Şu an 3. Bölüm görüntüleniyor...
Bölüm Konuları:
Sıralı İkili , Kartezyen Çarpımı
Analitik Düzlem Üzerinde Kartezyen Çarpım Grafiği
Küme Problemi Örnek Soru
Sıralı İkili:
Yukarıdaki resimde gösterilen (x,y) sıralı ikilisinde:
x elemanına → Birinci terim veya Birinci bileşen
y elemanına → İkinci terim veya İkinci bileşen adı verilir.
(x,y) sıralı ikilisi ile (a,b) sıralı ikilisi birbirine eşitse, ancak ve ancak (⇔)
x = a ve y = b olur.
Örnek:
(x + 2 , -6) = (7 , 3y)
olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır? (Kaynak: Supara)
Çözüm:
Sıralı İkili Örnek Soru Çözümü:
İki sıralı ikili birbirine eşitse, 1. terimleri ve 2. terimleri birbirine eşittir. Sıralı ikilileri oluşturan elemanlar, virgül(,) ile birbirinden ayrılırlar. Birbirine eşit olan iki sıralı için, virgül işaretinin solunda olan elemanlar ile virgül işaretinin sağında olan elemanlar birbirine eşittir.
Birinci sıralı ikilinin, ilk elemanının değeri x + 2 , ikinci sıralı ikilinin, ilk elemanının değeri 7 'dir.
Buna göre : x + 2 = 7 eşitliğinde, x bilinmeyenin değeri için, x bilinmeyeni yalnız bırakmak gerekir. (+2) sayısı eşitliğin diğer tarafına alındığında (-2) değerini alır ve x = 7 - 2 → x = 5 olur.
(Bir sayı değeri, eşitliğin sağına veya soluna geçtiğinde işaret değiştirir.
Pozitif (+) olan işaret, negatife (-) → Negatif (-) olan işaret, pozitife (+) dönüşür.)
Birinci sıralı ikilinin, ikinci elemanının değeri -6 , ikinci sıralı ikilinin, ikinci elemanının değeri 3y 'dir.
Buna göre : -6 = 3y eşitliğinde, y bilinmeyenin değeri için, y bilinmeyeni yalnız bırakmak gerekir. Eşitliğin her iki tarafı, 3 sayısına bölünür. -6 sayısı, 3 sayısına bölünür ve (-2) sonucu bulunur.
3y değeri, 3 sayısına bölünür ve y sonucu bulunur. -2 = y → y = -2 olur.
x = 5 ve y = -2 ise,
x + y = 5 + (-2) = 5 - 2 = 3 olur. Parantez içindeki (-2) sayısı, (+) işareti ile açıldığında sonuç (-) olur. Parantezi açmak için, parantez dışındaki (+) işareti ile parantez içindeki 2 sayısının işareti olan (-) işareti çarpılır. Matematikte (+) ile (-) işaretinin çarpım sonucu (-) olur. Cevap:3
1. bileşeni A kümesinden, 2. bileşeni B kümesinden oluşan, tüm sıralı ikililerin oluşturduğu kümeye, A kümesi ile B kümesinin Kartezyen Çarpımı denir. A x B şeklinde gösterilir.
Kartezyen Çarpımı:
Yukarıdaki resimde A kümesi ve B kümesi, boş olmayan iki kümedir.
A x B = { (x , y) : x ∈ A ve y ∈ B } → A x B kümesinin tanımıdır.
(x , y) : → Sıralı ikilinin tanımıdır.
Bu tanıma göre :
(x, y) sıralı ikilisinin 1. terimi olan x, A kümesinin elemanıdır.
(x, y) sıralı ikilisinin 2. terimi olan y, B kümesinin elemanıdır.
Özellik - 1
s(A x B) = s(A) . s(B) → A kümesi ile B kümesinin oluşturduğu sıralı ikililerin sayısı, A kümesinin eleman sayısı ile B kümesinin eleman sayısının çarpımına eşittir.
Özellik - 2
A ≠ B için, A x B ≠ B x A → A kümesi ve B kümesi eşit değilse, A x B kümesi ve B x A kümesi eşit değildir.
A ve B kümesi eşit olmayan iki küme olsun:
A = { a , b } ve B = { 1, 2 } kümesi için
A x B = { (a , 1) , (a , 2) , (b , 1) , (b , 2) } olur. → A kümesinin a elemanı, B kümesinin 1 ve 2 elemanı ile (a , 1) ve (a , 2) sıralı ikilisini, A kümesinin b elemanı, B kümesinin 1 ve 2 elemanı ile (b , 1) ve (b , 2) sıralı ikilisini oluşturur.
B x A = { (1 , a) , (1 , b) , (2 , a) , (2 , b) } olur. → B kümesinin 1 elemanı, A kümesinin a ve b elemanı ile (1 , a) ve (1 , b) sıralı ikilisini, B kümesinin 2 elemanı, A kümesinin a ve b elemanı ile (2 , a) ve (2 , b) sıralı ikilisini oluşturur.
(a , 1) sıralı ikilisi ile (1, a) sıralı ikilileri aynı küme elemanları değildir. Sıralı ikililer, a ve 1 elemanlarından oluşan, bir küme de değillerdir. Eğer , sıralı ikililer küme olsalardı, elemanların yeri değişebileceğinden eşit kümeler oldukları söylenebilirdi. Bu kümelerin de oluşturduğu kartezyen çarpım kümelerinin eşit olduğu söylenebilirdi. Kartezyen çarpımı kümesini oluşturan elemanlar küme değil, sıralı ikililerdir.
