Şu an 1. Bölüm görüntüleniyor...
Sayı Doğrusu Üzerinde Uzaklık Kavramı
Uzaklık (mesafe) kavramı, ağırlıkta ve hacimde olduğu gibi, pozitif (+) bir değerdir. Negatif (-) değerde (-20) kg ağırlık, (-10) m³ hacim olmayacağı gibi, (-8) m uzunluk değeri de olmaz.
Sayı doğrusu üzerinde,
pozitif a sayısının, başlangıç noktası olan sıfıra (0) olan uzaklığı a birim ise,
negatif -a sayısının da sıfıra (0) olan uzaklığı a birimdir.
Mutlak değer » Sayı doğrusu üzerinde uzaklık kavramı:
x sayısının mutlak değeri | x | şeklinde gösterilir.
Örnek:
Mutlak değer » 5 ve -5 sayısının sayı doğrusu üzerinde sıfıra olan uzaklığı:
Mutlak değer » 5 ve -5 sayısının mutlak değeri:
Uzaklık negatif bir değer değildir. -5 sayısının, sıfıra olan uzaklığı -5 'tir. Uzaklık değerinin pozitif olması için -5 sayısı, (-) ile çarpılır. Bu işlem iki şekilde gösterilebilir.
x ∈ R⁻ → x sayısı, negatif bir gerçek sayı ise → | x | = -x
x ∈ R⁻ → x sayısı, negatif bir gerçek sayı ise → | x | = -x
veya
x < 0 → x sayısı, sıfırdan küçük ise → | x | = -x
Örnek:
Mutlak değer » 1. Durum » Mutlak değer içindeki sayı negatif ise:
Örnek:
Mutlak değer » 1. Durum » Mutlak değer içindeki ifade negatif ise:
Mutlak Değer İçindeki İfadenin Negatif Olabileceği Durumlar
x = 0 → x sayısı, sıfıra eşit ise → | x | = 0
Örnek:
Mutlak değer » 2. Durum » Mutlak değer içindeki ifade sıfıra (0) eşit ise:
Mutlak Değer İçindeki İfadenin Sıfır (0) Olabileceği Durumlar
x ∈ R⁺ → x sayısı, pozitif bir gerçek sayı ise → | x | = x
veya
x > 0 → x sayısı, sıfırdan büyük ise → | x | = x
Örnek:
Mutlak değer » 3. Durum » Mutlak değer içindeki sayı pozitif ise:
Örnek:
Mutlak değer » 3. Durum » Mutlak değer içindeki ifade pozitif ise:
Mutlak Değer İçindeki İfadenin Pozitif Olabileceği Durumlar
Mutlak değer » Örnek soru-1 » Alabileceği en küçük değer sıfırdır (kaynak: Supara 9. sınıf):
Mutlak değerli bir ifadenin alabileceği değerler sıfır (0)'a eşit veya sıfırdan büyük olabilir.
x ∈ R için:
Soruda verilen ifadenin iki tane olan kritik nokta değeri bulunur. Kritik nokta değerleri için, mutlak değerli ifadenin aldığı değerler bulunur. Mutlak değerli ifadenin aldığı iki değerden küçük olanı, alabileceği en küçük değerdir.
Mutlak değer » Örnek soru-2 » İfadenin alabileceği en küçük değer, kritik nokta (kaynak: Supara 9. sınıf):
Mutlak değer » Örnek soru-3 » Toplama ve çıkarma işlemi (kaynak: Supara 9. sınıf):
Örnek soru-4:
Mutlak değer » Örnek soru-4 » Kare kök'lü ifade (kaynak: Supara 9. sınıf):
Örnek soru-5:
Mutlak değer » Örnek soru-5 » İç içe olan ifade(kaynak: Supara 9. sınıf):
Örnek soru-6:
Mutlak değer » Örnek soru-6 » Çok bilinmeyenli ifade (kaynak: Supara 9. sınıf):
Örnek soru-8:
Mutlak değer » Örnek soru-8 » Sayı doğrusu birim uzaklık (kaynak: Supara 9. sınıf):
Sayı Doğrusu Üzerinde Uzaklık Kavramı
Uzaklık (mesafe) kavramı, ağırlıkta ve hacimde olduğu gibi, pozitif (+) bir değerdir. Negatif (-) değerde (-20) kg ağırlık, (-10) m³ hacim olmayacağı gibi, (-8) m uzunluk değeri de olmaz.
