Şu an 1. Bölüm görüntüleniyor...
Bölüm Konuları:
EBOB (En Büyük Ortak Bölen) , EBOB Özellikleri
EBOB Değerinin Çıkarma Yöntemi ile Bulunması , EBOB Örnek Sorular
12 sayısının tam bölenleri:
Not:
1 sayısı, bütün sayıları tam böler.
18 ve 24 sayılarının tam bölenleri:
18 ve 24 sayılarının her ikisini de ortak bölen en büyük sayı, 6 sayısıdır.
18 ve 24 sayılarının, en büyük ortak böleni (EBOB), 6 sayısıdır.
EBOB(18 , 24) = 6
Her iki sayının da tam bölenlerini bulmak zaman alacağından, EBOB bulunurken, sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Asal çarpanlara ayırma işlemine, Bölme işlemi ve Bölünebilme Kuralları » başlıklı yazıda değinilmiştir.
18 ve 24 sayıları için en büyük ortak bölen (EBOB):
Yukarıdaki resimde, 18 ve 24 sayıları asal çarpanlarına ayrılmıştır.
18 ve 24 → 2 sayısı, hem 18 sayısını hem de 24 sayısını tam böler. Sonuçlar altlarına yazılır.
9 ve 12 → 2 sayısı, sadece 12 sayısını tam böler ve sonuç altına yazılır. 9 sayısı aynen alta yazılır.
9 ve 6 → 2 sayısı, sadece 6 sayısını tam böler ve sonuç altına yazılır. 9 sayısı aynen alta yazılır.
9 ve 3 → 3 sayısı, hem 9 sayısını hem de 3 sayısını tam böler. Sonuçlar altlarına yazılır.
3 ve 1 → 3 sayısı, sadece 3 sayısını tam böler ve sonuç altına yazılır.
1 → Her iki sayı da 1 sonucuna ulaştığından işlem biter.
18 ve 24 sayıları asal çarpanlarına ayrıldığında, 2 ve 3 sayılarının, her iki sayıyı da tam böldüğü görülür. 2 ve 3 sayıları çarpıldığında, 18 ve 24 sayılarının EBOB'u bulunur.
EBOB(18 , 24) = 2 . 3 = 6
x ve y olan iki sayının En Büyük Ortak Böleni:
EBOB(x , y) veya (x , y)EBOB şeklinde gösterilir.
Örnek:
40 , 60 ve 80 sayılarının, En Büyük Ortak Böleni kaçtır?
Çözüm:
40 , 60 ve 80 sayıları için en büyük ortak bölen (EBOB):
40 , 60 ve 80 sayıları asal çarpanlarına ayrılır.
40 ve 60 ve 80 → 2 sayısı, üç sayıyı da böler.
20 ve 30 ve 40 → 2 sayısı, yine üç sayıyı da böler.
10 ve 15 ve 20 → 2 sayısı, 10 ve 20 sayısını böler.
5 ve 15 ve 10 → 2 sayısı, sadece 10 sayısını böler.
5 ve 15 ve 5 → 3 sayısı, sadece 15 sayısını böler.
5 ve 5 ve 5 → 5 sayısı, üç sayıyı da böler.
1 ve 1 ve 1 → Her üç sayı da 1 sonucuna ulaştığından işlem biter.
EBOB(40 , 60 , 80) = 2 . 2 . 5 = 20
x sayısı, tam sayılar kümesinin elemanı olmak üzere, x sayısı ile x sayısının EBOB'u alınırsa, sonuç x olur.
Örneğin x tam sayısı 20 olsun (x = 20):
EBOB(x , x) = x özelliği:
20 ve 20 sayıları asal çarpanlarına ayrılır.
20 ve 20 → 2 sayısı, hem 20 sayısını hem de 20 sayısını böler.
10 ve 10 → 2 sayısı, hem 10 sayısını hem de 10 sayısını böler.
5 ve 5 → 5 sayısı, hem 5 sayısını hem de 5 sayısını böler.
1 ve 1 → Her iki sayı da 1 sonucuna ulaştığından işlem biter.
EBOB(20 , 20) = 2 . 2 . 5 = 20
Bir tam sayının, en büyük tam böleni kendisidir. 20 sayısının, en büyük tam böleni 20 sayısıdır.
x ve k sayıları, tam sayılar kümesinin elemanı olmak üzere, x sayısı ile x sayısının herhangi bir katının EBOB'u alınırsa, sonuç x olur.
Örnek:
EBOB (x , kx) = x özelliği:
kx şeklinde yazılan bir ifade, iki basamaklı kx sayısı veya kx doğal sayısı şeklinde tanımlanmadığı için, çarpım durumunda olan iki sayıdır.
x = 20
k = 3 için
kx = k . x = 3 . 20 = 60
EBOB (x , kx) → EBOB (20 , 3 . 20) → EBOB (20 , 60)
20 ve 60 sayıları asal çarpanlarına ayrılır.
20 ve 60 → 2 sayısı, hem 20 sayısını hem de 60 sayısını böler.
10 ve 30 → 2 sayısı, hem 10 sayısını hem de 30 sayısını böler.
5 ve 15 → 3 sayısı, sadece 15 sayısını böler.
5 ve 5 → 5 sayısı, hem 5 sayısını hem de 5 sayısını böler.
1 ve 1 → İki sayı da 1 sonucuna ulaştığından işlem biter.
EBOB(20 , 60) = 2 . 2 . 5
EBOB(20 , 60) = 20
EBOB (x , kx) = x
EBOB(20 , 3 . 20) = 20
k sayısının 3 değeri için 20 olan EBOB değeri, k sayısının bütün değerleri için 20 olur.
Not:
EBOB (x , kx) ifadesi, EBOB (kx , x) şeklinde de yazılabilir.
EBOB (kx , x) yazımında:
x = 20 , k = 3 değeri için EBOB(60 , 20) olan ifade, EBOB(20 , 60) şeklinde düşünülmelidir. Ebob'u alınan sayıların sıranın değişmesi, alınan ebob değerini değiştirmez.
x , y , z ve k sayıları, tam sayılar kümesinin elemanı olmak üzere, x sayısı ve y sayısının ebob'u, z sayısı olsun.
k sayısı ile çarpılan x ve y sayılarının ebob'u, x ve y sayısının ebob'u olan z sayısının k ile çarpımıdır.
EBOB (x , y) = z → EBOB (kx , ky) = kz
Örnek:
EBOB (kx , ky) = kz özelliği:
x = 8 , y = 12 olsun.
z değerini bulmak için, x ve y sayılarının Ebob'u bulunur.
8 ve 12 sayıları asal çarpanlarına ayrılır.
8 ve 12 → 2 sayısı, hem 8 sayısını hem de 12 sayısını böler.
4 ve 6 → 2 sayısı, hem 4 sayısını hem de 6 sayısını böler.
2 ve 3 → 2 sayısı, sadece 2 sayısını böler.
1 ve 3 → 3 sayısı, sadece 3 sayısını böler..
1 ve 1 → İki sayı da 1 sonucuna ulaştığından işlem biter.
EBOB(8 , 12) = 2 . 2
EBOB(8 , 12) = 4
EBOB (x , y) = z
k sayısının 2 olsun → k = 2
Özelliğe göre:
EBOB(8 , 12) = 4 ise EBOB(2 . 8 , 2 . 12) = 2 . 4 olmalıdır.
EBOB(2 . 8 , 2 . 12) = 2 . 4 → EBOB(16 , 24) = 8 sonucu doğru olmalıdır.
16 ve 24 sayıları asal çarpanlarına ayrılır.
16 ve 24 → 2 sayısı, hem 16 sayısını hem de 24 sayısını böler.
8 ve 12 → 2 sayısı, hem 8 sayısını hem de 12 sayısını böler.
4 ve 6 → 2 sayısı, hem 4 sayısını hem de 6 sayısını böler.
2 ve 3 → 2 sayısı, sadece 2 sayısını böler.
1 ve 3 → 3 sayısı, sadece 3 sayısını böler..
1 ve 1 → İki sayı da 1 sonucuna ulaştığından işlem biter.