Özellik - 3
A x (B ∪ C) = (A x B) ∪ (A x C) → Parantez açılımına, parantez dışındaki kartezyen (x) sembolünden başlanır. A kümesi ile B kümesinin oluşturduğu (A x B) kümesi ile A kümesi ile C kümesinin oluşturduğu (A x C) kümesi, parantez içindeki ∪ sembolü ile, bir birleşim kümesi oluşturur.
A x (B ∩ C) = (A x B) ∩ (A x C) → Parantez açılımına, parantez dışındaki kartezyen (x) sembolünden başlanır. A kümesi ile B kümesinin oluşturduğu (A x B) kümesi ile A kümesi ile C kümesinin oluşturduğu (A x C) kümesi, parantez içindeki ∩ sembolü ile, bir kesişim kümesi oluşturur.
A x (B - C) = (A x B) - (A x C) → Parantez açılımına, parantez dışındaki kartezyen (x) sembolünden başlanır. A kümesi ile B kümesinin oluşturduğu (A x B) kümesi ile A kümesi ile C kümesinin oluşturduğu (A x C) kümesi, parantez içindeki küme farkı ( - ) işareti ile, bir fark kümesi oluşturur. Bu küme, sadece (A x B) kümesinin elemanı olan sıralı ikililerden oluşur.
Örnek:
B x A = { (1,1), (1,2), (1,3), (2, 1), (2,2), (2,3) }
olduğuna göre, A kümesinin alt küme sayısı kaçtır? (Kaynak: Supara)
Çözüm:
Kartezyen Çarpımı Örnek Soru Çözümü:
B x A kümesinin elemanı olan sıralı ikililer, 1. terimini (parantez içindeki virgül işaretinin solu) B kümesinden alırlar. İlk üç sıralı ikili, 1 sayısı ile başladığına göre, B kümesinin ilk elemanı 1 olur. 4. , 5. ve 6. sıralı ikili, 2 elemanı ile başladığına göre, B kümesinin ikinci elemanı 2 olur. B = { 1 , 2 } olur.
B x A kümesinin elemanı olan sıralı ikililer, 2. terimini (parantez içindeki virgül işaretinin sağı) A kümesinden alırlar. B kümesinin elemanı olan 1 sayısı, ilk üç sıralı ikiliyi, A kümesinin elemanı olan 1, 2 ve 3 sayıları ile oluşturur. B kümesinin elemanı olan 2 sayısı, 4. , 5. ve 6. sıralı ikiliyi, yine, A kümesinin elemanı olan 1, 2 ve 3 sayıları ile oluşturur. Buna göre A kümesi, A = { 1 , 2 , 3 } ve A kümesinin eleman sayısı s(A) = 3 olur.
Eleman sayısı n olan bir kümenin alt küme sayısı, 2ⁿ formülü ile bulunur.
Buna göre:
s(A) = 3 için → 2³ (2'nin 3. kuvveti, 2 üssü 3 veya 2'nin küpü) → 2.2.2 = 8 olur. Cevap: 8
x ekseni: Koordinat sistemini oluşturan yatay yöndeki eksendir. Sıfır (0) noktasının sol tarafında negatif (-) sayı değerleri, sağ tarafında pozitif (+) sayı değerleri bulunur. Bu sayı doğrusu üzerindeki sayı değerleri; sol tarafa doğru (-) sonsuz yönünde küçülürken, sağ tarafa doğru (+) sonsuz yönünde büyürler.
y ekseni: Koordinat sistemini oluşturan dikey yöndeki eksendir. Sıfır (0) noktasının alt tarafında negatif (-) sayı değerleri, üst tarafında pozitif (+) sayı değerleri bulunur. Bu dikey sayı doğrusu üzerindeki sayı değerleri; alt tarafa doğru (-) sonsuz yönünde küçülürken, üst tarafa doğru (+) sonsuz yönünde büyürler.
x ekseni ve y ekseni, sıfır (0) noktasında kesişirler.
A ( x , y ) → A noktasının koordinatı, parantez içinde yazılan, iki sayı değeri ile belirtilir. Bu iki sayı değeri birbirinden virgül (,) ile ayrılır. Birinci sayı değeri, x eksenine ait sayı değeridir. İkinci sayı değeri, y eksenine ait sayı değeridir.
x eksenine ait sayı değerinin olduğu noktadan, dik bir çizgi çizilir.
y eksenine ait sayı değerinin olduğu noktadan, dik bir çizgi çizilir.
Çizilen iki dik çizginin kesiştiği nokta, A ( x , y ) şeklinde tanımlanan A noktasının Koordinat sistemi üzerinde gösterimi veya A noktasının Analitik düzlem üzerinde gösterimidir.
Analitik düzlem üzerinde A noktasının gösterilmesi:
Yukarıdaki resimde A ( 1 , 1 ) şeklinde tanımlanan A noktası, koordinat sistemi üzerinde gösterilmiştir. Birinci sayı değeri x eksenine ait sayı değeri olan 1 sayısıdır. İkinci sayı değeri y eksenine ait sayı değeri olan 1 sayısıdır.
x eksenine ait sayı değeri olan 1 sayısından, dik bir çizgi çizilir.
y eksenine ait sayı değeri olan 1 sayısından, dik bir çizgi çizilir.
