Şu an 1. Bölüm görüntüleniyor...
Bölüm Konuları:
Küme Tanımı , Boş Küme
Sonlu ve Sonsuz Kümeler , Denk Kümeler
Eşit Kümeler , Alt Küme ve Öz Alt Küme
Farklı nesnelerden oluşan topluluklara küme denir. Öğrencilerden oluşan bir sınıf, insanlardan oluşan bir şehir, bir ilçe, bir mahalle, bir sepetteki yumurtalar, bir kütüphanedeki kitaplar küme oluşturabilirler. Kümeler büyük harf ile isimlendirilir. Bir kümede, her eleman bir kez yazılır.
Eleman (Öğe) : Kümeyi oluşturan nesnelere, o kümenin elemanı (öğesi) denir. Bir nesne, bir kümenin elemanı ise ∈ sembolü ile gösterilir. Bir nesne, bir kümenin elemanı değilse ∉ sembolü ile gösterilir. Kümeyi oluşturan elemanların sırasının değişmesi, o kümeyi değiştirmez.
Eleman Sayısı : Kümeyi oluşturan elemanların toplam sayısıdır. A kümesi için eleman sayısı s(A) ile gösterilir.
Küme, Küme Elamanı, Küme Elemanı Değil ve Eleman Sayısı:
Küme elemanları, çember, dikdörtgen gibi geometrik şekiller içinde gösterebileceği gibi, aralarına virgül koyularak "{ }" süslü parantez içinde de gösterilebilir. Yukarıdaki resimde gösterilen K kümesi;
K = { A , B , C , D } şeklinde de gösterilebilir.
K kümesi için;
A ∈ K → A öğesi, K kümesinin elemanıdır.
E ∉ K → E öğesi, K kümesinin elemanı değildir.
s(K) = 4 → K kümesi 4 elemanlı bir kümedir.
Örnek:
A = { 1 , 5 , {x,y} , Ğ , {a} } kümesi 5 elemanlı bir kümedir. Süslü parantez içindeki {x,y} ve {a} öğeleri, A kümesinin birer elemanıdır.
s(A) = 5
1 ∈ A
5 ∈ A
{x,y} ∈ A
Ğ ∈ A
{a} ∈ A
Örnek:
A = { x : -10 < x < 0 ve x tek sayı }
kümesi veriliyor.
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? (Kaynak: Supara)
A-) s(A) = 0
B-) 3 ∈ A
C-) -9 ∈ A
D-) -1 ∉ A
E-) {-5} ∈ A
Çözüm :
x : , A kümesini oluşturan x bilinmeyeninin tanımıdır ve bu tanıma göre x sayısı, -10 sayısından büyük, 0 sayısından küçük tek sayı olmalıdır. 2'ye bölünebilen sayılar çift sayı, 2'ye bölünemeyen sayılar ise tek sayılardır. Bu tanıma göre x sayısı, -1, -3, -5, -7 ve -9 olabilir. (Negatif sayılarda, sayı büyüdükçe, sayı değeri küçülür. -9 sayısı, -10 sayısından daha büyük bir değer ifade eder.)
A = { -1 , -3 , -5 , -7 , -9 } ise;
s(A) = 5 → A kümesinin eleman sayısı 5 olduğundan A seçeneği yanlıştır.
3 ∉ A → olduğundan B seçeneği yanlıştır.
-9 ∈ A → olduğundan C seçeneği doğrudur.
-1 ∈ A → olduğundan D seçeneği yanlıştır.
{-5} ∉ A → olduğundan E seçeneği yanlıştır.
Not: Küçüktür (<) işaretinin solunda küçük sayı, sağında ise büyük sayı bulunur.
küçük sayı < büyük sayı . (-10 < -9) (9 < 10)
Büyüktür (>) işaretinin solunda büyük sayı, sağında ise küçük sayı bulunur.
büyük sayı > küçük sayı. (-9 > -10) (10 > 9)
Ok işaretinin yönü, küçük sayıyı gösterir şeklinde akılda tutulabilir.
Örnek :
A = { x : 5 ≤ x < 41 , x = 4k + 1 , k tam sayı }
kümesi veriliyor.
Buna göre, s(A) kaçtır? (Kaynak: Supara)
Çözüm:
x : , A kümesini oluşturan x bilinmeyeninin tanımıdır ve bu tanıma göre x; 5 sayısından büyük eşit, 41 sayısından küçük olmalıdır. k tam sayı olmak üzere x = 4k + 1 koşulunu sağlamalıdır.
1 sayısı eşitliğin sol tarafına alındığında yeni eşitlik x - 1 = 4k olur. (Eşitliğin sağına veya soluna alınan sayı veya bilinmeyen, işaret (+ , -) değiştirir. Eşitliğin sağında olan (+1) sayısı, eşitliğin soluna alındığında (-1) sayısına dönüşmüştür.).
k pozitif tam sayı olmak üzere, hangi değeri alırsa alsın 4 ile çarpıldığında (4k), 4 sayısının katı olur.
