembolünün ( > ) sol tarafında bulunan 35 sayısı, 26 sayısından büyüktür.
( > ) büyüktür sembolü ve değerlerin yerleri değişmediğinden, eşitsizlik değişmedi.
Örneğin:
a ≤ 9 → Küçük eşit sembolünün ( ≤ ) sol tarafında bulunan a sayısı, 9 sayısından küçük veya 9 sayısına eşittir.
a + 3 ≤ 9 + 3 → Her iki tarafa 3 sayısı eklendiğinde,
a + 3 ≤ 12 → Küçük eşit sembolü ( ≤ ) sol tarafında bulunan (a + 3) sayısı, 12 sayısından küçüktür.
Her iki tarafa eklenen 3 sayısı, eşitsizliği değiştirmez.
Denklem için örnek:
Bir denklem eşitliğinin, her iki tarafına aynı sayının eklenmesi, eşitliği değiştirmez.
2x = 10 + x denklemi için:
Bilinmeyen +x sayısı, eşitliğin soluna atıldığında;
2x - x = 10
x = 10 olur.
2x = 10 + x denkleminde, eşitliğin her iki tarafına 5 sayısı eklensin;
2x + 5 = 10 + x + 5
Eşitliğin sağ tarafında bulunan 10 + 5 = 15 işleminden sonra;
2x + 5 = 15 + x
Bilinmeyen +x sayısı eşitliğin soluna, bilinen +5 sayısı eşitliğin sağına atıldığında;
2x - x = 15 - 5
Yine x değeri 10 olur.
x = 10
Özellik - 2
x, y, a ∈ R olmak üzere:
x < y
x - a < y - a
Bir eşitsizliğin, her iki tarafından, aynı sayı çıkarılırsa eşitsizlik değişmez.
Örneğin:
100 < 120 → Küçüktür sembolünün ( < ) sol tarafında bulunan 100 sayısı, 120 sayısından küçüktür.
100 - 7 < 120 - 7 → Her iki taraftan 7 sayısı çıkarıldığında;
93 < 113 → Küçüktür sembolünün ( < ) sol tarafında bulunan 93 sayısı, 113 sayısından küçüktür.
( < ) küçüktür sembolü ve değerlerin yerleri değişmediğinden, eşitsizlik değişmedi.
Örneğin:
1020 > 900 → Büyüktür sembolünün ( > ) sol tarafında bulunan 1020 sayısı, 900 sayısından büyüktür.
1020 - 30 > 900 - 30 → Her iki taraftan 30 sayısı çıkarıldığında;
990 > 870 → Büyüktür sembolünün ( > ) sol tarafında bulunan 990 sayısı, 870 sayısından büyüktür.
( > ) büyüktür sembolü ve değerlerin yerleri değişmediğinden, eşitsizlik değişmedi.
Örneğin:
x ≥ 49 → Büyük eşit sembolünün ( ≥ ) sol tarafında bulunan x sayısı, 49 sayısından büyük veya 49 sayısına eşittir.
x - 11 ≥ 49 - 11 → Her iki taraftan 11 sayısı çıkarıldığında;
x - 11 ≥ 38 → Büyük eşit sembolü ( ≥ ) sol tarafında bulunan (x - 11) sayısı, 38 sayısından büyük veya 38 sayısına eşittir.
Her iki taraftan çıkarılan 11 sayısı, eşitsizliği değiştirmez.
Denklem için örnek:
Bir denklem eşitliğinin, her iki tarafından aynı sayının çıkarılması, eşitliği değiştirmez.
3x = 20 + 2x denklemi için:
Bilinmeyen +2x sayısı, eşitliğin soluna atıldığında;
3x - 2x = 20
x = 20 olur.
3x = 20 + 2x denkleminde, eşitliğin her iki tarafından 6 sayısı çıkarılsın;
3x - 6 = 20 + 2x - 6
Eşitliğin sağ tarafında bulunan 20 - 6 = 14 işleminden sonra;
3x - 6 = 14 + 2x
Bilinmeyen +2x sayısı eşitliğin soluna, bilinen -6 sayısı eşitliğin sağına atıldığında;
3x - 2x = 14 + 6
Yine x değeri 20 olur.
x = 20
Özellik - 3
x, y ∈ R ve a ∈ Z⁺ olmak üzere:
x < y
x . a < y . a
Bir eşitsizliğin, her iki tarafı, aynı pozitif (+) sayı ile çarpılırsa, eşitsizliğin yönü değişmez. Pozitif sayıların işareti olan (+) yazılmayabilir. ( 8 = +8 )
Örneğin:
7 < 9 → Küçüktür sembolünün ( < ) sol tarafında bulunan 7 sayısı, 9 sayısından küçüktür.
7 . 8 < 9 . 8 → Her iki taraf, 8 sayısı ile çarpıldığında;
56 < 72 → Küçüktür sembolünün ( < ) sol tarafında bulunan 56 sayısı, 72 sayısından küçüktür.
( < ) küçüktür sembolü ve değerlerin yerleri değişmediğinden, eşitsizlik değişmedi.
Örneğin:
14 > 11 → Büyüktür sembolünün ( > ) sol tarafında bulunan 14 sayısı, 11 sayısından büyüktür.
14 . 4 > 11 . 4 → Her iki taraf, 4 sayısı ile çarpıldığında;
56 > 44 → Büyüktür sembolünün ( > ) sol tarafında bulunan 56 sayısı, 44 sayısından büyüktür.
( > ) büyüktür sembolü ve değerlerin yerleri değişmediğinden, eşitsizlik değişmedi.
Örneğin:
b ≥ 16 → Büyük eşit sembolünün ( ≥ ) sol tarafında bulunan b sayısı, 16 sayısından büyük veya 16 sayısına eşittir.
b . 5 ≥ 16 . 5 → Her iki taraf, 5 sayısı ile çarpıldığında;
5b ≥ 80 → Büyük eşit sembolü ( ≥ ) sol tarafında bulunan 5b sayısı, 80 sayısından büyük veya 80 sayısına eşittir.
Her iki tarafın, 5 sayısı ile çarpılması, eşitsizliği değiştirmez.
Denklem için örnek:
Bir denklem eşitliğinin, her iki tarafı, aynı pozitif sayı ile çarpılırsa, eşitlik değişmez.
5x = 24 + 4x denklemi için:
Bilinmeyen 4x sayısı, eşitliğin soluna atıldığında;
5x - 4x = 24
x = 24 olur.
5x = 24 + 4x denkleminin, her iki tarafı, 4 sayısı ile çarpıldığında:
5x . 4 = ( 24 + 4x ) . 4
Eşitliğin sağ tarafında bulunan parantez açma işlemi yapıldığında;
5x . 4 = 96 + 16x
Eşitliğin sol tarafında bulunan çarpma işlemi yapıldığında;
20x = 96 + 16x
Bilinmeyen +16x sayısı eşitliğin soluna atıldığında;
20x - 16x = 96
Eşitliğin sol tarafındaki çıkarma işleminden sonra;
4x = 96
Eşitliğin her iki tarafı 4 sayısına bölündüğünde;
( 4x / 4 ) = ( 96 / 4 )
Yine x değeri 24 olur.
x = 24
Özellik - 4
Bir eşitsizliğin, her iki tarafı, aynı pozitif (+) sayıya, bölünürse yönü değişmez.
Bir eşitsizliğin, her iki tarafı, aynı pozitif (+) sayıya, bölünürse yönü değişmez:
Örneğin:
63 > 42 eşitsizliğinin, her iki tarafı 7 sayısına bölündüğünde:
Örneğin:
z ≤ 88 eşitsizliğinin, her iki tarafı 8 sayısına bölündüğünde:
Denklem için örnek:
Bir denklem eşitliğinin, her iki tarafının aynı pozitif sayıya bölünmesi, eşitliği değiştirmez.
Bir denklem eşitliğinin, her iki tarafının aynı pozitif sayıya bölünmesi, eşitliği değiştirmez:
10x = 40 + 5x denklemi için:
Bilinmeyen 5x sayısı, eşitliğin soluna atıldığında;
10x - 5x = 40
Eşitliğin sol tarafındaki işlem yapıldığında;
5x = 40
Eşitliğin her iki tarafı 5 sayısına bölündüğünde;
( 5x / 5 ) = ( 40 / 5 )
x = 8 olur.
10x = 40 + 5x denkleminin, her iki tarafı, 5 sayısına bölündüğünde;
( 10x / 5 ) = ( (40 + 5x) / 5 )
Eşitliğin sağ tarafında bulunan kesirli sayı, aynı paydaya sahip, iki kesirli sayıya ayrılabilir.
40 sayısının altına payda olan 5 yazılır. ( 40 / 5 )
5x sayısının altına payda olan 5 yazılır. ( 5x / 5 )
Toplama işleminin sembolü olan (+) işareti, ayrılan kesirli sayıların arasına yazılır.
( 40 / 5 ) + ( 5x / 5 )
Denklemin yeni hali:
( 10x / 5 ) = ( 40 / 5 ) + ( 5x / 5 )
Eşitliğin sağ tarafındaki işlemler yapılır.
( 40 / 5 ) = 8
( 5x / 5 ) = x
Eşitliğin sağ tarafı, yapılan işlemler sonrasında 8 + x halini alır.
Eşitliğin sol tarafındaki işlem yapılır.
( 10x / 5 ) = 2x
Eşitliğin sol tarafı, yapılan işlem sonrasında 2x halini alır.
Denklemin yeni hali:
2x = 8 + x
Bilinmeyen x sayısı, eşitliğin soluna atılıp, çıkarma işlemi yapıldığında:
2x - x = 8
Yine x değeri 8 olur.
x = 8
Özellik - 5
x, y ∈ R ve a ∈ Z⁻ olmak üzere:
x < y
x . a > y . a
Bir eşitsizliğin, her iki tarafı, aynı negatif (-) sayı ile çarpılırsa, eşitsizliğin yönü değişir.
Örneğin:
9 < 10 → Küçüktür sembolünün ( < ) sol tarafında bulunan 9 sayısı, 10 sayısından küçüktür.
9 . (-1) > 10 . (-1) → Her iki taraf, (-1) sayısı ile çarpıldığında;
-9 > -10 → Büyüktür sembolünün ( > ) sol tarafında bulunan -9 sayısı, -10 sayısından büyüktür.
Her iki taraf, (-1) sayısı ile çarpıldığında, ( < ) küçüktür sembolü yerine, ( > ) büyüktür sembolü yazılır ve eşitsizlik yön değiştirir.
Yön değiştirmeden işlemler sürdürülmüş olsaydı:
9 . (-1) < 10 . (-1) → Her iki taraf, (-1) sayısı ile çarpıldığında;
-9 < -10 → Küçüktür sembolünün ( > ) sol tarafında bulunan -9 sayısı, -10 sayısından küçüktür. ifadesi yanlış olurdu.
... -11 , -10 , -9 , -8 , -7 , -6 , -5 , -4 , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 ...