Çizilen iki dik çizginin kesiştiği nokta, A ( 1 , 1 ) şeklinde tanımlanan A noktasının koordinat sistemi üzerinde gösterimidir.
Analitik düzlem üzerinde B noktasının gösterilmesi:
Yukarıdaki resimde B ( 1 , -1 ) şeklinde tanımlanan B noktası, koordinat sistemi üzerinde gösterilmiştir. Birinci sayı değeri x eksenine ait sayı değeri olan 1 sayısıdır. İkinci sayı değeri y eksenine ait sayı değeri olan -1 sayısıdır.
x eksenine ait sayı değeri olan 1 sayısından, dik bir çizgi çizilir.
y eksenine ait sayı değeri olan -1 sayısından, dik bir çizgi çizilir.
Çizilen iki dik çizginin kesiştiği nokta, B ( 1 , -1 ) şeklinde tanımlanan B noktasının koordinat sistemi üzerinde gösterimidir.
Analitik düzlem üzerinde C noktasının gösterilmesi:
Yukarıdaki resimde C ( -2 , -1 ) şeklinde tanımlanan C noktası, koordinat sistemi üzerinde gösterilmiştir. Birinci sayı değeri x eksenine ait sayı değeri olan -2 sayısıdır. İkinci sayı değeri y eksenine ait sayı değeri olan -1 sayısıdır.
x eksenine ait sayı değeri olan -2 sayısından, dik bir çizgi çizilir.
y eksenine ait sayı değeri olan -1 sayısından, dik bir çizgi çizilir.
Çizilen iki dik çizginin kesiştiği nokta, C ( -2 , -1 ) şeklinde tanımlanan C noktasının koordinat sistemi üzerinde gösterimidir.
Analitik düzlem üzerinde D noktasının gösterilmesi:
Yukarıdaki resimde D ( -2 , 3 ) şeklinde tanımlanan D noktası, koordinat sistemi üzerinde gösterilmiştir. Birinci sayı değeri x eksenine ait sayı değeri olan -2 sayısıdır. İkinci sayı değeri y eksenine ait sayı değeri olan 3 sayısıdır.
x eksenine ait sayı değeri olan -2 sayısından, dik bir çizgi çizilir.
y eksenine ait sayı değeri olan 3 sayısından, dik bir çizgi çizilir.
Çizilen iki dik çizginin kesiştiği nokta, D ( -2 , 3 ) şeklinde tanımlanan D noktasının koordinat sistemi üzerinde gösterimidir.
x ekseni: A kümesinin ekseni olarak tanımlanır ve A harfi ile gösterilir. A ekseni üzerindeki ifadeler, A kümesinin elemanlarından oluşur.
y ekseni: B kümesinin ekseni olarak tanımlanır ve B harfi ile gösterilir. B ekseni üzerindeki ifadeler, B kümesinin elemanlarından oluşur.
A x B kümesinin oluşturduğu sıralı ikililerin, birinci terimleri A ekseni üzerinde, ikinci terimleri B ekseni üzerinde işaretlenir.
Kartezyen çarpım grafiği:
Yukarıdaki resimde;
A = { -1 , 2 }
B = { z , t }
A x B = { (-1 , z) , (-1 , t) , (2 , z) , (2 , t) }
A x B kümesinin elemanları olan sıralı ikililer, kartezyen çarpım grafiği üzerinde gösterilmiştir.
( -1 , z ) sıralı ikilisi, A x B kümesin elemanı olan bir sıralı ikilidir ve kartezyen çarpım grafiği üzerinde K harfi gösterilmiştir. Sıralı ikiliyi oluşturan birinci terim, A ekseni üzerindeki ve A kümesine ait eleman olan -1 sayısıdır. İkinci terim, B ekseni üzerindeki ve B kümesine ait eleman olan z harfidir.
A ekseni üzerindeki ve A kümesine ait eleman olan -1 sayısından, dik bir çizgi çizilir.
B ekseni üzerindeki ve B kümesine ait eleman olan z harfinden, dik bir çizgi çizilir.
Çizilen iki dik çizginin kesiştiği nokta olan K noktası, A x B kümesinin elemanı olan ( -1 , z ) sıralı ikilisinin, kartezyen çarpım grafiği üzerinde gösterimidir.
( -1 , t ) sıralı ikilisi, A x B kümesin elemanı olan bir sıralı ikilidir ve kartezyen çarpım grafiği üzerinde L harfi gösterilmiştir. Sıralı ikiliyi oluşturan birinci terim, A ekseni üzerindeki ve A kümesine ait eleman olan -1 sayısıdır. İkinci terim, B ekseni üzerindeki ve B kümesine ait eleman olan t harfidir.
A ekseni üzerindeki ve A kümesine ait eleman olan -1 sayısından, dik bir çizgi çizilir.
B ekseni üzerindeki ve B kümesine ait eleman olan t harfinden, dik bir çizgi çizilir.
Çizilen iki dik çizginin kesiştiği nokta olan L noktası, A x B kümesinin elemanı olan ( -1 , t ) sıralı ikilisinin, kartezyen çarpım grafiği üzerinde gösterimidir.
( 2 , z ) sıralı ikilisi, A x B kümesin elemanı olan bir sıralı ikilidir ve kartezyen çarpım grafiği üzerinde M harfi gösterilmiştir. Sıralı ikiliyi oluşturan birinci terim, A ekseni üzerindeki ve A kümesine ait eleman olan 2 sayısıdır. İkinci terim, B ekseni üzerindeki ve B kümesine ait eleman olan z harfidir.
