Şu an 2. Bölüm görüntüleniyor...
Bölüm Konuları:
EKOK (En Küçük Ortak Kat) , EKOK Örnek Sorular, EKOK Özellikleri
18 sayısının katları:
18 sayısını sekizinci katı (18 . 8 = 144) sayısıdır.
24 sayısının katları:
24 sayısını altıncı katı (24 . 6 = 144) sayısıdır.
18 ve 24 sayılarının en küçük ortak katı (EKOK), 72 sayısıdır.
Başka bir ifadeyle, 18 ve 24 sayılarının ikisine de tam bölünebilen en küçük pozitif tam sayı, 72 sayısıdır.
144 sayısı da 18 ve 24 sayılarının ortak katı olmasıyla beraber, en küçük ortak katı değildir.
EKOK(18 , 24) = 72
Her iki sayının da katlarını almak zaman alacağından, EKOK bulunurken, sayılar asal çarpanlarına ayrılır.
18 ve 24 sayıları için en küçük ortak katı (EKOK):
Yukarıdaki resimde, 18 ve 24 sayıları asal çarpanlarına ayrılmıştır.
18 ve 24 → 2
9 ve 12 → 2
9 ve 6 → 2
9 ve 3 → 3
3 ve 1 → 3
1 ve 1
18 ve 24 sayılarının, asal çarpanlarına ayrılmasında, bölen olan tüm asal sayıların çarpımı, 18 ve 24 sayılarının EKOK değeridir.
EKOK(18 , 24) = 2³ . 3² = 2 . 2 . 2 . 3 . 3 = 72
x ve y olan iki pozitif tam sayının En Küçük Ortak Katı:
EKOK(x , y) veya (x , y)EKOK şeklinde gösterilir.
Örnek:
40 , 60 ve 80 sayılarının, En Küçük Ortak Katı kaçtır?
Çözüm:
40 , 60 ve 80 sayıları için en küçük ortak katı (EKOK):
40 , 60 ve 80 sayıları asal çarpanlarına ayrılır.
40 ve 60 ve 80 → 2
20 ve 30 ve 40 → 2
10 ve 15 ve 20 → 2
5 ve 15 ve 10 → 2
5 ve 15 ve 5 → 3
5 ve 5 ve 5 → 5
1 ve 1 ve 1
EKOK(40 , 60 , 80) = 2⁴ . 3 . 5 = 2 . 2 . 2 . 2 . 3 . 5 = 240
40 , 60 , ve 80 sayılarına tam bölünebilen en küçük pozitif tam sayı 240 sayısıdır.
Bir çiçekçi, sepetteki gülleri beşer veya dokuzar saydığında her seferinde 3 gül artmaktadır.
Bu sepetteki gül sayısı üç basamaklı bir sayı olduğuna göre, sepette en az kaç gül vardır? (kaynak: Supara)
Çözüm:
5 ve 9 sayılarının, tam böldüğü en küçük sayının 3 fazlası, soruda istenen ilk koşulu sağlar. 5 ve 9 sayılarının tam böldüğü en küçük sayı, bu sayıların EKOK değeridir.
EKOK(5 , 9) değeri için, 5 ve 9 sayıları asal çarpanlarına ayrılır.
5 ve 9 → 3
5 ve 3 → 3
5 ve 1 → 5
1 ve 1
EKOK(5 , 9) = 3² . 5 = 3 . 3 . 5 = 45
45 + 3 = 48 sayısı, 9 sayısına veya 5 sayısına bölündüğünde 3 kalanını verir.
Soruda, gül sayısının üç basamaklı olduğu söylendiğinden, EKOK(5 , 9) değeri olan 45 sayısı, 3 ile çarpılır. 45 sayısı, 2 ile çarpıldığında sonuç iki basamaklı 90 sayısı olduğundan, 3 ile çarpımı, üç basamaklı alabileceği en küçük değer olur.
45 . 3 = 135 sayısı, 9 ve 5 sayılarına tam bölünebilen üç basamaklı en küçük sayıdır. 135 sayısının 3 fazlası olan 138 sayısı, 9 sayısına veya 5 sayısına bölündüğünde 3 kalanını verir.
45 + 3 değeri üçe katlansaydı, (45 + 3) . 3 = 45 . 3 + 3 . 3
45 . 3 = 135 sayısı, 9 sayısına ve 5 sayısına tam bölünür.
3 . 3 = 9 sayısı, 9 sayısına tam bölünür, 5 sayısına bölümünden kalan 4 olur.
