Şu an 3. Bölüm görüntüleniyor...
x² → x . x şeklinde düşünülür.
Çarpımları +b sayısı olan iki sayı ve toplamları +a sayısı olan yine aynı iki sayı, çarpımları x² olan x değerleri ile bir araya getirilir. Bir araya getirmek, iki sayının işaretine göre, toplama veya çıkarma şeklinde olabilir.
Örnek - 1:
x² + 8x + 15 ifadesinin çarpanlarına ayrılması:
x² + 8x + 15 → Toplama işleminin sembolü olan (+) işareti, 8x sayısının işareti olarak kabul edilir ve (+8x) şeklinde yazılır. Toplama işleminin sembolü olan (+) işareti, 15 sayısının işareti olarak kabul edilir ve (+15) şeklinde yazılır.
x² +8x +15 haline gelen ifade için:
x² = x . x şeklinde düşünülür.
Çarpımları +15 olan, toplamları +8 olan, iki sayı, işaretleri ile beraber düşünülür.
+15 = (+5) . (+3) → +15 sayısı, +5 ve +3 sayılarının çarpımıdır.
+8 = +5 +3 → +5 ve +3 sayıları, 5 + 3 şeklinde yazılabilir. ( 5 + 3 = 8 )
+5 ve +3 sayıları çarpımları +15 olan iki sayıdır.
+5 ve +3 sayıları bir araya getirildiğinde, +8 olur.
+5 ve +3 sayıları, istenen koşulları sağlar.
+5 ve +3 sayıları, x² = x . x şeklinde düşünülen, x sayıları ile bir araya getirilir.
+5 sayısı, x sayısı ile bir araya getirildiğinde, x +5 olur. x +5 ifadesi, ( x + 5 ) şeklinde yazılır.
+3 sayısı, diğer x sayısı ile bir araya getirildiğinde, x +3 olur. x +3 ifadesi, ( x + 3 ) şeklinde yazılır.
x² + 8x + 15 = ( x + 5 ) . ( x + 3 ) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
Örnek - 2:
x² - 8x + 15 ifadesinin çarpanlarına ayrılması:
x² - 8x + 15 → Çıkarma işleminin sembolü olan (-) işareti, 8x sayısının işareti olarak kabul edilir ve (-8x) şeklinde yazılır. Toplama işleminin sembolü olan (+) işareti, 15 sayısının işareti olarak kabul edilir ve (+15) şeklinde yazılır.
x² -8x +15 haline gelen ifade için:
x² = x . x şeklinde düşünülür.
Çarpımları +15 olan, toplamları -8 olan, iki sayı, işaretleri ile beraber düşünülür.
+15 = (-5) . (-3) → +15 sayısı, -5 ve -3 sayılarının çarpımıdır.
-8 = -5 -3 → -5 ve -3 sayıları, -5 - 3 şeklinde yazılabilir. ( -5 - 3 = -8 )
-5 ve -3 sayıları çarpımları +15 olan iki sayıdır.
-5 ve -3 sayıları bir araya getirildiğinde, -8 olur.
-5 ve -3 sayıları, istenen koşulları sağlar.
-5 ve -3 sayıları, x² = x . x şeklinde düşünülen, x sayıları ile bir araya getirilir.
-5 sayısı, x sayısı ile bir araya getirildiğinde, x -5 olur. x -5 ifadesi, ( x - 5 ) şeklinde yazılır.
-3 sayısı, diğer x sayısı ile bir araya getirildiğinde, x -3 olur. x -3 ifadesi, ( x - 3 ) şeklinde yazılır.
x² - 8x + 15 = ( x - 5 ) . ( x - 3 ) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
Örnek - 3:
x² + 2x - 15 ifadesinin çarpanlarına ayrılması:
x² + 2x - 15 → Toplama işleminin sembolü olan (+) işareti, 2x sayısının işareti olarak kabul edilir ve (+2x) şeklinde yazılır. Çıkarma işleminin sembolü olan (-) işareti, 15 sayısının işareti olarak kabul edilir ve (-15) şeklinde yazılır.
x² +2x -15 haline gelen ifade için:
x² = x . x şeklinde düşünülür.
Çarpımları -15 olan, toplamları +2 olan, iki sayı, işaretleri ile beraber düşünülür.
-15 = (+5) . (-3) → -15 sayısı, +5 ve -3 sayılarının çarpımıdır.
+2 = +5 -3 → +5 ve -3 sayıları, 5 - 3 şeklinde yazılabilir. ( 5 - 3 = +2 )
+5 ve -3 sayıları çarpımları -15 olan iki sayıdır.
+5 ve -3 sayıları bir araya getirildiğinde, +2 olur.
+5 ve -3 sayıları, istenen koşulları sağlar.
+5 ve -3 sayıları, x² = x . x şeklinde düşünülen, x sayıları ile bir araya getirilir.
+5 sayısı, x sayısı ile bir araya getirildiğinde, x +5 olur. x +5 ifadesi, ( x + 5 ) şeklinde yazılır.
-3 sayısı, diğer x sayısı ile bir araya getirildiğinde, x -3 olur. x -3 ifadesi, ( x - 3 ) şeklinde yazılır.
x² + 2x - 15 = ( x + 5 ) . ( x - 3 ) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
Örnek - 4:
x² - 2x - 15 ifadesinin çarpanlarına ayrılması:
x² - 2x - 15 → Çıkarma işleminin sembolü olan (-) işareti, 2x sayısının işareti olarak kabul edilir ve (-2x) şeklinde yazılır. Çıkarma işleminin sembolü olan (-) işareti, 15 sayısının işareti olarak kabul edilir ve (-15) şeklinde yazılır.
x² -2x -15 haline gelen ifade için:
x² = x . x şeklinde düşünülür.
Çarpımları -15 olan, toplamları -2 olan, iki sayı, işaretleri ile beraber düşünülür.
-15 = (-5) . (+3) → -15 sayısı, -5 ve +3 sayılarının çarpımıdır.
-2 = -5 +3 → -5 ve +3 sayıları, 3 - 5 şeklinde yazılabilir. ( 3 - 5 = -2 )
-5 ve +3 sayıları çarpımları -15 olan iki sayıdır.
-5 ve +3 sayıları bir araya getirildiğinde, -2 olur.
-5 ve +3 sayıları, istenen koşulları sağlar.
-5 ve +3 sayıları, x² = x . x şeklinde düşünülen, x sayıları ile bir araya getirilir.
-5 sayısı, x sayısı ile bir araya getirildiğinde, x -5 olur. x -5 ifadesi, ( x - 5 ) şeklinde yazılır.
+3 sayısı, diğer x sayısı ile bir araya getirildiğinde, x +3 olur. x +3 ifadesi, ( x + 3 ) şeklinde yazılır.
x² - 2x - 15 = ( x - 5 ) . ( x + 3 ) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
Örnek - 5:
x² + 5x + 6 ifadesinin çarpanlarına ayrılması:
x² + 5x + 6 → Toplama işleminin sembolü olan (+) işareti, 5x sayısının işareti olarak kabul edilir ve (+5x) şeklinde yazılır. Toplama işleminin sembolü olan (+) işareti, 6 sayısının işareti olarak kabul edilir ve (+6) şeklinde yazılır.
x² +5x +6 haline gelen ifade için:
x² = x . x şeklinde düşünülür.
Çarpımları +6 olan, toplamları +5 olan, iki sayı, işaretleri ile beraber düşünülür.
+6 = (+3) . (+2) → +6 sayısı, +3 ve +2 sayılarının çarpımıdır.
+5 = +3 +2 → +3 ve +2 sayıları, 3 + 2 şeklinde yazılabilir. ( 3 + 2 = +5 )
+3 ve +2 sayıları çarpımları +6 olan iki sayıdır.
+3 ve +2 sayıları bir araya getirildiğinde, +5 olur.
+3 ve +2 sayıları, istenen koşulları sağlar.
+3 ve +2 sayıları, x² = x . x şeklinde düşünülen, x sayıları ile bir araya getirilir.
+3 sayısı, x sayısı ile bir araya getirildiğinde, x +3 olur. x +3 ifadesi, ( x + 3 ) şeklinde yazılır.
+2 sayısı, diğer x sayısı ile bir araya getirildiğinde, x +2 olur. x +2 ifadesi, ( x + 2 ) şeklinde yazılır.
x² + 5x + 6 = ( x + 3 ) . ( x + 2 ) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
Örnek - 6:
x² - 5x + 6 ifadesinin çarpanlarına ayrılması:
x² - 5x + 6 → Çıkarma işleminin sembolü olan (-) işareti, 5x sayısının işareti olarak kabul edilir ve (-5x) şeklinde yazılır. Toplama işleminin sembolü olan (+) işareti, 6 sayısının işareti olarak kabul edilir ve (+6) şeklinde yazılır.
x² -5x +6 haline gelen ifade için:
x² = x . x şeklinde düşünülür.
Çarpımları +6 olan, toplamları -5 olan, iki sayı, işaretleri ile beraber düşünülür.
+6 = (-3) . (-2) → +6 sayısı, -3 ve -2 sayılarının çarpımıdır.
-5 = -3 -2 → -3 ve -2 sayıları, -3 - 2 şeklinde yazılabilir. ( -3 - 2 = -5 )
-3 ve -2 sayıları çarpımları +6 olan iki sayıdır.
-3 ve -2 sayıları bir araya getirildiğinde, -5 olur.