A ekseni üzerindeki ve A kümesine ait eleman olan 2 sayısından, dik bir çizgi çizilir.
B ekseni üzerindeki ve B kümesine ait eleman olan z harfinden, dik bir çizgi çizilir.
Çizilen iki dik çizginin kesiştiği nokta olan M noktası, A x B kümesinin elemanı olan ( 2 , z ) sıralı ikilisinin, kartezyen çarpım grafiği üzerinde gösterimidir.
( 2 , t ) sıralı ikilisi, A x B kümesin elemanı olan bir sıralı ikilidir ve kartezyen çarpım grafiği üzerinde N harfi gösterilmiştir. Sıralı ikiliyi oluşturan birinci terim, A ekseni üzerindeki ve A kümesine ait eleman olan 2 sayısıdır. İkinci terim, B ekseni üzerindeki ve B kümesine ait eleman olan t harfidir.
A ekseni üzerindeki ve A kümesine ait eleman olan 2 sayısından, dik bir çizgi çizilir.
B ekseni üzerindeki ve B kümesine ait eleman olan t harfinden, dik bir çizgi çizilir.
Çizilen iki dik çizginin kesiştiği nokta olan N noktası, A x B kümesinin elemanı olan ( 2 , t ) sıralı ikilisinin, kartezyen çarpım grafiği üzerinde gösterimidir.
Sıralı İkili Örnek Soru
(a² - b² , 6) = (30 , a + b) ise, a - b değeri kaçtır? (2008-2009 Açık Öğretim Lisesi M.E.B.)
A) 3
B) 5
D) 6
D) 15
Çözüm:
(a-b)² ve (a+b)² Açılımı:
Yukarıdaki resimde (a-b)² ve (a+b)² açılımı verilmiştir. Soruya bakıldığında, (a+b)² açılımı ile çözüleceği görülür. Bu iki karesi açılımının bilinmesi, bu ve buna benzer soruların çözümü için gereklidir. Parantez açma işlemleri yapıldığında, resimde gösterilen iki formül elde edilir. Not: "a²", "a kare", "a'nın 2. kuvveti", "a üzeri 2" ve "a üssü 2" söylemlerinin hepsi, aynı şeyi ifade eder.
Yukarıdaki resimde gösterilen çözüm, A, B, C ve D şeklinde 4 aşamada incelenir.
Resim A: Sıralı ikililerin, 1. terimleri (virgül solu) ve 2. terimleri (virgül sağı) birbirine eşittir. Resimde eşit olan ifadeler yay işareti ile gösterilir. Buna göre:
a² - b² = 30
a + b = 6 olur.
(a+b)² formülünden yararlanmak için, a + b = 6 eşitliğinin her iki tarafının karesi alınır. Eşitliğin her iki tarafının karesinin alınması, eşitliği değiştirmez. (a+b)² = 6² → a² + 2ab + b² = 36 olur.
Resim B: a² - b² değeri ile, (a+b)² açılımı alt alta yazılır ve toplanır. Nedeni, -b² ile +b² değerlerinin birbirini götürmesi ile toplama işleminde etkisiz eleman olan 0 (sıfır) değerinin bulunup, denklemden b² bilinmeyenin, çıkmasının istenmesidir.
2a² + 2ab = 2a.(a + b) → toplanan iki değer, 2a parantezine alınarak yazılır. Sebebi, 2.derece olan a² bilinmeyenini, 1.derece olan a bilinmeyenine indirgemenin, çözümü kolaylaştıracak olmasıdır. Paranteze alma, parantez açma işleminin tersidir.
Bu aşamaya gelen denklemlerde, paranteze alma, parantez açma, yukarıda verilen formül benzeri formüllerden faydalanmak, denklemin çözümünü görmenizi sağlayabilir. Denklemi çözmek için, bir şeyler yapmak gerekir. 2a parantezine alındığında (a+b)'nin kalacağı, ilk etapta görülmeyebilir. Denklemi sadeleştirmeye çalışmak, çözümü görmenize olanak sağlar.
Resim C:
Bölüm Konuları:
Sıralı İkili , Kartezyen Çarpımı
Analitik Düzlem Üzerinde Kartezyen Çarpım Grafiği
Küme Problemi Örnek Soru
Sıralı İkili
x ve y herhangi iki eleman olmak üzere, x ve y ile oluşturulan (x,y) ikilisine sıralı ikili denir. x ve y elemanları sıra belirtilerek (x,y) şeklinde yazılırlarsa, sıralı ikili oluştururlar.Sıralı İkili:
Yukarıdaki resimde gösterilen (x,y) sıralı ikilisinde:
x elemanına → Birinci terim veya Birinci bileşen
y elemanına → İkinci terim veya İkinci bileşen adı verilir.
(x,y) sıralı ikilisi ile (a,b) sıralı ikilisi birbirine eşitse, ancak ve ancak (⇔)
x = a ve y = b olur.
Örnek:
(x + 2 , -6) = (7 , 3y)
olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır? (Kaynak: Supara)
Çözüm:
Sıralı İkili Örnek Soru Çözümü:
İki sıralı ikili birbirine eşitse, 1. terimleri ve 2. terimleri birbirine eşittir. Sıralı ikilileri oluşturan elemanlar, virgül(,) ile birbirinden ayrılırlar. Birbirine eşit olan iki sıralı için, virgül işaretinin solunda olan elemanlar ile virgül işaretinin sağında olan elemanlar birbirine eşittir.