135 + 9 = 144 sayısı, 9 sayısına tam bölünüp, 5 sayısına bölündüğünde 4 kalanını verdiğinden, yanlış sonuca ulaşılır.
Basamak arttırmak için önce EKOK değeri katlanıp, sonra artan gül sayısı eklenmelidir.
Cevap:138
Örnek Soru-2:
Boyutları 20 cm, 30 cm ve 15 cm olan dikdörtgenler prizması şeklindeki kutulardan yan yana ve üst üste konularak en küçük hacimli bir küp yapılmak isteniyor.
Buna göre, bu iş için kaç kutu gereklidir? (kaynak: Supara)
Çözüm:
Dikdörtgenler prizmasının hacmi ve küp'ün hacminden ve geometrik şekillerinden, OBEB örnek sorularında bahsedilmişti.
Küp şeklinin bütün kenarları eşit ölçüdedir. Dikdörtgenler prizması şeklindeki kutular bir araya getirilerek küp şekli oluşturmak istenmektedir.
Dikdörtgenler prizması şeklindeki küçük kutuların, üç boyutunun da birleştiği en küçük sayı (EKOK), en küçük hacimli olması istenen küp'ün, bir kenar ölçüsü olur.
Küp'ün hacminin en küçük olması istendiğinden, prizmanın boyutları, boyutlarının en küçük katında birleşmelidir. 15 , 20 ve 30 sayılarının EKOK değeri alınır.
15 , 20 ve 30 sayıları asal çarpanlarına ayrılır:
15 ve 20 ve 30 → 2
15 ve 10 ve 15 → 2
15 ve 5 ve 15 → 3
5 ve 5 ve 5 → 5
1 ve 1 ve 1
EKOK(15 , 20 , 30) = 2² . 3 . 5 = 2 . 2 . 3 . 5 = 60
Dikdörtgenler prizması şeklindeki küçük kutuların, üç boyutunun da birleştiği en küçük sayı 60 sayısıdır.
Olması istenen en küçük hacimli küp'ün bir kenarı 60 cm. olmalıdır. Küpün hacmi, taban alanı ve yüksekliğinin çarpımıdır.
Küp'ün taban alanı, iki kenarının çarpımıdır. → 60 . 60 = 3600 cm²
Aynı zamanda, bütün kenarları eşit dikdörtgenler prizması olan küp şeklinin, kısa kenarı, uzun kenarı ve yüksekliği birbirine eşittir. Küpün yüksekliği de 60 cm dir.
Küp'ün hacmi için taban alanı ve yüksekliği çarpılır → 3600 . 60 = 216000 cm³
Küp'ün hacmini, dikdörtgenler prizması şeklindeki küçük kutular oluşturduğundan, dikdörtgenler prizması şeklindeki 1 kutunun hacmi hesaplanır.
Dikdörtgenler prizmasının hacmi, küp'te olduğu gibi taban alanı ve yüksekliğinin çarpımıdır. Dikdörtgenler prizmasının hacmi için verilen üç boyutu çarpılır. → 15 . 20 . 30 = 9000 cm³
9000 cm³ hacmi 1 kutu kaplıyorsa, 216000 cm³ hacmi kaç kutu kaplar? sorusunun cevabı için, 216000 sayısı, 9000 sayısına bölünür.
( 216000 / 9000 ) = 24
En küçük hacimli küp'ü oluşturmak için gerekli kutu sayısı 24 'tür.
Cevap:24
Örnek Soru-3:
Yavuz elindeki misketleri on sekizer on sekizer sayınca 14 misket, on ikişer on ikişer sayınca 8 misket, yedişer yedişer sayınca 3 misket açıkta kalıyor.
Buna göre, Yavuz'un ez az kaç misketi vardır? (kaynak: Supara)
Çözüm:
18'erli sayılan misketler → 18a + 14 olsun
12'şerli sayılan misketler → 12b + 8 olsun
7'şerli sayılan misketler → 7c + 3 olsun
4 misket daha olsaydı, 18a + 14 ifadesi → 18a + 14 + 4 → 18a + 18 değeri, 18 sayısına tam bölünürdü.
4 misket daha olsaydı, 12b + 8 ifadesi → 12b + 8 + 4 → 12b + 12 değeri, 12 sayısına tam bölünürdü.
4 misket daha olsaydı, 7c + 3 ifadesi → 7c + 3 + 4 → 7c + 7 değeri, 7 sayısına tam bölünürdü.
7 , 12 ve 18 sayılarının tam böldüğü en küçük sayının (EKOK), 4 eksiği, soruda istenen koşulu sağlar.
