Şu an 2. Bölüm görüntüleniyor....
Kümelerde Kesişim , Ayrık Kümeler , Kümelerde Birleşim
Kümelerde Kesişim ve Birleşim Özellikleri
Bir Kümenin Tümleyeni:
Yukarıdaki resimde, ok işareti ile gösterilen gri renkli bölüm, A kümesinin tümleyenidir.
∅' = E → Boş kümenin tümleyeni Evrensel kümedir. Boş küme hiç elemanı olmayan bir kümedir. Tam ve bütün olan evrensel kümeyi değiştirmez. Boş küme yok sayılırsa, olmayan bir kümenin tümleyeni evrensel kümenin kendisi olur.
E' = ∅ → Evrensel kümenin tümleyeni boş kümedir. Tam ve bütün olan bir kümeyi, yok sayılan boş küme tümleyebilir.
s(A) + s(A') = s(E) → A kümesinin eleman sayısı ile A kümesinin tümleyeninin eleman sayısının toplamı, evrensel kümenin eleman sayısına eşittir.
A ⊆ B ⇔ B' ⊆ A' → A kümesi, B kümesinin alt kümesi ise, ancak ve ancak (⇔) B kümesinin tümleyeni, A kümesinin tümleyeninin alt kümesidir.
Örnek: A ve B kümeleri E Evrensel kümesinin iki alt kümesi olmak üzere,
Çözüm:
Küme Tümleyeni Örnek Soru Çözümü:
Yukarıdaki resimde, soruda geçen A kümesi, B kümesi, A ve B kümesinin kesişim kümesi ve Evrensel küme çizilmiştir.
A ve B kümesinin kesişim kümesi (A ve B kümesinde bulunan aynı elemanların kümesi kesişim kümesidir ve ∩ sembolü ile gösterilir) koyu yeşil renk ile gösterilmiştir. İlk olarak bu bölüme s( A ∩ B ) = 4 değeri yazılmıştır.
A kümesinin, toplam eleman sayısı 8 ise, yalnızca A kümesine ait elemanların sayısı 8 - 4 = 4 sayısıdır. A kümesinin toplam eleman sayısından, A ∩ B kümesinin eleman sayısı olan 4 sayısının çıkarılması ile bulunur. Resimde sol tarafta bulunan 4 sayısının bulunduğu bölümdür.
B kümesinin, toplam eleman sayısı 10 ise, yalnızca B kümesine ait elemanların sayısı 10 - 4 = 6 sayısıdır. B kümesinin toplam eleman sayısından, yine, A ∩ B kümesinin eleman sayısı olan 4 sayısının çıkarılması ile bulunur. Resimde sağ tarafta bulunan 6 sayısının bulunduğu bölümdür.
Resimde, Evrensel kümeyi oluşturan A ve B kümesinin elemanları dışındaki, elemanlara x denilmiştir.
A' = {6,x} → A kümesi dışında kalan elemanlar
B' = {4,x} → B kümesi dışında kalan elemanlar
s( A' ∩ B' ) = {x} → A' kümesi ve B' kümesinin ortak elemanları x = 5 ise
s(E) = 4 (sadece A kümesi) + 4 (A ve B kümesinin ortak elemanları) + 6 (sadece B kümesinin elemanları) + 5 (A kümesinin ve B kümesinin dışında olan ortak elemanlar) = 19 sayısıdır. Cevap : 19
A ∩ B şeklinde gösterilir.
Kümelerin Kesişimi:
Yukarıdaki resimde gösterilen A ile B kümeleri için
A = { x , z , r } → A kümesinin elemanları x, z ve r elemanlarıdır.
B = { y , z , r } → B kümesinin elemanları y, z ve r elemanlarıdır.
A ile B kümelerinin ikisinde de bulunan z ve r elemanları, A ve B kümelerinin ortak elemanlarıdır. A ile B kümelerinin kesişim kümesi, bu ortak elemanların oluşturduğu kümedir.
A ∩ B = { z , r} → s(A∩ B) = 2
Ayrık Kümeler:
Yukarıdaki resimde gösterilen A ile B kümeleri için
A = { a , b , c , d } → A kümesinin elemanları a, b, c ve d elemanlarıdır.
B = { 1 , 2 , 3 , 4 } → B kümesinin elemanları 1, 2, 3 ve 4 elemanlarıdır.