Bu durumda x - 1 değerinin 4 sayısının katı olması gerekir.
x bilinmeyeninin; 5 , 9 , 13 , 17 , 21 , 25 , 29 , 33 , 37 değerleri için x - 1 = 4k koşulunu sağlandığından,
A = { 5 , 9 , 13 , 17 , 21 , 25 , 29 , 33 , 37 } kümesinin eleman sayısı 9'dur. s(A) = 9
Not : Küçük eşit (≤) ve büyük eşit (≥) sembolleri, küçüktür (<) ve büyüktür (>) sembollerine aynı zamanda eşitlik verilmiş sembollerdir.
Örneğin,
5 ≤ x ≤ 10 şartı için x = { 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10} ,
5 < x < 10 şartı için x = { 6 , 7 , 8 , 9 } olabilir.
Boş Küme:
Yukarıdaki resimde A kümesi boş kümedir. Boş A kümesi;
A = ∅
A = { }
∅A şeklinde gösterilebilir.
Boş A kümesinin eleman sayısı;
s(A) = 0
s(∅A) = 0 şeklinde gösterilebilir.
Boş Küme Örnek Soru (Kaynak: Supara):
Çözüm:
A kümesi için : Sadece 1 sayısına ve kendisine bölünebilen sayılar asal sayılardır. 2 , 3 , 5 , 7... sayıları asal sayılardır. 3'ten küçük asal sayı sadece 2 sayısıdır. A kümesi boş küme değildir.
B kümesi için : Haftanın Ç harfi ile başlayan günü sadece Çarşamba günüdür. B kümesi boş küme değildir.
C kümesi için :
x : ile bilinmeyen x sayısı tanımlanmıştır. Tanıma göre x bilinmeyeni tam sayıdır. Tam sayılar negatif (-) veya pozitif (+) olabilirler.
Bu tanıma göre x² ile 4 sayısı toplandığında 0 sonucu bulunmalıdır. Bu durumda x² = (-4) olmalıdır. x² yazımı, söylemde, x'in karesi veya x'in 2. kuvveti olarak da isimlendirilebilir. x sayısı ile x sayısının çarpım sonucunu ifade eder. x.x şeklinde de yazılabilir. Matematik'te nokta işareti (.) çarpma işleminin sembolü olan (x) çarpı işareti yerine kullanılabilir.
Pozitif tam sayı olan (+2) ile (+2) çarpımı (2²) 4 sayısıdır. 4 + 4 = 8 olduğundan x sayısı (+2) olamaz.
Negatif tam sayı olan (-2) ile (-2) çarpımı ( (-2)² ) yine 4 sayısıdır. Matematik'te (-) sayı ile (-) sayının çarpımı pozitif (+) bir sayıdır. (-).(-) = (+) olduğundan x sayısı (-2) olamaz. Hiç bir sayının karesi negatif sayı (-) olamayacağından, C kümesi boş kümedir.
A = { x : 0 < x < 1.000.000.000, x = 3k ve k pozitif tam sayı } kümesi, 1 sayısı ile 1 milyar sayısı arasındaki, 3 sayısının katlarından oluşan, sayılabilir sonlu bir kümedir.
B = { 17 , 19 , 23 , 29 } kümesi sayılabilir sonlu bir kümedir.
Bir ormandaki ağaçlar, bir kıtadaki insanlar, bir gölü oluşturan sudaki hidrojen ve oksijen molekülleri gibi kümeler, sayılamayacak çoklukta düşünülse bile sayılabilir, tahmin edilebilir, sonlu kümelerdir.
Sonsuz sayıda elemanı olan kümelere sonsuz küme denir. Sonsuz kümelerin elemanları sonsuz sayıdadır. Örneğin doğal sayılar kümesi N = { 0 , 1 , 2 , 3, ....... ∞ } sonsuz bir kümedir. Sonsuzluk ∞ sembolü ile ifade edilir.
Denk Kümeler:
Yukarıdaki resimde gösterilen;
A = { A , B , C , D , E } kümesinin eleman sayısı 5'tir. s(A) = 5
B = { Q , X , Y , W , Z } kümesinin eleman sayısı 5'tir. s(B) = 5
C = { Ali , Ayşe , Veli , Fatma } kümesinin eleman sayısı 4'tür. s(C) = 4
Buna göre;
A ≡ B → A kümesi ve B kümesi birbirine denk kümedir.
A ≢ C → A kümesi ve C kümesi birbirine denk küme değildir.
B ≢ C → B kümesi ve C kümesi birbirine denk küme değildir.
Eşit Kümeler:
Yukarıdaki resimde gösterilen;
X = { A , B , C , D } kümesinin eleman sayısı s(X) = 4
Y = { B , A , D , C } kümesinin eleman sayısı s(Y) = 4
Z = { Ğ , Ö , Ş , Ü } kümesinin eleman sayısı s(Z) = 4
Buna göre:
X = Y → X ve Y kümeleri eşit kümelerdir.