-3 ve -2 sayıları, istenen koşulları sağlar.
-3 ve -2 sayıları, x² = x . x şeklinde düşünülen, x sayıları ile bir araya getirilir.
-3 sayısı, x sayısı ile bir araya getirildiğinde, x -3 olur. x -3 ifadesi, ( x - 3 ) şeklinde yazılır.
-2 sayısı, diğer x sayısı ile bir araya getirildiğinde, x -2 olur. x -2 ifadesi, ( x - 2 ) şeklinde yazılır.
x² - 5x + 6 = ( x - 3 ) . ( x - 2 ) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
Örnek - 7:
x² + x - 6 ifadesinin çarpanlarına ayrılması:
x² + x - 6 → Toplama işleminin sembolü olan (+) işareti, x sayısının işareti olarak kabul edilir ve (+x) şeklinde yazılır. (+x) bilinmeyeninin görünmeyen 1 katsayısı, görünür hale getirilir ve (+1x) şeklinde yazılır. (+x) bilinmeyeninin katsayısı, iki sayının toplamı ve farkı arandığı için, görünür hale getirilir. Çıkarma işleminin sembolü olan (-) işareti, 6 sayısının işareti olarak kabul edilir ve (-6) şeklinde yazılır.
x² +1x -6 haline gelen ifade için:
x² = x . x şeklinde düşünülür.
Çarpımları -6 olan, toplamları +1 olan, iki sayı, işaretleri ile beraber düşünülür.
-6 = (+3) . (-2) → -6 sayısı, +3 ve -2 sayılarının çarpımıdır.
+1 = +3 -2 → +3 ve -2 sayıları, 3 - 2 şeklinde yazılabilir. ( 3 - 2 = +1 )
+3 ve -2 sayıları çarpımları -6 olan iki sayıdır.
+3 ve -2 sayıları bir araya getirildiğinde, +1 olur.
+3 ve -2 sayıları, istenen koşulları sağlar.
+3 ve -2 sayıları, x² = x . x şeklinde düşünülen, x sayıları ile bir araya getirilir.
+3 sayısı, x sayısı ile bir araya getirildiğinde, x +3 olur. x +3 ifadesi, ( x + 3 ) şeklinde yazılır.
-2 sayısı, diğer x sayısı ile bir araya getirildiğinde, x -2 olur. x -2 ifadesi, ( x - 2 ) şeklinde yazılır.
x² + x - 6 = ( x + 3 ) . ( x - 2 ) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
Örnek - 8:
x² - x - 6 ifadesinin çarpanlarına ayrılması:
x² - x - 6 → Çıkarma işleminin sembolü olan (-) işareti, x sayısının işareti olarak kabul edilir ve (-x) şeklinde yazılır. (-x) bilinmeyeninin görünmeyen 1 katsayısı, görünür hale getirilir ve (-1x) şeklinde yazılır. (-x) bilinmeyeninin katsayısı, iki sayının toplamı ve farkı arandığı için, görünür hale getirilir. Çıkarma işleminin sembolü olan (-) işareti, 6 sayısının işareti olarak kabul edilir ve (-6) şeklinde yazılır.
x² -1x -6 haline gelen ifade için:
x² = x . x şeklinde düşünülür.
Çarpımları -6 olan, toplamları -1 olan, iki sayı, işaretleri ile beraber düşünülür.
-6 = (-3) . (+2) → -6 sayısı, -3 ve +2 sayılarının çarpımıdır.
-1 = -3 +2 → -3 ve +2 sayıları, 2 - 3 şeklinde yazılabilir. ( 2 - 3 = -1 )
-3 ve +2 sayıları çarpımları -6 olan iki sayıdır.
-3 ve +2 sayıları bir araya getirildiğinde, -1 olur.
-3 ve +2 sayıları, istenen koşulları sağlar.
-3 ve +2 sayıları, x² = x . x şeklinde düşünülen, x sayıları ile bir araya getirilir.
-3 sayısı, x sayısı ile bir araya getirildiğinde, x -3 olur. x -3 ifadesi, ( x - 3 ) şeklinde yazılır.
+2 sayısı, diğer x sayısı ile bir araya getirildiğinde, x +2 olur. x +2 ifadesi, ( x + 2 ) şeklinde yazılır.
x² - x - 6 = ( x - 3 ) . ( x + 2 ) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
Örnek - 9:
x² + 2x + 1 ifadesinin çarpanlarına ayrılması:
x² + 2x + 1 → Toplama işleminin sembolü olan (+) işareti, 2x sayısının işareti olarak kabul edilir ve (+2x) şeklinde yazılır. Toplama işleminin sembolü olan (+) işareti, 1 sayısının işareti olarak kabul edilir ve (+1) şeklinde yazılır.
x² +2x +1 haline gelen ifade için:
x² = x . x şeklinde düşünülür.
Çarpımları +1 olan, toplamları +2 olan, iki sayı, işaretleri ile beraber düşünülür.
+1 = (+1) . (+1) → +1 sayısı, +1 ve +1 sayılarının çarpımıdır.
+2 = +1 +1 → +1 ve +1 sayıları, 1 + 1 şeklinde yazılabilir. ( 1 + 1 = +2 )
+1 ve +1 sayıları çarpımları +1 olan iki sayıdır.
+1 ve +1 sayıları bir araya getirildiğinde, +2 olur.
+1 ve +1 sayıları, istenen koşulları sağlar.
+1 ve +1 sayıları, x² = x . x şeklinde düşünülen, x sayıları ile bir araya getirilir.
+1 sayısı, x sayısı ile bir araya getirildiğinde, x +1 olur. x +1 ifadesi, ( x + 1 ) şeklinde yazılır.
Diğer +1 sayısı, diğer x sayısı ile bir araya getirildiğinde, x +1 olur. x +1 ifadesi, ( x + 1 ) şeklinde yazılır.
x² + 2x + 1 = ( x + 1 ) . ( x + 1 ) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
Örnek - 10:
x² - 1 ifadesinin çarpanlarına ayrılması:
x² - 1 → İfadesinde, x bilinmeyeni yoktur. Olmayan x bilinmeyeni, sıfır sayısı ile çarpım durumunda, ( 0x ) şeklinde yazılır. İki sayının farkı arandığı için, x bilinmeyeni, ( 0x ) şeklinde görünür hale getirilir. Çıkarma işleminin sembolü olan (-) işareti, 1 sayısının işareti olarak kabul edilir ve (-1) şeklinde yazılır.
x² 0x -1 haline gelen ifade için:
x² = x . x şeklinde düşünülür.
Çarpımları -1 olan, toplamları 0 olan, iki sayı, işaretleri ile beraber düşünülür.
-1 = (+1) . (-1) → -1 sayısı, +1 ve -1 sayılarının çarpımıdır.
0 = +1 -1 → +1 ve -1 sayıları, 1 - 1 şeklinde yazılabilir. ( 1 - 1 = 0 )
+1 ve -1 sayıları çarpımları -1 olan iki sayıdır.
+1 ve -1 sayıları bir araya getirildiğinde, 0 olur.
+1 ve -1 sayıları, istenen koşulları sağlar.
+1 ve -1 sayıları, x² = x . x şeklinde düşünülen, x sayıları ile bir araya getirilir.
+1 sayısı, x sayısı ile bir araya getirildiğinde, x +1 olur. x +1 ifadesi, ( x + 1 ) şeklinde yazılır.
-1 sayısı, diğer x sayısı ile bir araya getirildiğinde, x -1 olur. x -1 ifadesi, ( x - 1 ) şeklinde yazılır.
x² - 1 = ( x + 1 ) . ( x - 1 ) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
x² - 1² ifadesi de, aynı şekilde çarpanlarına ayrılır.
x² - 1² = ( x + 1 ) . ( x - 1 )
x² - 4 ifadesi → x² - 2² şeklinde de yazılabilir. 4 sayısı, 2 sayısının karesidir. (2² = 2 . 2 = 4 )
x² - 4 = ( x + 2 ) . ( x - 2 )
x² - 2² = ( x + 2 ) . ( x - 2 )
x² - 9 ifadesi → x² - 3² şeklinde de yazılabilir. 9 sayısı, 3 sayısının karesidir. (3² = 3 . 3 = 9 )
x² - 9 = ( x + 3 ) . ( x - 3 )
x² - 3² = ( x + 3 ) . ( x - 3 )
x² - 1² şeklindeki bir ifadeye iki kare farkı ismi verilir. İki kare farkı, farklı iki sayının, karelerinin (2. kuvvetlerinin) farkıdır.
İki kare farkı olan ifadeler, bilinmeyenlerden de oluşabilir.
x² - y² = ( x + y ) . ( x - y )
a² - b² = ( a + b ) . ( a - b )
(ax)² - (by)² = ( ax + by ) . ( ax - by )
(a²)² - (b²)² = ( a² + b² ) . ( a² - b² )
x⁴ - 16 ifadesi → x⁴ - 2⁴ şeklinde de yazılabilir.