A ile B kümelerinin ortak elemanları bulunmadığından, A ile B kümelerinin kesişim kümesi boş kümedir (∅).
A ∩ B = ∅ → s(A ∩ B) = 0
A ∪ B şeklinde gösterilir.
Kümelerin Birleşimi:
Yukarıdaki resimde gösterilen A ile B kümeleri için
A = { a , b , c , d } → A kümesinin elemanları a, b, c ve d elemanlarıdır.
B = { 1 , 2 , 3 , 4 } → B kümesinin elemanları 1, 2, 3 ve 4 elemanlarıdır.
A ile B kümelerinin birleşim kümesi, A ve B kümelerinin tüm elemanların oluşturduğu kümedir.
A ∪ B = { a , b , c , d , 1 , 2 , 3 , 4 } → s(A ∪ B) = 8
A ∪ B = B ∪ A → A ile B kümelerinin birleşim kümesi, B ile A kümelerinin birleşim kümesine eşittir.
A ∩ B = B ∩ A → A ile B kümelerinin kesişim kümesi, B ile A kümelerinin kesişim kümesine eşittir.
Birleşme Özelliği
( A ∪ B ) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ) → A, B ve C kümelerinin birleşim kümesi, B ∪ (A ∪ C) şeklinde de yazılabilir. Tanımda, kümelerin, birleşim yazım sırası, birleşim kümesini değiştirmez.
( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ) → A, B ve C kümelerinin kesişim kümesi, B ∩ (A ∩ C) şeklinde de yazılabilir. Tanımda, kümelerin, kesişim yazım sırası, kesişim kümesini değiştirmez.
Dağılma Özelliği
Dağılma Özelliği - Resim 1:
( A ∪ B ) ∩ C = ( A ∩ C ) ∪ ( B ∩ C ) → Parantez açımına, parantez dışındaki kümeden başlanır. C kümesi ile A kümesi, C kümesi ile B kümesi parantez dışındaki işlem olan kesişim işlemi (∩) ile tanımlanır. Oluşan yeni iki grup olan (A ∩ C) ile (B ∩ C) kümeleri, parantez içindeki işlem olan birleşim işlemi (∪) ile tanımlanır.
( A ∩ B ) ∪ C = ( A ∪ C ) ∩ ( B ∪ C ) → Yine, parantez açımına, parantez dışındaki kümeden başlanır. C kümesi ile A kümesi, C kümesi ile B kümesi parantez dışındaki işlem olan birleşim işlemi (∪) ile tanımlanır. Oluşan yeni iki grup olan (A ∪ C) ile (B ∪ C) kümeleri, parantez içindeki işlem olan kesişim işlemi (∩) ile tanımlanır.
Dağılma Özelliği - Resim 2:
Tek Kuvvet Özelliği
A ∩ A = A → A kümesi ile A kümesinin ortak elemanlarının oluşturduğu küme, yine A kümesidir.
A ∪ A = A → Her eleman, bir kümede 1 kez yazıldığından, A kümesi ile A kümesinin birleşim kümesi, yine A kümesidir.
( A ∪ B )' = A' ∩ B' → Yukarıdaki resimde gösterilen A ve B kümeleri için De Morgan kuralı, A ∩ B ≠ ∅ ve A ∩ B = ∅ küme tanımlarının ikisi için de geçerlidir.
De Morgan Kuralları - Resim 2:
( A ∩ B )' = A' ∪ B'
Diğer Özellikler:
Özellik - 1
A ∩ ∅ = ∅ → A kümesi ile boş kümenin kesişim kümesi, boş kümedir.
A ∪ ∅ = A → A kümesi ile boş kümenin birleşim kümesi, A kümesidir.
Özellik - 2
A ∪ E = E → A kümesi, Evrensel küme içinde bulunan bir kümedir. Bir küme içindeki her eleman 1 kez yazıldığından, A kümesi ile Evrensel kümenin birleşim kümesi, Evrensel kümedir.
A ∩ E = A → Evrensel küme içinde bulunan A kümesi ile Evrensel kümenin, ortak elemanlarının oluşturduğu kesişim kümesi, A kümesidir.
Özellik - 3
A ∪ A' ve A ∩ A' Özellikleri:
Yukarıdaki resimde gösterilen E, A' ve A kümeleri için:
A ∪ A' = E → A kümesi ile A kümesini tümleyen kümenin birleşim kümesi, Evrensel kümedir.