X ≠ Z → X ve Z kümeleri eşit kümeler değildir.
Y ≠ Z → Y ve Z kümeleri eşit kümeler değildir.
X ≡ Y ≡ Z → X, Y ve Z kümeleri denk kümelerdir.
Eşit Kümeler Örnek Soru (Kaynak: Supara):
Çözüm:
A kümesi ve B kümesi eşit kümeler olduğundan aynı elemanlardan oluşmalıdır.
x :, A kümesini oluşturan x bilinmeyeninin tanımıdır ve bu tanıma göre x sayısı; 1 sayısından büyük, 8 sayısından küçük olmalıdır ve x = 2k koşulunu sağlamalıdır. Buna göre 2k koşulundan dolayı, x'in 2 sayısının katı olması gerekir.
x = 2 için → B = { x , 3.x , x.x } → B = { 2 , 3.2 , 2.2 } → B = { 2 , 6 , 4 } → A = { 2 , 6 , 4 }
x = 4 için → B = { x , 3.x , x.x } → B = { 4 , 3.4 , 4.4 } → B = { 4 , 12 , 16 } → A = { 4 , 12 , 16 }
x = 4 için, A kümesinin elemanları (Aynı zamanda B kümesinin elemanları) 4 , 12 , 16 olur.
12 sayısı ve 16 sayısı, 8 sayısından büyük sayılardır. A kümesini oluşturan x sayısının 1 < x < 8 arasında olması koşulundan ve A kümesi ile B kümesinin eşit olma koşulundan dolayı x sayısı sadece 2 olabilir. x = 2
Alt Küme:
Yukarıdaki resimde gösterilen A, B, C ve D kümeleri için;
B ⊂ A (B ⊆ A) → B kümesi, A kümesinin alt kümesidir.
C ⊂ B (C ⊆ B) → C kümesi, B kümesinin alt kümesidir.
C ⊂ A (C ⊆ A) → C kümesi, A kümesinin alt kümesidir.
D ⊄ C (D ⊈ C) → D kümesi, C kümesinin alt kümesi değildir.
C ⊄ D (C ⊈ D) → C kümesi, D kümesinin alt kümesi değildir.
A ⊄ D (A ⊈ D) → A kümesi, D kümesinin alt kümesi değildir.
D ⊄ A (D ⊈ A) → D kümesi, A kümesinin alt kümesi değildir.
Alt küme sembolleri:
Kapsanan taraf ⊂ Kapsayan taraf
Kapsanan taraf ⊆ Kapsayan taraf
Kapsayan taraf ⊃ Kapsanan taraf
Kapsayan taraf ⊇ Kapsanan taraf
Alt kümesi değil sembolleri:
Kapsanan taraf değil ⊄ Kapsayan taraf değil
Kapsanan taraf değil ⊈ Kapsayan taraf değil
Kapsayan taraf değil ⊅ Kapsanan taraf değil
Kapsayan taraf değil ⊉ Kapsanan taraf değil
Alt Kümenin Özellikleri
A ⊆ A → A kümesi, kendisinin alt kümesidir.
∅ ⊆ A → Boş küme, A kümesinin alt kümesidir.
B ⊆ A ve C ⊆ B ise C ⊆ A
B ⊆ A ve A ⊆ B ise A = B (A kümesi ve B kümesi eşit kümelerdir.)
Alt Küme ve Öz Alt Küme Sayı Formülleri
Yukarıdaki resimde gösterilen;
A = { a , b , c } kümesinin eleman sayısı s(A) = 3
A kümesinin alt kümeleri → ∅ , {a} , {b} , {c} , {a,b} , {a,c} , {b,c} , {a,b,c} kümeleridir. s(A) = 3 olan A kümesinin alt küme sayısı 8'dir.
n elemanlı bir kümenin alt küme sayısı, 2ⁿ formülü ile bulunur. 3 elemanlı A kümesi için;
alt küme sayısı → 2³ → (2'nin 3. kuvveti) → 2.2.2 = 8'dir.
A kümesinin öz alt kümeleri → ∅ , {a} , {b} , {c} , {a,b} , {a,c} , {b,c} kümeleridir. s(A) = 3 olan A kümesinin öz alt küme sayısı 7'dir. A kümesinin 8 olan alt küme sayısından, kendi küme sayısı olan 1 sayısının çıkarılması ( 8 - 1 = 7 ) formülü ile bulunur.
Örnek:
A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } kümesi veriliyor.
Buna göre A kümesinin, 2 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 2, eleman olarak bulunur?
Çözüm:
1 elemanı için : {1,2} , {1,3} , {1,4} , {1,5}
2 elemanı için : {2,3} , {2,4} , {2,5} → {2,1} alt kümesi ile {1,2} alt kümesi aynı kümedir. Küme elemanlarının sırasının veya yerlerinin değişmesi o kümeyi değiştirmez.