Yukarıdaki, temsili sayı doğrusunda sayılar,
sol tarafa doğru küçülür,
sağ tarafa doğru büyür.
-9 sayısı, -10 sayısından büyüktür.
-10 sayısı, -9 sayısından küçüktür.
9 < 10 → Doğru bir ifade
-9 < -10 → Yanlış bir ifade
-9 > -10 → Doğru bir ifade
Örneğin:
100 > 50 → Büyüktür sembolünün ( > ) sol tarafında bulunan 100 sayısı, 50 sayısından büyüktür.
100 . (-5) < 50 . (-5) → Her iki taraf, (-5) sayısı ile çarpıldığında;
-500 < -250 → Küçüktür sembolünün ( < ) sol tarafında bulunan -500 sayısı, -250 sayısından küçüktür.
Her iki taraf, (-5) sayısı ile çarpıldığında, ( > ) büyüktür sembolü yerine, ( < ) küçüktür sembolü yazılır ve eşitsizlik yön değiştirir.
Örneğin:
c ≤ 15 → Küçük eşit sembolünün ( ≤ ) sol tarafında bulunan c sayısı, 15 sayısından küçük veya 15 sayısına eşittir.
c . (-4) ≥ 15 . (-4) → Her iki taraf, (-4) sayısı ile çarpıldığında;
-4c ≥ -60 → Büyük eşit sembolü ( ≥ ) sol tarafında bulunan -4c sayısı, -60 sayısından büyük veya -60 sayısına eşittir.
Her iki taraf, (-4) sayısı ile çarpıldığında, ( ≤ ) küçük eşit sembolü yerine, ( ≥ ) büyük eşit sembolü yazılır ve eşitsizlik yön değiştirir.
Denklem için örnek:
Bir denklem eşitliğinin, her iki tarafı, aynı negatif sayı ile çarpılırsa, eşitlik değişmez.
-2x = 16 - 3x denklemi için:
Bilinmeyen -3x sayısı, eşitliğin soluna atıldığında;
-2x + 3x = 16
x = 16 olur.
-2x = 16 - 3x denkleminin, her iki tarafı, (-2) sayısı ile çarpıldığında:
-2x . (-2) = ( 16 - 3x ) . (-2)
Eşitliğin sağ tarafında bulunan, ( 16 - 3x ) . (-2) parantez açma işlemi için:
Parantez içindeki 16 sayısının işareti görünür kılınır ve +16 şeklinde yazılır.
Çıkarma işleminin sembolü olan (-) işareti, 3x sayısının işareti olarak kabul edilir.
İşlem ( +16 -3x ) . (-2) şeklinde yazılır.
+16 ile (-2) sayısı çarpılır → (+16) . (-2) = -32
-3x sayısı ile (-2) sayısı çarpılır → (-3x) . (-2) = +6x
-32 +6x → Şeklinde yan yana yazılan iki sonuç, bir araya getirildiğinde,
-32 + 6x şeklinde yazılır.
Denklemin yeni hali:
-2x . (-2) = -32 + 6x
Eşitliğin sol tarafında bulunan çarpma işlemi yapıldığında;
4x = -32 + 6x
Bilinmeyen +6x sayısı eşitliğin soluna atıldığında;
4x - 6x = -32
Eşitliğin sol tarafındaki çıkarma işleminden sonra;
-2x = -32
Eşitliğin her iki tarafı (-2) sayısına bölündüğünde;
( -2x / -2 ) = ( -32 / -2 )
Eşitliğin sol tarafında bulunan, bilinmeyen -2x değeri, (-) işaretlidir.
Her iki taraf, 2 sayısına bölünseydi, x sayısının kat sayısı olan -2 sayısının, 2 sayısına bölümü, -1 olurdu. ( -2 / 2 = -1 )
Bölme işleminden sonra bulunan (-1) sonucu x ile çarpım durumundadır → (-1) . x = -x
Denklemin çözüm kümesi için, x bilinmeyenin işareti (+) olmalıdır.
x bilinmeyenin işaretinin (+) olması için, -2x değeri, -2 sayısına bölünmelidir. (-) sayının, (-) sayıya bölümü, (+) olur.
Yine x değeri 16 olur.
x = 16
Özellik - 6
Bir eşitsizliğin, her iki tarafı, aynı negatif (-) sayıya, bölünürse yönü değişir.
Bir eşitsizliğin, her iki tarafı, aynı negatif (-) sayıya, bölünürse yönü değişir:
Örneğin:
-48 > -60 eşitsizliğinin, her iki tarafı -6 sayısına bölündüğünde:
Örneğin:
m ≥ 32 eşitsizliğinin, her iki tarafı -8 sayısına bölündüğünde:
Denklem için örnek:
Bir denklem eşitliğinin, her iki tarafının aynı negatif sayıya bölünmesi, eşitliği değiştirmez.
Bir denklem eşitliğinin, her iki tarafının aynı negatif sayıya bölünmesi, eşitliği değiştirmez:
Denklem çözümlerinin, birden fazla yolu vardır. Denklemin çözümü bu sebeple uzatılmıştır.
-5x = 10 - 15x denklemi için:
Çıkarma işleminin sembolü olan (-) işareti, 15x sayısının işareti olarak kabul edilir. (-15x)
Bilinmeyen -15x sayısı, eşitliğin soluna atıldığında, işaret değiştirir ve +15x olur
-5x + 15x = 40
Eşitliğin sol tarafındaki işlem yapıldığında;
10x = 10
Eşitliğin her iki tarafı 10 sayısına bölündüğünde;
( 10x / 10 ) = ( 10 / 10 )
x = 1 olur.
-5x = 10 - 15x denkleminin, her iki tarafı, -5 sayısına bölündüğünde;
( -5x / -5 ) = ( (10 - 15x) / -5 )
Eşitliğin sağ tarafında bulunan kesirli sayı, aynı paydaya sahip, iki kesirli sayıya ayrılabilir.
10 sayısının altına payda olan -5 yazılır. ( 10 / -5 )
( 10 / -5 ) işleminin sonucu -2 olur.
Çıkarma işleminin sembolü olan (-) işareti 15x sayısının işareti olarak kabul edilir. (-15x)
-15x sayısının altına payda olan -5 yazılır. ( -15x / -5 )
( -15x / -5 ) işleminin sonucu +3x olur.
-2 +3x → Şeklinde yan yana yazılan iki işlem sonucu bir araya getirilip,
-2 + 3x şeklinde yazılabilir.
Denklemin yeni hali:
( -5x / -5 ) = -2 + 3x
Eşitliğin sol tarafındaki işlem yapılır.
( -5x / -5 ) = +x → +x sayısının işareti yazılmayabilir.
Denklemin yeni hali:
x = -2 + 3x
Toplama işleminin sembolü olan (+) işareti, 3x sayısının işareti olarak kabul edilir. (+3x)
+3x sayısı eşitliğin soluna atıldığında -3x olur.
x -3x = -2 → Eşitliğinin sol tarafında bulunan x -3x sayıları bir araya getirilip,
x - 3x şeklinde yazılabilir. Çıkarma işlemi yapılır. 1 tane x sayısından, 3 tane x sayısı çıkarıldığında sonuç -2x olur. ( x - 3x = -2x )
Denklemin yeni hali:
-2x = -2 → Eşitliğinin her iki tarafı 2 sayısına bölünür.
( -2x / 2 ) = ( -2 / 2 )
-x = -1 olur.
-x = -1 → Eşitliğinde, x sayısının işaretinin (+) olması için, her iki taraf (-1) ile çarpılır.
-x . (-1) = -1 . (-1)
+x = +1 olur.
Pozitif sayıların işaretleri yazılmayabilir.
Yine x değeri 1 olur.
x = 1
Özellik - 7
Aynı yönlü eşitsizlikler, taraf tarafa toplanabilir. Sivri uçları aynı yöne bakan eşitsizlikler, aynı yönlü eşitsizliklerdir.
1-) Küçüktür ( < ) sembolü ile ifade edilen iki eşitsizliğin taraf tarafa toplanması:
Küçüktür ( < ) sembolü ile ifade edilen iki eşitsizliğin taraf tarafa toplanması:
Örneğin:
-6 < -1 ve -2 < 10 ile -1 < 0 ve 1 < 6 eşitsizliklerinin taraf tarafa toplamı:
Örneğin:
x < 5 ve -y < -2 ile a < 10 ve 2b < 19 eşitsizliklerinin taraf tarafa toplamı:
2-) Büyüktür ( > ) sembolü ile ifade edilen iki eşitsizliğin taraf tarafa toplanması:
Büyüktür ( > ) sembolü ile ifade edilen iki eşitsizliğin taraf tarafa toplanması:
Örneğin:
-1 > -2 ve -1 > -3 ile 3 > 0 ve -3 > -4 eşitsizliklerinin taraf tarafa toplamı:
Örneğin:
-x > 7 ve y > -6 ile 2a > 15 ve -7b > 32 eşitsizliklerinin taraf tarafa toplamı:
3-) Küçük eşit ( ≤ ) sembolü ile ifade edilen iki eşitsizliğin taraf tarafa toplanması:
Küçük eşit ( ≤ ) sembolü ile ifade edilen iki eşitsizliğin taraf tarafa toplanması:
Örneğin:
x ≤ z ve y ≤ -1 ile ax ≤ 5 ve b ≤ 1 eşitsizliklerinin taraf tarafa toplamı:
4-) Büyük eşit (≥) sembolü ile ifade edilen iki eşitsizliğin taraf tarafa toplanması:
Büyük eşit (≥) sembolü ile ifade edilen iki eşitsizliğin taraf tarafa toplanması:
Örneğin:
-x ≥ 2z ve -y ≥ 2 ile -x ≥ 3 ve by ≥ 1 - x eşitsizliklerinin taraf tarafa toplamı:
5-) Küçük (<) ve küçük eşit (≤) sembolü ile ifade edilen iki eşitsizliğin taraf tarafa toplanması:
Küçük (<) ve küçük eşit (≤) sembolü ile ifade edilen iki eşitsizliğin taraf tarafa toplanması:
Örneğin:
-x ≤ 5 ve 4 < 9 ile -x < 2a ve y ≤ 1 eşitsizliklerinin taraf tarafa toplamı:
6-) Büyük (>) ve büyük eşit (≥) sembolü ile ifade edilen iki eşitsizliğin taraf tarafa toplanması:
Büyük (>) ve büyük eşit (≥) sembolü ile ifade edilen iki eşitsizliğin taraf tarafa toplanması:
Örneğin:
x ≥ 1 ve 3 > 2 ile x > 3 ve -y ≥ 2x eşitsizliklerinin taraf tarafa toplamı:
Denklem için örnek:
Toplamları 100 olan iki doğal sayının, farkları 20 olduğuna göre, büyük sayı kaçtır?
Çözüm:
Denklem için taraf tarafa toplama örnek çözüm:
Taraf tarafa toplama işlemi, iki denklem ile yapılan bir işlemdir. Örnek soru için, iki bilinmeyenli bir denklem kurulur.