A ∩ A' = ∅ → A kümesi ile A kümesini tümleyen kümenin kesişim kümesi, boş kümedir.
Özellik - 4
s(A ∪ B) = s(A) + s(B) - s(A ∩ B)
A = { x , y , z , 1 , 2 , 3} olsun → s(A) = 6
B = { a , b , c , 1 , 2 , 3 } olsun → s(B) = 6
A ∩ B = { 1 , 2 , 3} olur → s(A ∩ B) = 3
A ∪ B kümesinde, her eleman 1 kez yazıldığından s(A ∪ B) = 6 + 6 - 3 = 9 olur.
Özellik - 5
(A ∪ B ∪ C) Kümesinin Eleman Sayısı:
s(A ∪ B ∪ C) = s(A) + s(B) + s(C) - s(A ∩ B) - s(A ∩ C) - s(B ∩ C) + s(A ∩ B ∩ C)
Yukarıdaki resimde gösterilen A, B ve C kümeleri için:
s(A) = 12 , s(B) = 12 , s(C) = 12
s(A ∩ B) = 6 , s(A ∩ C) = 6 , s(B ∩ C) = 6
s(A ∩ B ∩ C) = 3
s(A ∪ B ∪ C) = 12 + 12 + 12 - 6 - 6 - 6 + 3 = 21 olur.
Resimde 7 tane 3 rakamı vardır. 7 x 3 = 21 sonucu formülü doğrular. Bu tarz sorularda, formül yerine çizim yapmak kolaylık sağlayabilir.
İki Kümenin Farkı:
Yukarıdaki resimde gösterilen A ile B kümesi için
A = { w , z , y , x , d } → s(A) = 5
B = { a , b , c , x , d } → s(B) = 5
A ∩ B = { x , d } → s(A ∩ B) = 2
A - B veya (A\B) = { w , z , y } → s(A - B) = 3 → Sadece A kümesinde bulunan elemanlar
B - A veya (B\A) = { a , b , c } → s(B - A) = 3 → Sadece B kümesinde bulunan elemanlar
A - B = A ∩ B' → Sadece A kümesinde bulunan elemanlar: B kümesini tümleyeni ile A kümesinin kesişim kümesinden oluşurlar.
E - A = A' → Sadece evrensel kümede bulunan elemanlar, A kümesinin tümleyenidir. A kümesi ve A kümesinin tümleyeni, tam ve bütün olan Evrensel kümeyi oluştururlar.
Kesişim, Birleşim ve İki Kümenin Farkı Örnek:
a + c + b + d tane öğrencinin olduğu bir sınıfta,
Piyano çalanların kümesi P, Gitar çalanların kümesi G olmak üzere;
Kesişim, Birleşim ve İki Kümenin Farkı Örnek:
A ve B kümeleri için
Çözüm:
İki Küme Farkı, Birleşim ve Kesişim Örnek Soru:
Yukarıdaki resimde A ve B kümeleri, bir kesişim kümesi oluşturacak şekilde çizilmiştir.
Sadece A kümesinde bulunan elemanların sayısı → s(A - B) = 2x + 4
Sadece B kümesinde bulunan elemanların sayısı → s(B - A) = x - 2
A ile B kümesinin kesişim kümesinin eleman sayısı → s(A ∩ B) = 10 - 3x
Bu üç kümenin birleşim kümesinin eleman sayısı, s(A ∪ B) değeridir. Bu üç kümenin eleman sayılarının toplanması bize sonucu verir. Üç değer alt alta yazılır ve toplanır.
2x + 4
x - 2
10 - 3x
Önce x değerleri toplanır : 2x + x - 3x → 3x - 3x = 0
Sayı değerleri toplanır : 4 - 2 + 10 → 2 + 10 = 12
x değerlerinin toplamı = 0
Sayı değerlerinin toplamı = 12
12 + 0 = 12 olur. Cevap:12
Küme Problemi Örnek Soru
Bir sınıftaki öğrenciler futbol veya basketbol sporlarından en az birini yapmaktadırlar.