3 elemanı için : {3,4} , {3,5} → {3,1} ve {3,2} alt kümeleri ile {1,3} ve {2,3} alt kümeleri aynı alt kümelerdir.
4 elemanı için : {4,5} → {4,1}, {4,2} ve {4,3} alt kümeleri ile {1,4}, {2,4} ve {3,4} alt kümeleri aynı alt kümelerdir.
5 elemanı için : 1, 2, 3 ve 4 sayılarının eleman olarak bulunduğu alt kümelerde, 5 sayısı eleman olarak bulunur.
Buna göre A kümesinin 2 elemanlı alt kümeleri → {1,2} , {1,3} , {1,4} , {1,5} , {2,3} , {2,4} , {2,5} , {3,4} , {3,5} , {4,5} kümeleridir.
2 sayısının eleman olarak bulunduğu 2 elemanlı alt kümeler → {1,2} , {2,3} , {2,4} , {2,5} kümeleridir.
A kümesinin, 2 elemanlı alt kümelerinin 4 tanesinde 2, eleman olarak bulunur. Cevap : 4
Örnek:
s(A) = 6 olan A kümesinin 2 elemanlı alt küme sayısı kaçtır?
n elemanlı alt küme sayısı için kombinasyon formülü:
Çözüm:
Kombinasyon formülü içinde faktöriyel işlemleri yer alır. Faktöriyel, 1 sayısından, n sayısına kadar olan sayma sayılarının çarpım işlemidir. n faktöriyel, n! şeklinde gösterilir.
5! = 5.4.3.2.1 → x! = x.(x-1).(x-2).(x-3). ... .1 → 5 sayısına göre çarpma işlemleri incelendiğinde, birinci çarpma işleminin 5'in 1 eksiği olan 4, ikinci çarpma işleminin 5'in 2 eksiği olan 3, üçüncü çarpma işleminin 5'in 3 eksiği olan 2, dördüncü çarpma işleminin 5'in 4 eksiği olan 1 sayısı olduğu görülür. Matematik'te çarpma işleminin nokta(.) ile de yapılabileceğinden bahsetmiştik. 5! işleminin açılımındaki sayı eksiltme işlemleri, x bilinmeyenine uygulandığında, x! işleminin açılımı ortaya çıkar. x sayısının kaç olduğu bilinmediği için, 1 sayısına kadar olan sayılar nokta ile tamamlanmıştır.
5! = 5.4! → x! = x.(x-1)! → 5! işlemi, 5.4! şeklinde yazılabilir. 4! = 4.3.2.1
5! = 5.4.3! → x! = x.(x-1).(x-2)! → 5! işlemi, 5.4.3! şeklinde yazılabilir. 3! = 3.2.1
n elemanlı bir kümenin r elemanlı kombinasyonları (r elemanlı alt küme sayısı) kombinasyon formülü ile bulunur. Yukarıdaki resimde gösterilen formüle göre, A kümenin eleman sayısı s(A) = n ise; n! işleminin sonucu, (n-r)! . r! işleminin sonucuna bölünmelidir. Soruda A kümesinin eleman sayısı 6 olduğundan s(A) = n = 6 'dır.
r , r elemanlı alt kümeyi oluşturan eleman sayısını ifade eder. Soruda 2 elemanlı alt küme sayısı istendiğinden r = 2'dir.
Kombinasyon formülüne, n yerine 6 sayısı, r yerine 2 sayısı konularak işlemler yapılır. 4! sayıları üzerindeki çizgiler, 4! sayılarının sadeleştiğini ifade eder. Bölme işleminin, bölünen (üst kısım) ve bölen (alt kısım) kısımlarında olan 4! faktöriyel sayısının kendisine bölünmesi 1 sonucunu verir. Herhangi bir sayının, kendisine bölünmesi 1 sonucunu verir. 4! sayıları ile işlemin bittiğini göstermek için üzerilerine çizgi çekilir. 1 sayısı çarpma ve bölme işlemlerinde etkisiz elemandır. Çarpma ve bölme işleminde etkisiz eleman olan 1 sayısı, işlem sonucunu değiştirmediğinden bölme işleminin bölünen kısmına çarpı 1 olarak tekrar yazılmaz. İşlemin devamında bölünen kısımda 6 x 5 = 30 işlemi yapılır. Bölen kısımında 2! = 2 x 1 = 2 işlemi yapılır. 30 sayısının, 2 sayısına bölünmesi ile 15 sonucuna ulaşılır. Cevap: 15
Bölüm Konuları:
Küme Tanımı , Boş Küme
Sonlu ve Sonsuz Kümeler , Denk Kümeler
Eşit Kümeler , Alt Küme ve Öz Alt Küme
Farklı nesnelerden oluşan topluluklara küme denir. Öğrencilerden oluşan bir sınıf, insanlardan oluşan bir şehir, bir ilçe, bir mahalle, bir sepetteki yumurtalar, bir kütüphanedeki kitaplar küme oluşturabilirler. Kümeler büyük harf ile isimlendirilir. Bir kümede, her eleman bir kez yazılır.