Birinci sıralı ikilinin, ilk elemanının değeri x + 2 , ikinci sıralı ikilinin, ilk elemanının değeri 7 'dir.
Buna göre : x + 2 = 7 eşitliğinde, x bilinmeyenin değeri için, x bilinmeyeni yalnız bırakmak gerekir. (+2) sayısı eşitliğin diğer tarafına alındığında (-2) değerini alır ve x = 7 - 2 → x = 5 olur.
(Bir sayı değeri, eşitliğin sağına veya soluna geçtiğinde işaret değiştirir.
Pozitif (+) olan işaret, negatife (-) → Negatif (-) olan işaret, pozitife (+) dönüşür.)
Birinci sıralı ikilinin, ikinci elemanının değeri -6 , ikinci sıralı ikilinin, ikinci elemanının değeri 3y 'dir.
Buna göre : -6 = 3y eşitliğinde, y bilinmeyenin değeri için, y bilinmeyeni yalnız bırakmak gerekir. Eşitliğin her iki tarafı, 3 sayısına bölünür. -6 sayısı, 3 sayısına bölünür ve (-2) sonucu bulunur.
3y değeri, 3 sayısına bölünür ve y sonucu bulunur. -2 = y → y = -2 olur.
x = 5 ve y = -2 ise,
x + y = 5 + (-2) = 5 - 2 = 3 olur. Parantez içindeki (-2) sayısı, (+) işareti ile açıldığında sonuç (-) olur. Parantezi açmak için, parantez dışındaki (+) işareti ile parantez içindeki 2 sayısının işareti olan (-) işareti çarpılır. Matematikte (+) ile (-) işaretinin çarpım sonucu (-) olur. Cevap:3
Kartezyen Çarpımı
A kümesi ve B kümesi, boş olmayan iki küme olmak üzere;1. bileşeni A kümesinden, 2. bileşeni B kümesinden oluşan, tüm sıralı ikililerin oluşturduğu kümeye, A kümesi ile B kümesinin Kartezyen Çarpımı denir. A x B şeklinde gösterilir.
Kartezyen Çarpımı:
Yukarıdaki resimde A kümesi ve B kümesi, boş olmayan iki kümedir.
A x B = { (x , y) : x ∈ A ve y ∈ B } → A x B kümesinin tanımıdır.
(x , y) : → Sıralı ikilinin tanımıdır.
Bu tanıma göre :
(x, y) sıralı ikilisinin 1. terimi olan x, A kümesinin elemanıdır.
(x, y) sıralı ikilisinin 2. terimi olan y, B kümesinin elemanıdır.
Özellik - 1
s(A x B) = s(A) . s(B) → A kümesi ile B kümesinin oluşturduğu sıralı ikililerin sayısı, A kümesinin eleman sayısı ile B kümesinin eleman sayısının çarpımına eşittir.
Özellik - 2
A ≠ B için, A x B ≠ B x A → A kümesi ve B kümesi eşit değilse, A x B kümesi ve B x A kümesi eşit değildir.
A ve B kümesi eşit olmayan iki küme olsun:
A = { a , b } ve B = { 1, 2 } kümesi için
A x B = { (a , 1) , (a , 2) , (b , 1) , (b , 2) } olur. → A kümesinin a elemanı, B kümesinin 1 ve 2 elemanı ile (a , 1) ve (a , 2) sıralı ikilisini, A kümesinin b elemanı, B kümesinin 1 ve 2 elemanı ile (b , 1) ve (b , 2) sıralı ikilisini oluşturur.
B x A = { (1 , a) , (1 , b) , (2 , a) , (2 , b) } olur. → B kümesinin 1 elemanı, A kümesinin a ve b elemanı ile (1 , a) ve (1 , b) sıralı ikilisini, B kümesinin 2 elemanı, A kümesinin a ve b elemanı ile (2 , a) ve (2 , b) sıralı ikilisini oluşturur.
(a , 1) sıralı ikilisi ile (1, a) sıralı ikilileri aynı küme elemanları değildir. Sıralı ikililer, a ve 1 elemanlarından oluşan, bir küme de değillerdir. Eğer , sıralı ikililer küme olsalardı, elemanların yeri değişebileceğinden eşit kümeler oldukları söylenebilirdi. Bu kümelerin de oluşturduğu kartezyen çarpım kümelerinin eşit olduğu söylenebilirdi. Kartezyen çarpımı kümesini oluşturan elemanlar küme değil, sıralı ikililerdir.
Özellik - 3
A x (B ∪ C) = (A x B) ∪ (A x C) → Parantez açılımına, parantez dışındaki kartezyen (x) sembolünden başlanır. A kümesi ile B kümesinin oluşturduğu (A x B) kümesi ile A kümesi ile C kümesinin oluşturduğu (A x C) kümesi, parantez içindeki ∪ sembolü ile, bir birleşim kümesi oluşturur.
A x (B ∩ C) = (A x B) ∩ (A x C) → Parantez açılımına, parantez dışındaki kartezyen (x) sembolünden başlanır. A kümesi ile B kümesinin oluşturduğu (A x B) kümesi ile A kümesi ile C kümesinin oluşturduğu (A x C) kümesi, parantez içindeki ∩ sembolü ile, bir kesişim kümesi oluşturur.