7 , 12 ve 18 sayıları asal çarpanlarına ayrılır:
7 ve 12 ve 18 → 2
7 ve 6 ve 9 → 2
7 ve 3 ve 9 → 3
7 ve 1 ve 3 → 3
7 ve 1 ve 1 → 7
1 ve 1 ve 1
EKOK(7 , 12 , 18) = 2² . 3² . 7 = 2 . 2 . 3 . 3 . 7 = 252
7 , 12 , 18 sayılarının tam böldüğü en küçük sayı olan 252 sayısından 4 çıkarılırsa, bulunan 248 sonucu, soruda istenen koşulları sağlar.
252 - 4 = 248
Cevap: 248
x sayısı, pozitif tam sayılar kümesinin elemanı olmak üzere, x sayısı ile x sayısının EKOK'u alınırsa, sonuç x olur.
Örnek:
EKOK(x , x) = x özelliği:
x = 20 için, EKOK(x , x) = x eşitliği sağlanmalıdır.
20 ve 20 sayıları asal çarpanlarına ayrılır.
20 ve 20 → 2
10 ve 10 → 2
5 ve 5 → 5
1 ve 1
EKOK(20 , 20) = 2² . 5 = 2 . 2 . 5 = 20
20 ve 20 sayılarına tam bölünebilen en küçük pozitif tam sayı 20 sayısıdır.
Örnek:
EKOK (x , kx) = kx özelliği:
x = 20
k = 3 için
kx = k . x = 3 . 20 = 60
EKOK (x , kx) → EKOK (20 , 3 . 20) → EKOK (20 , 60)
20 ve 60 sayıları asal çarpanlarına ayrılır.
20 ve 60 → 2
10 ve 30 → 2
5 ve 15 → 3
5 ve 5 → 5
1 ve 1
EKOK(20 , 60) = 2² . 3 . 5 = 2 . 2 . 3 . 5 = 60
EKOK (x , kx) = kx
EKOK (20 , 3 . 20) = 3 . 20 = 60
k sayısının 3 değeri için 60 olan EKOK değeri;
k sayısının 2 değeri için 40 (2 . 20 = 40),
k sayısının 4 değeri için 80 (4 . 20 = 80),
k sayısının 5 değeri için 100 (5 . 20 = 100) olur.
Örnek Soru:
EKOK (x , kx) = kx Özelliği Örnek Soru (Kaynak: Supara):
Çözüm:
(x / y) = 4 eşitliği, 4 sayısının paydası görünür kılınarak (x / y) = (4 / 1) haline getirilir. İçler dışlar çarpımı yapıldığında:
1 . x = 4 . y → x = 4y olur.
EKOK(x , y) ifadesinde, x yerine 4y yazıldığında → EKOK(4y , y) olur.
EKOK(4y , y) ifadesi, EKOK(y , 4y) şeklinde de yazılabilir.
EKOK (x , kx) = kx özelliğine göre, EKOK(y , 4y) = 4y olmalıdır.
EKOK(x , y) = 104
EKOK(y , 4y) = 4y = 104
Soruda verilen EKOK(x , y) değeri 104 ise, EKOK(y , 4y) değeri de 104 'tür.
EKOK(y , 4y) = 4y ise, 4y = 104 tür.
4y = 104 eşitliğinde, eşitliğin her iki tarafı 4 sayısına bölünürse, y = 26 olur.
x = 4y eşitliğinde, y yerine 26 yazılırsa, x = 4 . 26 = 104 olur.
x - y = 104 - 26 = 78
Cevap:78
x , y , z ve k sayıları, pozitif tam sayılar kümesinin elemanı olmak üzere, x sayısı ve y sayısının ekok'u, z sayısı olsun.
k sayısı ile çarpılan x ve y sayılarının ekok'u, x ve y sayısının ekok'u olan z sayısının k ile çarpımıdır.
EKOK (x , y) = z → EKOK (kx , ky) = kz
Örnek:
EKOK (kx , ky) = kz özelliği:
x = 8 , y = 12 olsun.
z değerini bulmak için, x ve y sayılarının EKOK'u bulunur.
8 ve 12 sayıları asal çarpanlarına ayrılır.
8 ve 12 → 2
4 ve 6 → 2
2 ve 3 → 2
1 ve 3 → 3
1 ve 1
EBOB(8 , 12) = 2³ . 3 = 2 . 2 . 2 . 3
EBOB(8 , 12) = 24
EBOB (x , y) = z
k sayısının 2 olsun → k = 2
Özelliğe göre:
EKOK(8 , 12) = 24 ise EKOK(2 . 8 , 2 . 12) = 2 . 24 olmalıdır.