Eleman (Öğe) : Kümeyi oluşturan nesnelere, o kümenin elemanı (öğesi) denir. Bir nesne, bir kümenin elemanı ise ∈ sembolü ile gösterilir. Bir nesne, bir kümenin elemanı değilse ∉ sembolü ile gösterilir. Kümeyi oluşturan elemanların sırasının değişmesi, o kümeyi değiştirmez.
Eleman Sayısı : Kümeyi oluşturan elemanların toplam sayısıdır. A kümesi için eleman sayısı s(A) ile gösterilir.
Küme, Küme Elamanı, Küme Elemanı Değil ve Eleman Sayısı:
Küme elemanları, çember, dikdörtgen gibi geometrik şekiller içinde gösterebileceği gibi, aralarına virgül koyularak "{ }" süslü parantez içinde de gösterilebilir. Yukarıdaki resimde gösterilen K kümesi;
K = { A , B , C , D } şeklinde de gösterilebilir.
K kümesi için;
A ∈ K → A öğesi, K kümesinin elemanıdır.
E ∉ K → E öğesi, K kümesinin elemanı değildir.
s(K) = 4 → K kümesi 4 elemanlı bir kümedir.
Örnek:
A = { 1 , 5 , {x,y} , Ğ , {a} } kümesi 5 elemanlı bir kümedir. Süslü parantez içindeki {x,y} ve {a} öğeleri, A kümesinin birer elemanıdır.
s(A) = 5
1 ∈ A
5 ∈ A
{x,y} ∈ A
Ğ ∈ A
{a} ∈ A
Örnek:
A = { x : -10 < x < 0 ve x tek sayı }
kümesi veriliyor.
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? (Kaynak: Supara)
A-) s(A) = 0
B-) 3 ∈ A
C-) -9 ∈ A
D-) -1 ∉ A
E-) {-5} ∈ A
Çözüm :
x : , A kümesini oluşturan x bilinmeyeninin tanımıdır ve bu tanıma göre x sayısı, -10 sayısından büyük, 0 sayısından küçük tek sayı olmalıdır. 2'ye bölünebilen sayılar çift sayı, 2'ye bölünemeyen sayılar ise tek sayılardır. Bu tanıma göre x sayısı, -1, -3, -5, -7 ve -9 olabilir. (Negatif sayılarda, sayı büyüdükçe, sayı değeri küçülür. -9 sayısı, -10 sayısından daha büyük bir değer ifade eder.)
A = { -1 , -3 , -5 , -7 , -9 } ise;
s(A) = 5 → A kümesinin eleman sayısı 5 olduğundan A seçeneği yanlıştır.
3 ∉ A → olduğundan B seçeneği yanlıştır.
-9 ∈ A → olduğundan C seçeneği doğrudur.
-1 ∈ A → olduğundan D seçeneği yanlıştır.
{-5} ∉ A → olduğundan E seçeneği yanlıştır.
Not: Küçüktür (<) işaretinin solunda küçük sayı, sağında ise büyük sayı bulunur.
küçük sayı < büyük sayı . (-10 < -9) (9 < 10)
Büyüktür (>) işaretinin solunda büyük sayı, sağında ise küçük sayı bulunur.
büyük sayı > küçük sayı. (-9 > -10) (10 > 9)
Ok işaretinin yönü, küçük sayıyı gösterir şeklinde akılda tutulabilir.
Örnek :
A = { x : 5 ≤ x < 41 , x = 4k + 1 , k tam sayı }
kümesi veriliyor.
Buna göre, s(A) kaçtır? (Kaynak: Supara)
Çözüm:
x : , A kümesini oluşturan x bilinmeyeninin tanımıdır ve bu tanıma göre x; 5 sayısından büyük eşit, 41 sayısından küçük olmalıdır. k tam sayı olmak üzere x = 4k + 1 koşulunu sağlamalıdır.
1 sayısı eşitliğin sol tarafına alındığında yeni eşitlik x - 1 = 4k olur. (Eşitliğin sağına veya soluna alınan sayı veya bilinmeyen, işaret (+ , -) değiştirir. Eşitliğin sağında olan (+1) sayısı, eşitliğin soluna alındığında (-1) sayısına dönüşmüştür.).
k pozitif tam sayı olmak üzere, hangi değeri alırsa alsın 4 ile çarpıldığında (4k), 4 sayısının katı olur.
Bu durumda x - 1 değerinin 4 sayısının katı olması gerekir.
x bilinmeyeninin; 5 , 9 , 13 , 17 , 21 , 25 , 29 , 33 , 37 değerleri için x - 1 = 4k koşulunu sağlandığından,
A = { 5 , 9 , 13 , 17 , 21 , 25 , 29 , 33 , 37 } kümesinin eleman sayısı 9'dur. s(A) = 9
Not : Küçük eşit (≤) ve büyük eşit (≥) sembolleri, küçüktür (<) ve büyüktür (>) sembollerine aynı zamanda eşitlik verilmiş sembollerdir.