EBOB(16 , 24) = 2 . 2 . 2 = 8
k = 2 için, iki kat artan ebob
k = 3 için üç kat
k = 4 için dört kat artar....
x , y ve z sayıları, tam sayılar kümesinin elemanı olmak üzere, x sayısı ve y sayısının ebob'u, z sayısı olsun.
(x bölü z) ve (y bölü z) sayılarının ebob'u, 1 sayısıdır.
EBOB (x , y) = z → EBOB (x/z , y/z) = 1
Örnek:
EBOB (x/z , y/z) = 1 özelliği:
x = 8 , y = 12 olsun.
z değerini bulmak için, x ve y sayılarının Ebob'u bulunur.
8 ve 12 sayıları asal çarpanlarına ayrılır.
8 ve 12 → 2 sayısı, hem 8 sayısını hem de 12 sayısını böler.
4 ve 6 → 2 sayısı, hem 4 sayısını hem de 6 sayısını böler.
2 ve 3 → 2 sayısı, sadece 2 sayısını böler.
1 ve 3 → 3 sayısı, sadece 3 sayısını böler..
1 ve 1 → İki sayı da 1 sonucuna ulaştığından işlem biter.
EBOB(8 , 12) = 2 . 2
EBOB(8 , 12) = 4
EBOB (x , y) = z
Özelliğe göre:
EBOB(8 , 12) = 4 ise EBOB(8/4 , 12/4) = 1 olmalıdır.
EBOB(8/4 , 12/4) = 1 → EBOB(2 , 3) = 1 sonucu doğru olmalıdır.
2 ve 3 sayıları asal çarpanlarına ayrılır.
2 ve 3 → 2 sayısı, sadece 2 sayısını böler.
1 ve 3 → 3 sayısı, sadece 3 sayısını böler.
1 ve 1 → İki sayı da 1 sonucuna ulaştığından işlem biter.
1 sayısının tüm sayıları tam böldüğünden daha önce bahsetmiştik. 2 ve 3 sayıları aralarında asal sayılardır ve aralarında asal sayıların ortak böleni sadece 1 sayısıdır. 2 ve 3 sayılarının ikisini de sadece, 1 sayısı tam bölebilir.
Sadece 1 sayısına tam bölünebilen 2 ve 3 sayılarının, en büyük ortak böleni de 1 sayısıdır.
EBOB(2 , 3) = 1
EBOB (x , y) = z → EBOB (x/z , y/z) = 1 özelliğine göre, x , y ve z tam sayılarının tüm değerleri için, (x / z) ve (y / z) sayıları aralarında asal olurlar.
x , y , a ve b sayıları, tam sayılar kümesinin elemanı olmak üzere:
EBOB(x , y + ax)
x sayısı ve y sayısının EBOB'u, x sayısı ve y sayısı ile x sayısının herhangi bir katının toplamının EBOB'una eşittir. a ile x çarpıldığında (ax), x sayısının herhangi bir katı elde edilir. a sayısı, herhangi bir tam sayı olabilir. x sayının katı olan ax değeri ile y sayısı toplanır (y + ax). Toplam sonucu ve x sayısının EBOB'u, x ve y sayısının EBOB'una eşit olur.
EBOB(x + by , y)
x sayısı ve y sayısının EBOB'u, y sayısı ve x sayısı ile y sayısının herhangi bir katının toplamının EBOB'una eşittir. b ile y çarpıldığında (by), y sayısının herhangi bir katı elde edilir. b sayısı, herhangi bir tam sayı olabilir. y sayının katı olan by değeri ile x sayısı toplanır (x + by). Toplam sonucu ve y sayısının EBOB'u, yine x ve y sayısının EBOB'una eşit olur.
Örnek:
EBOB(x , y) = EBOB(x , y + ax) = EBOB(x + by , y) özelliği:
x = 8 , y = 12 olsun.
8 ve 12 sayıları asal çarpanlarına ayrılır.
8 ve 12 → 2 sayısı, hem 8 sayısını hem de 12 sayısını böler.
4 ve 6 → 2 sayısı, hem 4 sayısını hem de 6 sayısını böler.
2 ve 3 → 2 sayısı, sadece 2 sayısını böler.
1 ve 3 → 3 sayısı, sadece 3 sayısını böler..
1 ve 1 → İki sayı da 1 sonucuna ulaştığından işlem biter.
EBOB(8 , 12) = 2 . 2
EBOB(8 , 12) = 4
EBOB (x , y) = 4
EBOB (x , y) ile EBOB(x , y + ax) eşit olmalıdır.
a = 2 olsun. (Herhangi bir tam sayı olabilir.)
x = 8
y = 12
y + ax = 12 + (2 . 8) = 12 + 16 = 28
8 ile 28 sayılarının EBOB(8 , 28) değeri için, asal çarpanlarına ayrılır.
8 ve 28 → 2 sayısı, hem 8 sayısını hem de 28 sayısını böler.
4 ve 14 → 2 sayısı, hem 4 sayısını hem de 14 sayısını böler.
2 ve 7 → 2 sayısı, sadece 2 sayısını böler.
1 ve 7 → 7 sayısı, sadece 7 sayısını böler.
1 ve 1 → İki sayı da 1 sonucuna ulaştığından işlem biter.
EBOB(8 , 28) = 2 . 2 = 4
EBOB (x , y) ile EBOB(x + by , y) eşit olmalıdır.
b = 3 olsun. (Herhangi bir tam sayı olabilir.)
x = 8
y = 12
x + by = 8 + (3 . 12) = 8 + 36 = 44
44 ile 12 sayılarının EBOB(12 , 44) değeri için, asal çarpanlarına ayrılır.
12 ve 44 → 2 sayısı, hem 12 sayısını hem de 44 sayısını böler.
6 ve 22 → 2 sayısı, hem 6 sayısını hem de 22 sayısını böler.
3 ve 11 → 3 sayısı, sadece 3 sayısını böler.
1 ve 11 → 11 sayısı, sadece 11 sayısını böler.
1 ve 1 → İki sayı da 1 sonucuna ulaştığından işlem biter.
EBOB(12 , 44) = 2 . 2 = 4
x = 8 , y = 12 , a = 2 , b = 3 değerleri için:
EBOB(x , y) = EBOB(x , y + ax) = EBOB(x + by , y) = 4
x ve y Pozitif tam sayılar kümesinin elemanı olmak üzere,
EBOB'u alınan küçük sayı x, büyük sayı y ise:
EBOB(x , y) değeri, x sayısına eşit veya x sayısından küçük olmalıdır.
İki veya daha fazla sayının EBOB değeri, en çok, EBOB'u alınan küçük sayı kadar olabilir.
Başka bir ifadeyle, EBOB'u alınan küçük sayı, en çok EBOB değeri kadar olabilir. Bu, x sayısının en çok, EBOB(x , y) değeri kadar olabileceği anlamına gelir.
x ve y sayıları pozitif tam sayılar kümesinin elemanı olmak üzere, x ve y sayıları aralarında asal ise
x ve y sayılarının EBOB değeri 1 sayısıdır.
Aralarında asal olan sayıların EBOB'u, 1 sayısıdır.
Not:
Ardışık tam sayılar aralarında asaldır. (12 , 13 , 14 , 15 , ....)
Ardışık tek sayılar aralarında asaldır. (13 , 15 , 17 , 19 , 21 , ....)
Aralarında asal sayılar hakkında daha fazla bilgi için, Bölme ve Bölünebilme başlıklı yazı okunabilir.
x sayısı, y sayısından büyük olmak üzere, x ve y sayıları eşitlenene kadar, büyük sayıdan küçük sayı çıkarılır. Çıkarma işleminin sonucu ile küçük sayının EBOB'u alınarak aynı işlem devam eder. İşlem süresince, küçük sayıların ve büyük sayıların yerleri değişebilir. Parantez içinde EBOB'u alınan sayılar yazılırken, önce küçük olanı, sonra büyük olanı yazılır.
x = 56 , y = 40 sayılarının EBOB(40 , 56) Değeri
EBOB(40, 56) → Büyük sayı olan 56'dan küçük sayı olan 40 çıkarılır. (56 - 40 = 16) Bulunan 16 sonucu ile küçük sayı olan 40'ın EBOB'u alınır.
EBOB(16, 40) → Büyük sayı olan 40'tan küçük sayı olan 16 çıkarılır. (40 - 16 = 24) Bulunan 24 sonucu ile küçük sayı olan 16'ın EBOB'u alınır.