Sayı doğrusu üzerinde,
pozitif a sayısının, başlangıç noktası olan sıfıra (0) olan uzaklığı a birim ise,
negatif -a sayısının da sıfıra (0) olan uzaklığı a birimdir.
Mutlak değer » Sayı doğrusu üzerinde uzaklık kavramı:
Mutlak Değer Tanımı
x ∈ R olmak üzere (x bir gerçek sayı olmak üzere), sayı doğrusu üzerinde x sayısının belirttiği noktanın, başlangıç noktası olan sıfıra (0) uzaklığına, x in mutlak değeri denir.x sayısının mutlak değeri | x | şeklinde gösterilir.
Örnek:
Mutlak değer » 5 ve -5 sayısının sayı doğrusu üzerinde sıfıra olan uzaklığı:
Birim Uzaklığa Değer Verilmiş İse:
Örnek:Mutlak değer » 5 ve -5 sayısının mutlak değeri:
- (-).(-5) → +5 → 5
- -(-5) → +5 → 5
x ∈ R⁻ → x sayısı, negatif bir gerçek sayı ise → | x | = -x
1. Durum » Mutlak Değer İçindeki İfade veya Sayı Negatif (-) İse:
Mutlak değer içindeki ifade veya sayı negatif ise, mutlak değer içindeki ifade veya sayı (-) ile çarpılır.x ∈ R⁻ → x sayısı, negatif bir gerçek sayı ise → | x | = -x
veya
x < 0 → x sayısı, sıfırdan küçük ise → | x | = -x
Örnek:
Mutlak değer » 1. Durum » Mutlak değer içindeki sayı negatif ise:
Örnek:
Mutlak değer » 1. Durum » Mutlak değer içindeki ifade negatif ise:
Mutlak Değer İçindeki İfadenin Negatif Olabileceği Durumlar
- x = 0 ise:
x - 2 değeri negatiftir. x = 0 için → 0 - 2 = (-2) ise mutlak değer içindeki x - 2 ifadesi negatif olur.
| x - 2 | = -(x - 2) - x < 0 → x sayısı sıfırdan küçük ise:
2x değeri negatiftir. x = (-1) için → 2 . (-1) = (-2) ise mutlak değer içindeki 2x ifadesi negatif olur.
| 2x | = -2x - x < 0 < y → x sayısı sıfırdan küçük, y sayısı sıfırdan büyük ise:
xy değeri negatiftir. x = (-1) ve y = 3 için → (-1) . 3 = (-3) ise mutlak değer içindeki xy ifadesi negatif olur.
| xy | = -xy - x > 0 → x sayısı sıfırdan büyük ise:
-4x değeri negatiftir. x = 2 için → (-4) . 2 = (-8) ise mutlak değer içindeki -4x ifadesi negatif olur.
| -4x | = -(-4x) = 4x - x > 0 → x sayısı sıfırdan büyük ise:
-x değeri negatiftir. x = 1 için → -(1) = (-1) ise mutlak değer içindeki -x ifadesi negatif olur.
| -x | = -(-x) = x - y < 0 < x → x sayısı sıfırdan büyük, y sıfırdan küçük ise:
xy değeri negatiftir. x = 1 ve y = (-2) için → 1 . (-2) = (-2) ise mutlak değer içindeki xy ifadesi negatif olur.
| xy | = -xy - 0 < x < 3 → x tam sayısı sıfırdan büyük ve 3'ten küçük ise
x - 4 değeri negatiftir. x 'in alabileceği en büyük değer olan 2 için → 2 - 4 = (-2) ise mutlak değer içindeki x - 4 ifadesi negatif olur.
| x - 4 | = -(x - 4) - -10 < x ≤ -3 → x tam sayısı (-10)'dan büyük ve (-3)'ten küçük eşit ise:
x + 2 değeri negatiftir. x'in alabileceği en büyük değer olan (-3) için → (-3) + 2 = (-1) ise mutlak değer içindeki x + 2 ifadesi negatif olur.
| x + 2 | = -(x + 2) - √2 → √2 sayısının pozitif değeri yaklaşık olarak 1,4 ise:
√2 - 2 değeri negatiftir.