Örneğin,
5 ≤ x ≤ 10 şartı için x = { 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10} ,
5 < x < 10 şartı için x = { 6 , 7 , 8 , 9 } olabilir.
Boş Küme
Hiç elemanı olmayan kümeye boş küme denir. Boş küme ∅ veya { } sembolü ile gösterilir.Boş Küme:
Yukarıdaki resimde A kümesi boş kümedir. Boş A kümesi;
A = ∅
A = { }
∅A şeklinde gösterilebilir.
Boş A kümesinin eleman sayısı;
s(A) = 0
s(∅A) = 0 şeklinde gösterilebilir.
Boş Küme Örnek Soru (Kaynak: Supara):
Çözüm:
A kümesi için : Sadece 1 sayısına ve kendisine bölünebilen sayılar asal sayılardır. 2 , 3 , 5 , 7... sayıları asal sayılardır. 3'ten küçük asal sayı sadece 2 sayısıdır. A kümesi boş küme değildir.
B kümesi için : Haftanın Ç harfi ile başlayan günü sadece Çarşamba günüdür. B kümesi boş küme değildir.
C kümesi için :
x : ile bilinmeyen x sayısı tanımlanmıştır. Tanıma göre x bilinmeyeni tam sayıdır. Tam sayılar negatif (-) veya pozitif (+) olabilirler.
Bu tanıma göre x² ile 4 sayısı toplandığında 0 sonucu bulunmalıdır. Bu durumda x² = (-4) olmalıdır. x² yazımı, söylemde, x'in karesi veya x'in 2. kuvveti olarak da isimlendirilebilir. x sayısı ile x sayısının çarpım sonucunu ifade eder. x.x şeklinde de yazılabilir. Matematik'te nokta işareti (.) çarpma işleminin sembolü olan (x) çarpı işareti yerine kullanılabilir.
Pozitif tam sayı olan (+2) ile (+2) çarpımı (2²) 4 sayısıdır. 4 + 4 = 8 olduğundan x sayısı (+2) olamaz.
Negatif tam sayı olan (-2) ile (-2) çarpımı ( (-2)² ) yine 4 sayısıdır. Matematik'te (-) sayı ile (-) sayının çarpımı pozitif (+) bir sayıdır. (-).(-) = (+) olduğundan x sayısı (-2) olamaz. Hiç bir sayının karesi negatif sayı (-) olamayacağından, C kümesi boş kümedir.
Sonlu ve Sonsuz Kümeler
Sonlu sayıda elemanı olan kümelere sonlu küme denir. Sonlu kümelerin elemanları sayılabilir.A = { x : 0 < x < 1.000.000.000, x = 3k ve k pozitif tam sayı } kümesi, 1 sayısı ile 1 milyar sayısı arasındaki, 3 sayısının katlarından oluşan, sayılabilir sonlu bir kümedir.
B = { 17 , 19 , 23 , 29 } kümesi sayılabilir sonlu bir kümedir.
Bir ormandaki ağaçlar, bir kıtadaki insanlar, bir gölü oluşturan sudaki hidrojen ve oksijen molekülleri gibi kümeler, sayılamayacak çoklukta düşünülse bile sayılabilir, tahmin edilebilir, sonlu kümelerdir.
Sonsuz sayıda elemanı olan kümelere sonsuz küme denir. Sonsuz kümelerin elemanları sonsuz sayıdadır. Örneğin doğal sayılar kümesi N = { 0 , 1 , 2 , 3, ....... ∞ } sonsuz bir kümedir. Sonsuzluk ∞ sembolü ile ifade edilir.
Denk Kümeler
Eleman sayıları aynı olan kümelere denk küme denir. Denk kümelerin eleman sayıları birbirine eşit sayıdadır.Denk Kümeler:
Yukarıdaki resimde gösterilen;
A = { A , B , C , D , E } kümesinin eleman sayısı 5'tir. s(A) = 5
B = { Q , X , Y , W , Z } kümesinin eleman sayısı 5'tir. s(B) = 5
C = { Ali , Ayşe , Veli , Fatma } kümesinin eleman sayısı 4'tür. s(C) = 4
Buna göre;
A ≡ B → A kümesi ve B kümesi birbirine denk kümedir.
A ≢ C → A kümesi ve C kümesi birbirine denk küme değildir.
B ≢ C → B kümesi ve C kümesi birbirine denk küme değildir.
Eşit Kümeler
Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir. Eşit kümeler, aynı sayıda elemanlardan oluştuğundan birbirine denk kümelerdir. Her eşit küme birbirine denk'tir, ama her denk küme birbirine eşit değildir.Eşit Kümeler:
Yukarıdaki resimde gösterilen;
X = { A , B , C , D } kümesinin eleman sayısı s(X) = 4
Y = { B , A , D , C } kümesinin eleman sayısı s(Y) = 4
Z = { Ğ , Ö , Ş , Ü } kümesinin eleman sayısı s(Z) = 4
Buna göre:
X = Y → X ve Y kümeleri eşit kümelerdir.