Büyük sayıya x denir.
Küçük sayıya y denir.
İki sayının toplamı:
x + y = 100
İki sayının farkı:
x - y = 20
İki denklem taraf tarafa toplanır.
x + y = 100
x - y = 20
+__________
Toplama işleminin sembolü olan (+) işareti ve çıkarma işleminin sembolü olan (-) işareti, denklemlerdeki y bilinmeyenlerinin işareti olarak kabul edilir.
x +y = 100
x -y = 20
+__________
İki tane x toplandığında 2x olur. ( x + x = 2x )
+y ve -y sayılarının toplamı sıfır (0) olur. Birbirini götürme olarak adlandırılan bu işlem sonrasında, y bilinmeyeni işlemden düşer. Birbirini götüren sayıların üzeri çizilir.
+y + (-y) = 0
Denklemlerin eşiti olan sayılar toplanır.
100 + 20 = 120
Yapılan işlemlerden sonra denklemin yeni hali:
2x = 120
x bilinmeyeni yalnız bırakmak için her iki taraf 2 sayısına bölünmesi gerekir.
Bu işlem yapılmadan, 2 ve 120 sayılarının üstleri çizilerek sadeleşme işlemi yapılabilir.
120 sayısının üst kısmına, 120 / 2 = 60 işleminin sonucu olan 60 sayısı, küçük harfle yazılabilir.
2x / 2 işlemi yapılmadan, 2 sayısının üzeri çizilir ve bölme işleminin sonucu olan 1 sayısı, 2x sayısının üst kısmına yazılmayabilir. x bilinmeyeni ile çarpım durumunda olan 1 sayısı, çarpma işleminin etkisiz elemanı olduğu için x sayısının değerini değiştirmez. (1 . x = x)
Denklemin çözümü:
x = 60
şeklinde yazılabilir.
x sayısının değeri olan 60, büyük olan sayıdır. Eğer küçük sayı sorulsaydı, denklemlerin bir tanesinde, x in değeri olan 60 yazılırdı ve y değeri bulunurdu.
x + y = 100 denklemi için, x yerine 60 yazılır.
60 + y = 100
y = 100 - 60
y = 40
x - y = 20 denklemi için, x yerine 60 yazılır.
60 - y = 20
-y = 20 - 60
-y = -40
-y . (-1) = -40 . (-1)
y = 40
Basit sadeleşme işlemi olan denklemlerde, sadeleşen sayıların işlem sonuçları üstlerine küçük harfle yazılabilir ve üstleri çizilebilir.
Özellik - 8
Her iki tarafı da aynı işaretli eşitsizliklerin, çarpma işlemine göre tersi alındığında, eşitsizliğin yönü değişir.
Bir sayının çarpmaya göre tersi, 1 sayısının, sayıya bölümüdür.
a sayısının çarpma işlemine göre tersi → ( 1 / a )
( 1 / a ) sayısının çarpma işlemine göre tersi → a
( a / b ) sayısının çarpma işlemine göre tersi → ( b / a )
Her iki tarafı da aynı işaretli eşitsizlik, iki şekilde olabilir.
Eşitsizliğin her iki tarafı pozitif (+) değerli ifadelerden oluşabilir.
Eşitsizliğin her iki tarafı negatif (-) değerli ifadelerden oluşabilir.
Eşitsizliklerin çarpma işlemine göre tersi:
Resimde, her iki tarafı da pozitif tam sayı olan 3 örnek için:
Örnek-1:
2 < 3 → 2 sayısı, 3 sayısından küçüktür.
2 sayısının çarpma işlemine göre tersi → ( 1 / 2 )
3 sayısının çarpma işlemine göre tersi → ( 1 / 3 )
( 1 / 2 ) > ( 1 / 3 ) → ( 1 / 2 ) sayısı, ( 1 / 3 ) sayısından büyüktür.
Pozitif iki kesirli sayıdan hangisinin büyük olduğu, paydaları eşitlenerek de bulunabilir.
( 1 / 2 ) ve ( 1 / 3 ) sayılarının, paydaları 6 sayısında birleşir.
( 1 / 2 ) sayısının, payı ve paydası 3 sayısı ile çarpılır → ( 3 / 6 )
( 1 / 3 ) sayısının, payı ve paydası 2 sayısı ile çarpılır → ( 2 / 6 )
Paydaları eşit iki kesirli sayıdan, payı büyük olan sayı, daha büyüktür.
( 1 / 2 ) > ( 1 / 3 )
( 3 / 6 ) > ( 2 / 6 )
Örnek-2:
1 < 2 → 1 sayısı, 2 sayısından küçüktür.
1 sayısının çarpma işlemine göre tersi → ( 1 / 1 )
2 sayısının çarpma işlemine göre tersi → ( 1 / 2 )
( 1 / 1 ) > ( 1 / 2 ) → ( 1 / 1 ) sayısı, ( 1 / 2 ) sayısından büyüktür.
İki kesirli sayının paydaları eşitlenirse:
( 1 / 1 ) ve ( 1 / 2 ) sayılarının, paydaları 2 sayısında birleşir.
( 1 / 1 ) sayısının, payı ve paydası 2 sayısı ile çarpılır → ( 2 / 2 )
( 1 / 2 ) sayısının, payı ve paydası 1 sayısı ile çarpılır → ( 1 / 2 )
Paydaları eşit iki kesirli sayıdan, payı büyük olan sayı, daha büyüktür.
( 1 / 1 ) > ( 1 / 2 )
( 2 / 2 ) > ( 1 / 2 )
Örnek-3:
6 > 5 → 6 sayısı, 5 sayısından büyüktür.
6 sayısının çarpma işlemine göre tersi → ( 1 / 6 )
5 sayısının çarpma işlemine göre tersi → ( 1 / 5 )
( 1 / 6 ) < ( 1 / 5 ) → ( 1 / 6 ) sayısı, ( 1 / 5 ) sayısından küçüktür.
İki kesirli sayının paydaları eşitlenirse:
( 1 / 6 ) ve ( 1 / 5 ) sayılarının, paydaları 30 sayısında birleşir.
( 1 / 6 ) sayısının, payı ve paydası 5 sayısı ile çarpılır → ( 5 / 30 )
( 1 / 5 ) sayısının, payı ve paydası 6 sayısı ile çarpılır → ( 6 / 30 )
Paydaları eşit iki kesirli sayıdan, payı büyük olan sayı, daha büyüktür.
( 1 / 6 ) < ( 1 / 5 )
( 5 / 30 ) < ( 6 / 30 )
Resimde, her iki tarafı da negatif tam sayı olan 3 örnek için:
Negatif sayılarda, rakamsal değeri büyük olan sayı, rakamsal değeri küçük olan sayıdan, daha küçüktür. Büyük olan rakam daha küçüktür şeklinde akılda tutulabilir.
-5 , -4 , - 3 , -2 , - 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5
-5 sayısı, -4 sayısından küçüktür.
-4 sayısı, -3 sayısından küçüktür.
-3 sayısı, -2 sayısından küçüktür.
-2 sayısı, -1 sayısından küçüktür.
-5 sayısı, -1 sayısından küçüktür.
Örnek-1:
-3 < -2 → -3 sayısı, -2 sayısından küçüktür.
-3 sayısının çarpma işlemine göre tersi → -( 1 / 3 )
-2 sayısının çarpma işlemine göre tersi → -( 1 / 2 )
-( 1 / 3 ) > -( 1 / 2 ) → -( 1 / 3 ) sayısı, -( 1 / 2 ) sayısından büyüktür.
-( 1 / 3 ) işleminin sonucu → -0,333...
-( 1 / 2 ) işleminin sonucu → -0,5
0,5 değeri, 0,333... değerinden büyüktür.
Sayıların değeri negatif ise, -0,333... sayısı, -0,5 sayısından büyüktür.
Negatif iki kesirli sayıdan hangisinin büyük olduğu, paydaları eşitlenerek de bulunabilir.
-( 1 / 3 ) ve -( 1 / 2 ) sayılarının, paydaları 6 sayısında birleşir.
-( 1 / 3 ) sayısının, payı ve paydası 2 sayısı ile çarpılır → -( 2 / 6 )
-( 1 / 2 ) sayısının, payı ve paydası 3 sayısı ile çarpılır → -( 3 / 6 )
Paydaları eşit iki negatif kesirli sayıdan, payı küçük olan sayı, daha büyüktür.
-( 1 / 3 ) > -( 1 / 2 )
-( 2 / 6 ) > -( 3 / 6 )
Örnek-2:
-2 < -1 → -2 sayısı, -1 sayısından küçüktür.
-2 sayısının çarpma işlemine göre tersi → -( 1 / 2 )
-1 sayısının çarpma işlemine göre tersi → -( 1 / 1 )
-( 1 / 2 ) > -( 1 / 1 ) → -( 1 / 2 ) sayısı, -( 1 / 1 ) sayısından büyüktür.
-( 1 / 2 ) işleminin sonucu → -0,5
-( 1 / 1 ) işleminin sonucu → -1
1 değeri, 0,5 değerinden büyüktür.
Sayıların değeri negatif ise, -0,5 sayısı, -1 sayısından büyüktür.
Negatif iki kesirli sayıdan hangisinin büyük olduğu, paydaları eşitlenerek de bulunabilir.
-( 1 / 2 ) ve -( 1 / 1 ) sayılarının, paydaları 2 sayısında birleşir.
-( 1 / 2 ) sayısının, payı ve paydası 1 sayısı ile çarpılır → -( 1 / 2 )
-( 1 / 1 ) sayısının, payı ve paydası 2 sayısı ile çarpılır → -( 2 / 2 )
Paydaları eşit iki negatif kesirli sayıdan, payı küçük olan sayı, daha büyüktür.
-( 1 / 2 ) > -( 1 / 1 )
-( 1 / 2 ) > -( 2 / 2 )
Örnek-3:
-5 > -6 → -5 sayısı, -6 sayısından büyüktür.
-5 sayısının çarpma işlemine göre tersi → -( 1 / 5 )
-6 sayısının çarpma işlemine göre tersi → -( 1 / 6 )
-( 1 / 5 ) < -( 1 / 6 ) → -( 1 / 5 ) sayısı, -( 1 / 6 ) sayısından küçüktür.
-( 1 / 5 ) işleminin sonucu → -0,2
-( 1 / 6 ) işleminin sonucu yaklaşık → -0,166
0,2 değeri, 0,166 değerinden büyüktür.
Sayıların değeri negatif ise, -0,2 sayısı, -0,166 sayısından küçüktür.
İki negatif kesirli sayının paydaları eşitlenirse:
-( 1 / 5 ) ve -( 1 / 6 ) sayılarının, paydaları 30 sayısında birleşir.
-( 1 / 5 ) sayısının, payı ve paydası 6 sayısı ile çarpılır → -( 6 / 30 )
-( 1 / 6 ) sayısının, payı ve paydası 5 sayısı ile çarpılır → -( 5 / 30 )
Paydaları eşit iki negatif kesirli sayıdan, payı küçük olan sayı, daha büyüktür.