EBOB(16, 24) → Büyük sayı olan 24'ten küçük sayı olan 16 çıkarılır. (24 - 16 = 8) Bulunan 8 sonucu ile küçük sayı olan 16'ın EBOB'u alınır.
EBOB(8, 16) → Büyük sayı olan 16'dan küçük sayı olan 8 çıkarılır. (16 - 8 = 8) Bulunan 8 sonucu ile küçük sayı olan 8'in EBOB'u alınır.
EBOB(8, 8) → İki sayı da birbirine eşitlendi.
EBOB(40 , 56) = 8
x = 92 , y = 48 sayılarının EBOB(48 , 92) Değeri
EBOB(68, 92) → Büyük sayı olan 92'den küçük sayı olan 68 çıkarılır. (92 - 68 = 24) Bulunan 24 sonucu ile küçük sayı olan 68'in EBOB'u alınır.
EBOB(24, 68) → Büyük sayı olan 68'den küçük sayı olan 24 çıkarılır. (68 - 24 = 44) Bulunan 44 sonucu ile küçük sayı olan 24'ün EBOB'u alınır.
EBOB(24, 44) → Büyük sayı olan 44'ten küçük sayı olan 24 çıkarılır. (44 - 24 = 20) Bulunan 20 sonucu ile küçük sayı olan 24'ün EBOB'u alınır.
EBOB(20, 24) → Büyük sayı olan 24'ten küçük sayı olan 20 çıkarılır. (24 - 20 = 4) Bulunan 4 sonucu ile küçük sayı olan 20'nin EBOB'u alınır.
EBOB(4, 20) → Büyük sayı olan 20'den küçük sayı olan 4 çıkarılır. (20 - 4 = 16) Bulunan 16 sonucu ile küçük sayı olan 4'ün EBOB'u alınır.
EBOB(4, 16) → Büyük sayı olan 16'dan küçük sayı olan 4 çıkarılır. (16 - 4 = 12) Bulunan 12 sonucu ile küçük sayı olan 4'ün EBOB'u alınır.
EBOB(4, 12) → Büyük sayı olan 12'den küçük sayı olan 4 çıkarılır. (12 - 4 = 8) Bulunan 8 sonucu ile küçük sayı olan 4'ün EBOB'u alınır.
EBOB(4, 8) → Büyük sayı olan 8'den küçük sayı olan 4 çıkarılır. (8 - 4 = 4) Bulunan 4 sonucu ile küçük sayı olan 4'ün EBOB'u alınır.
EBOB(4, 4) → İki sayı da birbirine eşitlendi.
EBOB(48 , 92) = 4
EBOB( 9² , 27³ ) ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? (kaynak: Supara)
Çözüm:
Not:
Üslü sayılarda üssü alınan sayıya taban sayı, üsse ise; kuvveti, üzeri veya üssü adı verilir. Taban sayıları aynı olan üslü sayılar çarpılırken, taban sayı aynı kalırken, üsler toplanır.
a² . a³ → a sayıları taban, 2 ve 3 sayıları ise a taban sayılarının üsleridir.
a² . a³ → Çarpma işleminde taban sayı aynı kalırken, üsler toplanır.
a² ⁺ ³ = a⁵
a² . a³ = a⁵
9² ve 27³ sayıları incelendiğinde, 3 asal sayısının kuvvetlerinden oluştuğu görülür.
9² = 9 . 9 → 9 sayısı, 3² şeklinde yazılabilir. ( 3² = 3 . 3 = 9 )
9² = 3² . 3²
3² . 3² → işleminde tabanlar aynı olduğundan üsler toplanır.
3² ⁺ ² = 3⁴
27³ = 27 . 27 . 27 → 27 sayısı, 3³ şeklinde yazılabilir. (3³ = 3 . 3 . 3 = 27)
27³ = 3³ . 3³ . 3³
3³ . 3³ . 3³ → işleminde tabanlar aynı olduğundan üsler toplanır.
3³ ⁺ ³ ⁺ ³ = 3⁹
3⁹ sayısının üssü, 5 + 4 = 9 şeklinde ayrılıp, çarpım şeklinde yazılabilir.
3⁹ = 3⁴ . 3⁵
3⁴ → 9² olan birinci sayı
3⁴ . 3⁵ → 27³ olan ikinci sayı
Birinci ve ikinci sayının en büyük ortak böleni 3⁴ sayısıdır.
3⁴ = 3 . 3 . 3 . 3 = 81
Cevap: 81
Örnek-2:
m ve n birer pozitif tam sayıdır. EBOB(m , n) = 12 olduğuna göre, m + n toplamı en az kaçtır? (kaynak: Supara)
Çözüm:
EBOB(m , n) ≤ m < n özelliği için:
EBOB(m , n) değeri 12 ise, m sayısının alabileceği en küçük değer 12 sayısıdır.
Başka bir ifadeyle:
EBOB değeri, asal sayıların çarpımından oluşur. m ve n sayılarının Ebob'u olan 12 sayısı da asal sayıların çarpımından oluşmalıdır. Asal sayılar; 2 , 3 , 5 , 7 , 11 ... şeklinde sıralanırlar.
2 . 2 . 3 = 12 → asal sayıların çarpımından 12 sonucuna ulaşmak için, sadece 2 ve 3 asal sayıları kullanılabilir.
m + n toplamının en az olması için, m ve n sayılarının alabileceği en küçük değerler bulunmalıdır.
Çarpıldığında 12 sayısını oluşturan 2 , 2 ve 3 sayıları, m sayısını böldüğünde 1 sonucuna ulaşmalıdır. m sayısının alabileceği en küçük değer için ulaştığı 1 sayısı, 3 sayısından başlayarak çarpılır.
1 . 3 = 3
3 . 2 = 6
6 . 2 = 12
m sayısının alabileceği en küçük değer 12 sayısıdır.
m ve n sayıları birer pozitif tam sayı olarak tanımlanmıştır. Birer birer saymak denildiğinde, sayılan her bir nesne bir kere sayılır. Aynı nesne iki kere sayılmaz. Birer ifadesi, m ve n sayılarının birbirinden farklı sayılar olduğunu ifade eder.
EBOB(m , n) = 12 ifadesinde, m yerine 12 yazılırsa:
EBOB(12 , n) = 12 ifadesi için, n sayısı 12 sayısından büyük olmalıdır. 12 sayısından büyük ve 12 sayısının katı olan en küçük sayı 24 sayısıdır.
Başka bir ifadeyle, m ve n sayıları farklı sayılar olduğu için, m sayısının değeri olan 12, en küçük asal sayı olan 2 ile çarpıldığında, n sayısının alabileceği en küçük değer bulunur.
12 ve 24 sayıları asal çarpanlarına ayrıldığında:
12 ve 24 → 2 sayısı, hem 12 sayısını hem de 24 sayısını böler.
6 ve 12 → 2 sayısı, hem 6 sayısını hem de 12 sayısını böler.
3 ve 6 → 2 sayısı, sadece 6 sayısını böler.
3 ve 3 → 3 sayısı, hem 3 sayısını hem de 3 sayısını böler.
1 ve 1 → Her iki sayı da 1 sonucuna ulaştığından işlem biter.
12 sayısını bölen sayılar: 3 , 2 ve 2 → 3 . 2 . 2 = 12
24 sayısını bölen sayılar: 3 , 2 , 2 ve 2 → 3 . 2 . 2 . 2 = 24
EBOB(12 , 24) = 2 . 2 . 3 = 12
m = 12
n = 24 için, m + n toplamının alabileceği en küçük değer 12 + 24 = 36 olur.
Cevap: 36
Örnek-3:
Kenar uzunlukları 80 m ve 72 m olan dikdörtgen şeklindeki bir tarlanın etrafına, köşelerine de birer tane gelecek şekilde, eşit aralıklarla direk dikilecektir.
Buna göre, bu iş için en az kaç tane direk gereklidir? (kaynak: Supara)
Çözüm:
EBOB örnek soru çözümü-3:
En az sayıda direk dikilmesi için, direklerin arasındaki mesafenin, en uzun olması gerekir. Dikdörtgen karşılıklı kenarları eşit geometrik şekildir. m harfi, metre uzunluğunun kısaltmasıdır.