X ≠ Z → X ve Z kümeleri eşit kümeler değildir.
Y ≠ Z → Y ve Z kümeleri eşit kümeler değildir.
X ≡ Y ≡ Z → X, Y ve Z kümeleri denk kümelerdir.
Eşit Kümeler Örnek Soru (Kaynak: Supara):
Çözüm:
A kümesi ve B kümesi eşit kümeler olduğundan aynı elemanlardan oluşmalıdır.
x :, A kümesini oluşturan x bilinmeyeninin tanımıdır ve bu tanıma göre x sayısı; 1 sayısından büyük, 8 sayısından küçük olmalıdır ve x = 2k koşulunu sağlamalıdır. Buna göre 2k koşulundan dolayı, x'in 2 sayısının katı olması gerekir.
x = 2 için → B = { x , 3.x , x.x } → B = { 2 , 3.2 , 2.2 } → B = { 2 , 6 , 4 } → A = { 2 , 6 , 4 }
x = 4 için → B = { x , 3.x , x.x } → B = { 4 , 3.4 , 4.4 } → B = { 4 , 12 , 16 } → A = { 4 , 12 , 16 }
x = 4 için, A kümesinin elemanları (Aynı zamanda B kümesinin elemanları) 4 , 12 , 16 olur.
12 sayısı ve 16 sayısı, 8 sayısından büyük sayılardır. A kümesini oluşturan x sayısının 1 < x < 8 arasında olması koşulundan ve A kümesi ile B kümesinin eşit olma koşulundan dolayı x sayısı sadece 2 olabilir. x = 2
Alt Küme ve Öz Alt Küme
A kümesi ve B kümesi için; B kümesinin bütün elemanları, A kümesinin de elamanı ise B kümesine, A kümesinin Alt Kümesi denir. A kümesinin, B kümesini kapsadığı ve B kümesinin, A kümesinin içinde olduğu da söylenebilir.Alt Küme:
Yukarıdaki resimde gösterilen A, B, C ve D kümeleri için;
B ⊂ A (B ⊆ A) → B kümesi, A kümesinin alt kümesidir.
C ⊂ B (C ⊆ B) → C kümesi, B kümesinin alt kümesidir.
C ⊂ A (C ⊆ A) → C kümesi, A kümesinin alt kümesidir.
D ⊄ C (D ⊈ C) → D kümesi, C kümesinin alt kümesi değildir.
C ⊄ D (C ⊈ D) → C kümesi, D kümesinin alt kümesi değildir.
A ⊄ D (A ⊈ D) → A kümesi, D kümesinin alt kümesi değildir.
D ⊄ A (D ⊈ A) → D kümesi, A kümesinin alt kümesi değildir.
Alt küme sembolleri:
Kapsanan taraf ⊂ Kapsayan taraf
Kapsanan taraf ⊆ Kapsayan taraf
Kapsayan taraf ⊃ Kapsanan taraf
Kapsayan taraf ⊇ Kapsanan taraf
Alt kümesi değil sembolleri:
Kapsanan taraf değil ⊄ Kapsayan taraf değil
Kapsanan taraf değil ⊈ Kapsayan taraf değil
Kapsayan taraf değil ⊅ Kapsanan taraf değil
Kapsayan taraf değil ⊉ Kapsanan taraf değil
Alt Kümenin Özellikleri
A ⊆ A → A kümesi, kendisinin alt kümesidir.
∅ ⊆ A → Boş küme, A kümesinin alt kümesidir.
B ⊆ A ve C ⊆ B ise C ⊆ A
B ⊆ A ve A ⊆ B ise A = B (A kümesi ve B kümesi eşit kümelerdir.)
Öz Alt Küme
Bir kümenin kendisinden başka bütün alt kümelerine, bu kümenin öz alt kümeleri adı verilir.Alt Küme ve Öz Alt Küme Sayı Formülleri
Yukarıdaki resimde gösterilen;
A = { a , b , c } kümesinin eleman sayısı s(A) = 3
A kümesinin alt kümeleri → ∅ , {a} , {b} , {c} , {a,b} , {a,c} , {b,c} , {a,b,c} kümeleridir. s(A) = 3 olan A kümesinin alt küme sayısı 8'dir.
n elemanlı bir kümenin alt küme sayısı, 2ⁿ formülü ile bulunur. 3 elemanlı A kümesi için;
alt küme sayısı → 2³ → (2'nin 3. kuvveti) → 2.2.2 = 8'dir.
A kümesinin öz alt kümeleri → ∅ , {a} , {b} , {c} , {a,b} , {a,c} , {b,c} kümeleridir. s(A) = 3 olan A kümesinin öz alt küme sayısı 7'dir. A kümesinin 8 olan alt küme sayısından, kendi küme sayısı olan 1 sayısının çıkarılması ( 8 - 1 = 7 ) formülü ile bulunur.