-( 1 / 5 ) < -( 1 / 6 )
-( 6 / 30 ) < -( 5 / 30 )
Eşitsizliklerin çarpma işlemine göre tersi:
Yukarıdaki resimde, küçük eşit (≤) ve büyük eşit (≥) eşitsizliklerinin, çarpma işlemine göre tersi incelenebilir.
Kesirli sayıların, çarpma işlemine göre tersi, 1 sayısının, sayıya bölümüdür. Geniş kesir çizgisinin, üst tarafına 1, alt tarafına kesirli sayı yazılır. 1 sayısının, paydası görünür kılınır ve içler dışlar çarpımı yapılır.
(5 / 8) sayısının çarpma işlemine göre tersi → 1 / (5 / 8)
1 sayısının paydası görünür kılınır → (1 / 1) / (5 / 8)
İçler dışlar çarpımı yapılır → (1 / 1) / (5 / 8)
1 . 8 = 8 sonucu pay bölümüne yazılır.
1 . 5 = 5 sonucu payda bölümüne yazılır.
(5 / 8) sayısının çarpma işlemine göre tersi (8 / 5) olur. Pay ve paydada bulunan sayılar yer değiştirdi.
Resimde her iki tarafı pozitif ( 4 / 9 ) < ( 5 / 6 ) eşitsizliği için:
( 4 / 9 ) < ( 5 / 6 ) → ( 4 / 9 ) sayısı, ( 5 / 6 ) sayısından küçüktür.
( 4 / 9 ) sayısının çarpma işlemine göre tersi → ( 9 / 4 )
( 5 / 6 ) sayısının çarpma işlemine göre tersi → ( 6 / 5 )
( 9 / 4 ) > ( 6 / 5 ) → ( 9 / 4 ) sayısı, ( 6 / 5 ) sayısından büyüktür.
Pozitif iki kesirli sayıdan hangisinin büyük olduğu, paydaları eşitlenerek de bulunabilir.
( 9 / 4 ) ve ( 6 / 5 ) sayılarının, paydaları 20 sayısında birleşir.
( 9 / 4 ) sayısının, payı ve paydası 5 sayısı ile çarpılır → ( 45 / 20 )
( 6 / 5 ) sayısının, payı ve paydası 4 sayısı ile çarpılır → ( 24 / 20 )
Paydaları eşit iki kesirli sayıdan, payı büyük olan sayı, daha büyüktür.
( 9 / 4 ) > ( 6 / 5 )
( 45 / 20 ) > ( 24 / 20 )
Resimde her iki tarafı negatif -( 2 / 3 ) > -( 4 / 5 ) eşitsizliği için:
-(2 / 3) > -(4 / 5) → -(2 / 3) sayısı, -(4 / 5) sayısından büyüktür.
-(2 / 3) sayısının çarpma işlemine göre tersi → -( 3 / 2 )
-(4 / 5) sayısının çarpma işlemine göre tersi → -( 5 / 4 )
-( 3 / 2 ) < -( 5 / 4 ) → -( 3 / 2 ) sayısı, -( 5 / 4 ) sayısından küçüktür.
-( 3 / 2 ) işleminin sonucu → -1,5
-( 5 / 4 ) işleminin sonucu → -1,25
1,5 değeri, 1,25 değerinden büyüktür.
Sayıların değeri negatif ise, -1,5 sayısı, -1,25 sayısından küçüktür.
İki negatif kesirli sayının paydaları eşitlenirse:
-( 3 / 2 ) ve -( 5 / 4 ) sayılarının, paydaları 4 sayısında birleşir.
-( 3 / 2 ) sayısının, payı ve paydası 2 sayısı ile çarpılır → -( 6 / 4 )
-( 5 / 4 ) sayısının, payı ve paydası 1 sayısı ile çarpılır → -( 5 / 4 )
Paydaları eşit iki negatif kesirli sayıdan, payı küçük olan sayı, daha büyüktür.
-( 3 / 2 ) < -( 5 / 4 )
-( 6 / 4 ) < -( 5 / 4 )
Özellik - 9
x² < x ise 0 < x < 1
Sıfır (0) ile 1 arasında bulunan her kesirli rasyonel sayının karesi (2. kuvveti), kendisinden küçüktür. Başka bir ifadeyle, bir sayının karesi kendisinden küçükse, sayı, sıfır (0) ile 1 arasında, kesirli rasyonel bir sayıdır.
Payı ve paydası pozitif tam sayı olmak üzere;
Payı, paydasından küçük olan kesirli rasyonel sayılar, 0 ile 1 arasındadır. Başka bir ifade ile, paydası, payından büyük olan kesirli sayılar, 0 ile 1 arasındadır.
x² < x ise 0 < x < 1 :
Resimde verilen 3 örnek için:
Örnek-1:
( 1 / 2 ) → ( 1 / 2 ) sayısının, payı olan 1 sayısı, paydası olan 2 sayısından küçüktür.
( 1 / 2 )² < ( 1 / 2 ) → ( 1 / 2 ) sayısının karesi, kendisinden küçüktür.
( 1 / 2 ) . ( 1 / 2 ) < ( 1 / 2 )
( 1 / 4 ) < ( 1 / 2 ) → ( 1 / 4 ) sayısı, ( 1 / 2 ) sayısından küçüktür.
Örnek-2:
( 3 / 4 ) → ( 3 / 4 ) sayısının, payı olan 3 sayısı, paydası olan 4 sayısından küçüktür.
( 3 / 4 )² < ( 3 / 4 ) → ( 3 / 4 ) sayısının karesi, kendisinden küçüktür.
( 3 / 4 ) . ( 3 / 4 ) < ( 3 / 4 )
( 9 / 16 ) < ( 3 / 4 ) → ( 9 / 16 ) sayısı, ( 3 / 4 ) sayısından küçüktür.
Örnek-3:
( 5 / 6 ) → ( 5 / 6 ) sayısının, payı olan 5 sayısı, paydası olan 6 sayısından küçüktür.
( 5 / 6 )² < ( 5 / 6 ) → ( 5 / 6 ) sayısının karesi, kendisinden küçüktür.
( 5 / 6 ) . ( 5 / 6 ) < ( 5 / 6 )
( 25 / 36 ) < ( 5 / 6 ) → ( 25 / 36 ) sayısı, ( 5 / 6 ) sayısından küçüktür.
Özellik - 10
n ∈ Z⁺ olmak üzere, (n sayısı, pozitif tam sayı olmak üzere)
0 < a < b ise, aⁿ < bⁿ olur.
a ve b sayıları, sıfırdan büyük sayılar ve b sayısı, a sayısından büyük ise,
bⁿ sayısı, aⁿ sayısından büyüktür.
Bu özellik için, kuvvet olan n sayısı, tek pozitif tam sayı veya çift pozitif tam sayı olabilir.
Örnek-1:
a sayısı : 1
b sayısı : 2
n sayısı : 2 için
0 < 1 < 2
1² < 2²
1 . 1 < 2 . 2
1 < 4
Örnek-2:
a sayısı : 2
b sayısı : 3
n sayısı : 2 için
0 < 2 < 3
2² < 3²
2 . 2 < 3 . 3
4 < 9
Örnek-3:
a sayısı : 2
b sayısı : 3
n sayısı : 3 için
0 < 2 < 3
2³ < 3³
2 . 2 . 2 < 3 . 3 . 3
8 < 27
Örnek-4:
a sayısı : ∛2
b sayısı : ∛3
n sayısı : 3 için
0 < ∛2 < ∛3
(∛2)³ < (∛3)³
∛2 . ∛2 . ∛2 < ∛3 . ∛3 .∛3
2 < 3
Örnek-5:
İki kesirli sayının 5. kuvvet eşitsizliği:
Özellik - 11
n ∈ Z⁺ olmak üzere, (n sayısı, pozitif tam sayı olmak üzere)
a < b < 0 ise, a²ⁿ > b²ⁿ olur.
a ve b sayıları, sıfırdan küçük sayılar ve b sayısı, a sayısından büyük ise,
a²ⁿ sayısı, b²ⁿ sayısından büyüktür.
Her n sayısı için, kuvvet olan 2n sayısı, pozitif çift sayı olur. Bu özellik için kuvvet olan 2n sayısı, pozitif çift sayı olmalıdır.
n sayısı 1 ise, 2n sayısı 2 olur. ( 1 . 2 = 2 )
n sayısı 2 ise, 2n sayısı 4 olur. ( 2 . 2 = 4 )
n sayısı 3 ise, 2n sayısı 6 olur. ( 3 . 2 = 6 )
n sayısı 4 ise, 2n sayısı 8 olur. ( 4 . 2 = 8 )
n sayısı 5 ise, 2n sayısı 10 olur. ( 5 . 2 = 10 )
Kuvveti alınan negatif bir sayının, kuvveti çift sayı ise, kuvveti alınan sayı, pozitif olur.
(-1) sayısı için:
(-1)² → Kuvveti olan 2 sayısı, çift sayı olduğu için, pozitif sayıdır.
(-1)⁴ → Kuvveti olan 4 sayısı, çift sayı olduğu için, pozitif sayıdır.
(-1)⁶ → Kuvveti olan 6 sayısı, çift sayı olduğu için, pozitif sayıdır.
(-1)⁸ → Kuvveti olan 8 sayısı, çift sayı olduğu için, pozitif sayıdır.
(-1)¹⁰ → Kuvveti olan 10 sayısı, çift sayı olduğu için, pozitif sayıdır.
(-2) sayısı için:
(-2)² → Kuvveti olan 2 sayısı, çift sayı olduğu için, pozitif sayıdır.
(-2)⁴ → Kuvveti olan 4 sayısı, çift sayı olduğu için, pozitif sayıdır.
(-2)⁶ → Kuvveti olan 6 sayısı, çift sayı olduğu için, pozitif sayıdır.
(-2)⁸ → Kuvveti olan 8 sayısı, çift sayı olduğu için, pozitif sayıdır.
(-2)¹⁰ → Kuvveti olan 10 sayısı, çift sayı olduğu için, pozitif sayıdır.
(-23) sayısı için:
(-23)² → Kuvveti olan 2 sayısı, çift sayı olduğu için, pozitif sayıdır.
(-23)⁴ → Kuvveti olan 4 sayısı, çift sayı olduğu için, pozitif sayıdır.
(-23)⁶ → Kuvveti olan 6 sayısı, çift sayı olduğu için, pozitif sayıdır.
(-23)⁸ → Kuvveti olan 8 sayısı, çift sayı olduğu için, pozitif sayıdır.
(-23)¹⁰ → Kuvveti olan 10 sayısı, çift sayı olduğu için, pozitif sayıdır.
-(9 / 11) sayısı için:
( -(9 / 11) )² → Kuvveti olan 2 sayısı, çift sayı olduğu için, pozitif sayıdır.