80 m , 80 m , 72 m ve 72 m kenar uzunluklarını ortak bölen en büyük sayı (OBEB), direklerin arasındaki en uzun mesafe olur.
80 , 80 , 72 ve 72 sayılarının OBEB değeri bulunur. OBEB(72 , 72 , 80 , 80) değeri ile OBEB(72 , 80) değeri birbirine eşit olacağından, OBEB(72 , 80) değerinin bulunması işlemi kolaylaştırır.
Not:
Eğer, tarlanın bütün kenarları farklı uzunlukta olsaydı, farklı dört kenar uzunluğunun OBEB değeri alınacaktı.
72 ve 80 sayıları asal çarpanlarına ayrılır.
72 ve 80 → 2
36 ve 40 → 2
18 ve 20 → 2
9 ve 10 → 2
9 ve 5 → 3
3 ve 5 → 3
1 ve 5 → 5
1 ve 1
OBEB(72 , 80) = 2 . 2 . 2 = 8
Eşit aralıklarla direk dikilmesi için, 8 metrede 1 direk dikilmelidir. Soruda istenen, direkler arasındaki uzunlukla ilgili olduğundan, tarlanın çevresi hesaplanır.
Tarlanın çevre uzunluğunu bulmak için, dört kenarı toplanır.
80 + 80 + 72 + 72 = 304
Tarlanın çevre uzunluğu 304 metredir.
8 metrede 1 direk dikilirse, 304 metrede kaç direk dikilir? sorusunun cevabı için, 304 sayısı 8'e bölünür.
(304 / 8) = 38
8 metre arayla 38 direk dikilirse, tarlanın çevresi çevrilebilir.
Cevap:38
Örnek-4:
Kenar uzunlukları 48 m ve 66 m olan dikdörtgen şeklindeki bir yüzey kare şeklindeki eş fayanslarla kaplanacaktır.
Buna göre, bu iş için en az kaç tane fayans gereklidir? (kaynak: Supara)
Çözüm:
EBOB örnek soru çözümü-4:
En az sayıda fayans kullanılması için, kare şeklindeki 1 fayansın kapladığı alan, en geniş yüzeye sahip olmalıdır.
Kare dört kenarı da birbirine eşit geometrik şekildir. Karenin alanı (kapladığı yüzey), bir kenarı ile diğer kenarının çarpımı ile bulunur.
Kare şeklindeki fayansın, bir kenarının alabileceği en uzun metre değeri bulunursa, kapladığı en geniş yüzey bulunabilir.
Dikdörtgen karşılıklı kenarları eşit geometrik şekildir.
m harfi, metre uzunluğunun kısaltmasıdır.
m² (metrekare) alan ölçüsünün kısaltmasıdır. Alan hesaplarında, metre ile metre çarpıldığından, m ile m çarpımından m² ölçüsü ortaya çıkar. (m . m = m²)
Dikdörtgen yüzeyin 66 m , 66 m , 48 m ve 48 m olan kenar uzunluklarını ortak bölen en büyük sayı (OBEB), kare fayansın bir kenarının alabileceği en uzun değer olur.
66 , 66 , 48 ve 48 sayılarının OBEB değeri bulunur. OBEB(48 , 48 , 66 , 66) değeri ile OBEB(48 , 66) değeri birbirine eşit olduğundan, OBEB(48 , 66) değeri bulunur.
Not:
Eğer, fayansla kaplanan yüzeyin bütün kenarları farklı uzunlukta olsaydı, farklı dört kenar uzunluğunun OBEB değeri alınacaktı.
48 ve 66 sayıları asal çarpanlarına ayrılır.
48 ve 66 → 2
24 ve 33 → 2
12 ve 33 → 2
6 ve 33 → 2
3 ve 33 → 3
1 ve 11 → 11
1 ve 1
OBEB(48 , 66) = 2 . 3 = 6
Kare şeklindeki fayansın bir kenarı 6 m olmalıdır.
Bir kenarı 6 m olan karenin alanı: 6 . 6 = 36 m²
En az sayıda fayans kaplanması için, 1 fayansın alanı 36 m² olmalıdır. Soruda istenen, kaplanan yüzeyle ilgili olduğundan, dikdörtgen yüzeyin alanı hesaplanır.
Dikdörtgenin alanı bulmak için, uzun kenar uzunluğu ile kısa kenar uzunluğu çarpılır.
48 . 66 = 3168
Dikdörtgen yüzeyin alanı 3168 m²
36 m² alanı 1 fayans kaplıyorsa, 3168 m² alanı kaç fayans kaplar? sorusunun cevabı için, 3168 sayısı 36'ya bölünür.
(3168 / 36) = 88
Dikdörtgen yüzey, bir kenar uzunluğu 6 m olan kare şeklindeki 88 fayansla, en az sayıda fayans ile kaplanır.
Cevap:88
Örnek-5:
Boyutları 18 m , 24 m ve 36 m olan dikdörtgenler prizması biçimindeki bir depoya, hiç boşluk kalmayacak şekilde, eş küp biçimindeki kutulardan en az kaç tane yerleştirilir? (kaynak: Supara)
Çözüm:
EBOB örnek soru çözümü-5:
En az sayıda küp kutu kullanılması için, küp şeklindeki 1 kutunun kapladığı hacim, en büyük hacme sahip olmalıdır.
Küp tüm kenarları birbirine eşit geometrik şekildir. Küpün hacmi (kapladığı alan), taban alanı ile yüksekliğinin çarpımıdır. Küpün taban alanı, karenin alanında olduğu gibi iki kenarının çarpımı ile bulunur. Küpün tüm kenarları eşit olduğundan, yüksekliği bir kenarının uzunluğuna eşittir.
Kenar uzunluğu a olan bir küpün taban alanı, iki kenar uzunluğunu çarpımıdır.
a . a = a²
Kenar uzunluğu a olan bir küpün hacmi, taban alanı ile yüksekliğinin çarpımıdır.
a² . a = a³
Küp şeklindeki kutunun, bir kenarının alabileceği en uzun metre değeri bulunursa, kapladığı en geniş alan bulunabilir.
Dikdörtgenler prizması, 6 tane dikdörtgenin oluşturduğu, geometrik şekildir. Karşı karşıya duran dikdörtgenler birbirine eştir. (Alt ve üst) , (sağ ve sol) , (ön ve arka) şeklinde, karşı karşıya duran eş dikdörtgenler gruplara ayrılabilir.
Dikdörtgenler prizmasının hacmi, küpün hacminde olduğu gibi, taban alanı ile yüksekliğinin çarpımıdır.
Dikdörtgenler prizmasının taban alanı, dikdörtgenin alanında olduğu gibi, uzun kenarı ile kısa kenarının çarpımıdır. Taban alanı ile yüksekliğinin çarpımı, hacmini verir.
Dikdörtgenler prizmasının yüzeyde olan dikdörtgeni, taban olarak kabul edilir. Dikdörtgenler prizmasının yüzeyde olan dikdörtgeni değişebilir. Hacmini bulmak için çarpılan 3 değeri değişmez. Uzun kenar, kısa kenar ve yükseklik değerleri, birbirinin yerine geçebilir. Prizma çevrilirse yüzeyde olan dikdörtgeni değişir. Yüzeyde olan yeni dikdörtgenin taban alanı ve yükseklik değerleri değişse de, boyutları değişmediğinden hacmi değişmez.
m harfi, metre uzunluğunun kısaltmasıdır.
m³ (metreküp) hacim ölçüsünün kısaltmasıdır. Hacim hesaplarında, metre , metre ve metre çarpıldığından, m , m ve m çarpımından, m³ ölçüsü ortaya çıkar. (m . m . m = m³)
Dikdörtgenler prizmasının 18 m , 24 m ve 36 m olan boyutlarını ortak bölen en büyük sayı (OBEB), küp kutunun bir kenarının alabileceği en uzun değer olur.
18 , 24 ve 36 sayılarının OBEB değeri bulunur.
18 , 24 ve 36 sayıları asal çarpanlarına ayrılır.