√2 sayısının yaklaşık pozitif değeri olan 1,4 için → 1,4 - 2 = (-0,6) ise mutlak değer içindeki √2 - 2 ifadesi negatif olur. (√2 sayısının negatif değeri için de ifade negatif olur.)
| √2 - 2 | = -(√2 - 2) - 1 < x < 4 → x gerçek sayısı 1'den büyük ve 4'ten küçük ise:
2x - 14 değeri negatiftir. 2x 'in (2.1 < 2.x < 2.4) alabileceği en büyük tam sayı değeri olan 7 için → 7 - 14 = (-7) ise mutlak değer içindeki 2x - 14 ifadesi negatif olur.
| 2x - 14 | = -(2x - 14) - -4 < x < 3 → x tam sayısı (-4)'ten büyük ve 3 'ten küçük ise:
x² - 10 değeri negatiftir.
x² 'nin ((-3) . (-3)) alabileceği en büyük değer olan 9 için → 9 - 10 = (-1) ise mutlak değer içindeki x² - 10 ifadesi negatif olur.
| x² - 10 | = -(x² - 10) - -6 < x < -1 → x tam sayısı (-6)'dan büyük ve (-1)'den küçük ise:
x³ + 6 değeri negatiftir.
x³ 'ün ((-2) . (-2) . (-2)) alabileceği en büyük değer olan (-8) için → -8 + 6 = (-2) ise mutlak değer içindeki x³ + 6 ifadesi negatif olur.
| x³ + 6 | = -(x³ + 6)
2. Durum » Mutlak Değer İçindeki İfade Sıfıra (0) Eşit İse:
Mutlak değer içindeki ifade sıfıra (0) eşit ise, ifadenin mutlak değeri, sıfıra (0) eşittir.x = 0 → x sayısı, sıfıra eşit ise → | x | = 0
Örnek:
Mutlak değer » 2. Durum » Mutlak değer içindeki ifade sıfıra (0) eşit ise:
Mutlak Değer İçindeki İfadenin Sıfır (0) Olabileceği Durumlar
- x = 3 ise:
x - 3 değeri sıfırdır. x = 3 için → 3 - 3 = 0 ise mutlak değer içindeki x - 3 ifadesi sıfır olur.
| x - 3 | = 0 - x = 4 ve y = 2 ise:
x - 2y değeri sıfırdır. x = 4 ve y = 2 için → 4 - (2.2) → 4 - 4 = 0 ise mutlak değer içindeki x - 2y ifadesi sıfır olur.
| x - 2y | = 0 - x = (-2) ve y = 1 ise:
x + 2y değeri sıfırdır. x = (-2) ve y = 1 için → (-2) + (2.1) → (-2) + 2 = 0 ise mutlak değer içindeki x + 2y ifadesi sıfır olur.
| x + 2y | = 0 - ∛8 = 2 ise:
∛8 - 2 değeri sıfırdır. ∛8 sayısının değeri olan 2 için → 2 - 2 = 0 ise mutlak değer içindeki ∛8 - 2 ifadesi sıfır olur.
| ∛8 - 2 | = 0 - ∛-8 = (-2) ise:
2 + ∛-8 değeri sıfırdır. ∛-8 sayısının değeri olan (-2) için → 2 + (-2) = 0 ise mutlak değer içindeki 2 + ∛-8 ifadesi sıfır olur.
| 2 + ∛-8 | = 0 - x = (-2) ise:
x² - 4 değeri sıfırdır. x² 'nin ((-2) . (-2)) değeri olan 4 için → 4 - 4 = 0 ise mutlak değer içindeki x² - 4 ifadesi sıfır olur.
| x² - 4 | = 0 - x = (-2) ise:
x³ + 8 değeri negatiftir. x³ 'ün ((-2) . (-2) . (-2)) değeri olan (-8) için → (-8) + 8 = 0 ise mutlak değer içindeki x³ + 8 ifadesi sıfır olur.