2⁴ sayısı, 2² sayısının karesidir. (2⁴ = 2² . 2² = 16 ) ,
x⁴ sayısı, x² sayısının karesidir. (x⁴ = x² . x² )
x⁴ - 16 = (x²)² - (2²)²
(x²)² - (2²)² = ( x² + 2² ) . ( x² - 2² )
Aşağıda, 1 sayısından 25 sayısına kadar olan sayıların kareleri, x² ifadesinden çıkarılıp, çarpanlarına ayrılmıştır. 25 sayısına kadar olan sayıların kareleri ezberlenebilir.
x² - 1 → x² - 1² → ( x + 1 ) . ( x - 1 )
x² - 4 → x² - 2² → ( x + 2 ) . ( x - 2 )
x² - 9 → x² - 3² → ( x + 3 ) . ( x - 3 )
x² - 16 → x² - 4² → ( x + 4 ) . ( x - 4 )
x² - 25 → x² - 5² → ( x + 5 ) . ( x - 5 )
x² - 36 → x² - 6² → ( x + 6 ) . ( x - 6 )
x² - 49 → x² - 7² → ( x + 7 ) . ( x - 7 )
x² - 64 → x² - 8² → ( x + 8 ) . ( x - 8 )
x² - 81 → x² - 9² → ( x + 9 ) . ( x - 9 )
x² - 100 → x² - 10² → ( x + 10 ) . ( x - 10 )
x² - 121 → x² - 11² → ( x + 11 ) . ( x - 11 )
x² - 144 → x² - 12² → ( x + 12 ) . ( x - 12 )
x² - 169 → x² - 13² → ( x + 13 ) . ( x - 13 )
x² - 196 → x² - 14² → ( x + 14 ) . ( x - 14 )
x² - 225 → x² - 15² → ( x + 15 ) . ( x - 15 )
x² - 256 → x² - 16² → ( x + 16 ) . ( x - 16 )
x² - 289 → x² - 17² → ( x + 17 ) . ( x - 17 )
x² - 324 → x² - 18² → ( x + 18 ) . ( x - 18 )
x² - 381 → x² - 19² → ( x + 19 ) . ( x - 19 )
x² - 400 → x² - 20² → ( x + 20 ) . ( x - 20 )
x² - 441 → x² - 21² → ( x + 21 ) . ( x - 21 )
x² - 484 → x² - 22² → ( x + 22 ) . ( x - 22 )
x² - 529 → x² - 23² → ( x + 23 ) . ( x - 23 )
x² - 576 → x² - 24² → ( x + 24 ) . ( x - 24 )
x² - 625 → x² - 25² → ( x + 25 ) . ( x - 25 )
Örnek - 11:
2x² + 18x + 40 ifadesinin çarpanlarına ayrılması:
2x² + 18x + 40 → İfadesi incelendiğinde, çarpımları 40 olan, toplamları 18 olan iki sayının olmadığı görülür.
2.x² + 2.9x + 2.20 → 2x² ifadesi 2.x² şeklinde, 18x ifadesi 2.9x şeklinde, 40 sayısı 2.20 şeklinde düşünüldüğünde, 2 sayısının üç ifadede de ortak çarpan olduğu görülür. Bu üç ifade, 2 parantezine alınabilir.
2.x² ifadesinde, 2 sayısı ile çarpım durumunda olan x² sayısının işareti görünür kılınır ve 2 . +x² şeklinde yazılır.
Toplama işleminin sembolü (+) işareti, 2.9x ifadesi için, 2 sayısı ile çarpım durumunda olan 9x sayısının işareti olarak kabul edilir ve 2 . +9x şeklinde yazılır.
Yine toplama işleminin sembolü (+) işareti, 2.20 ifadesi için, 2 sayısı ile çarpım durumunda olan 20 sayısının işareti olarak kabul edilir ve 2 . +20 şeklinde yazılır.
Üç ifadede ortak olan 2 sayısı parantez dışına yazılır ve parantez açılır.
2. (
2 .+x² ifadesinde, parantez dışına yazılan 2 sayısı ile çarpım durumunda olan +x² sayısı, parantez içine yazılır.
2. ( +x²
2 . +9x ifadesinde, parantez dışına yazılan 2 sayısı ile çarpım durumunda olan +9x sayısı, parantez içine yazılır.
2. ( +x² +9x
2 . +20 ifadesinde, parantez dışına yazılan 2 sayısı ile çarpım durumunda olan +20 sayısı, parantez içine yazılır ve parantez kapatılır.
2 . ( +x² +9x +20 )
2 . ( +x² +9x +20 ) İfadesi → 2 . ( x² + 9x + 20 ) şeklinde yazılabilir.
Parantez içindeki x² + 9x + 20 ifadesi, çarpımları 20 olan, toplamları 9 olan iki sayı ile çarpanlarına ayrılabilir bir ifadedir.
x² + 9x + 20 → Toplama işleminin sembolü olan (+) işareti, 9x sayısının işareti olarak kabul edilir ve (+9x) şeklinde yazılır. Toplama işleminin sembolü olan (+) işareti, 20 sayısının işareti olarak kabul edilir ve (+20) şeklinde yazılır.
x² +9x +20 haline gelen ifade için:
x² = x . x şeklinde düşünülür.
Çarpımları +20 olan, toplamları +9 olan, iki sayı, işaretleri ile beraber düşünülür.
+20 = (+5) . (+4) → +20 sayısı, +5 ve +4 sayılarının çarpımıdır.
+9 = +5 +4 → +5 ve +4 sayıları, 5 + 4 şeklinde yazılabilir. ( 5 + 4 = 9 )
+5 ve +4 sayıları çarpımları +20 olan iki sayıdır.
+5 ve +4 sayıları bir araya getirildiğinde, +9 olur.
+5 ve +4 sayıları, istenen koşulları sağlar.
+5 ve +4 sayıları, x² = x . x şeklinde düşünülen, x sayıları ile bir araya getirilir.
+5 sayısı, x sayısı ile bir araya getirildiğinde, x +5 olur. x +5 ifadesi, ( x + 5 ) şeklinde yazılır.
+4 sayısı, diğer x sayısı ile bir araya getirildiğinde, x +4 olur. x +4 ifadesi, ( x + 4 ) şeklinde yazılır.
x² + 9x + 20 = ( x + 5 ) . ( x + 4 ) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
2x² + 18x + 40 = 2 . ( x² + 9x + 20 )
2x² + 18x + 40 = 2 . ( x + 5 ) . ( x + 4 ) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
Örnek - 12:
x³ + 7x² + 10x ifadesinin çarpanlarına ayrılması:
x³ + 7x² + 10x → İfadesi incelendiğinde, x sayısının, üç ifadede de ortak çarpan alduğu görülür.
x.x² + x.7x + x.10 → x³ ifadesi x.x² şeklinde, 7x² ifadesi x.7x şeklinde, 10x sayısı x.10 şeklinde düşünüldüğünde, x sayısının üç ifadede de ortak çarpan olduğu görülür. Bu üç ifade, x parantezine alınabilir.
x.x² ifadesinde, x sayısı ile çarpım durumunda olan x² sayısının işareti görünür kılınır ve x . +x² şeklinde yazılır.
Toplama işleminin sembolü (+) işareti, x.7x ifadesi için, x sayısı ile çarpım durumunda olan 7x sayısının işareti olarak kabul edilir ve x . +7x şeklinde yazılır.
Yine toplama işleminin sembolü (+) işareti, x.10 ifadesi için, x sayısı ile çarpım durumunda olan 10 sayısının işareti olarak kabul edilir ve x . +10 şeklinde yazılır.
Üç ifadede ortak olan x sayısı parantez dışına yazılır ve parantez açılır.
x. (
x .+x² ifadesinde, parantez dışına yazılan x sayısı ile çarpım durumunda olan +x² sayısı, parantez içine yazılır.
x. ( +x²
x . +7x ifadesinde, parantez dışına yazılan x sayısı ile çarpım durumunda olan +7x sayısı, parantez içine yazılır.
x. ( +x² +7x
x . +10 ifadesinde, parantez dışına yazılan x sayısı ile çarpım durumunda olan +10 sayısı, parantez içine yazılır ve parantez kapatılır.
x . ( +x² +7x +10 )
x . ( +x² +7x +10 ) İfadesi → x . ( x² + 7x + 10 ) şeklinde yazılabilir.
Parantez içindeki x² + 7x + 10 ifadesi, çarpımları 10 olan, toplamları 7 olan iki sayı ile çarpanlarına ayrılabilir bir ifadedir.
x² + 7x + 10 → Toplama işleminin sembolü olan (+) işareti, 7x sayısının işareti olarak kabul edilir ve (+7x) şeklinde yazılır. Toplama işleminin sembolü olan (+) işareti, 10 sayısının işareti olarak kabul edilir ve (+10) şeklinde yazılır.
x² +7x +10 haline gelen ifade için:
x² = x . x şeklinde düşünülür.
Çarpımları +10 olan, toplamları +7 olan, iki sayı, işaretleri ile beraber düşünülür.
+10 = (+5) . (+2) → +20 sayısı, +5 ve +2 sayılarının çarpımıdır.
+7 = +5 +2 → +5 ve +2 sayıları, 5 + 2 şeklinde yazılabilir. ( 5 + 2 = 7 )
+5 ve +2 sayıları çarpımları +10 olan iki sayıdır.
+5 ve +2 sayıları bir araya getirildiğinde, +7 olur.
+5 ve +2 sayıları, istenen koşulları sağlar.
+5 ve +2 sayıları, x² = x . x şeklinde düşünülen, x sayıları ile bir araya getirilir.
+5 sayısı, x sayısı ile bir araya getirildiğinde, x +5 olur. x +5 ifadesi, ( x + 5 ) şeklinde yazılır.