EKOK(2 . 8 , 2 . 12) = 2 . 24 → EKOK(16 , 24) = 48 sonucu doğru olmalıdır.
16 ve 24 sayıları asal çarpanlarına ayrılır.
16 ve 24 → 2
8 ve 12 → 2
4 ve 6 → 2
2 ve 3 → 2
1 ve 3 → 3
1 ve 1
EKOK(16 , 24) = 2⁴ . 3 = 2 . 2 . 2 . 2 . 3 = 48
k = 2 için, iki kat artan EKOK
k = 3 için üç kat
k = 4 için dört kat artar...
x ve y Pozitif tam sayılar kümesinin elemanı olmak üzere,
EKOK'u alınan küçük sayı x, büyük sayı y ise:
EKOK(x , y) değeri, y sayısına eşit veya y sayısından büyük olmalıdır.
İki veya daha fazla sayının EKOK değeri, en az, EKOK'u alınan büyük sayı kadar olabilir.
Başka bir ifadeyle, EKOK'u alınan büyük sayı, en çok EKOK değeri kadar olabilir. Bu, y sayısının en çok, EKOK(x , y) değeri kadar olabileceği anlamına gelir.
x ve y sayıları pozitif tam sayılar kümesinin elemanı olmak üzere, x ve y sayıları aralarında asal ise
x ve y sayılarının EKOK değeri, x ve y sayılarının çarpımıdır.
Aralarında asal olan iki sayının EKOK'u, sayıların birbirleriyle çarpımıdır.
Örnek Soru:
EKOK(x , y) = ( x . y ) özelliği örnek soru ve çözüm (kaynak: Supara):
Çözüm:
x ve y pozitif tam sayıları aralarında asal ise → EKOK(x , y) = x . y
Soruda x ve y sayılarının aralarında asal olduğu belirtilmiş ve EKOK(x , y) değeri 126 olarak verilmiştir.
EKOK(x , y) = 126
EKOK(x , y) = x . y
x . y = 126 olur.
x + (18 / y) ifadesinde, x sayısının paydası görünür kılınır ve (x / 1) şeklinde yazılır. (Kesirli sayılarda işlemler konusuna, Sayılar 3. Bölüm » başlıklı yazıda değinilmiştir.)
(x / 1) + (18 / y) ifadesinde, (x / 1) sayısının altına parantez içinde (y) yazılarak paydalar eşitlenir.
(x / 1) sayısının her iki tarafı (y) sayısı ile çarpılır → (x . y / 1 . y) → (x.y / y)
(x.y / y) + (18 / y) ifadesinde, paydalar eşitlenmiştir. Paylar toplanır, payda aynen yazılır.
(x.y + 18) / y ifadesi, 16 sayısına eşittir.
(x.y + 18) / y = 16 ifadesinde, 16 sayısının paydası görünür kılınır ve (16 / 1) şeklinde yazılır.
(x.y + 18) / y = 16 / 1 ifadesinde, içler dışlar çarpımı, birbirine eşittir.
x.y + 18 = 16y eşitliğinde, x.y yerine 126 yazılırsa → 126 + 18 = 16y
144 = 16y eşitliğinde, her iki taraf 16 sayısına bölünür.
9 = y → y = 9 olur.
x . y = 126 eşitliğinde, y yerine 9 yazılırsa → x . 9 = 126
x . 9 = 126 eşitliğinin her iki tarafı 9 sayısına bölünür.
x = 14 olur.
x + y = 14 + 9 = 23
Cevap: 23
Bölüm Konuları:
EKOK (En Küçük Ortak Kat) , EKOK Örnek Sorular, EKOK Özellikleri
EKOK (En Küçük Ortak Kat)
İki veya daha fazla pozitif tam sayının, ortak katlarının en küçüğüne, bu sayıların EKOK'u denir. EKOK, EKOK'u alınan sayıların hepsine de tam bölünebilen en küçük pozitif tam sayıdır.18 sayısının katları:
- ( 18 . 1 ) = 18
- ( 18 . 2 ) = 36
- ( 18 . 3 ) = 48
- ( 18 . 4 ) = 72
- ( 18 . 5 ) = 90
- ( 18 . 6 ) = 108
- ( 18 . 7 ) = 126
- ( 18 . 8 ) = 144
18 sayısını sekizinci katı (18 . 8 = 144) sayısıdır.