Bu sınıfta futbol oynayanların sayısı 20, basketbol oynayanların sayısı 16, hem futbol hem de basketbol oynayanların sayısı 9 olduğuna göre, bu sınıfta futbol veya basketbol oynayan kaç öğrenci vardır? (Kaynak: Supara)
Çözüm:
Küme Problemi Örnek Soru:
Yukarıdaki resimde futbol oynayan öğrencilerin kümesi F, basketbol oynayan öğrencilerin kümesi ise B ile gösterilmiştir. Çizilen kümenin eleman sayılarının yazılmasına, kesişim kümesinden başlamak kolaylık sağlayabilir.
s(F) = 20 → F kümesinin eleman sayısı
s(B) = 16 → B kümesinin eleman sayısı
s(F ∩ B) = 9 → F kümesi ile B kümesinin kesişim kümesi → Futbol ve basketbol oynayan öğrencilerin sayısı → Hem futbol, hem de basketbol oynayan öğrencilerden oluşur. Ve bağlacı, iki koşulun da sağlamasını ister.
s(F - B) = 20 - 9 = 11 → F fark B kümesi → Sadece F kümesinde bulunan elemanlar → Sadece futbol oynayan öğrencilerden oluşur.
s(B - F) = 16 - 9 = 7 → B fark F kümesi → Sadece B kümesinde bulunan elemanlar → Sadece basketbol oynayan öğrenciler öğrencilerden oluşur.
Soru futbol veya basketbol öğrencilerin sayısını istemektedir. Veya bağlacı için koşullardan 1 tanesinin sağlanması yeterli olur. Sadece futbol oynayanlar bu koşulu sağlar. Sadece basketbol oynayanlar bu koşulu sağlar. Hem futbol, hem basketbol oynayanlar da bu koşulu sağlar. İki koşulu da sağlayan kesişim kümesi, veya bağlacının istediği 1 tanesinin sağlanması yeterliliği koşulunu sağlar.
Örneğin, Bir arkadaşınız sizden, meyve suyu almanızı istese, size, elmalı, üzümlü veya karışık olabilir dese, sizin alacağınız meyve suları kümesi, elmalı, üzümlü ve karışık meyve suları kümesinden oluşur.
s(F ∪ B) → F kümesi ile B kümesinin birleşim kümesinin eleman sayısı → Futbol veya basketbol oynayan öğrencilerden oluşur. Buna göre:
s(F ∪ B) = 9 + 11 + 7 = 27 olur. Cevap: 27
Bölüm Konuları:Evrensel Küme , Bir Kümenin Tümleyeni , Tümlemenin Özellikleri
Kümelerde Kesişim , Ayrık Kümeler , Kümelerde Birleşim
Kümelerde Kesişim ve Birleşim Özellikleri
Evrensel Küme
Evren tanımından yola çıkılırsa; Evren, uzayı oluşturan sonsuz boşluktur ve var olan her şey evren içerisindedir. Dünya, Güneş Sistemi, Samanyolu ve diğer galaksilerin hepsi evren içerisindedir. Tüm kümeleri kapsayan kümeye evrensel küme adı verilir. Evrensel küme E harfi ile gösterilir.Bir Kümenin Tümleyeni
Evrensel küme içerisinde bulunan A kümesi için, A kümesi dışındaki tüm kümelere A kümesinin tümleyeni denir. A kümesi dışındaki, evrensel küme elamanlarının oluşturduğu kümeye, A kümesinin tümleyeni denir. A' veya aşağıdaki resimde gösterildiği gibi, A harfinin üst tarafına yatay bir çizgi çizilmesi ile ifade edilir.Bir Kümenin Tümleyeni:
Yukarıdaki resimde, ok işareti ile gösterilen gri renkli bölüm, A kümesinin tümleyenidir.
Tümlemenin Özellikleri:
(A')' = A → A kümesinin tümleyeninin tümleyeni A kümesidir. Tüm, kelimesi bütün, tam anlamındadır. A kümesi ve A kümesinin tümleyeni evrensel kümeyi oluşturur. İkisi beraber tam, bütün bir evrensel küme oluştururlar. A kümesinin tümleyeninin tümlenmesi için A kümesinin olması gerekir. Yine ikisi beraber tam bir evrensel küme oluştururlar.∅' = E → Boş kümenin tümleyeni Evrensel kümedir. Boş küme hiç elemanı olmayan bir kümedir. Tam ve bütün olan evrensel kümeyi değiştirmez. Boş küme yok sayılırsa, olmayan bir kümenin tümleyeni evrensel kümenin kendisi olur.