18 ve 24 ve 36 → 2
9 ve 12 ve 18 → 2
9 ve 6 ve 9 → 2
9 ve 3 ve 9 → 3
3 ve 1 ve 3 → 3
1 ve 1 ve 1 → 3
OBEB(18 , 24 , 36) = 2 . 3 = 6
Küp şeklindeki kutunun bir kenarı 6 m olmalıdır.
Bir kenarı 6 m olan küpün hacmi: 6 . 6 . 6 = 216 m³
En az sayıda kutu kullanılması için, 1 kutunu hacmi 216 m³ olmalıdır. Soruda istenen, kaplanan alanla ilgili olduğundan, Dikdörtgenler prizmasının hacmi hesaplanır.
Dikdörtgenler prizmasının hacmini bulmak için, verilen 3 boyut değeri çarpılır.
18 . 24 . 36 = 15552
Dikdörtgenler prizmasının hacmi 15552 m³
216 m³ hacmi 1 kutu kaplıyorsa, 15552 m³ hacmi kaç kutu kaplar? sorusunun cevabı için, 15552 sayısı 216'ya bölünür.
(15552 / 216) = 72
Dikdörtgenler prizması biçimindeki depo, bir kenar uzunluğu 6 m olan küp biçimindeki 72 küple, en az sayıda küp ile doldurulabilir.
Cevap:72
Bölüm Konuları:
EBOB (En Büyük Ortak Bölen) , EBOB Özellikleri
EBOB Değerinin Çıkarma Yöntemi ile Bulunması , EBOB Örnek Sorular
EBOB (En Büyük Ortak Bölen)
İki veya daha fazla sayının, hepsini de tam bölen en büyük sayıya, bu sayıların EBOB'u denir. EBOB, EBOB'u alınan sayıların, en büyük ortak bölenidir.12 sayısının tam bölenleri:
- ( 12 / 1 ) = 12
- ( 12 / 2 ) = 6
- ( 12 / 3 ) = 4
- ( 12 / 4 ) = 3
- ( 12 / 6 ) = 2
- ( 12 / 12 ) = 1
Not:
1 sayısı, bütün sayıları tam böler.
18 ve 24 sayılarının tam bölenleri:
- ( 18 / 1 ) = 18
- ( 18 / 2 ) = 9
- ( 18 / 3 ) = 6
- ( 18 / 6 ) = 3
- ( 18 / 9 ) = 2
- ( 18 / 18 ) = 1
- ( 24 / 1 ) = 24
- ( 24 / 2 ) = 12
- ( 24 / 3 ) = 8
- ( 24 / 4 ) = 6
- ( 24 / 6 ) = 4
- ( 24 / 8 ) = 3
- ( 24 / 12 ) = 2
- ( 24 / 24 ) = 1
18 ve 24 sayılarının her ikisini de ortak bölen en büyük sayı, 6 sayısıdır.
18 ve 24 sayılarının, en büyük ortak böleni (EBOB), 6 sayısıdır.
EBOB(18 , 24) = 6
Her iki sayının da tam bölenlerini bulmak zaman alacağından, EBOB bulunurken, sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Asal çarpanlara ayırma işlemine, Bölme işlemi ve Bölünebilme Kuralları » başlıklı yazıda değinilmiştir.
18 ve 24 sayıları için en büyük ortak bölen (EBOB):
Yukarıdaki resimde, 18 ve 24 sayıları asal çarpanlarına ayrılmıştır.
18 ve 24 → 2 sayısı, hem 18 sayısını hem de 24 sayısını tam böler. Sonuçlar altlarına yazılır.
9 ve 12 → 2 sayısı, sadece 12 sayısını tam böler ve sonuç altına yazılır. 9 sayısı aynen alta yazılır.
9 ve 6 → 2 sayısı, sadece 6 sayısını tam böler ve sonuç altına yazılır. 9 sayısı aynen alta yazılır.
9 ve 3 → 3 sayısı, hem 9 sayısını hem de 3 sayısını tam böler. Sonuçlar altlarına yazılır.
3 ve 1 → 3 sayısı, sadece 3 sayısını tam böler ve sonuç altına yazılır.
1 → Her iki sayı da 1 sonucuna ulaştığından işlem biter.
18 ve 24 sayıları asal çarpanlarına ayrıldığında, 2 ve 3 sayılarının, her iki sayıyı da tam böldüğü görülür. 2 ve 3 sayıları çarpıldığında, 18 ve 24 sayılarının EBOB'u bulunur.
EBOB(18 , 24) = 2 . 3 = 6
x ve y olan iki sayının En Büyük Ortak Böleni:
EBOB(x , y) veya (x , y)EBOB şeklinde gösterilir.
Örnek:
40 , 60 ve 80 sayılarının, En Büyük Ortak Böleni kaçtır?
Çözüm:
40 , 60 ve 80 sayıları için en büyük ortak bölen (EBOB):
40 , 60 ve 80 sayıları asal çarpanlarına ayrılır.
40 ve 60 ve 80 → 2 sayısı, üç sayıyı da böler.
20 ve 30 ve 40 → 2 sayısı, yine üç sayıyı da böler.
10 ve 15 ve 20 → 2 sayısı, 10 ve 20 sayısını böler.
5 ve 15 ve 10 → 2 sayısı, sadece 10 sayısını böler.
5 ve 15 ve 5 → 3 sayısı, sadece 15 sayısını böler.
5 ve 5 ve 5 → 5 sayısı, üç sayıyı da böler.
1 ve 1 ve 1 → Her üç sayı da 1 sonucuna ulaştığından işlem biter.
EBOB(40 , 60 , 80) = 2 . 2 . 5 = 20
EBOB Özellikleri
Özellik-1: EBOB(x , x) = x
x ∈ Z olmak üzere, EBOB (x , x) = x olur.x sayısı, tam sayılar kümesinin elemanı olmak üzere, x sayısı ile x sayısının EBOB'u alınırsa, sonuç x olur.
Örneğin x tam sayısı 20 olsun (x = 20):
EBOB(x , x) = x özelliği:
20 ve 20 sayıları asal çarpanlarına ayrılır.
20 ve 20 → 2 sayısı, hem 20 sayısını hem de 20 sayısını böler.
10 ve 10 → 2 sayısı, hem 10 sayısını hem de 10 sayısını böler.
5 ve 5 → 5 sayısı, hem 5 sayısını hem de 5 sayısını böler.
1 ve 1 → Her iki sayı da 1 sonucuna ulaştığından işlem biter.
EBOB(20 , 20) = 2 . 2 . 5 = 20
Bir tam sayının, en büyük tam böleni kendisidir. 20 sayısının, en büyük tam böleni 20 sayısıdır.
Özellik-2: EBOB(x , kx) = x
x ve k ∈ Z olmak üzere, EBOB (x , kx) = x 'dir.x ve k sayıları, tam sayılar kümesinin elemanı olmak üzere, x sayısı ile x sayısının herhangi bir katının EBOB'u alınırsa, sonuç x olur.
Örnek:
EBOB (x , kx) = x özelliği:
kx şeklinde yazılan bir ifade, iki basamaklı kx sayısı veya kx doğal sayısı şeklinde tanımlanmadığı için, çarpım durumunda olan iki sayıdır.
x = 20
k = 3 için
kx = k . x = 3 . 20 = 60
EBOB (x , kx) → EBOB (20 , 3 . 20) → EBOB (20 , 60)
20 ve 60 sayıları asal çarpanlarına ayrılır.
20 ve 60 → 2 sayısı, hem 20 sayısını hem de 60 sayısını böler.
10 ve 30 → 2 sayısı, hem 10 sayısını hem de 30 sayısını böler.
5 ve 15 → 3 sayısı, sadece 15 sayısını böler.
5 ve 5 → 5 sayısı, hem 5 sayısını hem de 5 sayısını böler.
1 ve 1 → İki sayı da 1 sonucuna ulaştığından işlem biter.
EBOB(20 , 60) = 2 . 2 . 5
EBOB(20 , 60) = 20
EBOB (x , kx) = x
EBOB(20 , 3 . 20) = 20
k sayısının 3 değeri için 20 olan EBOB değeri, k sayısının bütün değerleri için 20 olur.
Not:
EBOB (x , kx) ifadesi, EBOB (kx , x) şeklinde de yazılabilir.