+2 sayısı, diğer x sayısı ile bir araya getirildiğinde, x +2 olur. x +2 ifadesi, ( x + 2 ) şeklinde yazılır.
x² + 7x + 10 = ( x + 5 ) . ( x + 2 ) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
x³ + 7x² + 10x = x . ( x² + 7x + 10 )
x³ + 7x² + 10x = x . ( x + 5 ) . ( x + 2 ) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
Örnek - 13:
Çarpanlara ayırma iki kare farkı örnek soru (kaynak: ÖSYM - 2002):
Çözüm:
Çarpanlara ayırma iki kare farkı örnek çözüm:
Kesir çizgisinin üst tarafında bulunan - 2bc - 2ac ifadesi için,
2bc ve 2ac ifadeleri, tanımlanmadığı için, çarpım durumunda olan üç sayıdır. ( 2.b.c ve 2.a.c )
- 2bc - 2ac ifadesi, -2bc -2ac şeklinde yazılabilir.
-2bc -2ac → ifadesinde, çarpım durumunda olan -2c sayısı, -2bc ve -2ac sayılarının ortak çarpanıdır. Bu iki sayı, -2c sayısı parantezine alınabilir. Parantez içinde kalacak olan, a ve b sayılarının işaretleri görünür kılınır.
-2bc ifadesi → -2c.(+b) şeklinde yazılır.
-2ac ifadesi → -2c.(+a) şeklinde yazılır.
İki ifadede ortak çarpan olan -2c yazılır ve parantez açılır.
-2c (
-2c.(+b) ifadesinde, parantez dışına yazılan -2c ile çarpım durumunda olan (+b) sayısı parantez içine yazılır.
-2c.( +b
-2c.(+a) ifadesinde, parantez dışına yazılan -2c ile çarpım durumunda olan (+a) sayısı parantez içine yazılır ve parantez kapatılır.
-2c.( +b +a )
-2c.( +b +a ) ifadesi → -2c.( b + a ) şeklinde yazılabilir.
- 2bc - 2ac = -2c.( b + a )
Kesir çizgisinin üst tarafında bulunan a² - b² ifadesi için,
a² - b² ifadesi iki kare farkı olan bir ifadedir.
a² - b² ifadesi (a + b) . ( a - b ) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
a² - b² = (a + b) . ( a - b )
Kesir çizgisinin üst kısmı, kırmızı ve mavi renkli işlemler yapıldığında;
(a + b) . ( a - b ) -2c.( b + a ) halini alır.
-2c.( b + a ) ifadesindeki ( b + a ) çarpanı, (a + b) çarpanı şeklinde, ( a + b ) şeklinde yazılabilir.
( a + b ) . ( a - b ) -2c.( a + b ) halini alan kesir çizgisinin üst kısmında, ( a + b ) ifadesi, ortak çarpandır.
( a + b ) . ( a - b ) -2c.( a + b ) ifadesi, ( a + b ) parantezine alınır.
İki ifadede ortak çarpan olan ( a + b ) yazılır ve parantez açılır.
( a + b ).(
( a + b ) . ( a - b ) ifadesinde, parantez dışına yazılan ( a + b ) ile çarpım durumunda olan ( a - b ) sayısı, parantez içine yazılır.
( a + b ).( a - b
-2c.( a + b ) ifadesinde, parantez dışına yazılan ( a + b ) ile çarpım durumunda olan -2c sayısı, parantez içine yazılır ve parantez kapatılır.
( a + b ).( a - b -2c )
Kesir çizgisinin üst tarafındaki ifade:
( a + b ) . ( a - b - 2c ) halini alır.
Kesir çizgisinin alt tarafında olan ( a + b ) ifadesi, kesir çizgisinin üst tarafında bulunan, ( a + b ) . ( a - b - 2c ) ifadesindeki, ( a + b ) çarpanı ile sadeleşebilir durumda olan bir ifadedir.
( a + b ) . ( a - b - 2c )
( a + b )
Sadeleşen sayıların üstü çizilir. Sadeleşme işlemi sonrasında kalan 1 sayısı, çarpma işleminin etkisiz elemanı olduğundan, ( a - b - 2c ) ifadesine bir etkisi olmaz.
1 . ( a - b - 2c ) = a - b - 2c
Yanıt: A şıkkı
Parantez açma işlemi ile de bulunabilecek açılımlar, ezbere de bilinebilir.
Toplamın Karesi:
( x + y )² = ( x + y ) . ( x + y )
x ve y sayısının toplamı karesi:
( x + y )² = x² + 2xy + y²
a ve b sayısının toplamı karesi:
( a + b )² = a² + 2ab + b²
x ve 2 sayısının toplamı karesi:
( x + 2 )² = x² + 2.x.2 + 2² → x² + 4x + 4
2x ve 1 sayısının toplamı karesi:
( 2x + 1 )² = (2x)² + 2.2x.1 + 1² → 4x² + 4x + 1
Farkın Karesi:
( x - y )² = ( x - y ) . ( x - y )
x ve y sayısının farkı karesi:
( x - y )² = x² - 2xy + y²
a ve b sayısının farkı karesi:
( a - b )² = a² - 2ab + b²
x ve 2 sayısının farkı karesi:
( x - 2 )² = x² - 2.x.2 + 2² → x² - 4x + 4
2x ve 1 sayısının farkı karesi:
( 2x - 1 )² = (2x)² - 2.2x.1 + 1² → 4x² - 4x + 1
Bir sayının, 3. kuvvetine, o sayının küpü denir. Küpü alınan iki sayının toplamı ve farkı, aşağıdaki gibi çarpanlarına ayrılır.
Küp Toplamı:
x ve y sayısının küpleri toplamı:
x³ + y³ = ( x + y ) . ( x² - xy + y² )
a ve b sayısının küpleri toplamı:
a³ + b³ = ( a + b ) . ( a² - ab + b² )
x ve 2 sayısının küpleri toplamı: ( 2³ = 2 . 2 . 2 = 8 )
x³ + 8 = x³ + 2³
x³ + 2³ = ( x + 2 ) . ( x² - x2 + 2² ) = ( x + 2 ) . ( x² - 2x + 4 )
Küp Farkı:
x ve y sayısının küpleri farkı:
x³ - y³ = ( x - y ) . ( x² + xy + y² )
a ve b sayısının küpleri farkı:
a³ - b³ = ( a - b ) . ( a² + ab + b² )
x ve 2 sayısının küpleri farkı: ( 2³ = 2 . 2 . 2 = 8 )
x³ - 8 = x³ - 2³
x³ - 2³ = ( x - 2 ) . ( x² + x2 + 2² ) = ( x - 2 ) . ( x² + 2x + 4 )
( x + y )³ = ( x + y ) . ( x + y ) . ( x + y ) → Kırmızı renkte gösterilen çarpım durumundaki iki ifade, toplamın karesidir.
( x + y )³ = ( x + y ) . ( x² + 2xy + y² ) → Parantez açma işleminden sonra, iki açılıma daha ulaşılır.
( x + y )³ = x³ + 3xy( x + y ) + y³
( x + y )³ = x³ + 3yx² + 3xy² + y³
a ve b sayısının toplamı küpü:
( a + b )³ = ( a + b ) . ( a² + 2ab + b² )
( a + b )³ = a³ + 3ab( a + b ) + b³
( a + b )³ = a³ + 3ba² + 3ab² + b³
x ve 2 sayısının toplamı küpü:
( x + 2 )³ = ( x + 2 ) . ( x² + 2x.2 + 2² ) → ( x + 2 ) . ( x² + 4x + 4 )
( x + 2 )³ = x³ + 3x.2( x + 2 ) + 2³ → x³ + 6x( x + 2 ) + 8
( x + 2 )³ = x³ + 3.2.x² + 3x.2² + 2³ → x³ + 6x² + 12x + 8
( x - y )³ = ( x - y ) . ( x - y ) . ( x - y ) → Kırmızı renkte gösterilen çarpım durumundaki iki ifade, farkın karesidir.
( x - y )³ = ( x - y ) . ( x² - 2xy + y² ) → Parantez açma işleminden sonra, iki açılıma daha ulaşılır.
( x - y )³ = x³ - xy( y - x ) - y³
( x - y )³ = x³ - 3yx² + 3xy² - y³
a ve b sayısının farkı küpü:
( a - b )³ = ( a - b ) . ( a² - 2ab + b² )
( a - b )³ = a³ - ab( b - a ) - b³
( a - b )³ = a³ - 3ba² + 3ab² - b³
x ve 2 sayısının farkı küpü:
( x - 2 )³ = ( x - 2 ) . ( x² - 2x.2 + 2² ) → ( x - 2 ) . ( x² - 4x + 4 )
( x - 2 )³ = x³ - x.2( 2 - x ) - 2³ → x³ - 2x( 2 - x ) - 8
( x - 2 )³ = x³ - 3.2.x² + 3x.2² - 2³ → x³ - 6x² + 12x - 8
x² + ax + b Şeklindeki İfadelerin Çarpanlarına Ayrılması
x² +ax +b şeklinde yazılan bir ifade, çarpanlarına ayrılırken:x² → x . x şeklinde düşünülür.
Çarpımları +b sayısı olan iki sayı ve toplamları +a sayısı olan yine aynı iki sayı, çarpımları x² olan x değerleri ile bir araya getirilir. Bir araya getirmek, iki sayının işaretine göre, toplama veya çıkarma şeklinde olabilir.