( -(9 / 11) )⁴ → Kuvveti olan 4 sayısı, çift sayı olduğu için, pozitif sayıdır.
( -(9 / 11) )⁶ → Kuvveti olan 6 sayısı, çift sayı olduğu için, pozitif sayıdır.
( -(9 / 11) )⁸ → Kuvveti olan 8 sayısı, çift sayı olduğu için, pozitif sayıdır.
( -(9 / 11) )¹⁰ → Kuvveti olan 10 sayısı, çift sayı olduğu için, pozitif sayıdır.
-∛2 sayısı için:
( -∛2 )² → Kuvveti olan 2 sayısı, çift sayı olduğu için, pozitif sayıdır.
( -∛2 )⁴ → Kuvveti olan 4 sayısı, çift sayı olduğu için, pozitif sayıdır.
( -∛2 )⁶ → Kuvveti olan 6 sayısı, çift sayı olduğu için, pozitif sayıdır.
( -∛2 )⁸ → Kuvveti olan 8 sayısı, çift sayı olduğu için, pozitif sayıdır.
( -∛2 )¹⁰ → Kuvveti olan 10 sayısı, çift sayı olduğu için, pozitif sayıdır.
Örnek-1:
a sayısı : -2
b sayısı : -1
2n sayısı : 2 için
-2 < -1 < 0
(-2)² > (-1)²
(-2) . (-2) > (-1) . (-1)
4 > 1
Örnek-2:
a sayısı : -3
b sayısı : -2
2n sayısı : 2 için
-3 < -2 < 0
(-3)² > (-2)²
(-3) . (-3) > (-2) . (-2)
9 > 4
Örnek-3:
a sayısı : -3
b sayısı : -2
2n sayısı : 4 için
-3 < -2 < 0
(-3)⁴ > (-2)⁴
(-3) . (-3) . (-3) . (-3) > (-2) . (-2) . (-2) . (-2)
81 > 16
Örnek-4:
Negatif kesirli iki sayının 4. kuvveti eşitsizliği:
Özellik - 12
n ∈ Z⁺ olmak üzere, (n sayısı, pozitif tam sayı olmak üzere)
a < b < 0 ise, a²ⁿ⁺¹ < b²ⁿ⁺¹ olur.
a ve b sayıları, sıfırdan küçük sayılar ve b sayısı, a sayısından büyük ise,
b²ⁿ⁺¹ sayısı, a²ⁿ⁺¹ sayısından büyüktür.
Her n sayısı için, kuvvet olan 2n + 1 sayısı, pozitif tek sayı olur. Bu özellik için kuvvet olan 2n + 1 sayısı, pozitif tek sayı olmalıdır. 2n + 1 değeri, kuvvetin pozitif tek sayı olduğunu gösterir.
n sayısı 1 ise, 2n + 1 sayısı 3 olur. → (2 . 1) + 1 → 2 + 1 = 3
n sayısı 2 ise, 2n + 1 sayısı 5 olur. → (2 . 2) + 1 → 4 + 1 = 5
n sayısı 3 ise, 2n + 1 sayısı 7 olur. → (2 . 3) + 1 → 6 + 1 = 7
n sayısı 4 ise, 2n + 1 sayısı 9 olur. → (2 . 4) + 1 → 8 + 1 = 9
n sayısı 5 ise, 2n + 1 sayısı 11 olur. → (2 . 5) + 1 → 10 + 1 = 11
1 sayısı pozitif tek sayıdır. Bir sayının, 1. kuvveti, yine kendisi olur.
1¹ = 1
(-1)¹ = (-1)
10¹ = 10
(-5)¹ = (-5)
Kuvveti alınan negatif bir sayının, kuvveti tek sayı ise, kuvveti alınan sayı, negatif olur.
(-1) sayısı için:
(-1)³ → Kuvveti olan 3 sayısı, tek sayı olduğu için, negatif sayıdır.
(-1)⁵ → Kuvveti olan 5 sayısı, tek sayı olduğu için, negatif sayıdır.
(-1)⁷ → Kuvveti olan 7 sayısı, tek sayı olduğu için, negatif sayıdır.
(-1)⁹ → Kuvveti olan 9 sayısı, tek sayı olduğu için, negatif sayıdır.
(-1)¹¹ → Kuvveti olan 11 sayısı, tek sayı olduğu için, negatif sayıdır.
(-2) sayısı için:
(-2)³ → Kuvveti olan 3 sayısı, tek sayı olduğu için, negatif sayıdır.
(-2)⁵ → Kuvveti olan 5 sayısı, tek sayı olduğu için, negatif sayıdır.
(-2)⁷ → Kuvveti olan 7 sayısı, tek sayı olduğu için, negatif sayıdır.
(-2)⁹ → Kuvveti olan 9 sayısı, tek sayı olduğu için, negatif sayıdır.
(-2)¹¹ → Kuvveti olan 11 sayısı, tek sayı olduğu için, negatif sayıdır.
(-15) sayısı için:
(-15)³ → Kuvveti olan 3 sayısı, tek sayı olduğu için, negatif sayıdır.
(-15)⁵ → Kuvveti olan 5 sayısı, tek sayı olduğu için, negatif sayıdır.
(-15)⁷ → Kuvveti olan 7 sayısı, tek sayı olduğu için, negatif sayıdır.
(-15)⁹ → Kuvveti olan 9 sayısı, tek sayı olduğu için, negatif sayıdır.
(-15)¹¹ → Kuvveti olan 11 sayısı, tek sayı olduğu için, negatif sayıdır.
-(5 / 7) sayısı için:
( -(5 / 7) )³ → Kuvveti olan 3 sayısı, tek sayı olduğu için, negatif sayıdır.
( -(5 / 7) )⁵ → Kuvveti olan 5 sayısı, tek sayı olduğu için, negatif sayıdır.
( -(5 / 7) )⁷ → Kuvveti olan 7 sayısı, tek sayı olduğu için, negatif sayıdır.
( -(5 / 7) )⁹ → Kuvveti olan 9 sayısı, tek sayı olduğu için, negatif sayıdır.
( -(5 / 7) )¹¹ → Kuvveti olan 11 sayısı, tek sayı olduğu için, negatif sayıdır..
-∛2 sayısı için:
( -∛9 )³ → Kuvveti olan 3 sayısı, tek sayı olduğu için, negatif sayıdır.
( -∛9 )⁵ → Kuvveti olan 5 sayısı, tek sayı olduğu için, negatif sayıdır.
( -∛9 )⁷ → Kuvveti olan 7 sayısı, tek sayı olduğu için, negatif sayıdır.
( -∛9 )⁹ → Kuvveti olan 9 sayısı, tek sayı olduğu için, negatif sayıdır.
( -∛9 )¹¹ → Kuvveti olan 11 sayısı, tek sayı olduğu için, negatif sayıdır.
Örnek-1:
a sayısı : -2
b sayısı : -1
2n + 1 sayısı : 3 için
-2 < -1 < 0
(-2)³ < (-1)³
(-2) . (-2) . (-2) < (-1) . (-1) . (-1)
-8 < -1
Örnek-2:
a sayısı : -3
b sayısı : -2
2n + 1 sayısı : 5 için
-3 < -2 < 0
(-3)⁵ < (-2)⁵
(-3) . (-3) . (-3) . (-3) . (-3) < (-2) . (-2) . (-2) . (-2) . (-2)
-243 < -32
Örnek-3:
a sayısı : -5
b sayısı : -4
2n + 1 sayısı : 3 için
-5 < -4 < 0
(-5)³ < (-4)³
(-5) . (-5) . (-5) < (-4) . (-4) . (-4)
-125 < -64
Örnek-4:
Negatif kesirli iki sayının 3. kuvveti eşitsizliği:
Özellik - 13
a, b ve c ∈ R olmak üzere, (a, b ve c sayıları gerçek (reel) sayılar olmak üzere)
a < b
b < c
ise, a < c olur.
b sayısı, a sayısından büyük
c sayısı, b sayısından büyük ise
c sayısı, a sayısından büyüktür.
(<) küçüktür ve (>) büyüktür işlemlerinin geçişme özelliği vardır.
Örneğin:
a = 2
b = 3
c = 4 için
2 < 3 → 3 sayısı, 2 sayısından büyüktür.
3 < 4 → 4 sayısı, 3 sayısından büyük ise
2 < 4 → 4 sayısı, 2 sayısından büyüktür.
Örneğin:
b = 5
a < 5 → 5 sayısı, a sayısından büyüktür.
5 < c → c sayısı, 5 sayısından büyük ise
a < c → c sayısı, a sayısından büyüktür.
Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler
a, b ∈ R ve a ≠ 0 içinax + b < 0
ax + b ≤ 0
ax + b > 0
ax + b ≥ 0
şeklindeki ifadelere, x değişkenine bağlı, birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik denir. Çözüm kümeleri, "Gerçek Sayılar Kümesinde Aralıklar" konusunda bahsedilen, sayı aralıklarıdır.
Eşitsizlik Örnek Sorular
Eşitsizlik ve denklem çözümleri, birbirine benzerdir.Örnek - 1
1. dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik örnek soru ve çözüm - 1 (kaynak: Supara):
3x - 4 ≤ 9 - 2x → Eşitsizliğin sol tarafındaki çıkarma işleminin sembolü olan (-) işareti, 4 sayısının işareti olarak kabul edilir ve -4 şeklinde yazılır. Eşitsizliğin sağ tarafındaki çıkarma işleminin sembolü olan (-) işareti, 2x sayısının işareti olarak kabul edilir ve -2x şeklinde yazılır.
3x -4 ≤ 9 -2x → Eşitsizliğinde -2x sayısı, eşitsizliğin soluna atıldığında işareti değiştirir ve +2x olur. -4 sayısı eşitsizliğin sağına atıldığında işareti değişir ve +4 olur.
Eşitsizlik 3x +2x ≤ 9 +4 halini alır.
3x +2x ≤ 9 +4 → 3x + 2x ≤ 9 + 4 şeklinde yazılabilir.
Eşitsizliğin sol tarafında bulunan işlem yapılır.
3x + 2x = 5x
Eşitsizliğin sağ tarafında bulunan işlem yapılır.
9 + 4 = 13
Eşitsizlik 5x ≤ 13 halini alır.
x bilinmeyenini yalnız bırakmak için her iki taraf 5 sayısına bölünür. Eşitsizliğin her iki tarafı pozitif 5 sayısına bölündüğünde, eşitsizliğin yönü değişmez.
5x ≤ 13
5.x sayısı, 5'e bölündüğünde 5 sayıları sadeleşir ve sonuç 1.x olur. Çarpma işleminin etkisiz elemanı olan 1 sayısı yazılmayabilir.
13 sayısı, 5'e bölündüğünde, sonuç 2,6 olur.
Eşitsizliğin her iki tarafı 5 sayısına bölündükten sonra eşitsizlik:
x ≤ 2,6
x sayısı, 2,6 sayısına eşit veya küçük değerler alabilir. Soruda istenen koşul, x sayısının alabileceği en büyük tam sayı değeridir.