EBOB (kx , x) yazımında:
x = 20 , k = 3 değeri için EBOB(60 , 20) olan ifade, EBOB(20 , 60) şeklinde düşünülmelidir. Ebob'u alınan sayıların sıranın değişmesi, alınan ebob değerini değiştirmez.
Özellik-3: EBOB(kx , ky) = kz
x , y , z , k ∈ Z ve EBOB (x , y) = z olmak üzerex , y , z ve k sayıları, tam sayılar kümesinin elemanı olmak üzere, x sayısı ve y sayısının ebob'u, z sayısı olsun.
k sayısı ile çarpılan x ve y sayılarının ebob'u, x ve y sayısının ebob'u olan z sayısının k ile çarpımıdır.
EBOB (x , y) = z → EBOB (kx , ky) = kz
Örnek:
EBOB (kx , ky) = kz özelliği:
x = 8 , y = 12 olsun.
z değerini bulmak için, x ve y sayılarının Ebob'u bulunur.
8 ve 12 sayıları asal çarpanlarına ayrılır.
8 ve 12 → 2 sayısı, hem 8 sayısını hem de 12 sayısını böler.
4 ve 6 → 2 sayısı, hem 4 sayısını hem de 6 sayısını böler.
2 ve 3 → 2 sayısı, sadece 2 sayısını böler.
1 ve 3 → 3 sayısı, sadece 3 sayısını böler..
1 ve 1 → İki sayı da 1 sonucuna ulaştığından işlem biter.
EBOB(8 , 12) = 2 . 2
EBOB(8 , 12) = 4
EBOB (x , y) = z
k sayısının 2 olsun → k = 2
Özelliğe göre:
EBOB(8 , 12) = 4 ise EBOB(2 . 8 , 2 . 12) = 2 . 4 olmalıdır.
EBOB(2 . 8 , 2 . 12) = 2 . 4 → EBOB(16 , 24) = 8 sonucu doğru olmalıdır.
16 ve 24 sayıları asal çarpanlarına ayrılır.
16 ve 24 → 2 sayısı, hem 16 sayısını hem de 24 sayısını böler.
8 ve 12 → 2 sayısı, hem 8 sayısını hem de 12 sayısını böler.
4 ve 6 → 2 sayısı, hem 4 sayısını hem de 6 sayısını böler.
2 ve 3 → 2 sayısı, sadece 2 sayısını böler.
1 ve 3 → 3 sayısı, sadece 3 sayısını böler..
1 ve 1 → İki sayı da 1 sonucuna ulaştığından işlem biter.
EBOB(16 , 24) = 2 . 2 . 2 = 8
k = 2 için, iki kat artan ebob
k = 3 için üç kat
k = 4 için dört kat artar....
Özellik-4: EBOB(x/z , y/z) = 1
x , y , z ∈ Z ve EBOB (x , y) = z olmak üzerex , y ve z sayıları, tam sayılar kümesinin elemanı olmak üzere, x sayısı ve y sayısının ebob'u, z sayısı olsun.
(x bölü z) ve (y bölü z) sayılarının ebob'u, 1 sayısıdır.
EBOB (x , y) = z → EBOB (x/z , y/z) = 1
Örnek:
EBOB (x/z , y/z) = 1 özelliği:
x = 8 , y = 12 olsun.
z değerini bulmak için, x ve y sayılarının Ebob'u bulunur.
8 ve 12 sayıları asal çarpanlarına ayrılır.
8 ve 12 → 2 sayısı, hem 8 sayısını hem de 12 sayısını böler.
4 ve 6 → 2 sayısı, hem 4 sayısını hem de 6 sayısını böler.
2 ve 3 → 2 sayısı, sadece 2 sayısını böler.
1 ve 3 → 3 sayısı, sadece 3 sayısını böler..
1 ve 1 → İki sayı da 1 sonucuna ulaştığından işlem biter.
EBOB(8 , 12) = 2 . 2
EBOB(8 , 12) = 4
EBOB (x , y) = z
Özelliğe göre:
EBOB(8 , 12) = 4 ise EBOB(8/4 , 12/4) = 1 olmalıdır.
EBOB(8/4 , 12/4) = 1 → EBOB(2 , 3) = 1 sonucu doğru olmalıdır.
2 ve 3 sayıları asal çarpanlarına ayrılır.
2 ve 3 → 2 sayısı, sadece 2 sayısını böler.
1 ve 3 → 3 sayısı, sadece 3 sayısını böler.
1 ve 1 → İki sayı da 1 sonucuna ulaştığından işlem biter.
1 sayısının tüm sayıları tam böldüğünden daha önce bahsetmiştik. 2 ve 3 sayıları aralarında asal sayılardır ve aralarında asal sayıların ortak böleni sadece 1 sayısıdır. 2 ve 3 sayılarının ikisini de sadece, 1 sayısı tam bölebilir.
Sadece 1 sayısına tam bölünebilen 2 ve 3 sayılarının, en büyük ortak böleni de 1 sayısıdır.
EBOB(2 , 3) = 1
EBOB (x , y) = z → EBOB (x/z , y/z) = 1 özelliğine göre, x , y ve z tam sayılarının tüm değerleri için, (x / z) ve (y / z) sayıları aralarında asal olurlar.
Özellik-5: EBOB(x , y) = EBOB(x , y + ax) = EBOB(x + by , y)
x , y , a ve b ∈ Z olmak üzere, EBOB(x , y) = EBOB(x , y + ax) = EBOB(x + by , y)x , y , a ve b sayıları, tam sayılar kümesinin elemanı olmak üzere:
EBOB(x , y + ax)
x sayısı ve y sayısının EBOB'u, x sayısı ve y sayısı ile x sayısının herhangi bir katının toplamının EBOB'una eşittir. a ile x çarpıldığında (ax), x sayısının herhangi bir katı elde edilir. a sayısı, herhangi bir tam sayı olabilir. x sayının katı olan ax değeri ile y sayısı toplanır (y + ax). Toplam sonucu ve x sayısının EBOB'u, x ve y sayısının EBOB'una eşit olur.
EBOB(x + by , y)
x sayısı ve y sayısının EBOB'u, y sayısı ve x sayısı ile y sayısının herhangi bir katının toplamının EBOB'una eşittir. b ile y çarpıldığında (by), y sayısının herhangi bir katı elde edilir. b sayısı, herhangi bir tam sayı olabilir. y sayının katı olan by değeri ile x sayısı toplanır (x + by). Toplam sonucu ve y sayısının EBOB'u, yine x ve y sayısının EBOB'una eşit olur.
Örnek:
EBOB(x , y) = EBOB(x , y + ax) = EBOB(x + by , y) özelliği:
x = 8 , y = 12 olsun.
8 ve 12 sayıları asal çarpanlarına ayrılır.
8 ve 12 → 2 sayısı, hem 8 sayısını hem de 12 sayısını böler.
4 ve 6 → 2 sayısı, hem 4 sayısını hem de 6 sayısını böler.
2 ve 3 → 2 sayısı, sadece 2 sayısını böler.
1 ve 3 → 3 sayısı, sadece 3 sayısını böler..
1 ve 1 → İki sayı da 1 sonucuna ulaştığından işlem biter.
EBOB(8 , 12) = 2 . 2
EBOB(8 , 12) = 4
EBOB (x , y) = 4
EBOB (x , y) ile EBOB(x , y + ax) eşit olmalıdır.
a = 2 olsun. (Herhangi bir tam sayı olabilir.)
x = 8
y = 12
y + ax = 12 + (2 . 8) = 12 + 16 = 28
8 ile 28 sayılarının EBOB(8 , 28) değeri için, asal çarpanlarına ayrılır.
8 ve 28 → 2 sayısı, hem 8 sayısını hem de 28 sayısını böler.
4 ve 14 → 2 sayısı, hem 4 sayısını hem de 14 sayısını böler.
2 ve 7 → 2 sayısı, sadece 2 sayısını böler.
1 ve 7 → 7 sayısı, sadece 7 sayısını böler.
1 ve 1 → İki sayı da 1 sonucuna ulaştığından işlem biter.