Örnek - 1:
x² + 8x + 15 ifadesinin çarpanlarına ayrılması:
x² + 8x + 15 → Toplama işleminin sembolü olan (+) işareti, 8x sayısının işareti olarak kabul edilir ve (+8x) şeklinde yazılır. Toplama işleminin sembolü olan (+) işareti, 15 sayısının işareti olarak kabul edilir ve (+15) şeklinde yazılır.
x² +8x +15 haline gelen ifade için:
x² = x . x şeklinde düşünülür.
Çarpımları +15 olan, toplamları +8 olan, iki sayı, işaretleri ile beraber düşünülür.
+15 = (+5) . (+3) → +15 sayısı, +5 ve +3 sayılarının çarpımıdır.
+8 = +5 +3 → +5 ve +3 sayıları, 5 + 3 şeklinde yazılabilir. ( 5 + 3 = 8 )
+5 ve +3 sayıları çarpımları +15 olan iki sayıdır.
+5 ve +3 sayıları bir araya getirildiğinde, +8 olur.
+5 ve +3 sayıları, istenen koşulları sağlar.
+5 ve +3 sayıları, x² = x . x şeklinde düşünülen, x sayıları ile bir araya getirilir.
+5 sayısı, x sayısı ile bir araya getirildiğinde, x +5 olur. x +5 ifadesi, ( x + 5 ) şeklinde yazılır.
+3 sayısı, diğer x sayısı ile bir araya getirildiğinde, x +3 olur. x +3 ifadesi, ( x + 3 ) şeklinde yazılır.
x² + 8x + 15 = ( x + 5 ) . ( x + 3 ) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
Örnek - 2:
x² - 8x + 15 ifadesinin çarpanlarına ayrılması:
x² - 8x + 15 → Çıkarma işleminin sembolü olan (-) işareti, 8x sayısının işareti olarak kabul edilir ve (-8x) şeklinde yazılır. Toplama işleminin sembolü olan (+) işareti, 15 sayısının işareti olarak kabul edilir ve (+15) şeklinde yazılır.
x² -8x +15 haline gelen ifade için:
x² = x . x şeklinde düşünülür.
Çarpımları +15 olan, toplamları -8 olan, iki sayı, işaretleri ile beraber düşünülür.
+15 = (-5) . (-3) → +15 sayısı, -5 ve -3 sayılarının çarpımıdır.
-8 = -5 -3 → -5 ve -3 sayıları, -5 - 3 şeklinde yazılabilir. ( -5 - 3 = -8 )
-5 ve -3 sayıları çarpımları +15 olan iki sayıdır.
-5 ve -3 sayıları bir araya getirildiğinde, -8 olur.
-5 ve -3 sayıları, istenen koşulları sağlar.
-5 ve -3 sayıları, x² = x . x şeklinde düşünülen, x sayıları ile bir araya getirilir.
-5 sayısı, x sayısı ile bir araya getirildiğinde, x -5 olur. x -5 ifadesi, ( x - 5 ) şeklinde yazılır.
-3 sayısı, diğer x sayısı ile bir araya getirildiğinde, x -3 olur. x -3 ifadesi, ( x - 3 ) şeklinde yazılır.
x² - 8x + 15 = ( x - 5 ) . ( x - 3 ) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
Örnek - 3:
x² + 2x - 15 ifadesinin çarpanlarına ayrılması:
x² + 2x - 15 → Toplama işleminin sembolü olan (+) işareti, 2x sayısının işareti olarak kabul edilir ve (+2x) şeklinde yazılır. Çıkarma işleminin sembolü olan (-) işareti, 15 sayısının işareti olarak kabul edilir ve (-15) şeklinde yazılır.
x² +2x -15 haline gelen ifade için:
x² = x . x şeklinde düşünülür.
Çarpımları -15 olan, toplamları +2 olan, iki sayı, işaretleri ile beraber düşünülür.
-15 = (+5) . (-3) → -15 sayısı, +5 ve -3 sayılarının çarpımıdır.
+2 = +5 -3 → +5 ve -3 sayıları, 5 - 3 şeklinde yazılabilir. ( 5 - 3 = +2 )
+5 ve -3 sayıları çarpımları -15 olan iki sayıdır.
+5 ve -3 sayıları bir araya getirildiğinde, +2 olur.
+5 ve -3 sayıları, istenen koşulları sağlar.
+5 ve -3 sayıları, x² = x . x şeklinde düşünülen, x sayıları ile bir araya getirilir.
+5 sayısı, x sayısı ile bir araya getirildiğinde, x +5 olur. x +5 ifadesi, ( x + 5 ) şeklinde yazılır.
-3 sayısı, diğer x sayısı ile bir araya getirildiğinde, x -3 olur. x -3 ifadesi, ( x - 3 ) şeklinde yazılır.
x² + 2x - 15 = ( x + 5 ) . ( x - 3 ) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
Örnek - 4:
x² - 2x - 15 ifadesinin çarpanlarına ayrılması:
x² - 2x - 15 → Çıkarma işleminin sembolü olan (-) işareti, 2x sayısının işareti olarak kabul edilir ve (-2x) şeklinde yazılır. Çıkarma işleminin sembolü olan (-) işareti, 15 sayısının işareti olarak kabul edilir ve (-15) şeklinde yazılır.
x² -2x -15 haline gelen ifade için:
x² = x . x şeklinde düşünülür.
Çarpımları -15 olan, toplamları -2 olan, iki sayı, işaretleri ile beraber düşünülür.
-15 = (-5) . (+3) → -15 sayısı, -5 ve +3 sayılarının çarpımıdır.
-2 = -5 +3 → -5 ve +3 sayıları, 3 - 5 şeklinde yazılabilir. ( 3 - 5 = -2 )
-5 ve +3 sayıları çarpımları -15 olan iki sayıdır.
-5 ve +3 sayıları bir araya getirildiğinde, -2 olur.
-5 ve +3 sayıları, istenen koşulları sağlar.
-5 ve +3 sayıları, x² = x . x şeklinde düşünülen, x sayıları ile bir araya getirilir.
-5 sayısı, x sayısı ile bir araya getirildiğinde, x -5 olur. x -5 ifadesi, ( x - 5 ) şeklinde yazılır.
+3 sayısı, diğer x sayısı ile bir araya getirildiğinde, x +3 olur. x +3 ifadesi, ( x + 3 ) şeklinde yazılır.
x² - 2x - 15 = ( x - 5 ) . ( x + 3 ) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
Örnek - 5:
x² + 5x + 6 ifadesinin çarpanlarına ayrılması:
x² + 5x + 6 → Toplama işleminin sembolü olan (+) işareti, 5x sayısının işareti olarak kabul edilir ve (+5x) şeklinde yazılır. Toplama işleminin sembolü olan (+) işareti, 6 sayısının işareti olarak kabul edilir ve (+6) şeklinde yazılır.
x² +5x +6 haline gelen ifade için:
x² = x . x şeklinde düşünülür.
Çarpımları +6 olan, toplamları +5 olan, iki sayı, işaretleri ile beraber düşünülür.
+6 = (+3) . (+2) → +6 sayısı, +3 ve +2 sayılarının çarpımıdır.
+5 = +3 +2 → +3 ve +2 sayıları, 3 + 2 şeklinde yazılabilir. ( 3 + 2 = +5 )
+3 ve +2 sayıları çarpımları +6 olan iki sayıdır.
+3 ve +2 sayıları bir araya getirildiğinde, +5 olur.
+3 ve +2 sayıları, istenen koşulları sağlar.
+3 ve +2 sayıları, x² = x . x şeklinde düşünülen, x sayıları ile bir araya getirilir.
+3 sayısı, x sayısı ile bir araya getirildiğinde, x +3 olur. x +3 ifadesi, ( x + 3 ) şeklinde yazılır.
+2 sayısı, diğer x sayısı ile bir araya getirildiğinde, x +2 olur. x +2 ifadesi, ( x + 2 ) şeklinde yazılır.
x² + 5x + 6 = ( x + 3 ) . ( x + 2 ) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
Örnek - 6:
x² - 5x + 6 ifadesinin çarpanlarına ayrılması:
x² - 5x + 6 → Çıkarma işleminin sembolü olan (-) işareti, 5x sayısının işareti olarak kabul edilir ve (-5x) şeklinde yazılır. Toplama işleminin sembolü olan (+) işareti, 6 sayısının işareti olarak kabul edilir ve (+6) şeklinde yazılır.
x² -5x +6 haline gelen ifade için:
x² = x . x şeklinde düşünülür.
Çarpımları +6 olan, toplamları -5 olan, iki sayı, işaretleri ile beraber düşünülür.
+6 = (-3) . (-2) → +6 sayısı, -3 ve -2 sayılarının çarpımıdır.
-5 = -3 -2 → -3 ve -2 sayıları, -3 - 2 şeklinde yazılabilir. ( -3 - 2 = -5 )
-3 ve -2 sayıları çarpımları +6 olan iki sayıdır.
-3 ve -2 sayıları bir araya getirildiğinde, -5 olur.
-3 ve -2 sayıları, istenen koşulları sağlar.
-3 ve -2 sayıları, x² = x . x şeklinde düşünülen, x sayıları ile bir araya getirilir.