A x (B - C) = (A x B) - (A x C) → Parantez açılımına, parantez dışındaki kartezyen (x) sembolünden başlanır. A kümesi ile B kümesinin oluşturduğu (A x B) kümesi ile A kümesi ile C kümesinin oluşturduğu (A x C) kümesi, parantez içindeki küme farkı ( - ) işareti ile, bir fark kümesi oluşturur. Bu küme, sadece (A x B) kümesinin elemanı olan sıralı ikililerden oluşur.
Örnek:
B x A = { (1,1), (1,2), (1,3), (2, 1), (2,2), (2,3) }
olduğuna göre, A kümesinin alt küme sayısı kaçtır? (Kaynak: Supara)
Çözüm:
Kartezyen Çarpımı Örnek Soru Çözümü:
B x A kümesinin elemanı olan sıralı ikililer, 1. terimini (parantez içindeki virgül işaretinin solu) B kümesinden alırlar. İlk üç sıralı ikili, 1 sayısı ile başladığına göre, B kümesinin ilk elemanı 1 olur. 4. , 5. ve 6. sıralı ikili, 2 elemanı ile başladığına göre, B kümesinin ikinci elemanı 2 olur. B = { 1 , 2 } olur.
B x A kümesinin elemanı olan sıralı ikililer, 2. terimini (parantez içindeki virgül işaretinin sağı) A kümesinden alırlar. B kümesinin elemanı olan 1 sayısı, ilk üç sıralı ikiliyi, A kümesinin elemanı olan 1, 2 ve 3 sayıları ile oluşturur. B kümesinin elemanı olan 2 sayısı, 4. , 5. ve 6. sıralı ikiliyi, yine, A kümesinin elemanı olan 1, 2 ve 3 sayıları ile oluşturur. Buna göre A kümesi, A = { 1 , 2 , 3 } ve A kümesinin eleman sayısı s(A) = 3 olur.
Eleman sayısı n olan bir kümenin alt küme sayısı, 2ⁿ formülü ile bulunur.
Buna göre:
s(A) = 3 için → 2³ (2'nin 3. kuvveti, 2 üssü 3 veya 2'nin küpü) → 2.2.2 = 8 olur. Cevap: 8
Analitik Düzlem Üzerinde Kartezyen Çarpım Grafiği
Analitik düzlem, koordinat sistemi olarak da isimlendirir. Analitik düzlem, x ekseni ve y ekseni olmak üzere iki sayı doğrusundan oluşur.x ekseni: Koordinat sistemini oluşturan yatay yöndeki eksendir. Sıfır (0) noktasının sol tarafında negatif (-) sayı değerleri, sağ tarafında pozitif (+) sayı değerleri bulunur. Bu sayı doğrusu üzerindeki sayı değerleri; sol tarafa doğru (-) sonsuz yönünde küçülürken, sağ tarafa doğru (+) sonsuz yönünde büyürler.
y ekseni: Koordinat sistemini oluşturan dikey yöndeki eksendir. Sıfır (0) noktasının alt tarafında negatif (-) sayı değerleri, üst tarafında pozitif (+) sayı değerleri bulunur. Bu dikey sayı doğrusu üzerindeki sayı değerleri; alt tarafa doğru (-) sonsuz yönünde küçülürken, üst tarafa doğru (+) sonsuz yönünde büyürler.
x ekseni ve y ekseni, sıfır (0) noktasında kesişirler.
A ( x , y ) → A noktasının koordinatı, parantez içinde yazılan, iki sayı değeri ile belirtilir. Bu iki sayı değeri birbirinden virgül (,) ile ayrılır. Birinci sayı değeri, x eksenine ait sayı değeridir. İkinci sayı değeri, y eksenine ait sayı değeridir.
x eksenine ait sayı değerinin olduğu noktadan, dik bir çizgi çizilir.
y eksenine ait sayı değerinin olduğu noktadan, dik bir çizgi çizilir.
Çizilen iki dik çizginin kesiştiği nokta, A ( x , y ) şeklinde tanımlanan A noktasının Koordinat sistemi üzerinde gösterimi veya A noktasının Analitik düzlem üzerinde gösterimidir.
Analitik düzlem üzerinde A noktasının gösterilmesi:
Yukarıdaki resimde A ( 1 , 1 ) şeklinde tanımlanan A noktası, koordinat sistemi üzerinde gösterilmiştir. Birinci sayı değeri x eksenine ait sayı değeri olan 1 sayısıdır. İkinci sayı değeri y eksenine ait sayı değeri olan 1 sayısıdır.
x eksenine ait sayı değeri olan 1 sayısından, dik bir çizgi çizilir.
y eksenine ait sayı değeri olan 1 sayısından, dik bir çizgi çizilir.
Çizilen iki dik çizginin kesiştiği nokta, A ( 1 , 1 ) şeklinde tanımlanan A noktasının koordinat sistemi üzerinde gösterimidir.
Analitik düzlem üzerinde B noktasının gösterilmesi:
Yukarıdaki resimde B ( 1 , -1 ) şeklinde tanımlanan B noktası, koordinat sistemi üzerinde gösterilmiştir. Birinci sayı değeri x eksenine ait sayı değeri olan 1 sayısıdır. İkinci sayı değeri y eksenine ait sayı değeri olan -1 sayısıdır.
x eksenine ait sayı değeri olan 1 sayısından, dik bir çizgi çizilir.
y eksenine ait sayı değeri olan -1 sayısından, dik bir çizgi çizilir.