-2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3
2,6 sayısı, temsili sayı doğrusu üzerinde, kırmızı ile gösterilen yerdedir.
2,6 sayısından küçük, en büyük tam sayı 2 sayısıdır.
Cevap: 2
Örnek - 2
x ve y gerçek sayılardır.
2 < x < 6
-1 < y < 3
olduğuna göre, 2x - 3y ifadesinin alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır? (kaynak: Supara)
Çözüm:
2x - 3y ifadesinde, x sayısının kat sayısı 2 dir.
2 < x < 6 → eşitsizliğindeki x sayısının, kat sayısının 2 olması için (2x), eşitsizlik 2 ile çarpılır.
2 < x < 6 → Eşitsizliği, 2 sayısı ile çarpılınca, eşitsizlik yön değiştirmez.
2 . ( 2 < x < 6 ) işlemi için:
2 ile 2 çarpılır. ( 2 . 2 = 4 )
( < ) küçüktür sembolü, 4 sayısının yanına yazılır.
4 <
2 ile x sayısı çarpılır. ( 2 . x = 2x ) Sonuç, 4 < ifadesinin sağına yazılır.
4 < 2x
Diğer ( < ) küçüktür sembolü, 4 < 2x ifadesinin yanına yazılır.
4 < 2x <
2 ile 6 çarpılır. ( 2 . 6 = 12 ) Sonuç, 4 < 2x < ifadesinin yanına yazılır.
4 < 2x < 12
2x - 3y ifadesinde, y sayısının kat sayısı -3 tür.
Not :
Aynı yönlü eşitsizliklerde, taraf tarafa çıkarma, bölme ve çarpma işlemi yapılmaz.
2x - 3y ifadesindeki, (-) işareti, 3y sayısının işareti olarak kabul edilir. (-3y)
2x eşitsizliği ve -3y eşitsizliği taraf tarafa toplanır.
-1 < y < 3 → eşitsizliğindeki y sayısının, kat sayısının -3 olması için (-3y), eşitsizlik (-3) ile çarpılır.
-1 < y < 3 → Eşitsizliği, (-3) sayısı ile çarpılınca, eşitsizliği oluşturan iki eşitsizlik, yön değiştirir.
-1 < y < 3 → Eşitsizliği, iki eşitsizlikten oluşur.
-1 < y eşitsizliği ve y < 3 eşitsizliği
-1 < y eşitsizliğinin, her iki tarafı (-3) ile çarpılır ve eşitsizlik yön değiştirir.
(-1) sayısı ile (-3) sayısı çarpılır. (-1) . (-3) = 3 ; Sonuç ve yön değiştiren eşitsizlik yazılır.
3 >
y sayısı ile (-3) sayısı çarpılır. y . (-3) = -3y ; Sonuç, 3 > ifadesinin yanına yazılır.
3 > -3y
y < 3 eşitsizliğinin de, her iki tarafı (-3) ile çarpılır ve eşitsizlik yön değiştirir.
y sayısı ile (-3) sayısı çarpılır. y . (-3) = -3y ; Sonuç ve yön değiştiren eşitsizlik yazılır.
-3y >
3 sayısı ile (-3) sayısı çarpılır. 3 . (-3) = -9 ; Sonuç, -3y > ifadesinin yanına yazılır.
-3y > -9
4 < 2x < 12 eşitsizliği küçüktür sembolünden oluşmaktadır. y sayısının olduğu eşitsizlik, küçüktür sembolü ile yazılırsa, iki eşitsizlik taraf tarafa toplanabilir.
3 > -3y → ifadesinin küçüktür sembolü ile yazılması için, önce küçük değer yazılmalıdır.
-3y sayısı, 3 sayısından küçüktür. -3y < 3
-3y > -9 → ifadesinin küçüktür sembolü ile yazılması için, önce küçük değer yazılmalıdır.
-9 sayısı, -3y sayısından küçüktür. -9 < -3y
-3y değeri ortada olacak şekilde iki eşitsizlik birleştirilir.
İki eşitsizlik;
-9 < -3y < 3 şeklinde yazılır.
Aynı yönlü eşitsizlikler taraf tarafa toplanabilir. x eşitsizliği ve y eşitsizliği taraf tarafa toplanır.
4 < 2x < 12
-9 < -3y < 3
_____________
-5 < 2x - 3y < 15
2x - 3y ifadesinin, -5 sayısından büyük olmalıdır.
2x - 3y ifadesinin alabileceği en küçük tam sayı değeri, -4 tür.
-5 , -4 , -3 , -2 , -1 , 0 , 1
Cevap: -4
y eşitsizliği için 2. çözüm:
-1 < y < 3 eşitsizliğinin her iki tarafı (-3) ile çarpılınca eşitsizlik yön değiştirir.
Yön değişimi iki yolla olabilir.
1-) Eşitsizlik sembolü değişir.
2-) Sembol aynı kalırken, değerlerin yerleri değişebilir.
(-3) . ( -1 < y < 3 ) → ( 3 < -3y < -9 )
( 3 < -3y < -9 ) → Sembol aynı kalırken değerlerin yerleri değiştirildiğinde → ( -9 < -3y < 3 )
Örnek - 3
1. dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik örnek soru ve çözüm - 3 (kaynak: Supara):
(4 - 2x) / 3 > 2 eşitsizliğinde, 2 sayısının, 1 olan paydası görünür kılınarak içler dışlar çarpımı yapılabilir. Denklem eşitliklerinde sonucu değiştirmeyen çarpım sırası, eşitsizlik çözümlerinde doğru sıra ile yapılmalıdır.
x işareti ile sembolize edilen içler dışlar çarpımı, resimde mor renkle gösterilen 1 sayılarının olduğu yerlerdeki pay ve payda çarpılıp eşitsizliğin sol tarafına, resimde yeşil renkle gösterilen 2 sayılarının olduğu yerlerdeki pay ve payda çarpılıp eşitsizliğin sağ tarafına yazılır.
2. Çözüm:
(4 - 2x) / 3 > 2 → eşitsizliğinin her iki tarafı 3 sayısı ile çarpılır. Eşitsizliğin her iki tarafı 3 sayısı ile çarpılırsa, eşitsizlik yön değiştirmez.
Eşitsizliğin sol tarafı 3 sayısı ile çarpıldığında, 3 paydası ve çarpılan 3 sayısı sadeleşir.
Eşitsizliğin sağ tarafı 3 sayısı ile çarpıldığında, 2 ile 3 sayısının çarpımı, 2 . 3 = 6 olur.
Eşitsizliğin her iki tarafı 3 ile çarpıldıktan ve yapılan işlem sonrasında:
4 - 2x > 6
Not:
İçler dışlar çarpımı sonrasında da eşitsizlik, 4 - 2x > 6 haline gelecekti.
4 - 2x > 6 → Eşitsizliğinde, 4 sayısının (+) olan işareti görünür kılınır. Eşitsizlik +4 - 2x > 6 halini alır.
+4 - 2x > 6 → Eşitsizliğinde, çıkarma işleminin sembolü olan (-) işareti, 2x sayısının işareti olarak kabul edilir ve eşitsizlik +4 -2x > 6 şeklinde yazılır.
+4 -2x > 6 → Eşitsizliğinde, +4 sayısı, eşitsizliğin sağına atıldığında -4 olur ve eşitsizlik -2x > 6 -4 halini alır.
-2x > 6 -4 → -2x > 6 - 4 şeklinde yazılabilir.
-2x > 6 - 4 → Eşitsizliğin sağ tarafında bulunan işlem yapılır. ( 6 - 4 = 2 )
-2x > 2 → Eşitsizliğin, her iki tarafı -2 sayısına bölünerek, x sayısı yalnız bırakılır. Eşitsizliğin her iki tarafı -2 sayısına bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirir.
Eşitsizliğin sol tarafındaki işlem yapılır:
-2x / -2 → İşleminde, -2 sayıları sadeleşir ve x yalnız kalır.
Eşitsizliğin sağ tarafındaki işlem yapılır:
2 / -2 → İşleminin sonucu olan -1 sayısı eşitsizliğin sağına yazılır.
x < -1 → Her iki taraf -2 sayısına bölündüğü için eşitsizlik yön değiştirir.
x sayısı, -1 sayısından küçük tüm gerçek sayılardır.
Çözüm kümesi ( -∞ , -1 ) şeklinde gösterilir.
Cevap: ( -∞ , -1 )
Örnek - 4
1. dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik örnek soru ve çözüm - 4 (kaynak: Supara):
3 < (3 - 2x) / 3 ≤ 9 → Eşitsizliğinde, 3 paydasından kurtulmak için, eşitsizlik 3 sayısı ile çarpılır. Eşitsizliği oluşturan tüm değerler 3 ile çarpılır ve küçüktür sembolü aynen yazılır.
Eşitsizliğin en solunda bulunan 3 sayısı ile 3 çarpılır. ( 3 . 3 = 9 )
Eşitsizliğin ortasında bulunan (3 - 2x) / 3 kesirli sayısı ile 3 çarpılır. Payda olan 3 sayısı ve çarpım durumundaki 3 sayısı sadeleşir.
Eşitsizliğin en sağında bulunan 9 sayısı ile 3 çarpılır. ( 9 . 3 = 27 )
Bulunan 3 sonuç, küçüktür sembolü aynen bırakılarak, sırası ile yazılır.
9 < 3 - 2x ≤ 27
9 < 3 - 2x ≤ 27 → Eşitsizliğinin ortasında bulunan -2x sayısını yalnız bırakmak için, eşitsizliğin her üç tarafından 3 sayısı çıkarılır.
3 - 2x → İfadesinde, 3 sayısının işareti görünür kılınır ve +3 şeklinde yazılır. Çıkarma işleminin sembolü olan (-) işareti, 2x sayısının işareti olarak kabul edilir ve -2x şeklinde yazılır.
3 - 2x → +3 -2x
9 -3 < +3 -2x -3 ≤ 27 -3 → Eşitsizliğin her üç tarafından 3 sayısı çıkarıldı.
Eşitsizliğin en solunda bulunan 9 sayısından, 3 sayısı çıkarılır. ( 9 - 3 = 6 )
Eşitsizliğin ortasında bulunan +3 -2x -3 ifadesinde, +3 ve - 3 sayıları birbirini götürür.
Eşitsizliğin en sağında bulunan 27 sayısından, 3 sayısı çıkarılır. ( 27 - 3 = 24 )
Yine bulunan 3 sonuç, küçüktür sembolü aynen bırakılarak, sırası ile yazılır.
6 < -2x ≤ 24
6 < -2x ≤ 24 → Eşitsizliğinin ortasında bulunan -2x sayısını yalnız bırakmak için, eşitsizliğin her üç tarafı, -2 sayısına bölünür. Eşitsizliğin her üç tarafı -2 sayısına bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirir.
Daha önce bahsedildiği gibi, eşitsizlik iki şekilde yön değiştirir.