E' = ∅ → Evrensel kümenin tümleyeni boş kümedir. Tam ve bütün olan bir kümeyi, yok sayılan boş küme tümleyebilir.
s(A) + s(A') = s(E) → A kümesinin eleman sayısı ile A kümesinin tümleyeninin eleman sayısının toplamı, evrensel kümenin eleman sayısına eşittir.
A ⊆ B ⇔ B' ⊆ A' → A kümesi, B kümesinin alt kümesi ise, ancak ve ancak (⇔) B kümesinin tümleyeni, A kümesinin tümleyeninin alt kümesidir.
Örnek: A ve B kümeleri E Evrensel kümesinin iki alt kümesi olmak üzere,
- s( A ) = 8
- s( B ) = 10
- s( A ∩ B ) = 4
- s( A' ∩ B' ) = 5
Çözüm:
Küme Tümleyeni Örnek Soru Çözümü:
Yukarıdaki resimde, soruda geçen A kümesi, B kümesi, A ve B kümesinin kesişim kümesi ve Evrensel küme çizilmiştir.
A ve B kümesinin kesişim kümesi (A ve B kümesinde bulunan aynı elemanların kümesi kesişim kümesidir ve ∩ sembolü ile gösterilir) koyu yeşil renk ile gösterilmiştir. İlk olarak bu bölüme s( A ∩ B ) = 4 değeri yazılmıştır.
A kümesinin, toplam eleman sayısı 8 ise, yalnızca A kümesine ait elemanların sayısı 8 - 4 = 4 sayısıdır. A kümesinin toplam eleman sayısından, A ∩ B kümesinin eleman sayısı olan 4 sayısının çıkarılması ile bulunur. Resimde sol tarafta bulunan 4 sayısının bulunduğu bölümdür.
B kümesinin, toplam eleman sayısı 10 ise, yalnızca B kümesine ait elemanların sayısı 10 - 4 = 6 sayısıdır. B kümesinin toplam eleman sayısından, yine, A ∩ B kümesinin eleman sayısı olan 4 sayısının çıkarılması ile bulunur. Resimde sağ tarafta bulunan 6 sayısının bulunduğu bölümdür.
Resimde, Evrensel kümeyi oluşturan A ve B kümesinin elemanları dışındaki, elemanlara x denilmiştir.
A' = {6,x} → A kümesi dışında kalan elemanlar
B' = {4,x} → B kümesi dışında kalan elemanlar
s( A' ∩ B' ) = {x} → A' kümesi ve B' kümesinin ortak elemanları x = 5 ise
s(E) = 4 (sadece A kümesi) + 4 (A ve B kümesinin ortak elemanları) + 6 (sadece B kümesinin elemanları) + 5 (A kümesinin ve B kümesinin dışında olan ortak elemanlar) = 19 sayısıdır. Cevap : 19
Kümelerde Kesişim
A kümesinin ve B kümesinin ortak elemanlarının oluşturduğu kümeye, A ile B kümelerinin kesişim kümesi denir.A ∩ B şeklinde gösterilir.
Kümelerin Kesişimi:
Yukarıdaki resimde gösterilen A ile B kümeleri için
A = { x , z , r } → A kümesinin elemanları x, z ve r elemanlarıdır.
B = { y , z , r } → B kümesinin elemanları y, z ve r elemanlarıdır.
A ile B kümelerinin ikisinde de bulunan z ve r elemanları, A ve B kümelerinin ortak elemanlarıdır. A ile B kümelerinin kesişim kümesi, bu ortak elemanların oluşturduğu kümedir.
A ∩ B = { z , r} → s(A∩ B) = 2
Ayrık Kümeler
Ortak elemanı bulunmayan kümelere ayrık kümeler denir. A ile B kümelerinin kesişim kümesi, boş küme (∅) ise, bu iki küme ayrık kümelerdir.Ayrık Kümeler:
Yukarıdaki resimde gösterilen A ile B kümeleri için
A = { a , b , c , d } → A kümesinin elemanları a, b, c ve d elemanlarıdır.
B = { 1 , 2 , 3 , 4 } → B kümesinin elemanları 1, 2, 3 ve 4 elemanlarıdır.