| x³ + 8 | = 0
3. Durum » Mutlak Değer İçindeki İfade veya Sayı Pozitif (+) İse:
Mutlak değer içindeki ifade veya sayı pozitif ise, mutlak değer içindeki ifade veya sayı, aynen, mutlak değer dışına çıkar.x ∈ R⁺ → x sayısı, pozitif bir gerçek sayı ise → | x | = x
veya
x > 0 → x sayısı, sıfırdan büyük ise → | x | = x
Örnek:
Mutlak değer » 3. Durum » Mutlak değer içindeki sayı pozitif ise:
Örnek:
Mutlak değer » 3. Durum » Mutlak değer içindeki ifade pozitif ise:
Mutlak Değer İçindeki İfadenin Pozitif Olabileceği Durumlar
- x = 0 ise:
x + 1 değeri pozitiftir. x = 0 için → 0 + 1 = 1 ise mutlak değer içindeki x + 1 ifadesi pozitif olur.
| x + 1 | = x + 1 - x < 0 → x sayısı sıfırdan küçük ise:
-3x değeri pozitiftir. x = (-1) için → (-3) . (-1) = 2 ise mutlak değer içindeki -3x ifadesi pozitif olur.
| -3x | = -3x - x < 0 < y → x sayısı sıfırdan küçük, y sayısı sıfırdan büyük ise:
-xy değeri pozitiftir. x = (-2) ve y = 3 için → -(-2) . 3 → 2 . 3 = 6 ise mutlak değer içindeki -xy ifadesi pozitif olur.
| -xy | = -xy - x > 0 → x sayısı sıfırdan büyük ise:
5x değeri pozitiftir. x = 2 için → 5 . 2 = 10 ise mutlak değer içindeki 5x ifadesi pozitif olur.
| 5x | = 5x - x < 0 → x sayısı sıfırdan küçük ise:
-x değeri pozitiftir. x = (-1) için → -(-1) = 1 ise mutlak değer içindeki -x ifadesi pozitif olur.
| -x | = -x - y < 0 < x → x sayısı sıfırdan büyük, y sıfırdan küçük ise:
-xy değeri pozitiftir. x = 1 ve y = (-2) için → -(1) . (-2) → (-1) . (-2) = 2 ise mutlak değer içindeki -xy ifadesi pozitif olur.
| -xy | = -xy - 6 < x < 10 → x tam sayısı 6 'dan büyük ve 10 'dan küçük ise:
x - 5 değeri pozitiftir. x 'in alabileceği en küçük değer olan 7 için → 7 - 5 = 2 ise mutlak değer içindeki x - 5 ifadesi pozitif olur.
| x - 5 | = x - 5 - -6 < x ≤ -3 → x tam sayısı (-6) 'dan büyük ve (-3)'ten küçük eşit ise:
-2 - x değeri pozitiftir. x'in alabileceği en büyük değer olan (-3) için → -2 - (-3) → -2 + 3 = 1 ise mutlak değer içindeki -2 - x ifadesi pozitif olur.
| -2 - x | = -2 - x - √2 → √2 sayısının negatif değeri yaklaşık olarak (-1,4) ise:
√2 + 2 değeri pozitiftir.
√2 sayısının yaklaşık negatif değeri olan (-1,4) için → (-1,4) + 2 = 0,6 ise mutlak değer içindeki √2 + 2 ifadesi pozitif olur. (√2 sayısının pozitif değeri için de ifade pozitif olur.)
| √2 + 2 | = √2 + 2 - -5 ≤ x < -1 → x gerçek sayısı (-5)'ten büyük eşit ve (-1)'den küçük ise:
2x + 11 değeri pozitiftir. 2x 'in (2.(-5) ≤ 2.x < 2.(-1)) alabileceği en küçük tam sayı değeri olan (-10) için → (-10) + 11 = 1 ise mutlak değer içindeki 2x + 11 ifadesi pozitif olur.
| 2x + 11 | = 2x + 11 - -8 < x < -1 → x tam sayısı (-8)'den büyük ve (-1)'den küçük ise:
x² - 3 değeri pozitiftir.
x² 'nin ((-2) . (-2)) alabileceği en küçük değer olan 4 için → 4 - 3 = 1 ise mutlak değer içindeki x² - 3 ifadesi pozitif olur.