Örnek:
A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } kümesi veriliyor.
Buna göre A kümesinin, 2 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 2, eleman olarak bulunur?
Çözüm:
1 elemanı için : {1,2} , {1,3} , {1,4} , {1,5}
2 elemanı için : {2,3} , {2,4} , {2,5} → {2,1} alt kümesi ile {1,2} alt kümesi aynı kümedir. Küme elemanlarının sırasının veya yerlerinin değişmesi o kümeyi değiştirmez.
3 elemanı için : {3,4} , {3,5} → {3,1} ve {3,2} alt kümeleri ile {1,3} ve {2,3} alt kümeleri aynı alt kümelerdir.
4 elemanı için : {4,5} → {4,1}, {4,2} ve {4,3} alt kümeleri ile {1,4}, {2,4} ve {3,4} alt kümeleri aynı alt kümelerdir.
5 elemanı için : 1, 2, 3 ve 4 sayılarının eleman olarak bulunduğu alt kümelerde, 5 sayısı eleman olarak bulunur.
Buna göre A kümesinin 2 elemanlı alt kümeleri → {1,2} , {1,3} , {1,4} , {1,5} , {2,3} , {2,4} , {2,5} , {3,4} , {3,5} , {4,5} kümeleridir.
2 sayısının eleman olarak bulunduğu 2 elemanlı alt kümeler → {1,2} , {2,3} , {2,4} , {2,5} kümeleridir.
A kümesinin, 2 elemanlı alt kümelerinin 4 tanesinde 2, eleman olarak bulunur. Cevap : 4
Örnek:
s(A) = 6 olan A kümesinin 2 elemanlı alt küme sayısı kaçtır?
n elemanlı alt küme sayısı için kombinasyon formülü:
Çözüm:
Kombinasyon formülü içinde faktöriyel işlemleri yer alır. Faktöriyel, 1 sayısından, n sayısına kadar olan sayma sayılarının çarpım işlemidir. n faktöriyel, n! şeklinde gösterilir.
5! = 5.4.3.2.1 → x! = x.(x-1).(x-2).(x-3). ... .1 → 5 sayısına göre çarpma işlemleri incelendiğinde, birinci çarpma işleminin 5'in 1 eksiği olan 4, ikinci çarpma işleminin 5'in 2 eksiği olan 3, üçüncü çarpma işleminin 5'in 3 eksiği olan 2, dördüncü çarpma işleminin 5'in 4 eksiği olan 1 sayısı olduğu görülür. Matematik'te çarpma işleminin nokta(.) ile de yapılabileceğinden bahsetmiştik. 5! işleminin açılımındaki sayı eksiltme işlemleri, x bilinmeyenine uygulandığında, x! işleminin açılımı ortaya çıkar. x sayısının kaç olduğu bilinmediği için, 1 sayısına kadar olan sayılar nokta ile tamamlanmıştır.
5! = 5.4! → x! = x.(x-1)! → 5! işlemi, 5.4! şeklinde yazılabilir. 4! = 4.3.2.1
5! = 5.4.3! → x! = x.(x-1).(x-2)! → 5! işlemi, 5.4.3! şeklinde yazılabilir. 3! = 3.2.1
n elemanlı bir kümenin r elemanlı kombinasyonları (r elemanlı alt küme sayısı) kombinasyon formülü ile bulunur. Yukarıdaki resimde gösterilen formüle göre, A kümenin eleman sayısı s(A) = n ise; n! işleminin sonucu, (n-r)! . r! işleminin sonucuna bölünmelidir. Soruda A kümesinin eleman sayısı 6 olduğundan s(A) = n = 6 'dır.
r , r elemanlı alt kümeyi oluşturan eleman sayısını ifade eder. Soruda 2 elemanlı alt küme sayısı istendiğinden r = 2'dir.
Kombinasyon formülüne, n yerine 6 sayısı, r yerine 2 sayısı konularak işlemler yapılır. 4! sayıları üzerindeki çizgiler, 4! sayılarının sadeleştiğini ifade eder. Bölme işleminin, bölünen (üst kısım) ve bölen (alt kısım) kısımlarında olan 4! faktöriyel sayısının kendisine bölünmesi 1 sonucunu verir. Herhangi bir sayının, kendisine bölünmesi 1 sonucunu verir. 4! sayıları ile işlemin bittiğini göstermek için üzerilerine çizgi çekilir. 1 sayısı çarpma ve bölme işlemlerinde etkisiz elemandır. Çarpma ve bölme işleminde etkisiz eleman olan 1 sayısı, işlem sonucunu değiştirmediğinden bölme işleminin bölünen kısmına çarpı 1 olarak tekrar yazılmaz. İşlemin devamında bölünen kısımda 6 x 5 = 30 işlemi yapılır. Bölen kısımında 2! = 2 x 1 = 2 işlemi yapılır. 30 sayısının, 2 sayısına bölünmesi ile 15 sonucuna ulaşılır. Cevap: 15
Yorumlar
Yorum Gönder