A ile B kümelerinin ortak elemanları bulunmadığından, A ile B kümelerinin kesişim kümesi boş kümedir (∅).
A ∩ B = ∅ → s(A ∩ B) = 0
Kümelerde Birleşim
A kümesinin ve B kümesinin tüm elemanlarının oluşturduğu kümeye, A ile B kümelerinin birleşim kümesi denir.A ∪ B şeklinde gösterilir.
Kümelerin Birleşimi:
Yukarıdaki resimde gösterilen A ile B kümeleri için
A = { a , b , c , d } → A kümesinin elemanları a, b, c ve d elemanlarıdır.
B = { 1 , 2 , 3 , 4 } → B kümesinin elemanları 1, 2, 3 ve 4 elemanlarıdır.
A ile B kümelerinin birleşim kümesi, A ve B kümelerinin tüm elemanların oluşturduğu kümedir.
A ∪ B = { a , b , c , d , 1 , 2 , 3 , 4 } → s(A ∪ B) = 8
Kümelerde Kesişim ve Birleşim Özellikleri
Değişme ÖzelliğiA ∪ B = B ∪ A → A ile B kümelerinin birleşim kümesi, B ile A kümelerinin birleşim kümesine eşittir.
A ∩ B = B ∩ A → A ile B kümelerinin kesişim kümesi, B ile A kümelerinin kesişim kümesine eşittir.
Birleşme Özelliği
( A ∪ B ) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ) → A, B ve C kümelerinin birleşim kümesi, B ∪ (A ∪ C) şeklinde de yazılabilir. Tanımda, kümelerin, birleşim yazım sırası, birleşim kümesini değiştirmez.
( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ) → A, B ve C kümelerinin kesişim kümesi, B ∩ (A ∩ C) şeklinde de yazılabilir. Tanımda, kümelerin, kesişim yazım sırası, kesişim kümesini değiştirmez.
Dağılma Özelliği
Dağılma Özelliği - Resim 1:
( A ∪ B ) ∩ C = ( A ∩ C ) ∪ ( B ∩ C ) → Parantez açımına, parantez dışındaki kümeden başlanır. C kümesi ile A kümesi, C kümesi ile B kümesi parantez dışındaki işlem olan kesişim işlemi (∩) ile tanımlanır. Oluşan yeni iki grup olan (A ∩ C) ile (B ∩ C) kümeleri, parantez içindeki işlem olan birleşim işlemi (∪) ile tanımlanır.
( A ∩ B ) ∪ C = ( A ∪ C ) ∩ ( B ∪ C ) → Yine, parantez açımına, parantez dışındaki kümeden başlanır. C kümesi ile A kümesi, C kümesi ile B kümesi parantez dışındaki işlem olan birleşim işlemi (∪) ile tanımlanır. Oluşan yeni iki grup olan (A ∪ C) ile (B ∪ C) kümeleri, parantez içindeki işlem olan kesişim işlemi (∩) ile tanımlanır.
Dağılma Özelliği - Resim 2:
Tek Kuvvet Özelliği
A ∩ A = A → A kümesi ile A kümesinin ortak elemanlarının oluşturduğu küme, yine A kümesidir.
A ∪ A = A → Her eleman, bir kümede 1 kez yazıldığından, A kümesi ile A kümesinin birleşim kümesi, yine A kümesidir.
De Morgan Kuralları
De Morgan Kuralları - Resim 1:( A ∪ B )' = A' ∩ B' → Yukarıdaki resimde gösterilen A ve B kümeleri için De Morgan kuralı, A ∩ B ≠ ∅ ve A ∩ B = ∅ küme tanımlarının ikisi için de geçerlidir.
De Morgan Kuralları - Resim 2:
( A ∩ B )' = A' ∪ B'
Diğer Özellikler:
Özellik - 1
A ∩ ∅ = ∅ → A kümesi ile boş kümenin kesişim kümesi, boş kümedir.
A ∪ ∅ = A → A kümesi ile boş kümenin birleşim kümesi, A kümesidir.
Özellik - 2
A ∪ E = E → A kümesi, Evrensel küme içinde bulunan bir kümedir. Bir küme içindeki her eleman 1 kez yazıldığından, A kümesi ile Evrensel kümenin birleşim kümesi, Evrensel kümedir.