1-) Eşitsizlik sembolü değişebilir.
2-) Sembol aynı kalırken değerlerin yerleri değişebilir. Aynı yönlü, farklı iki sembolden oluşan eşitsizliklerde, değerler ile birlikte, sembollerin de yerleri değişir.
Eşitsizliğin en solunda bulunan 6 sayısı, -2 sayısına bölünür. ( 6 / -2 ) = -3
Eşitsizliğin ortasında bulunan -2x sayısı, -2 sayısına bölünür. ( -2x / -2 ) = x
Eşitsizliğin en sağında bulunan 24 sayısı, -2 sayısına bölünür. ( 24 / -2 ) = -12
1-)
Bulunan 3 sonuç, eşitsizlik yönleri değiştirilerek, sırası ile yazılır.
6 < -2x ≤ 24 → Eşitsizliğinin, -2 sayısına bölünmeden önceki hali: (Karşılaştırma için yazıldı)
-3 > x ≥ -12
Yukarıdaki eşitsizlik, en küçük sayıdan başlayarak yazılabilir.
-12 sayısı, x sayısına eşit veya küçüktür ifadesinden başlayarak;
-12 ≤ x < 3 → şeklinde, tersten yazılabilir.
2-)
Bulunan 3 sonuç, değerlerin yerleri değiştirilerek de yazılabilir. Değerler ile birlikte aynen yazılan, küçüktür ve küçük eşit sembollerinin de yerleri değişir.
6 < -2x ≤ 24 → Eşitsizliğinin, -2 sayısına bölünmeden önceki hali: (Karşılaştırma için yazıldı)
-12 ≤ x < -3
x tam sayısı, -3 sayısından küçük, -12 sayısına eşit veya büyüktür.
( -12 , -11 , -10 , -9 , -8 , -7 , -6 , -5 , -4 ) olmak üzere, 9 farklı x tam sayı değeri vardır.
Cevap: 9
Örnek - 5
1. dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik örnek soru ve çözüm - 5 (kaynak: Supara):
3x - 2 < x + 1 < 4x - 2 → Eşitsizliği için:
Eşitsizliğin ortasında bulunan x + 1 ifadesi ile sağında bulunan 4x - 2 ifadesinin eşitsizliği,
x + 1 < 4x - 2 şeklinde yazılır.
Eşitsizliğin ortasında bulunan x + 1 ifadesi ile solunda bulunan 3x - 2 ifadesinin eşitsizliği;
3x - 2 < x + 1 şeklinde yazılır.
3x - 2 < x + 1 → Eşitsizliğinin çözümü, resimden incelenebilir. ( x < 1,5 )
x + 1 < 4x - 2 → Eşitsizliğinin çözümü, resimden incelenebilir. ( 1 ≤ x )
İki eşitsizliğin sonuçları:
x < 1,5 → x sayısı, 1,5 ( bir buçuk ) sayısından küçüktür.
1 ≤ x → x sayısı, 1 sayısına eşit veya büyüktür.
Eşitsizlik sonuçları en küçük değerden başlayarak, birleştirilebilir. x sayısı, 1 sayısına eşit veya büyüktür ifadesinden başlayarak, eşitsizlik sonuçları birleştirilir.
1 ≤ x < 1,5
Soruda, x değerinin tam sayı olma koşulu vardır. x değeri sadece 1 sayısı olabilir.
Cevap: 1
Örnek-6:
a ve b gerçek sayılardır.
-2 < a < 3
-3 < b < 6
olduğuna göre, a.b çarpımının alabileceği değerlerin bulunduğu en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir? (kaynak: Supara)
Çözüm:
a.b çarpımının en geniş aralığını bulmak için, eşitsizliklerin, sağında ve solunda bulunan bütün değerleri birbiri ile çarpılır.
Çarpma işlemleri iki bölüme ayrılabilir.
1-) Çapraz köşelerindeki değerler çarpılır.
2-) Alt alta olan değerler çarpılır.
1-) Çapraz köşelerindeki değerler çarpılır.
-2 < a < 3
-3 < b < 6
(-2) . 6 = -12
(-3) . 3 = -9
2-) Alt alta olan değerler çarpılır.
-2 < a < 3
-3 < b < 6
(-2) . (-3) = 6
3 . 6 = 18
Tüm sonuçlar küçükten büyüğe yazıldığında,
-12 , -9 , 6 , 18
a.b çarpımının bulunduğu en geniş aralık, en küçük sonuç ile en büyük sonuç arasındadır.
-12 < a.b < 18 → ( -12 , 18 )
Not:
Eşitsizliklerden biri küçük eşit ( ≤ ), diğer eşitsizlik (<) küçüktür ise, a.b çarpımının bulunduğu en geniş aralık eşitsizliği, (<) küçüktür eşitsizliği ile yazılır.
Eşitsizliklerden biri büyük eşit ( ≥ ), diğeri eşitsizlik (>) büyüktür ise, a.b çarpımının bulunduğu en geniş aralık eşitsizliği, (>) büyüktür eşitsizliği ile yazılır.
Cevap: ( -12 , 18 )
Örnek-7 :
1. dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik örnek soru ve çözüm - 7 (kaynak: Supara):
-3 ≤ 1 - 2x < 1 → Eşitsizliği, iki eşitsizliğe ayrılır.
Eşitsizliğin ortasında bulunan 1 - 2x ifadesi ile sağında bulunan 1 sayısının oluşturduğu eşitsizlik,
1 - 2x < 1 şeklinde yazılır.
Eşitsizliğin ortasında bulunan 1 - 2x ifadesi ile solunda bulunan -3 sayısının oluşturduğu eşitsizlik,
-3 ≤ 1 - 2x şeklinde yazılır.
-3 ≤ 1 - 2x → Eşitsizliğinin çözümü, resimden incelenebilir. ( 2 ≥ x )
1 - 2x < 1 → Eşitsizliğinin çözümü, resimden incelenebilir. ( x > 0 )
İki eşitsizlik sonucu yan yana yazılır.
2 ≥ x ve x > 0 → 2 ≥ x > 0
2 ≥ x > 0 → Eşitsizlik, en küçük değerden başlayarak da yazılabilir.
0 sayısı, x sayısından küçüktür ; x sayısı, 2 sayısına eşit veya küçüktür.
0 < x ≤ 2
0 < x ≤ 2 → şeklinde de yazılabilen eşitsizliğin değer aralığı, ( 0 , 2 ] şeklinde yazılır.
( 0 , 2 ] ifadesinin, sayı doğrusu üzerindeki gösterimi, resimden incelenebilir.
Örnek-8 :
(4 - x)² . (2x - 15)³ < 0
Eşitsizliğini sağlayan x doğal sayılarının toplamı kaçtır? (kaynak: Supara)
Çözüm:
(4 - x)² . (2x - 15)³ < 0 → Eşitsizliğinin, sol tarafında, çarpım durumunda bulunan, iki ifade vardır. Bu iki ifadenin çarpım sonucu sıfırdan küçük ise, çarpım sonucu negatif (-) olmalıdır.
(4 - x)² → Birinci ifade
(2x - 15)³ → İkinci ifade
İki ifadenin, çarpım sonucu, sıfır (0) sayısından küçük ise, ifadelerden biri negatif (-), diğeri pozitif (+) olmalıdır.
(-) . (-) = (+) → İki negatif değerin çarpımı (+) olduğundan, iki ifadenin de işareti (-) değildir.
(-) . (+) = (-) → (-) ile (+) çarpım sonucu (-) olduğundan, ifadelerden biri (-), diğeri (+) olabilir.
(+) . (-) = (-) → (+) ile (-) çarpım sonucu (-) olduğundan, ifadelerden biri (+), diğeri (-) olabilir.
(+) . (+) = (+) → İki pozitif değerin çarpımı (+) olduğundan, iki ifadenin de işareti (+) değildir.
(4 - x)² → ifadesi, (4 - x) sayısının karesidir. Karesi alınan her sayının işareti pozitif (+) olur.
Örneğin:
2 sayısının karesi, pozitiftir.
2² → 2 . 2 = 4
(-2) sayısınında karesi de pozitiftir.
(-2)² → (-2) . (-2) = 4
(4 - x)² → ifadesi, pozitif bir sayıdır. (4 - x)² ifadesi pozitif ise, (2x - 15)³ ifadesi ile çarpımlarının negatif olması için:
(2x - 15)³ → ifadesi, negatif olmalıdır.
(2x - 15)³ → ifadesi, (2x - 15) sayısının küpüdür. Küpü alınan bir sayı, negatif ise, sayı negatif olmalıdır.
Örneğin:
2 sayısının küpü, pozitiftir.
2³ → 2 . 2 . 2 = 8
(-2) sayısının küpü, negatiftir.
(-2)³ → (-2) . (-2) . (-2) = (-8)
2x - 15 → ifadesi, negatif bir sayı olmalıdır. Negatif bir sayı, sıfır (0) sayısından küçüktür.
2x - 15 < 0
2x - 15 < 0 → Eşitsizliği çözülüp, x sayısının değer aralığı bulunur. Çıkarma işleminin sembolü olan (-) işareti, 15 sayısının işareti kabul edilir ve -15 şeklinde yazılıp, eşitliğin sağ tarafına atılır. Eşitliğin sağ tarafına atılan -15 sayısı işaret değiştirir ve +15 şeklinde yazılır.
2x < +15 → Pozitif olan 15 sayısının işareti yazılmayabilir.
2x < 15 → x sayısını yalnız bırakmak için, eşitsizliğin her iki tarafı 2 sayısına bölünür.
Eşitsizliğin sol tarafındaki işlem yapılır. ( 2x / 2 = x )
Eşitsizliğin sağ tarafındaki işlem yapılır. ( 15 / 2 = 7,5 )
x < 7,5
x sayısı, 7,5 sayısından küçük doğal sayılardır. Soruda x sayısının doğal sayı olma koşulu vardır.
7,5 sayısından küçük doğal sayılar:
7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0 sayılarıdır.
(4 - x)² → Birinci ifadede, x değeri 4 olursa:
(4 - 4)² = 0² = 0 olur.
(4 - x)² . (2x - 15)³ < 0 → Eşitsizliğinde, birinci ifade olan (4 - x)² değeri, 0 olursa eşitsizlik yanlış olur.
Eşitsizlikte, (4 - x)² yerine sıfır (0) yazılırsa:
0 . (2x - 15)³ < 0
Çarpma işleminin yutan elemanı olan sıfır sayısı, eşitsizliğin sol tarafını sıfır yapar ve
0 < 0 eşitsizliği yanlış bir eşitsizlik olur. Bu yüzden x sayısı, 4 değildir.
4 haricindeki, 7,5 sayısından küçük doğal sayıların toplamı:
0 + 1 + 2 + 3 + 5 + 6 + 7 = 24
Cevap:24
Örnek-9 :
x² ≤ x
olduğuna göre, 2x + 4 ifadesinin alabileceği farklı tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır? (kaynak: Supara)
Çözüm:
x² ≤ x → Eşitsizliğinde, x sayısının karesi (x²) , kendisine eşit veya küçüktür.