-3 sayısı, x sayısı ile bir araya getirildiğinde, x -3 olur. x -3 ifadesi, ( x - 3 ) şeklinde yazılır.
-2 sayısı, diğer x sayısı ile bir araya getirildiğinde, x -2 olur. x -2 ifadesi, ( x - 2 ) şeklinde yazılır.
x² - 5x + 6 = ( x - 3 ) . ( x - 2 ) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
Örnek - 7:
x² + x - 6 ifadesinin çarpanlarına ayrılması:
x² + x - 6 → Toplama işleminin sembolü olan (+) işareti, x sayısının işareti olarak kabul edilir ve (+x) şeklinde yazılır. (+x) bilinmeyeninin görünmeyen 1 katsayısı, görünür hale getirilir ve (+1x) şeklinde yazılır. (+x) bilinmeyeninin katsayısı, iki sayının toplamı ve farkı arandığı için, görünür hale getirilir. Çıkarma işleminin sembolü olan (-) işareti, 6 sayısının işareti olarak kabul edilir ve (-6) şeklinde yazılır.
x² +1x -6 haline gelen ifade için:
x² = x . x şeklinde düşünülür.
Çarpımları -6 olan, toplamları +1 olan, iki sayı, işaretleri ile beraber düşünülür.
-6 = (+3) . (-2) → -6 sayısı, +3 ve -2 sayılarının çarpımıdır.
+1 = +3 -2 → +3 ve -2 sayıları, 3 - 2 şeklinde yazılabilir. ( 3 - 2 = +1 )
+3 ve -2 sayıları çarpımları -6 olan iki sayıdır.
+3 ve -2 sayıları bir araya getirildiğinde, +1 olur.
+3 ve -2 sayıları, istenen koşulları sağlar.
+3 ve -2 sayıları, x² = x . x şeklinde düşünülen, x sayıları ile bir araya getirilir.
+3 sayısı, x sayısı ile bir araya getirildiğinde, x +3 olur. x +3 ifadesi, ( x + 3 ) şeklinde yazılır.
-2 sayısı, diğer x sayısı ile bir araya getirildiğinde, x -2 olur. x -2 ifadesi, ( x - 2 ) şeklinde yazılır.
x² + x - 6 = ( x + 3 ) . ( x - 2 ) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
Örnek - 8:
x² - x - 6 ifadesinin çarpanlarına ayrılması:
x² - x - 6 → Çıkarma işleminin sembolü olan (-) işareti, x sayısının işareti olarak kabul edilir ve (-x) şeklinde yazılır. (-x) bilinmeyeninin görünmeyen 1 katsayısı, görünür hale getirilir ve (-1x) şeklinde yazılır. (-x) bilinmeyeninin katsayısı, iki sayının toplamı ve farkı arandığı için, görünür hale getirilir. Çıkarma işleminin sembolü olan (-) işareti, 6 sayısının işareti olarak kabul edilir ve (-6) şeklinde yazılır.
x² -1x -6 haline gelen ifade için:
x² = x . x şeklinde düşünülür.
Çarpımları -6 olan, toplamları -1 olan, iki sayı, işaretleri ile beraber düşünülür.
-6 = (-3) . (+2) → -6 sayısı, -3 ve +2 sayılarının çarpımıdır.
-1 = -3 +2 → -3 ve +2 sayıları, 2 - 3 şeklinde yazılabilir. ( 2 - 3 = -1 )
-3 ve +2 sayıları çarpımları -6 olan iki sayıdır.
-3 ve +2 sayıları bir araya getirildiğinde, -1 olur.
-3 ve +2 sayıları, istenen koşulları sağlar.
-3 ve +2 sayıları, x² = x . x şeklinde düşünülen, x sayıları ile bir araya getirilir.
-3 sayısı, x sayısı ile bir araya getirildiğinde, x -3 olur. x -3 ifadesi, ( x - 3 ) şeklinde yazılır.
+2 sayısı, diğer x sayısı ile bir araya getirildiğinde, x +2 olur. x +2 ifadesi, ( x + 2 ) şeklinde yazılır.
x² - x - 6 = ( x - 3 ) . ( x + 2 ) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
Örnek - 9:
x² + 2x + 1 ifadesinin çarpanlarına ayrılması:
x² + 2x + 1 → Toplama işleminin sembolü olan (+) işareti, 2x sayısının işareti olarak kabul edilir ve (+2x) şeklinde yazılır. Toplama işleminin sembolü olan (+) işareti, 1 sayısının işareti olarak kabul edilir ve (+1) şeklinde yazılır.
x² +2x +1 haline gelen ifade için:
x² = x . x şeklinde düşünülür.
Çarpımları +1 olan, toplamları +2 olan, iki sayı, işaretleri ile beraber düşünülür.
+1 = (+1) . (+1) → +1 sayısı, +1 ve +1 sayılarının çarpımıdır.
+2 = +1 +1 → +1 ve +1 sayıları, 1 + 1 şeklinde yazılabilir. ( 1 + 1 = +2 )
+1 ve +1 sayıları çarpımları +1 olan iki sayıdır.
+1 ve +1 sayıları bir araya getirildiğinde, +2 olur.
+1 ve +1 sayıları, istenen koşulları sağlar.
+1 ve +1 sayıları, x² = x . x şeklinde düşünülen, x sayıları ile bir araya getirilir.
+1 sayısı, x sayısı ile bir araya getirildiğinde, x +1 olur. x +1 ifadesi, ( x + 1 ) şeklinde yazılır.
Diğer +1 sayısı, diğer x sayısı ile bir araya getirildiğinde, x +1 olur. x +1 ifadesi, ( x + 1 ) şeklinde yazılır.
x² + 2x + 1 = ( x + 1 ) . ( x + 1 ) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
Örnek - 10:
x² - 1 ifadesinin çarpanlarına ayrılması:
x² - 1 → İfadesinde, x bilinmeyeni yoktur. Olmayan x bilinmeyeni, sıfır sayısı ile çarpım durumunda, ( 0x ) şeklinde yazılır. İki sayının farkı arandığı için, x bilinmeyeni, ( 0x ) şeklinde görünür hale getirilir. Çıkarma işleminin sembolü olan (-) işareti, 1 sayısının işareti olarak kabul edilir ve (-1) şeklinde yazılır.
x² 0x -1 haline gelen ifade için:
x² = x . x şeklinde düşünülür.
Çarpımları -1 olan, toplamları 0 olan, iki sayı, işaretleri ile beraber düşünülür.
-1 = (+1) . (-1) → -1 sayısı, +1 ve -1 sayılarının çarpımıdır.
0 = +1 -1 → +1 ve -1 sayıları, 1 - 1 şeklinde yazılabilir. ( 1 - 1 = 0 )
+1 ve -1 sayıları çarpımları -1 olan iki sayıdır.
+1 ve -1 sayıları bir araya getirildiğinde, 0 olur.
+1 ve -1 sayıları, istenen koşulları sağlar.
+1 ve -1 sayıları, x² = x . x şeklinde düşünülen, x sayıları ile bir araya getirilir.
+1 sayısı, x sayısı ile bir araya getirildiğinde, x +1 olur. x +1 ifadesi, ( x + 1 ) şeklinde yazılır.
-1 sayısı, diğer x sayısı ile bir araya getirildiğinde, x -1 olur. x -1 ifadesi, ( x - 1 ) şeklinde yazılır.
x² - 1 = ( x + 1 ) . ( x - 1 ) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
İki Kare Farkı
x² - 1 ifadesi → x² - 1² şeklinde de yazılabilir.x² - 1² ifadesi de, aynı şekilde çarpanlarına ayrılır.
x² - 1² = ( x + 1 ) . ( x - 1 )
x² - 4 ifadesi → x² - 2² şeklinde de yazılabilir. 4 sayısı, 2 sayısının karesidir. (2² = 2 . 2 = 4 )
x² - 4 = ( x + 2 ) . ( x - 2 )
x² - 2² = ( x + 2 ) . ( x - 2 )
x² - 9 ifadesi → x² - 3² şeklinde de yazılabilir. 9 sayısı, 3 sayısının karesidir. (3² = 3 . 3 = 9 )
x² - 9 = ( x + 3 ) . ( x - 3 )
x² - 3² = ( x + 3 ) . ( x - 3 )
x² - 1² şeklindeki bir ifadeye iki kare farkı ismi verilir. İki kare farkı, farklı iki sayının, karelerinin (2. kuvvetlerinin) farkıdır.
İki kare farkı olan ifadeler, bilinmeyenlerden de oluşabilir.
x² - y² = ( x + y ) . ( x - y )
a² - b² = ( a + b ) . ( a - b )
(ax)² - (by)² = ( ax + by ) . ( ax - by )
(a²)² - (b²)² = ( a² + b² ) . ( a² - b² )
x⁴ - 16 ifadesi → x⁴ - 2⁴ şeklinde de yazılabilir.