A ∩ E = A → Evrensel küme içinde bulunan A kümesi ile Evrensel kümenin, ortak elemanlarının oluşturduğu kesişim kümesi, A kümesidir.
Özellik - 3
A ∪ A' ve A ∩ A' Özellikleri:
Yukarıdaki resimde gösterilen E, A' ve A kümeleri için:
A ∪ A' = E → A kümesi ile A kümesini tümleyen kümenin birleşim kümesi, Evrensel kümedir.
A ∩ A' = ∅ → A kümesi ile A kümesini tümleyen kümenin kesişim kümesi, boş kümedir.
Özellik - 4
s(A ∪ B) = s(A) + s(B) - s(A ∩ B)
A = { x , y , z , 1 , 2 , 3} olsun → s(A) = 6
B = { a , b , c , 1 , 2 , 3 } olsun → s(B) = 6
A ∩ B = { 1 , 2 , 3} olur → s(A ∩ B) = 3
A ∪ B kümesinde, her eleman 1 kez yazıldığından s(A ∪ B) = 6 + 6 - 3 = 9 olur.
Özellik - 5
(A ∪ B ∪ C) Kümesinin Eleman Sayısı:
s(A ∪ B ∪ C) = s(A) + s(B) + s(C) - s(A ∩ B) - s(A ∩ C) - s(B ∩ C) + s(A ∩ B ∩ C)
Yukarıdaki resimde gösterilen A, B ve C kümeleri için:
s(A) = 12 , s(B) = 12 , s(C) = 12
s(A ∩ B) = 6 , s(A ∩ C) = 6 , s(B ∩ C) = 6
s(A ∩ B ∩ C) = 3
s(A ∪ B ∪ C) = 12 + 12 + 12 - 6 - 6 - 6 + 3 = 21 olur.
Resimde 7 tane 3 rakamı vardır. 7 x 3 = 21 sonucu formülü doğrular. Bu tarz sorularda, formül yerine çizim yapmak kolaylık sağlayabilir.
İki Kümenin Farkı
A kümesi ile B kümesi için, sadece A kümesinde olan elemanlardan oluşan kümeye A fark B kümesi denir. A kümesinde olup, B kümesinde olmayan elemanlardan oluşur. A - B veya A\B şeklinde gösterilir.İki Kümenin Farkı:
Yukarıdaki resimde gösterilen A ile B kümesi için
A = { w , z , y , x , d } → s(A) = 5
B = { a , b , c , x , d } → s(B) = 5
A ∩ B = { x , d } → s(A ∩ B) = 2
A - B veya (A\B) = { w , z , y } → s(A - B) = 3 → Sadece A kümesinde bulunan elemanlar
B - A veya (B\A) = { a , b , c } → s(B - A) = 3 → Sadece B kümesinde bulunan elemanlar
A - B = A ∩ B' → Sadece A kümesinde bulunan elemanlar: B kümesini tümleyeni ile A kümesinin kesişim kümesinden oluşurlar.
E - A = A' → Sadece evrensel kümede bulunan elemanlar, A kümesinin tümleyenidir. A kümesi ve A kümesinin tümleyeni, tam ve bütün olan Evrensel kümeyi oluştururlar.
Kesişim, Birleşim ve İki Kümenin Farkı Örnek:
a + c + b + d tane öğrencinin olduğu bir sınıfta,
Piyano çalanların kümesi P, Gitar çalanların kümesi G olmak üzere;
Kesişim, Birleşim ve İki Kümenin Farkı Örnek:
- Piyano çalanlar, a + c kişi,
- Piyano çalmayanlar b + d kişi
- Sadece piyano çalanlar a kişi
- Piyano ve gitar çalanlar c kişi
- Piyano veya gitar çalanlar a + c + b kişi
- İki enstrümanı da çalmayanlar d kişi
- Bu enstrümanlardan sadece birini çalanlar a + b kişi
- Bu enstrümanlardan en az birini çalanlar a + c + b kişi
- Bu enstrümanlardan en çok birini çalanlar a + b + d kişi ( En çok birini çalan öğrencilerinin içine, hiç çalmayanlar öğrenciler dahil, iki enstrümanı da çalan öğrenciler dahil değildir.