24 sayısının katları:
- ( 24 / 1 ) = 24
- ( 24 / 2 ) = 48
- ( 24 / 3 ) = 72
- ( 24 / 4 ) = 96
- ( 24 / 5 ) = 120
- ( 24 / 6 ) = 144
24 sayısını altıncı katı (24 . 6 = 144) sayısıdır.
18 ve 24 sayılarının en küçük ortak katı (EKOK), 72 sayısıdır.
Başka bir ifadeyle, 18 ve 24 sayılarının ikisine de tam bölünebilen en küçük pozitif tam sayı, 72 sayısıdır.
144 sayısı da 18 ve 24 sayılarının ortak katı olmasıyla beraber, en küçük ortak katı değildir.
EKOK(18 , 24) = 72
Her iki sayının da katlarını almak zaman alacağından, EKOK bulunurken, sayılar asal çarpanlarına ayrılır.
18 ve 24 sayıları için en küçük ortak katı (EKOK):
Yukarıdaki resimde, 18 ve 24 sayıları asal çarpanlarına ayrılmıştır.
18 ve 24 → 2
9 ve 12 → 2
9 ve 6 → 2
9 ve 3 → 3
3 ve 1 → 3
1 ve 1
18 ve 24 sayılarının, asal çarpanlarına ayrılmasında, bölen olan tüm asal sayıların çarpımı, 18 ve 24 sayılarının EKOK değeridir.
EKOK(18 , 24) = 2³ . 3² = 2 . 2 . 2 . 3 . 3 = 72
x ve y olan iki pozitif tam sayının En Küçük Ortak Katı:
EKOK(x , y) veya (x , y)EKOK şeklinde gösterilir.
Örnek:
40 , 60 ve 80 sayılarının, En Küçük Ortak Katı kaçtır?
Çözüm:
40 , 60 ve 80 sayıları için en küçük ortak katı (EKOK):
40 , 60 ve 80 sayıları asal çarpanlarına ayrılır.
40 ve 60 ve 80 → 2
20 ve 30 ve 40 → 2
10 ve 15 ve 20 → 2
5 ve 15 ve 10 → 2
5 ve 15 ve 5 → 3
5 ve 5 ve 5 → 5
1 ve 1 ve 1
EKOK(40 , 60 , 80) = 2⁴ . 3 . 5 = 2 . 2 . 2 . 2 . 3 . 5 = 240
40 , 60 , ve 80 sayılarına tam bölünebilen en küçük pozitif tam sayı 240 sayısıdır.
EKOK Örnek Sorular
Örnek Soru-1:Bir çiçekçi, sepetteki gülleri beşer veya dokuzar saydığında her seferinde 3 gül artmaktadır.
Bu sepetteki gül sayısı üç basamaklı bir sayı olduğuna göre, sepette en az kaç gül vardır? (kaynak: Supara)
Çözüm:
5 ve 9 sayılarının, tam böldüğü en küçük sayının 3 fazlası, soruda istenen ilk koşulu sağlar. 5 ve 9 sayılarının tam böldüğü en küçük sayı, bu sayıların EKOK değeridir.
EKOK(5 , 9) değeri için, 5 ve 9 sayıları asal çarpanlarına ayrılır.
5 ve 9 → 3
5 ve 3 → 3
5 ve 1 → 5
1 ve 1
EKOK(5 , 9) = 3² . 5 = 3 . 3 . 5 = 45
45 + 3 = 48 sayısı, 9 sayısına veya 5 sayısına bölündüğünde 3 kalanını verir.
Soruda, gül sayısının üç basamaklı olduğu söylendiğinden, EKOK(5 , 9) değeri olan 45 sayısı, 3 ile çarpılır. 45 sayısı, 2 ile çarpıldığında sonuç iki basamaklı 90 sayısı olduğundan, 3 ile çarpımı, üç basamaklı alabileceği en küçük değer olur.
45 . 3 = 135 sayısı, 9 ve 5 sayılarına tam bölünebilen üç basamaklı en küçük sayıdır. 135 sayısının 3 fazlası olan 138 sayısı, 9 sayısına veya 5 sayısına bölündüğünde 3 kalanını verir.
45 + 3 değeri üçe katlansaydı, (45 + 3) . 3 = 45 . 3 + 3 . 3
45 . 3 = 135 sayısı, 9 sayısına ve 5 sayısına tam bölünür.
3 . 3 = 9 sayısı, 9 sayısına tam bölünür, 5 sayısına bölümünden kalan 4 olur.
135 + 9 = 144 sayısı, 9 sayısına tam bölünüp, 5 sayısına bölündüğünde 4 kalanını verdiğinden, yanlış sonuca ulaşılır.