Çizilen iki dik çizginin kesiştiği nokta, B ( 1 , -1 ) şeklinde tanımlanan B noktasının koordinat sistemi üzerinde gösterimidir.
Analitik düzlem üzerinde C noktasının gösterilmesi:
Yukarıdaki resimde C ( -2 , -1 ) şeklinde tanımlanan C noktası, koordinat sistemi üzerinde gösterilmiştir. Birinci sayı değeri x eksenine ait sayı değeri olan -2 sayısıdır. İkinci sayı değeri y eksenine ait sayı değeri olan -1 sayısıdır.
x eksenine ait sayı değeri olan -2 sayısından, dik bir çizgi çizilir.
y eksenine ait sayı değeri olan -1 sayısından, dik bir çizgi çizilir.
Çizilen iki dik çizginin kesiştiği nokta, C ( -2 , -1 ) şeklinde tanımlanan C noktasının koordinat sistemi üzerinde gösterimidir.
Analitik düzlem üzerinde D noktasının gösterilmesi:
Yukarıdaki resimde D ( -2 , 3 ) şeklinde tanımlanan D noktası, koordinat sistemi üzerinde gösterilmiştir. Birinci sayı değeri x eksenine ait sayı değeri olan -2 sayısıdır. İkinci sayı değeri y eksenine ait sayı değeri olan 3 sayısıdır.
x eksenine ait sayı değeri olan -2 sayısından, dik bir çizgi çizilir.
y eksenine ait sayı değeri olan 3 sayısından, dik bir çizgi çizilir.
Çizilen iki dik çizginin kesiştiği nokta, D ( -2 , 3 ) şeklinde tanımlanan D noktasının koordinat sistemi üzerinde gösterimidir.
Kartezyen Çarpım Grafiği
A ve B kümelerinin kartezyen çarpımının oluşturduğu sıralı ikililer koordinat sistemi üzerinde gösterilmek istenirse;x ekseni: A kümesinin ekseni olarak tanımlanır ve A harfi ile gösterilir. A ekseni üzerindeki ifadeler, A kümesinin elemanlarından oluşur.
y ekseni: B kümesinin ekseni olarak tanımlanır ve B harfi ile gösterilir. B ekseni üzerindeki ifadeler, B kümesinin elemanlarından oluşur.
A x B kümesinin oluşturduğu sıralı ikililerin, birinci terimleri A ekseni üzerinde, ikinci terimleri B ekseni üzerinde işaretlenir.
Kartezyen çarpım grafiği:
Yukarıdaki resimde;
A = { -1 , 2 }
B = { z , t }
A x B = { (-1 , z) , (-1 , t) , (2 , z) , (2 , t) }
A x B kümesinin elemanları olan sıralı ikililer, kartezyen çarpım grafiği üzerinde gösterilmiştir.
( -1 , z ) sıralı ikilisi, A x B kümesin elemanı olan bir sıralı ikilidir ve kartezyen çarpım grafiği üzerinde K harfi gösterilmiştir. Sıralı ikiliyi oluşturan birinci terim, A ekseni üzerindeki ve A kümesine ait eleman olan -1 sayısıdır. İkinci terim, B ekseni üzerindeki ve B kümesine ait eleman olan z harfidir.
A ekseni üzerindeki ve A kümesine ait eleman olan -1 sayısından, dik bir çizgi çizilir.
B ekseni üzerindeki ve B kümesine ait eleman olan z harfinden, dik bir çizgi çizilir.
Çizilen iki dik çizginin kesiştiği nokta olan K noktası, A x B kümesinin elemanı olan ( -1 , z ) sıralı ikilisinin, kartezyen çarpım grafiği üzerinde gösterimidir.
( -1 , t ) sıralı ikilisi, A x B kümesin elemanı olan bir sıralı ikilidir ve kartezyen çarpım grafiği üzerinde L harfi gösterilmiştir. Sıralı ikiliyi oluşturan birinci terim, A ekseni üzerindeki ve A kümesine ait eleman olan -1 sayısıdır. İkinci terim, B ekseni üzerindeki ve B kümesine ait eleman olan t harfidir.
A ekseni üzerindeki ve A kümesine ait eleman olan -1 sayısından, dik bir çizgi çizilir.
B ekseni üzerindeki ve B kümesine ait eleman olan t harfinden, dik bir çizgi çizilir.
Çizilen iki dik çizginin kesiştiği nokta olan L noktası, A x B kümesinin elemanı olan ( -1 , t ) sıralı ikilisinin, kartezyen çarpım grafiği üzerinde gösterimidir.
( 2 , z ) sıralı ikilisi, A x B kümesin elemanı olan bir sıralı ikilidir ve kartezyen çarpım grafiği üzerinde M harfi gösterilmiştir. Sıralı ikiliyi oluşturan birinci terim, A ekseni üzerindeki ve A kümesine ait eleman olan 2 sayısıdır. İkinci terim, B ekseni üzerindeki ve B kümesine ait eleman olan z harfidir.
A ekseni üzerindeki ve A kümesine ait eleman olan 2 sayısından, dik bir çizgi çizilir.
B ekseni üzerindeki ve B kümesine ait eleman olan z harfinden, dik bir çizgi çizilir.