Tüm sınıf öğrencilerinin, en çok birini çalan sınıf öğrencilerinin oluşturduğu kümeden farkı, iki enstrümanı da çalan öğrencilerin oluşturduğu kümedir. En çok birini çalan öğrenciler kümesinin içinde, hiç çalmayan öğrenciler de bulunur.)
En çok iki enstrüman çalan öğrenciler, a + c + b + d kişi olurdu. En çok iki enstrüman çalan sınıf, tüm sınıf öğrencilerden oluşur.
A ve B kümeleri için
- s(A - B) = 2x + 4
- s(B - A) = x - 2
- s(A ∩ B) = 10 - 3x
Çözüm:
İki Küme Farkı, Birleşim ve Kesişim Örnek Soru:
Yukarıdaki resimde A ve B kümeleri, bir kesişim kümesi oluşturacak şekilde çizilmiştir.
Sadece A kümesinde bulunan elemanların sayısı → s(A - B) = 2x + 4
Sadece B kümesinde bulunan elemanların sayısı → s(B - A) = x - 2
A ile B kümesinin kesişim kümesinin eleman sayısı → s(A ∩ B) = 10 - 3x
Bu üç kümenin birleşim kümesinin eleman sayısı, s(A ∪ B) değeridir. Bu üç kümenin eleman sayılarının toplanması bize sonucu verir. Üç değer alt alta yazılır ve toplanır.
2x + 4
x - 2
10 - 3x
Önce x değerleri toplanır : 2x + x - 3x → 3x - 3x = 0
Sayı değerleri toplanır : 4 - 2 + 10 → 2 + 10 = 12
x değerlerinin toplamı = 0
Sayı değerlerinin toplamı = 12
12 + 0 = 12 olur. Cevap:12
Küme Problemi Örnek Soru
Bir sınıftaki öğrenciler futbol veya basketbol sporlarından en az birini yapmaktadırlar.
Bu sınıfta futbol oynayanların sayısı 20, basketbol oynayanların sayısı 16, hem futbol hem de basketbol oynayanların sayısı 9 olduğuna göre, bu sınıfta futbol veya basketbol oynayan kaç öğrenci vardır? (Kaynak: Supara)
Çözüm:
Küme Problemi Örnek Soru:
Yukarıdaki resimde futbol oynayan öğrencilerin kümesi F, basketbol oynayan öğrencilerin kümesi ise B ile gösterilmiştir. Çizilen kümenin eleman sayılarının yazılmasına, kesişim kümesinden başlamak kolaylık sağlayabilir.
s(F) = 20 → F kümesinin eleman sayısı
s(B) = 16 → B kümesinin eleman sayısı
s(F ∩ B) = 9 → F kümesi ile B kümesinin kesişim kümesi → Futbol ve basketbol oynayan öğrencilerin sayısı → Hem futbol, hem de basketbol oynayan öğrencilerden oluşur. Ve bağlacı, iki koşulun da sağlamasını ister.
s(F - B) = 20 - 9 = 11 → F fark B kümesi → Sadece F kümesinde bulunan elemanlar → Sadece futbol oynayan öğrencilerden oluşur.
s(B - F) = 16 - 9 = 7 → B fark F kümesi → Sadece B kümesinde bulunan elemanlar → Sadece basketbol oynayan öğrenciler öğrencilerden oluşur.
Soru futbol veya basketbol öğrencilerin sayısını istemektedir. Veya bağlacı için koşullardan 1 tanesinin sağlanması yeterli olur. Sadece futbol oynayanlar bu koşulu sağlar. Sadece basketbol oynayanlar bu koşulu sağlar. Hem futbol, hem basketbol oynayanlar da bu koşulu sağlar. İki koşulu da sağlayan kesişim kümesi, veya bağlacının istediği 1 tanesinin sağlanması yeterliliği koşulunu sağlar.
Örneğin, Bir arkadaşınız sizden, meyve suyu almanızı istese, size, elmalı, üzümlü veya karışık olabilir dese, sizin alacağınız meyve suları kümesi, elmalı, üzümlü ve karışık meyve suları kümesinden oluşur.
s(F ∪ B) → F kümesi ile B kümesinin birleşim kümesinin eleman sayısı → Futbol veya basketbol oynayan öğrencilerden oluşur. Buna göre:
s(F ∪ B) = 9 + 11 + 7 = 27 olur. Cevap: 27
Yorumlar
Yorum Gönder