Basamak arttırmak için önce EKOK değeri katlanıp, sonra artan gül sayısı eklenmelidir.
Cevap:138
Örnek Soru-2:
Boyutları 20 cm, 30 cm ve 15 cm olan dikdörtgenler prizması şeklindeki kutulardan yan yana ve üst üste konularak en küçük hacimli bir küp yapılmak isteniyor.
Buna göre, bu iş için kaç kutu gereklidir? (kaynak: Supara)
Çözüm:
Dikdörtgenler prizmasının hacmi ve küp'ün hacminden ve geometrik şekillerinden, OBEB örnek sorularında bahsedilmişti.
Küp şeklinin bütün kenarları eşit ölçüdedir. Dikdörtgenler prizması şeklindeki kutular bir araya getirilerek küp şekli oluşturmak istenmektedir.
Dikdörtgenler prizması şeklindeki küçük kutuların, üç boyutunun da birleştiği en küçük sayı (EKOK), en küçük hacimli olması istenen küp'ün, bir kenar ölçüsü olur.
Küp'ün hacminin en küçük olması istendiğinden, prizmanın boyutları, boyutlarının en küçük katında birleşmelidir. 15 , 20 ve 30 sayılarının EKOK değeri alınır.
15 , 20 ve 30 sayıları asal çarpanlarına ayrılır:
15 ve 20 ve 30 → 2
15 ve 10 ve 15 → 2
15 ve 5 ve 15 → 3
5 ve 5 ve 5 → 5
1 ve 1 ve 1
EKOK(15 , 20 , 30) = 2² . 3 . 5 = 2 . 2 . 3 . 5 = 60
Dikdörtgenler prizması şeklindeki küçük kutuların, üç boyutunun da birleştiği en küçük sayı 60 sayısıdır.
Olması istenen en küçük hacimli küp'ün bir kenarı 60 cm. olmalıdır. Küpün hacmi, taban alanı ve yüksekliğinin çarpımıdır.
Küp'ün taban alanı, iki kenarının çarpımıdır. → 60 . 60 = 3600 cm²
Aynı zamanda, bütün kenarları eşit dikdörtgenler prizması olan küp şeklinin, kısa kenarı, uzun kenarı ve yüksekliği birbirine eşittir. Küpün yüksekliği de 60 cm dir.
Küp'ün hacmi için taban alanı ve yüksekliği çarpılır → 3600 . 60 = 216000 cm³
Küp'ün hacmini, dikdörtgenler prizması şeklindeki küçük kutular oluşturduğundan, dikdörtgenler prizması şeklindeki 1 kutunun hacmi hesaplanır.
Dikdörtgenler prizmasının hacmi, küp'te olduğu gibi taban alanı ve yüksekliğinin çarpımıdır. Dikdörtgenler prizmasının hacmi için verilen üç boyutu çarpılır. → 15 . 20 . 30 = 9000 cm³
9000 cm³ hacmi 1 kutu kaplıyorsa, 216000 cm³ hacmi kaç kutu kaplar? sorusunun cevabı için, 216000 sayısı, 9000 sayısına bölünür.
( 216000 / 9000 ) = 24
En küçük hacimli küp'ü oluşturmak için gerekli kutu sayısı 24 'tür.
Cevap:24
Örnek Soru-3:
Yavuz elindeki misketleri on sekizer on sekizer sayınca 14 misket, on ikişer on ikişer sayınca 8 misket, yedişer yedişer sayınca 3 misket açıkta kalıyor.
Buna göre, Yavuz'un ez az kaç misketi vardır? (kaynak: Supara)
Çözüm:
18'erli sayılan misketler → 18a + 14 olsun
12'şerli sayılan misketler → 12b + 8 olsun
7'şerli sayılan misketler → 7c + 3 olsun
4 misket daha olsaydı, 18a + 14 ifadesi → 18a + 14 + 4 → 18a + 18 değeri, 18 sayısına tam bölünürdü.
4 misket daha olsaydı, 12b + 8 ifadesi → 12b + 8 + 4 → 12b + 12 değeri, 12 sayısına tam bölünürdü.
4 misket daha olsaydı, 7c + 3 ifadesi → 7c + 3 + 4 → 7c + 7 değeri, 7 sayısına tam bölünürdü.
7 , 12 ve 18 sayılarının tam böldüğü en küçük sayının (EKOK), 4 eksiği, soruda istenen koşulu sağlar.