| x² - 3 | = x² - 3 - -4 < x < 4 → x tam sayısı (-4)'ten büyük ve 4 'ten küçük ise:
x³ + 28 değeri pozitiftir.
x³ 'ün ((-3) . (-3) . (-3)) alabileceği en küçük değer olan (-27) için → -27 + 28 = 1 ise mutlak değer içindeki x³ + 28 ifadesi pozitif olur.
| x³ + 28 | = x³ + 28
Alabileceği En Küçük Değer Sıfır (0) 'dır
Mutlak değerli bir ifadenin alabileceği en küçük değer sıfır (0)'dır. Mutlak değer içindeki bir ifade veya sayı; negatif, pozitif veya sıfır olabilir.
Mutlak değer içindeki değer negatif (-) ise, mutlak değer dışına pozitif (+) değer olarak çıkar. Pozitif (+) bir değer, sıfır (0)'dan küçük değildir.
x ∈ R⁻ → x sayısı negatif bir gerçek sayıdır.
x = -100 için → | x | → | -100 | = -(-100) = 100
Mutlak değer içindeki negatif (-100) sayısı, mutlak değer dışına 100 olarak çıkar. 100 sayısı, sıfır (0) sayısından küçük değildir.
x = (-1) için → | x | → | (-1) | = -(-1) = 1
Mutlak değer içindeki negatif (-1) sayısı, mutlak değer dışına 1 olarak çıkar. 1 sayısı, sıfır (0) sayısından küçük değildir.
x ∈ R⁻ → x sayısı negatif bir gerçek sayıdır.
x = -100 için → | x | → | -100 | = -(-100) = 100
Mutlak değer içindeki negatif (-100) sayısı, mutlak değer dışına 100 olarak çıkar. 100 sayısı, sıfır (0) sayısından küçük değildir.
x = (-1) için → | x | → | (-1) | = -(-1) = 1
Mutlak değer içindeki negatif (-1) sayısı, mutlak değer dışına 1 olarak çıkar. 1 sayısı, sıfır (0) sayısından küçük değildir.
Mutlak değer içindeki değer pozitif (+) ise, mutlak değer dışına yine pozitif (+) değer olarak çıkar. Yine pozitif (+) bir değer, sıfır (0)'dan küçük değildir.
x ∈ R⁺ → x sayısı pozitif bir gerçek sayıdır.
x = 100 için → | x | → | 100 | = 100
Mutlak değer içindeki pozitif 100 sayısı, mutlak değer dışına 100 olarak çıkar. 100 sayısı, sıfır (0) sayısından küçük değildir.
x = 1 için → | x | → | 1 | = 1
Mutlak değer içindeki pozitif 1 sayısı, mutlak değer dışına 1 olarak çıkar. 1 sayısı, sıfır (0) sayısından küçük değildir.
x ∈ R⁺ → x sayısı pozitif bir gerçek sayıdır.
x = 100 için → | x | → | 100 | = 100
Mutlak değer içindeki pozitif 100 sayısı, mutlak değer dışına 100 olarak çıkar. 100 sayısı, sıfır (0) sayısından küçük değildir.
x = 1 için → | x | → | 1 | = 1
Mutlak değer içindeki pozitif 1 sayısı, mutlak değer dışına 1 olarak çıkar. 1 sayısı, sıfır (0) sayısından küçük değildir.
Mutlak değer içindeki değer işareti olmayan sıfır (0) ise, mutlak değer dışına yine sıfır (0) olarak çıkar. Sıfır sayısı, sıfır (0)'dan küçük değildir.
x = 0 için → | x | → | 0 | = 0
Örnek soru-1:x = 0 için → | x | → | 0 | = 0
Mutlak değer » Örnek soru-1 » Alabileceği en küçük değer sıfırdır (kaynak: Supara 9. sınıf):
Alabileceği Değerler Sıfır (0) 'a Eşit veya Büyüktür
x ∈ R için → | x | ≥ 0Mutlak değerli bir ifadenin alabileceği değerler sıfır (0)'a eşit veya sıfırdan büyük olabilir.