Çizilen iki dik çizginin kesiştiği nokta olan M noktası, A x B kümesinin elemanı olan ( 2 , z ) sıralı ikilisinin, kartezyen çarpım grafiği üzerinde gösterimidir.
( 2 , t ) sıralı ikilisi, A x B kümesin elemanı olan bir sıralı ikilidir ve kartezyen çarpım grafiği üzerinde N harfi gösterilmiştir. Sıralı ikiliyi oluşturan birinci terim, A ekseni üzerindeki ve A kümesine ait eleman olan 2 sayısıdır. İkinci terim, B ekseni üzerindeki ve B kümesine ait eleman olan t harfidir.
A ekseni üzerindeki ve A kümesine ait eleman olan 2 sayısından, dik bir çizgi çizilir.
B ekseni üzerindeki ve B kümesine ait eleman olan t harfinden, dik bir çizgi çizilir.
Çizilen iki dik çizginin kesiştiği nokta olan N noktası, A x B kümesinin elemanı olan ( 2 , t ) sıralı ikilisinin, kartezyen çarpım grafiği üzerinde gösterimidir.
Sıralı İkili Örnek Soru
(a² - b² , 6) = (30 , a + b) ise, a - b değeri kaçtır? (2008-2009 Açık Öğretim Lisesi M.E.B.)
A) 3
B) 5
D) 6
D) 15
Çözüm:
(a-b)² ve (a+b)² Açılımı:
Yukarıdaki resimde (a-b)² ve (a+b)² açılımı verilmiştir. Soruya bakıldığında, (a+b)² açılımı ile çözüleceği görülür. Bu iki karesi açılımının bilinmesi, bu ve buna benzer soruların çözümü için gereklidir. Parantez açma işlemleri yapıldığında, resimde gösterilen iki formül elde edilir. Not: "a²", "a kare", "a'nın 2. kuvveti", "a üzeri 2" ve "a üssü 2" söylemlerinin hepsi, aynı şeyi ifade eder.
- a ile a çarpımı a² 'dir
- a ile (-b)'nin çarpımı (-ab)'dir.
- (-b) ile a'nın çarpımı (-ab)'dir.
- (-b) ile (-b)'nin çarpımı b² 'dir. Bu dört değer toplandığında (a-b)² açılım formülü çıkar.
- a ile a çarpımı a² 'dir.
- a ile b'nin çarpımı ab'dir.
- b ile a'nın çarpımı ab'dir.
- b ile b'nin çarpımı b² 'dir. Bu dört değer toplandığında (a+b)² açılım formülü çıkar.
Yukarıdaki resimde gösterilen çözüm, A, B, C ve D şeklinde 4 aşamada incelenir.
Resim A: Sıralı ikililerin, 1. terimleri (virgül solu) ve 2. terimleri (virgül sağı) birbirine eşittir. Resimde eşit olan ifadeler yay işareti ile gösterilir. Buna göre:
a² - b² = 30
a + b = 6 olur.
(a+b)² formülünden yararlanmak için, a + b = 6 eşitliğinin her iki tarafının karesi alınır. Eşitliğin her iki tarafının karesinin alınması, eşitliği değiştirmez. (a+b)² = 6² → a² + 2ab + b² = 36 olur.
Resim B: a² - b² değeri ile, (a+b)² açılımı alt alta yazılır ve toplanır. Nedeni, -b² ile +b² değerlerinin birbirini götürmesi ile toplama işleminde etkisiz eleman olan 0 (sıfır) değerinin bulunup, denklemden b² bilinmeyenin, çıkmasının istenmesidir.
- a² ile a² toplamı 2a² olur.
- 2ab aynen yazılır.
- -b² ile +b² sadeleşir ve bulunan 0 sonucu toplamaya tekrar yazılmaz.
- 30 + 36 = 66 olur.
2a² + 2ab = 2a.(a + b) → toplanan iki değer, 2a parantezine alınarak yazılır. Sebebi, 2.derece olan a² bilinmeyenini, 1.derece olan a bilinmeyenine indirgemenin, çözümü kolaylaştıracak olmasıdır. Paranteze alma, parantez açma işleminin tersidir.
Bu aşamaya gelen denklemlerde, paranteze alma, parantez açma, yukarıda verilen formül benzeri formüllerden faydalanmak, denklemin çözümünü görmenizi sağlayabilir. Denklemi çözmek için, bir şeyler yapmak gerekir. 2a parantezine alındığında (a+b)'nin kalacağı, ilk etapta görülmeyebilir. Denklemi sadeleştirmeye çalışmak, çözümü görmenize olanak sağlar.
Resim C:
- a + b'nin değeri soruda verilmiştir. a + b = 6'dır.
- 2a(a+b) = 66 eşitliğinde, a+b yerine 6 yazılır.
- 2a.6 = 66 eşitliğin her iki tarafı 6 sayısına bölünür.
- 2a = 11 eşitliğin her iki tarafı 2 sayısına bölünür.
- a = 5,5 olur.
- a + b = 6 eşitliğinde, a yerine 5,5 yazılır.
- 5,5 + b = 6 eşitliğinde b'yi yalnız bırakmak için, 5,5 sayısı, eşitliğin diğer tarafına alınır. Eşitliğin diğer tarafına alınan (+5,5) sayısı işaret değiştirir ve (-5,5) olur.
- b = 6 - 5,5
- b = 0,5 olur.
Yorumlar
Yorum Gönder