7 , 12 ve 18 sayıları asal çarpanlarına ayrılır:
7 ve 12 ve 18 → 2
7 ve 6 ve 9 → 2
7 ve 3 ve 9 → 3
7 ve 1 ve 3 → 3
7 ve 1 ve 1 → 7
1 ve 1 ve 1
EKOK(7 , 12 , 18) = 2² . 3² . 7 = 2 . 2 . 3 . 3 . 7 = 252
7 , 12 , 18 sayılarının tam böldüğü en küçük sayı olan 252 sayısından 4 çıkarılırsa, bulunan 248 sonucu, soruda istenen koşulları sağlar.
252 - 4 = 248
Cevap: 248
EKOK Özellikleri
Özellik-1: EKOK(x , x) = x
x ∈ Z⁺ olmak üzere, EKOK (x , x) = x olur.x sayısı, pozitif tam sayılar kümesinin elemanı olmak üzere, x sayısı ile x sayısının EKOK'u alınırsa, sonuç x olur.
Örnek:
EKOK(x , x) = x özelliği:
x = 20 için, EKOK(x , x) = x eşitliği sağlanmalıdır.
20 ve 20 sayıları asal çarpanlarına ayrılır.
20 ve 20 → 2
10 ve 10 → 2
5 ve 5 → 5
1 ve 1
EKOK(20 , 20) = 2² . 5 = 2 . 2 . 5 = 20
20 ve 20 sayılarına tam bölünebilen en küçük pozitif tam sayı 20 sayısıdır.
Özellik-2: EKOK(x , kx) = kx
x ve k ∈ Z⁺ olmak üzere, EKOK (x , kx) = kx 'dir. x ve k sayıları, pozitif tam sayılar kümesinin elemanı olmak üzere, x sayısı ile x sayısının herhangi bir katının EKOK'u alınırsa, sonuç kx olur.Örnek:
EKOK (x , kx) = kx özelliği:
x = 20
k = 3 için
kx = k . x = 3 . 20 = 60
EKOK (x , kx) → EKOK (20 , 3 . 20) → EKOK (20 , 60)
20 ve 60 sayıları asal çarpanlarına ayrılır.
20 ve 60 → 2
10 ve 30 → 2
5 ve 15 → 3
5 ve 5 → 5
1 ve 1
EKOK(20 , 60) = 2² . 3 . 5 = 2 . 2 . 3 . 5 = 60
EKOK (x , kx) = kx
EKOK (20 , 3 . 20) = 3 . 20 = 60
k sayısının 3 değeri için 60 olan EKOK değeri;
k sayısının 2 değeri için 40 (2 . 20 = 40),
k sayısının 4 değeri için 80 (4 . 20 = 80),
k sayısının 5 değeri için 100 (5 . 20 = 100) olur.
Örnek Soru:
EKOK (x , kx) = kx Özelliği Örnek Soru (Kaynak: Supara):
Çözüm:
(x / y) = 4 eşitliği, 4 sayısının paydası görünür kılınarak (x / y) = (4 / 1) haline getirilir. İçler dışlar çarpımı yapıldığında:
1 . x = 4 . y → x = 4y olur.
EKOK(x , y) ifadesinde, x yerine 4y yazıldığında → EKOK(4y , y) olur.
EKOK(4y , y) ifadesi, EKOK(y , 4y) şeklinde de yazılabilir.
EKOK (x , kx) = kx özelliğine göre, EKOK(y , 4y) = 4y olmalıdır.
EKOK(x , y) = 104
EKOK(y , 4y) = 4y = 104
Soruda verilen EKOK(x , y) değeri 104 ise, EKOK(y , 4y) değeri de 104 'tür.
EKOK(y , 4y) = 4y ise, 4y = 104 tür.
4y = 104 eşitliğinde, eşitliğin her iki tarafı 4 sayısına bölünürse, y = 26 olur.
x = 4y eşitliğinde, y yerine 26 yazılırsa, x = 4 . 26 = 104 olur.
x - y = 104 - 26 = 78
Cevap:78
Özellik-3: EKOK(kx , ky) = kz
x , y , z , k ∈ Z⁺ ve EKOK (x , y) = z olmak üzerex , y , z ve k sayıları, pozitif tam sayılar kümesinin elemanı olmak üzere, x sayısı ve y sayısının ekok'u, z sayısı olsun.
k sayısı ile çarpılan x ve y sayılarının ekok'u, x ve y sayısının ekok'u olan z sayısının k ile çarpımıdır.
EKOK (x , y) = z → EKOK (kx , ky) = kz
Örnek:
EKOK (kx , ky) = kz özelliği:
x = 8 , y = 12 olsun.
z değerini bulmak için, x ve y sayılarının EKOK'u bulunur.