EBOB(8 , 28) = 2 . 2 = 4
EBOB (x , y) ile EBOB(x + by , y) eşit olmalıdır.
b = 3 olsun. (Herhangi bir tam sayı olabilir.)
x = 8
y = 12
x + by = 8 + (3 . 12) = 8 + 36 = 44
44 ile 12 sayılarının EBOB(12 , 44) değeri için, asal çarpanlarına ayrılır.
12 ve 44 → 2 sayısı, hem 12 sayısını hem de 44 sayısını böler.
6 ve 22 → 2 sayısı, hem 6 sayısını hem de 22 sayısını böler.
3 ve 11 → 3 sayısı, sadece 3 sayısını böler.
1 ve 11 → 11 sayısı, sadece 11 sayısını böler.
1 ve 1 → İki sayı da 1 sonucuna ulaştığından işlem biter.
EBOB(12 , 44) = 2 . 2 = 4
x = 8 , y = 12 , a = 2 , b = 3 değerleri için:
EBOB(x , y) = EBOB(x , y + ax) = EBOB(x + by , y) = 4
Özellik-6: EBOB(x , y) ≤ x < y
x ve y ∈ Z⁺ olmak üzere, EBOB(x , y) ≤ x < y olur.x ve y Pozitif tam sayılar kümesinin elemanı olmak üzere,
EBOB'u alınan küçük sayı x, büyük sayı y ise:
EBOB(x , y) değeri, x sayısına eşit veya x sayısından küçük olmalıdır.
İki veya daha fazla sayının EBOB değeri, en çok, EBOB'u alınan küçük sayı kadar olabilir.
Başka bir ifadeyle, EBOB'u alınan küçük sayı, en çok EBOB değeri kadar olabilir. Bu, x sayısının en çok, EBOB(x , y) değeri kadar olabileceği anlamına gelir.
Özellik-7: x ve y aralarında asal ise EBOB(x , y) = 1 dir
x ve y ∈ Z⁺ ve aralarında asal olmak üzere EBOB(x , y) = 1 dir.x ve y sayıları pozitif tam sayılar kümesinin elemanı olmak üzere, x ve y sayıları aralarında asal ise
x ve y sayılarının EBOB değeri 1 sayısıdır.
Aralarında asal olan sayıların EBOB'u, 1 sayısıdır.
Not:
Ardışık tam sayılar aralarında asaldır. (12 , 13 , 14 , 15 , ....)
Ardışık tek sayılar aralarında asaldır. (13 , 15 , 17 , 19 , 21 , ....)
Aralarında asal sayılar hakkında daha fazla bilgi için, Bölme ve Bölünebilme başlıklı yazı okunabilir.
EBOB Değerinin Çıkarma Yöntemi ile Bulunması
x > y için EBOB(y , x) = EBOB(y , x -y) olur.x sayısı, y sayısından büyük olmak üzere, x ve y sayıları eşitlenene kadar, büyük sayıdan küçük sayı çıkarılır. Çıkarma işleminin sonucu ile küçük sayının EBOB'u alınarak aynı işlem devam eder. İşlem süresince, küçük sayıların ve büyük sayıların yerleri değişebilir. Parantez içinde EBOB'u alınan sayılar yazılırken, önce küçük olanı, sonra büyük olanı yazılır.
x = 56 , y = 40 sayılarının EBOB(40 , 56) Değeri
EBOB(40, 56) → Büyük sayı olan 56'dan küçük sayı olan 40 çıkarılır. (56 - 40 = 16) Bulunan 16 sonucu ile küçük sayı olan 40'ın EBOB'u alınır.
EBOB(16, 40) → Büyük sayı olan 40'tan küçük sayı olan 16 çıkarılır. (40 - 16 = 24) Bulunan 24 sonucu ile küçük sayı olan 16'ın EBOB'u alınır.
EBOB(16, 24) → Büyük sayı olan 24'ten küçük sayı olan 16 çıkarılır. (24 - 16 = 8) Bulunan 8 sonucu ile küçük sayı olan 16'ın EBOB'u alınır.
EBOB(8, 16) → Büyük sayı olan 16'dan küçük sayı olan 8 çıkarılır. (16 - 8 = 8) Bulunan 8 sonucu ile küçük sayı olan 8'in EBOB'u alınır.
EBOB(8, 8) → İki sayı da birbirine eşitlendi.
EBOB(40 , 56) = 8
x = 92 , y = 48 sayılarının EBOB(48 , 92) Değeri
EBOB(68, 92) → Büyük sayı olan 92'den küçük sayı olan 68 çıkarılır. (92 - 68 = 24) Bulunan 24 sonucu ile küçük sayı olan 68'in EBOB'u alınır.
EBOB(24, 68) → Büyük sayı olan 68'den küçük sayı olan 24 çıkarılır. (68 - 24 = 44) Bulunan 44 sonucu ile küçük sayı olan 24'ün EBOB'u alınır.
EBOB(24, 44) → Büyük sayı olan 44'ten küçük sayı olan 24 çıkarılır. (44 - 24 = 20) Bulunan 20 sonucu ile küçük sayı olan 24'ün EBOB'u alınır.
EBOB(20, 24) → Büyük sayı olan 24'ten küçük sayı olan 20 çıkarılır. (24 - 20 = 4) Bulunan 4 sonucu ile küçük sayı olan 20'nin EBOB'u alınır.
EBOB(4, 20) → Büyük sayı olan 20'den küçük sayı olan 4 çıkarılır. (20 - 4 = 16) Bulunan 16 sonucu ile küçük sayı olan 4'ün EBOB'u alınır.
EBOB(4, 16) → Büyük sayı olan 16'dan küçük sayı olan 4 çıkarılır. (16 - 4 = 12) Bulunan 12 sonucu ile küçük sayı olan 4'ün EBOB'u alınır.
EBOB(4, 12) → Büyük sayı olan 12'den küçük sayı olan 4 çıkarılır. (12 - 4 = 8) Bulunan 8 sonucu ile küçük sayı olan 4'ün EBOB'u alınır.
EBOB(4, 8) → Büyük sayı olan 8'den küçük sayı olan 4 çıkarılır. (8 - 4 = 4) Bulunan 4 sonucu ile küçük sayı olan 4'ün EBOB'u alınır.
EBOB(4, 4) → İki sayı da birbirine eşitlendi.
EBOB(48 , 92) = 4
EBOB Örnek Sorular
Örnek-1:EBOB( 9² , 27³ ) ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? (kaynak: Supara)
Çözüm:
Not:
Üslü sayılarda üssü alınan sayıya taban sayı, üsse ise; kuvveti, üzeri veya üssü adı verilir. Taban sayıları aynı olan üslü sayılar çarpılırken, taban sayı aynı kalırken, üsler toplanır.
a² . a³ → a sayıları taban, 2 ve 3 sayıları ise a taban sayılarının üsleridir.
a² . a³ → Çarpma işleminde taban sayı aynı kalırken, üsler toplanır.
a² ⁺ ³ = a⁵
a² . a³ = a⁵
9² ve 27³ sayıları incelendiğinde, 3 asal sayısının kuvvetlerinden oluştuğu görülür.
9² = 9 . 9 → 9 sayısı, 3² şeklinde yazılabilir. ( 3² = 3 . 3 = 9 )
9² = 3² . 3²
3² . 3² → işleminde tabanlar aynı olduğundan üsler toplanır.
3² ⁺ ² = 3⁴
27³ = 27 . 27 . 27 → 27 sayısı, 3³ şeklinde yazılabilir. (3³ = 3 . 3 . 3 = 27)
27³ = 3³ . 3³ . 3³
3³ . 3³ . 3³ → işleminde tabanlar aynı olduğundan üsler toplanır.
3³ ⁺ ³ ⁺ ³ = 3⁹
3⁹ sayısının üssü, 5 + 4 = 9 şeklinde ayrılıp, çarpım şeklinde yazılabilir.
3⁹ = 3⁴ . 3⁵
3⁴ → 9² olan birinci sayı
3⁴ . 3⁵ → 27³ olan ikinci sayı
Birinci ve ikinci sayının en büyük ortak böleni 3⁴ sayısıdır.
3⁴ = 3 . 3 . 3 . 3 = 81
Cevap: 81
Örnek-2:
m ve n birer pozitif tam sayıdır. EBOB(m , n) = 12 olduğuna göre, m + n toplamı en az kaçtır? (kaynak: Supara)
Çözüm:
EBOB(m , n) ≤ m < n özelliği için:
EBOB(m , n) değeri 12 ise, m sayısının alabileceği en küçük değer 12 sayısıdır.