2⁴ sayısı, 2² sayısının karesidir. (2⁴ = 2² . 2² = 16 ) ,
x⁴ sayısı, x² sayısının karesidir. (x⁴ = x² . x² )
x⁴ - 16 = (x²)² - (2²)²
(x²)² - (2²)² = ( x² + 2² ) . ( x² - 2² )
Aşağıda, 1 sayısından 25 sayısına kadar olan sayıların kareleri, x² ifadesinden çıkarılıp, çarpanlarına ayrılmıştır. 25 sayısına kadar olan sayıların kareleri ezberlenebilir.
x² - 1 → x² - 1² → ( x + 1 ) . ( x - 1 )
x² - 4 → x² - 2² → ( x + 2 ) . ( x - 2 )
x² - 9 → x² - 3² → ( x + 3 ) . ( x - 3 )
x² - 16 → x² - 4² → ( x + 4 ) . ( x - 4 )
x² - 25 → x² - 5² → ( x + 5 ) . ( x - 5 )
x² - 36 → x² - 6² → ( x + 6 ) . ( x - 6 )
x² - 49 → x² - 7² → ( x + 7 ) . ( x - 7 )
x² - 64 → x² - 8² → ( x + 8 ) . ( x - 8 )
x² - 81 → x² - 9² → ( x + 9 ) . ( x - 9 )
x² - 100 → x² - 10² → ( x + 10 ) . ( x - 10 )
x² - 121 → x² - 11² → ( x + 11 ) . ( x - 11 )
x² - 144 → x² - 12² → ( x + 12 ) . ( x - 12 )
x² - 169 → x² - 13² → ( x + 13 ) . ( x - 13 )
x² - 196 → x² - 14² → ( x + 14 ) . ( x - 14 )
x² - 225 → x² - 15² → ( x + 15 ) . ( x - 15 )
x² - 256 → x² - 16² → ( x + 16 ) . ( x - 16 )
x² - 289 → x² - 17² → ( x + 17 ) . ( x - 17 )
x² - 324 → x² - 18² → ( x + 18 ) . ( x - 18 )
x² - 381 → x² - 19² → ( x + 19 ) . ( x - 19 )
x² - 400 → x² - 20² → ( x + 20 ) . ( x - 20 )
x² - 441 → x² - 21² → ( x + 21 ) . ( x - 21 )
x² - 484 → x² - 22² → ( x + 22 ) . ( x - 22 )
x² - 529 → x² - 23² → ( x + 23 ) . ( x - 23 )
x² - 576 → x² - 24² → ( x + 24 ) . ( x - 24 )
x² - 625 → x² - 25² → ( x + 25 ) . ( x - 25 )
Örnek - 11:
2x² + 18x + 40 ifadesinin çarpanlarına ayrılması:
2x² + 18x + 40 → İfadesi incelendiğinde, çarpımları 40 olan, toplamları 18 olan iki sayının olmadığı görülür.
2.x² + 2.9x + 2.20 → 2x² ifadesi 2.x² şeklinde, 18x ifadesi 2.9x şeklinde, 40 sayısı 2.20 şeklinde düşünüldüğünde, 2 sayısının üç ifadede de ortak çarpan olduğu görülür. Bu üç ifade, 2 parantezine alınabilir.
2.x² ifadesinde, 2 sayısı ile çarpım durumunda olan x² sayısının işareti görünür kılınır ve 2 . +x² şeklinde yazılır.
Toplama işleminin sembolü (+) işareti, 2.9x ifadesi için, 2 sayısı ile çarpım durumunda olan 9x sayısının işareti olarak kabul edilir ve 2 . +9x şeklinde yazılır.
Yine toplama işleminin sembolü (+) işareti, 2.20 ifadesi için, 2 sayısı ile çarpım durumunda olan 20 sayısının işareti olarak kabul edilir ve 2 . +20 şeklinde yazılır.
Üç ifadede ortak olan 2 sayısı parantez dışına yazılır ve parantez açılır.
2. (
2 .+x² ifadesinde, parantez dışına yazılan 2 sayısı ile çarpım durumunda olan +x² sayısı, parantez içine yazılır.
2. ( +x²
2 . +9x ifadesinde, parantez dışına yazılan 2 sayısı ile çarpım durumunda olan +9x sayısı, parantez içine yazılır.
2. ( +x² +9x
2 . +20 ifadesinde, parantez dışına yazılan 2 sayısı ile çarpım durumunda olan +20 sayısı, parantez içine yazılır ve parantez kapatılır.
2 . ( +x² +9x +20 )
2 . ( +x² +9x +20 ) İfadesi → 2 . ( x² + 9x + 20 ) şeklinde yazılabilir.
Parantez içindeki x² + 9x + 20 ifadesi, çarpımları 20 olan, toplamları 9 olan iki sayı ile çarpanlarına ayrılabilir bir ifadedir.
x² + 9x + 20 → Toplama işleminin sembolü olan (+) işareti, 9x sayısının işareti olarak kabul edilir ve (+9x) şeklinde yazılır. Toplama işleminin sembolü olan (+) işareti, 20 sayısının işareti olarak kabul edilir ve (+20) şeklinde yazılır.
x² +9x +20 haline gelen ifade için:
x² = x . x şeklinde düşünülür.
Çarpımları +20 olan, toplamları +9 olan, iki sayı, işaretleri ile beraber düşünülür.
+20 = (+5) . (+4) → +20 sayısı, +5 ve +4 sayılarının çarpımıdır.
+9 = +5 +4 → +5 ve +4 sayıları, 5 + 4 şeklinde yazılabilir. ( 5 + 4 = 9 )
+5 ve +4 sayıları çarpımları +20 olan iki sayıdır.
+5 ve +4 sayıları bir araya getirildiğinde, +9 olur.
+5 ve +4 sayıları, istenen koşulları sağlar.
+5 ve +4 sayıları, x² = x . x şeklinde düşünülen, x sayıları ile bir araya getirilir.
+5 sayısı, x sayısı ile bir araya getirildiğinde, x +5 olur. x +5 ifadesi, ( x + 5 ) şeklinde yazılır.
+4 sayısı, diğer x sayısı ile bir araya getirildiğinde, x +4 olur. x +4 ifadesi, ( x + 4 ) şeklinde yazılır.
x² + 9x + 20 = ( x + 5 ) . ( x + 4 ) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
2x² + 18x + 40 = 2 . ( x² + 9x + 20 )
2x² + 18x + 40 = 2 . ( x + 5 ) . ( x + 4 ) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
Örnek - 12:
x³ + 7x² + 10x ifadesinin çarpanlarına ayrılması:
x³ + 7x² + 10x → İfadesi incelendiğinde, x sayısının, üç ifadede de ortak çarpan alduğu görülür.
x.x² + x.7x + x.10 → x³ ifadesi x.x² şeklinde, 7x² ifadesi x.7x şeklinde, 10x sayısı x.10 şeklinde düşünüldüğünde, x sayısının üç ifadede de ortak çarpan olduğu görülür. Bu üç ifade, x parantezine alınabilir.
x.x² ifadesinde, x sayısı ile çarpım durumunda olan x² sayısının işareti görünür kılınır ve x . +x² şeklinde yazılır.
Toplama işleminin sembolü (+) işareti, x.7x ifadesi için, x sayısı ile çarpım durumunda olan 7x sayısının işareti olarak kabul edilir ve x . +7x şeklinde yazılır.
Yine toplama işleminin sembolü (+) işareti, x.10 ifadesi için, x sayısı ile çarpım durumunda olan 10 sayısının işareti olarak kabul edilir ve x . +10 şeklinde yazılır.
Üç ifadede ortak olan x sayısı parantez dışına yazılır ve parantez açılır.
x. (
x .+x² ifadesinde, parantez dışına yazılan x sayısı ile çarpım durumunda olan +x² sayısı, parantez içine yazılır.
x. ( +x²
x . +7x ifadesinde, parantez dışına yazılan x sayısı ile çarpım durumunda olan +7x sayısı, parantez içine yazılır.
x. ( +x² +7x
x . +10 ifadesinde, parantez dışına yazılan x sayısı ile çarpım durumunda olan +10 sayısı, parantez içine yazılır ve parantez kapatılır.
x . ( +x² +7x +10 )
x . ( +x² +7x +10 ) İfadesi → x . ( x² + 7x + 10 ) şeklinde yazılabilir.
Parantez içindeki x² + 7x + 10 ifadesi, çarpımları 10 olan, toplamları 7 olan iki sayı ile çarpanlarına ayrılabilir bir ifadedir.
x² + 7x + 10 → Toplama işleminin sembolü olan (+) işareti, 7x sayısının işareti olarak kabul edilir ve (+7x) şeklinde yazılır. Toplama işleminin sembolü olan (+) işareti, 10 sayısının işareti olarak kabul edilir ve (+10) şeklinde yazılır.
x² +7x +10 haline gelen ifade için:
x² = x . x şeklinde düşünülür.
Çarpımları +10 olan, toplamları +7 olan, iki sayı, işaretleri ile beraber düşünülür.
+10 = (+5) . (+2) → +20 sayısı, +5 ve +2 sayılarının çarpımıdır.
+7 = +5 +2 → +5 ve +2 sayıları, 5 + 2 şeklinde yazılabilir. ( 5 + 2 = 7 )
+5 ve +2 sayıları çarpımları +10 olan iki sayıdır.
+5 ve +2 sayıları bir araya getirildiğinde, +7 olur.
+5 ve +2 sayıları, istenen koşulları sağlar.
+5 ve +2 sayıları, x² = x . x şeklinde düşünülen, x sayıları ile bir araya getirilir.
+5 sayısı, x sayısı ile bir araya getirildiğinde, x +5 olur. x +5 ifadesi, ( x + 5 ) şeklinde yazılır.