8 ve 12 sayıları asal çarpanlarına ayrılır.
8 ve 12 → 2
4 ve 6 → 2
2 ve 3 → 2
1 ve 3 → 3
1 ve 1
EBOB(8 , 12) = 2³ . 3 = 2 . 2 . 2 . 3
EBOB(8 , 12) = 24
EBOB (x , y) = z
k sayısının 2 olsun → k = 2
Özelliğe göre:
EKOK(8 , 12) = 24 ise EKOK(2 . 8 , 2 . 12) = 2 . 24 olmalıdır.
EKOK(2 . 8 , 2 . 12) = 2 . 24 → EKOK(16 , 24) = 48 sonucu doğru olmalıdır.
16 ve 24 sayıları asal çarpanlarına ayrılır.
16 ve 24 → 2
8 ve 12 → 2
4 ve 6 → 2
2 ve 3 → 2
1 ve 3 → 3
1 ve 1
EKOK(16 , 24) = 2⁴ . 3 = 2 . 2 . 2 . 2 . 3 = 48
k = 2 için, iki kat artan EKOK
k = 3 için üç kat
k = 4 için dört kat artar...
Özellik-4: x < y ≤ EKOK(x , y)
x ve y ∈ Z⁺ olmak üzere, x < y ≤ EKOK(x , y) olur.x ve y Pozitif tam sayılar kümesinin elemanı olmak üzere,
EKOK'u alınan küçük sayı x, büyük sayı y ise:
EKOK(x , y) değeri, y sayısına eşit veya y sayısından büyük olmalıdır.
İki veya daha fazla sayının EKOK değeri, en az, EKOK'u alınan büyük sayı kadar olabilir.
Başka bir ifadeyle, EKOK'u alınan büyük sayı, en çok EKOK değeri kadar olabilir. Bu, y sayısının en çok, EKOK(x , y) değeri kadar olabileceği anlamına gelir.
Özellik-5: x ve y aralarında asal ise EKOK(x , y) = ( x . y ) dir
x ve y ∈ Z⁺ ve aralarında asal olmak üzere, EKOK(x , y) = ( x . y ) dir.x ve y sayıları pozitif tam sayılar kümesinin elemanı olmak üzere, x ve y sayıları aralarında asal ise
x ve y sayılarının EKOK değeri, x ve y sayılarının çarpımıdır.
Aralarında asal olan iki sayının EKOK'u, sayıların birbirleriyle çarpımıdır.
Örnek Soru:
EKOK(x , y) = ( x . y ) özelliği örnek soru ve çözüm (kaynak: Supara):
Çözüm:
x ve y pozitif tam sayıları aralarında asal ise → EKOK(x , y) = x . y
Soruda x ve y sayılarının aralarında asal olduğu belirtilmiş ve EKOK(x , y) değeri 126 olarak verilmiştir.
EKOK(x , y) = 126
EKOK(x , y) = x . y
x . y = 126 olur.
x + (18 / y) ifadesinde, x sayısının paydası görünür kılınır ve (x / 1) şeklinde yazılır. (Kesirli sayılarda işlemler konusuna, Sayılar 3. Bölüm » başlıklı yazıda değinilmiştir.)
(x / 1) + (18 / y) ifadesinde, (x / 1) sayısının altına parantez içinde (y) yazılarak paydalar eşitlenir.
(x / 1) sayısının her iki tarafı (y) sayısı ile çarpılır → (x . y / 1 . y) → (x.y / y)
(x.y / y) + (18 / y) ifadesinde, paydalar eşitlenmiştir. Paylar toplanır, payda aynen yazılır.
(x.y + 18) / y ifadesi, 16 sayısına eşittir.
(x.y + 18) / y = 16 ifadesinde, 16 sayısının paydası görünür kılınır ve (16 / 1) şeklinde yazılır.
(x.y + 18) / y = 16 / 1 ifadesinde, içler dışlar çarpımı, birbirine eşittir.
x.y + 18 = 16y eşitliğinde, x.y yerine 126 yazılırsa → 126 + 18 = 16y
144 = 16y eşitliğinde, her iki taraf 16 sayısına bölünür.
9 = y → y = 9 olur.
x . y = 126 eşitliğinde, y yerine 9 yazılırsa → x . 9 = 126
x . 9 = 126 eşitliğinin her iki tarafı 9 sayısına bölünür.
x = 14 olur.
x + y = 14 + 9 = 23
Cevap: 23
Yorumlar
Yorum Gönder