Eşitlik koşulu için, karesi kendine eşit olan sayılar, sadece 0 ve 1 sayılarıdır.
x = 0 için,
2.x + 4 → ifadesinde x yerine 0 yazılırsa,
2.0 + 4
0 + 4 = 4
x = 1 için,
2.x + 4 → ifadesinde x yerine 1 yazılırsa,
2.1 + 4
2 + 4 = 6
x = 0 için,
2.x + 4 → ifadesinde x yerine 0 yazılırsa,
2.0 + 4
0 + 4 = 4
x = 1 için,
2.x + 4 → ifadesinde x yerine 1 yazılırsa,
2.1 + 4
2 + 4 = 6
Küçüktür koşulu için, 2x + 4 ifadesini tam sayı yapan x değeri sadece ( 1 / 2 ) sayısıdır.
0 ile 1 arasında bulunan, kesirli sayıların kareleri, kendisinden küçüktür.
0 ile 1 arasında sonsuz sayıda kesirli sayı vardır.
Bu sayılardan sadece, ( 1 / 2 ) sayısı, 2x + 4 sayısını, tam sayı yapar.
2x + 4 sayısının tam sayı olması için, 2x değeri tam sayı olmalıdır.
2.x değerinin tam sayı olması için, 0 ile 1 arasındaki kesirli x sayısının, 2 sayısı ile sadeleşebilir bir sayı olması ve sadeleşme işlemi sonrasında sonucun, tam sayı olması gerekir.
2 . ( 1 / 3 ) → İşleminin sonucu, ( 2 / 3 ) tür ve ( 2 / 3 ) sayısı tam sayı değildir.
2 . ( 1 / 4 ) → İşleminin sonucu, ( 1 / 2 ) dir ve ( 1 / 2 ) sayısı tam sayı değildir.
2 . ( 1 / 5 ) → İşleminin sonucu, ( 2 / 5 ) tir ve ( 2 / 5 ) sayısı tam sayı değildir.
2 . ( 1 / 6 ) → İşleminin sonucu, ( 1 / 3 ) tür ve ( 1 / 3 ) sayısı tam sayı değildir.
...
2 . ( 1 / 2 ) → İşlemininde, 2 sayıları sadeleşir ve sonuç 1 olur. 1 sayısı tam bir sayıdır.
x = ( 1 / 2 ) için,
2.x + 4 → ifadesinde x yerine ( 1 / 2 ) yazılırsa,
2.( 1 / 2 ) + 4
1 + 4 = 5
0 ile 1 arasında bulunan, kesirli sayıların kareleri, kendisinden küçüktür.
0 ile 1 arasında sonsuz sayıda kesirli sayı vardır.
Bu sayılardan sadece, ( 1 / 2 ) sayısı, 2x + 4 sayısını, tam sayı yapar.
2x + 4 sayısının tam sayı olması için, 2x değeri tam sayı olmalıdır.
2.x değerinin tam sayı olması için, 0 ile 1 arasındaki kesirli x sayısının, 2 sayısı ile sadeleşebilir bir sayı olması ve sadeleşme işlemi sonrasında sonucun, tam sayı olması gerekir.
2 . ( 1 / 3 ) → İşleminin sonucu, ( 2 / 3 ) tür ve ( 2 / 3 ) sayısı tam sayı değildir.
2 . ( 1 / 4 ) → İşleminin sonucu, ( 1 / 2 ) dir ve ( 1 / 2 ) sayısı tam sayı değildir.
2 . ( 1 / 5 ) → İşleminin sonucu, ( 2 / 5 ) tir ve ( 2 / 5 ) sayısı tam sayı değildir.
2 . ( 1 / 6 ) → İşleminin sonucu, ( 1 / 3 ) tür ve ( 1 / 3 ) sayısı tam sayı değildir.
...
2 . ( 1 / 2 ) → İşlemininde, 2 sayıları sadeleşir ve sonuç 1 olur. 1 sayısı tam bir sayıdır.
x = ( 1 / 2 ) için,
2.x + 4 → ifadesinde x yerine ( 1 / 2 ) yazılırsa,
2.( 1 / 2 ) + 4
1 + 4 = 5
2x + 4 ifadesinin alabileceği farklı tam sayı değerlerinin toplamı:
4 + 6 + 5 = 15
Cevap: 15
Örnek-10 :4 + 6 + 5 = 15
Cevap: 15
Ali, Burak ve Cenk isimli üç kişinin yaşları ile ilgili olarak aşağıdaki bilgiler verilmiştir.
- Ali 2a , Burak a + 2 ve Cenk 4a - 6 yaşındadır.
- Ali, Burak'tan daha önce doğmuştur.
- Cenk'in yaşı, Ali ile Burak'ın yaşları toplamından daha azdır.
Çözüm:
Ali'nin yaşı : 2a
Burak'ın yaşı : a + 2
Cenk'in yaşı : 4a - 6
Ali, Burak'tan önce doğduğuna göre, Ali'nin yaşı, Burak'ın yaşından büyüktür.
Ali'nin yaşı olan 2a değeri, Burak'ın yaşı olan a + 2 değerinden büyüktür.
a + 2 < 2a → Küçüktür işaretinin sol tarafına Burak'ın yaşı, sağ tarafına Ali'nin yaşı yazılır.
Ali'nin yaşı olan 2a değeri, Burak'ın yaşı olan a + 2 değerinden büyüktür.
a + 2 < 2a → Küçüktür işaretinin sol tarafına Burak'ın yaşı, sağ tarafına Ali'nin yaşı yazılır.
Cenk'in yaşı, Ali ile Burak'ın yaşları toplamından daha azdır.
Ali ile Burak'ın yaşları toplamı:
2a + a + 2 = 3a + 2
Cenk'in yaşı olan 4a - 6 değeri, Ali ile Burak'ın yaşları toplamı olan 3a + 2 değerinden küçüktür.
4a - 6 < 3a + 2 → Küçüktür işaretinin sol tarafına Cenk'in yaşı, sağ tarafına Ali ile Burak'ın yaşları toplamı yazılır.
Ali ile Burak'ın yaşları toplamı:
2a + a + 2 = 3a + 2
Cenk'in yaşı olan 4a - 6 değeri, Ali ile Burak'ın yaşları toplamı olan 3a + 2 değerinden küçüktür.
4a - 6 < 3a + 2 → Küçüktür işaretinin sol tarafına Cenk'in yaşı, sağ tarafına Ali ile Burak'ın yaşları toplamı yazılır.
a + 2 < 2a
4a - 6 < 3a + 2
Şeklinde kurulan, iki eşitsizlik çözülür.
4a - 6 < 3a + 2
Şeklinde kurulan, iki eşitsizlik çözülür.
a + 2 < 2a → Eşitsizliğin sol tarafında bulunan a sayısının işareti görünür kılınır ve +a şeklinde yazılır. Toplama işleminin sembolü olan (+) işareti, 2 sayısının işareti olarak kabul edilir ve +2 şeklinde yazılır.
Eşitsizlik → +a +2 < 2a şeklinde yazılabilir.
+a +2 < 2a → Eşitsizliğinde, +a sayısı, eşitsizliğin sağ tarafına atıldığında işaret değiştirir ve -a şeklinden yazılır. Eşitsizlik, +2 < 2a -a halini alır.
+2 < 2a -a → Eşitsizliğinde, +2 sayısının işareti yazılmayabilir.
+2 < 2a -a eşitsizliği → 2 < 2a - a şeklinde yazılabilir.
Eşitsizliğin sağ tarafında bulunan işlem yapılır. ( 2a - a = a )
Eşitsizliğin değer aralığı:
2 < a
Eşitsizlik → +a +2 < 2a şeklinde yazılabilir.
+a +2 < 2a → Eşitsizliğinde, +a sayısı, eşitsizliğin sağ tarafına atıldığında işaret değiştirir ve -a şeklinden yazılır. Eşitsizlik, +2 < 2a -a halini alır.
+2 < 2a -a → Eşitsizliğinde, +2 sayısının işareti yazılmayabilir.
+2 < 2a -a eşitsizliği → 2 < 2a - a şeklinde yazılabilir.
Eşitsizliğin sağ tarafında bulunan işlem yapılır. ( 2a - a = a )
Eşitsizliğin değer aralığı:
2 < a
4a - 6 < 3a + 2 → Eşitsizliğin, sağ tarafında bulunan 3a sayısının işareti görünür kılınır ve +3a şeklinde yazılır. Çıkarma işleminin sembolü olan (-) işareti, 6 sayısının işareti olarak kabul edilir ve -6 şeklinde yazılır. Toplama işleminin sembolü olan (+) işareti, 2 sayısının işareti olarak kabul edilir ve +2 şeklinde yazılır.
Eşitsizlik, 4a -6 < +3a +2 → şeklinde yazılabilir.
+3a sayısı, eşitsizliğin soluna atıldığında işaret değiştirir ve -3a şeklinde yazılır. -6 sayısı, eşitsizliğin sağına atılır +6 şeklinde yazılır.
Eşitsizlik, 4a -3a < +2 +6 → halini alır.
Eşitsizlik, 4a - 3a < 2 + 6 → şeklinde yazılabilir.
Eşitsizliğin solunda bulunan işlem yapılır. ( 4a - 3a = a )
Eşitsizliğin sağında bulunan işlem yapılır. ( 2 + 6 = 8 )
Eşitsizliğin değer aralığı:
a < 8
Eşitsizlik, 4a -6 < +3a +2 → şeklinde yazılabilir.
+3a sayısı, eşitsizliğin soluna atıldığında işaret değiştirir ve -3a şeklinde yazılır. -6 sayısı, eşitsizliğin sağına atılır +6 şeklinde yazılır.
Eşitsizlik, 4a -3a < +2 +6 → halini alır.
Eşitsizlik, 4a - 3a < 2 + 6 → şeklinde yazılabilir.
Eşitsizliğin solunda bulunan işlem yapılır. ( 4a - 3a = a )
Eşitsizliğin sağında bulunan işlem yapılır. ( 2 + 6 = 8 )
Eşitsizliğin değer aralığı:
a < 8
İki eşitsizlik çözümü, en küçük değerden başlayarak yan yana yazılır.
2 < a ve a < 8 → 2 < a < 8
a sayısı, 2 sayısından büyük, 8 sayısından küçük değerler alabilir.
a sayısı, ( 3 , 4 , 5 , 6 , 7 ) olmak üzere, 5 farklı tam sayı değeri alabilir.
Cevap: 5
2 < a ve a < 8 → 2 < a < 8
a sayısı, 2 sayısından büyük, 8 sayısından küçük değerler alabilir.
a sayısı, ( 3 , 4 , 5 , 6 , 7 ) olmak üzere, 5 farklı tam sayı değeri alabilir.
Cevap: 5
Yorumlar
Yorum Gönder