+2 sayısı, diğer x sayısı ile bir araya getirildiğinde, x +2 olur. x +2 ifadesi, ( x + 2 ) şeklinde yazılır.
x² + 7x + 10 = ( x + 5 ) . ( x + 2 ) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
x³ + 7x² + 10x = x . ( x² + 7x + 10 )
x³ + 7x² + 10x = x . ( x + 5 ) . ( x + 2 ) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
Örnek - 13:
Çarpanlara ayırma iki kare farkı örnek soru (kaynak: ÖSYM - 2002):
Çözüm:
Çarpanlara ayırma iki kare farkı örnek çözüm:
Kesir çizgisinin üst tarafında bulunan - 2bc - 2ac ifadesi için,
2bc ve 2ac ifadeleri, tanımlanmadığı için, çarpım durumunda olan üç sayıdır. ( 2.b.c ve 2.a.c )
- 2bc - 2ac ifadesi, -2bc -2ac şeklinde yazılabilir.
-2bc -2ac → ifadesinde, çarpım durumunda olan -2c sayısı, -2bc ve -2ac sayılarının ortak çarpanıdır. Bu iki sayı, -2c sayısı parantezine alınabilir. Parantez içinde kalacak olan, a ve b sayılarının işaretleri görünür kılınır.
-2bc ifadesi → -2c.(+b) şeklinde yazılır.
-2ac ifadesi → -2c.(+a) şeklinde yazılır.
İki ifadede ortak çarpan olan -2c yazılır ve parantez açılır.
-2c (
-2c.(+b) ifadesinde, parantez dışına yazılan -2c ile çarpım durumunda olan (+b) sayısı parantez içine yazılır.
-2c.( +b
-2c.(+a) ifadesinde, parantez dışına yazılan -2c ile çarpım durumunda olan (+a) sayısı parantez içine yazılır ve parantez kapatılır.
-2c.( +b +a )
-2c.( +b +a ) ifadesi → -2c.( b + a ) şeklinde yazılabilir.
- 2bc - 2ac = -2c.( b + a )
Kesir çizgisinin üst tarafında bulunan a² - b² ifadesi için,
a² - b² ifadesi iki kare farkı olan bir ifadedir.
a² - b² ifadesi (a + b) . ( a - b ) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
a² - b² = (a + b) . ( a - b )
Kesir çizgisinin üst kısmı, kırmızı ve mavi renkli işlemler yapıldığında;
(a + b) . ( a - b ) -2c.( b + a ) halini alır.
-2c.( b + a ) ifadesindeki ( b + a ) çarpanı, (a + b) çarpanı şeklinde, ( a + b ) şeklinde yazılabilir.
( a + b ) . ( a - b ) -2c.( a + b ) halini alan kesir çizgisinin üst kısmında, ( a + b ) ifadesi, ortak çarpandır.
( a + b ) . ( a - b ) -2c.( a + b ) ifadesi, ( a + b ) parantezine alınır.
İki ifadede ortak çarpan olan ( a + b ) yazılır ve parantez açılır.
( a + b ).(
( a + b ) . ( a - b ) ifadesinde, parantez dışına yazılan ( a + b ) ile çarpım durumunda olan ( a - b ) sayısı, parantez içine yazılır.
( a + b ).( a - b
-2c.( a + b ) ifadesinde, parantez dışına yazılan ( a + b ) ile çarpım durumunda olan -2c sayısı, parantez içine yazılır ve parantez kapatılır.
( a + b ).( a - b -2c )
Kesir çizgisinin üst tarafındaki ifade:
( a + b ) . ( a - b - 2c ) halini alır.
Kesir çizgisinin alt tarafında olan ( a + b ) ifadesi, kesir çizgisinin üst tarafında bulunan, ( a + b ) . ( a - b - 2c ) ifadesindeki, ( a + b ) çarpanı ile sadeleşebilir durumda olan bir ifadedir.
Sadeleşen sayıların üstü çizilir. Sadeleşme işlemi sonrasında kalan 1 sayısı, çarpma işleminin etkisiz elemanı olduğundan, ( a - b - 2c ) ifadesine bir etkisi olmaz.
1 . ( a - b - 2c ) = a - b - 2c
Yanıt: A şıkkı
Toplamın ( x + y )² ve Farkın Karesi ( x - y )² Açılımları
Toplamın ( x + y )² ve farkın karesi ( x - y )² açılımları:Parantez açma işlemi ile de bulunabilecek açılımlar, ezbere de bilinebilir.
Toplamın Karesi:
( x + y )² = ( x + y ) . ( x + y )
x ve y sayısının toplamı karesi:
( x + y )² = x² + 2xy + y²
a ve b sayısının toplamı karesi:
( a + b )² = a² + 2ab + b²
x ve 2 sayısının toplamı karesi:
( x + 2 )² = x² + 2.x.2 + 2² → x² + 4x + 4
2x ve 1 sayısının toplamı karesi:
( 2x + 1 )² = (2x)² + 2.2x.1 + 1² → 4x² + 4x + 1
Farkın Karesi:
( x - y )² = ( x - y ) . ( x - y )
x ve y sayısının farkı karesi:
( x - y )² = x² - 2xy + y²
a ve b sayısının farkı karesi:
( a - b )² = a² - 2ab + b²
x ve 2 sayısının farkı karesi:
( x - 2 )² = x² - 2.x.2 + 2² → x² - 4x + 4
2x ve 1 sayısının farkı karesi:
( 2x - 1 )² = (2x)² - 2.2x.1 + 1² → 4x² - 4x + 1
İki Küp Toplamı x³ + y³ ve İki Küp Farkı x³ - y³ Açılımları
İki Küp toplamı x³ + y³ ve iki küp farkı x³ - y³ Açılımları:Bir sayının, 3. kuvvetine, o sayının küpü denir. Küpü alınan iki sayının toplamı ve farkı, aşağıdaki gibi çarpanlarına ayrılır.
Küp Toplamı:
x ve y sayısının küpleri toplamı:
x³ + y³ = ( x + y ) . ( x² - xy + y² )
a ve b sayısının küpleri toplamı:
a³ + b³ = ( a + b ) . ( a² - ab + b² )
x ve 2 sayısının küpleri toplamı: ( 2³ = 2 . 2 . 2 = 8 )
x³ + 8 = x³ + 2³
x³ + 2³ = ( x + 2 ) . ( x² - x2 + 2² ) = ( x + 2 ) . ( x² - 2x + 4 )
Küp Farkı:
x ve y sayısının küpleri farkı:
x³ - y³ = ( x - y ) . ( x² + xy + y² )
a ve b sayısının küpleri farkı:
a³ - b³ = ( a - b ) . ( a² + ab + b² )
x ve 2 sayısının küpleri farkı: ( 2³ = 2 . 2 . 2 = 8 )
x³ - 8 = x³ - 2³
x³ - 2³ = ( x - 2 ) . ( x² + x2 + 2² ) = ( x - 2 ) . ( x² + 2x + 4 )
Toplamın Küpü ( x + y )³ Açılımları
Toplamın Küpü ( x + y )³ Açılımları:( x + y )³ = ( x + y ) . ( x + y ) . ( x + y ) → Kırmızı renkte gösterilen çarpım durumundaki iki ifade, toplamın karesidir.
( x + y )³ = ( x + y ) . ( x² + 2xy + y² ) → Parantez açma işleminden sonra, iki açılıma daha ulaşılır.
( x + y )³ = x³ + 3xy( x + y ) + y³
( x + y )³ = x³ + 3yx² + 3xy² + y³
a ve b sayısının toplamı küpü:
( a + b )³ = ( a + b ) . ( a² + 2ab + b² )
( a + b )³ = a³ + 3ab( a + b ) + b³
( a + b )³ = a³ + 3ba² + 3ab² + b³
x ve 2 sayısının toplamı küpü:
( x + 2 )³ = ( x + 2 ) . ( x² + 2x.2 + 2² ) → ( x + 2 ) . ( x² + 4x + 4 )
( x + 2 )³ = x³ + 3x.2( x + 2 ) + 2³ → x³ + 6x( x + 2 ) + 8
( x + 2 )³ = x³ + 3.2.x² + 3x.2² + 2³ → x³ + 6x² + 12x + 8
Farkın Küpü ( x - y )³ Açılımları
Farkın Küpü ( x - y )³ Açılımları:( x - y )³ = ( x - y ) . ( x - y ) . ( x - y ) → Kırmızı renkte gösterilen çarpım durumundaki iki ifade, farkın karesidir.
( x - y )³ = ( x - y ) . ( x² - 2xy + y² ) → Parantez açma işleminden sonra, iki açılıma daha ulaşılır.
( x - y )³ = x³ - xy( y - x ) - y³
( x - y )³ = x³ - 3yx² + 3xy² - y³
a ve b sayısının farkı küpü:
( a - b )³ = ( a - b ) . ( a² - 2ab + b² )
( a - b )³ = a³ - ab( b - a ) - b³
( a - b )³ = a³ - 3ba² + 3ab² - b³
x ve 2 sayısının farkı küpü:
( x - 2 )³ = ( x - 2 ) . ( x² - 2x.2 + 2² ) → ( x - 2 ) . ( x² - 4x + 4 )
( x - 2 )³ = x³ - x.2( 2 - x ) - 2³ → x³ - 2x( 2 - x ) - 8
( x - 2 )³ = x³ - 3.2.x² + 3x.2² - 2³ → x³ - 6x² + 12x - 8
Yorumlar
Yorum Gönder