Mutlak değer içindeki değer negatif (-) ise, mutlak değer dışına pozitif (+) değer olarak çıkar. Pozitif (+) bir değer, sıfır (0)'dan büyüktür.
x ∈ R⁻ → x sayısı negatif bir gerçek sayıdır.
x = -10 için → | x | → | -10 | = -(-10) = 10
Mutlak değer içindeki negatif (-10) sayısı, mutlak değer dışına 10 olarak çıkar. 10 sayısı, sıfır (0) sayısından büyüktür.
| -10 | ≥ 0
x ∈ R⁻ → x sayısı negatif bir gerçek sayıdır.
x = -10 için → | x | → | -10 | = -(-10) = 10
Mutlak değer içindeki negatif (-10) sayısı, mutlak değer dışına 10 olarak çıkar. 10 sayısı, sıfır (0) sayısından büyüktür.
| -10 | ≥ 0
Mutlak değer içindeki değer pozitif (+) ise, mutlak değer dışına yine pozitif (+) değer olarak çıkar. Pozitif (+) bir değer, sıfır (0)'dan büyüktür.
x ∈ R⁺ → x sayısı pozitif bir gerçek sayıdır.
x = 10 için → | x | → | 10 | = 10
Mutlak değer içindeki pozitif 10 sayısı, mutlak değer dışına 10 olarak çıkar. 10 sayısı, sıfır (0) sayısından büyüktür.
| 10 | ≥ 0
x ∈ R⁺ → x sayısı pozitif bir gerçek sayıdır.
x = 10 için → | x | → | 10 | = 10
Mutlak değer içindeki pozitif 10 sayısı, mutlak değer dışına 10 olarak çıkar. 10 sayısı, sıfır (0) sayısından büyüktür.
| 10 | ≥ 0
Mutlak değer içindeki değer, işareti olmayan sıfır (0) ise, mutlak değer dışına yine sıfır (0) olarak çıkar. Sıfır sayısı, sıfır (0)'a eşittir.
x = 0 için → | x | → | 0 | = 0
| 0 | ≥ 0
x = 0 için → | x | → | 0 | = 0
| 0 | ≥ 0
Kritik Nokta
Mutlak değer içindeki ifadeyi sıfır yapan değere, kritik nokta denir.x ∈ R için:
| x - 3 | ifadesinin kritik noktası:
x - 3 = 0
x = 3 'tür.
x - 3 = 0
x = 3 'tür.
| 2x - 10 | ifadesinin kritik noktası:
2x - 10 = 0
2x = 10
2 . x = 2 . 5
x = 5 'tir.
2x - 10 = 0
2x = 10
2 . x = 2 . 5
x = 5 'tir.
Kritik noktalar birden fazla olabilir.
| x + 1 | + | x - 2| ifadesinin kritik noktaları:
x + 1 = 0 → x = (-1)
ve
x - 2 = 0 → x = 2 'dir
Örnek soru-2:| x + 1 | + | x - 2| ifadesinin kritik noktaları:
x + 1 = 0 → x = (-1)
ve
x - 2 = 0 → x = 2 'dir
Soruda verilen ifadenin iki tane olan kritik nokta değeri bulunur. Kritik nokta değerleri için, mutlak değerli ifadenin aldığı değerler bulunur. Mutlak değerli ifadenin aldığı iki değerden küçük olanı, alabileceği en küçük değerdir.
Mutlak değer » Örnek soru-2 » İfadenin alabileceği en küçük değer, kritik nokta (kaynak: Supara 9. sınıf):
Örnek Sorular
Örnek soru-3:Mutlak değer » Örnek soru-3 » Toplama ve çıkarma işlemi (kaynak: Supara 9. sınıf):
Örnek soru-4:
Mutlak değer » Örnek soru-4 » Kare kök'lü ifade (kaynak: Supara 9. sınıf):
Örnek soru-5:
Mutlak değer » Örnek soru-5 » İç içe olan ifade(kaynak: Supara 9. sınıf):
Örnek soru-6:
Mutlak değer » Örnek soru-6 » Çok bilinmeyenli ifade (kaynak: Supara 9. sınıf):
Örnek soru-8:
Mutlak değer » Örnek soru-8 » Sayı doğrusu birim uzaklık (kaynak: Supara 9. sınıf):
Yorumlar
Yorum Gönder