Başka bir ifadeyle:
EBOB değeri, asal sayıların çarpımından oluşur. m ve n sayılarının Ebob'u olan 12 sayısı da asal sayıların çarpımından oluşmalıdır. Asal sayılar; 2 , 3 , 5 , 7 , 11 ... şeklinde sıralanırlar.
2 . 2 . 3 = 12 → asal sayıların çarpımından 12 sonucuna ulaşmak için, sadece 2 ve 3 asal sayıları kullanılabilir.
m + n toplamının en az olması için, m ve n sayılarının alabileceği en küçük değerler bulunmalıdır.
Çarpıldığında 12 sayısını oluşturan 2 , 2 ve 3 sayıları, m sayısını böldüğünde 1 sonucuna ulaşmalıdır. m sayısının alabileceği en küçük değer için ulaştığı 1 sayısı, 3 sayısından başlayarak çarpılır.
1 . 3 = 3
3 . 2 = 6
6 . 2 = 12
m sayısının alabileceği en küçük değer 12 sayısıdır.
m ve n sayıları birer pozitif tam sayı olarak tanımlanmıştır. Birer birer saymak denildiğinde, sayılan her bir nesne bir kere sayılır. Aynı nesne iki kere sayılmaz. Birer ifadesi, m ve n sayılarının birbirinden farklı sayılar olduğunu ifade eder.
EBOB(m , n) = 12 ifadesinde, m yerine 12 yazılırsa:
EBOB(12 , n) = 12 ifadesi için, n sayısı 12 sayısından büyük olmalıdır. 12 sayısından büyük ve 12 sayısının katı olan en küçük sayı 24 sayısıdır.
Başka bir ifadeyle, m ve n sayıları farklı sayılar olduğu için, m sayısının değeri olan 12, en küçük asal sayı olan 2 ile çarpıldığında, n sayısının alabileceği en küçük değer bulunur.
12 ve 24 sayıları asal çarpanlarına ayrıldığında:
12 ve 24 → 2 sayısı, hem 12 sayısını hem de 24 sayısını böler.
6 ve 12 → 2 sayısı, hem 6 sayısını hem de 12 sayısını böler.
3 ve 6 → 2 sayısı, sadece 6 sayısını böler.
3 ve 3 → 3 sayısı, hem 3 sayısını hem de 3 sayısını böler.
1 ve 1 → Her iki sayı da 1 sonucuna ulaştığından işlem biter.
12 sayısını bölen sayılar: 3 , 2 ve 2 → 3 . 2 . 2 = 12
24 sayısını bölen sayılar: 3 , 2 , 2 ve 2 → 3 . 2 . 2 . 2 = 24
EBOB(12 , 24) = 2 . 2 . 3 = 12
m = 12
n = 24 için, m + n toplamının alabileceği en küçük değer 12 + 24 = 36 olur.
Cevap: 36
Örnek-3:
Kenar uzunlukları 80 m ve 72 m olan dikdörtgen şeklindeki bir tarlanın etrafına, köşelerine de birer tane gelecek şekilde, eşit aralıklarla direk dikilecektir.
Buna göre, bu iş için en az kaç tane direk gereklidir? (kaynak: Supara)
Çözüm:
EBOB örnek soru çözümü-3:
En az sayıda direk dikilmesi için, direklerin arasındaki mesafenin, en uzun olması gerekir. Dikdörtgen karşılıklı kenarları eşit geometrik şekildir. m harfi, metre uzunluğunun kısaltmasıdır.
80 m , 80 m , 72 m ve 72 m kenar uzunluklarını ortak bölen en büyük sayı (OBEB), direklerin arasındaki en uzun mesafe olur.
80 , 80 , 72 ve 72 sayılarının OBEB değeri bulunur. OBEB(72 , 72 , 80 , 80) değeri ile OBEB(72 , 80) değeri birbirine eşit olacağından, OBEB(72 , 80) değerinin bulunması işlemi kolaylaştırır.
Not:
Eğer, tarlanın bütün kenarları farklı uzunlukta olsaydı, farklı dört kenar uzunluğunun OBEB değeri alınacaktı.
72 ve 80 sayıları asal çarpanlarına ayrılır.
72 ve 80 → 2
36 ve 40 → 2
18 ve 20 → 2
9 ve 10 → 2
9 ve 5 → 3
3 ve 5 → 3
1 ve 5 → 5
1 ve 1
OBEB(72 , 80) = 2 . 2 . 2 = 8
Eşit aralıklarla direk dikilmesi için, 8 metrede 1 direk dikilmelidir. Soruda istenen, direkler arasındaki uzunlukla ilgili olduğundan, tarlanın çevresi hesaplanır.
Tarlanın çevre uzunluğunu bulmak için, dört kenarı toplanır.
80 + 80 + 72 + 72 = 304
Tarlanın çevre uzunluğu 304 metredir.
8 metrede 1 direk dikilirse, 304 metrede kaç direk dikilir? sorusunun cevabı için, 304 sayısı 8'e bölünür.
(304 / 8) = 38
8 metre arayla 38 direk dikilirse, tarlanın çevresi çevrilebilir.
Cevap:38
Örnek-4:
Kenar uzunlukları 48 m ve 66 m olan dikdörtgen şeklindeki bir yüzey kare şeklindeki eş fayanslarla kaplanacaktır.
Buna göre, bu iş için en az kaç tane fayans gereklidir? (kaynak: Supara)
Çözüm:
EBOB örnek soru çözümü-4:
En az sayıda fayans kullanılması için, kare şeklindeki 1 fayansın kapladığı alan, en geniş yüzeye sahip olmalıdır.
Kare dört kenarı da birbirine eşit geometrik şekildir. Karenin alanı (kapladığı yüzey), bir kenarı ile diğer kenarının çarpımı ile bulunur.
Kare şeklindeki fayansın, bir kenarının alabileceği en uzun metre değeri bulunursa, kapladığı en geniş yüzey bulunabilir.
Dikdörtgen karşılıklı kenarları eşit geometrik şekildir.
m harfi, metre uzunluğunun kısaltmasıdır.
m² (metrekare) alan ölçüsünün kısaltmasıdır. Alan hesaplarında, metre ile metre çarpıldığından, m ile m çarpımından m² ölçüsü ortaya çıkar. (m . m = m²)
Dikdörtgen yüzeyin 66 m , 66 m , 48 m ve 48 m olan kenar uzunluklarını ortak bölen en büyük sayı (OBEB), kare fayansın bir kenarının alabileceği en uzun değer olur.
66 , 66 , 48 ve 48 sayılarının OBEB değeri bulunur. OBEB(48 , 48 , 66 , 66) değeri ile OBEB(48 , 66) değeri birbirine eşit olduğundan, OBEB(48 , 66) değeri bulunur.
Not:
Eğer, fayansla kaplanan yüzeyin bütün kenarları farklı uzunlukta olsaydı, farklı dört kenar uzunluğunun OBEB değeri alınacaktı.
48 ve 66 sayıları asal çarpanlarına ayrılır.
48 ve 66 → 2
24 ve 33 → 2
12 ve 33 → 2
6 ve 33 → 2
3 ve 33 → 3
1 ve 11 → 11
1 ve 1
OBEB(48 , 66) = 2 . 3 = 6
Kare şeklindeki fayansın bir kenarı 6 m olmalıdır.
Bir kenarı 6 m olan karenin alanı: 6 . 6 = 36 m²
En az sayıda fayans kaplanması için, 1 fayansın alanı 36 m² olmalıdır. Soruda istenen, kaplanan yüzeyle ilgili olduğundan, dikdörtgen yüzeyin alanı hesaplanır.
Dikdörtgenin alanı bulmak için, uzun kenar uzunluğu ile kısa kenar uzunluğu çarpılır.
48 . 66 = 3168
Dikdörtgen yüzeyin alanı 3168 m²
36 m² alanı 1 fayans kaplıyorsa, 3168 m² alanı kaç fayans kaplar? sorusunun cevabı için, 3168 sayısı 36'ya bölünür.
(3168 / 36) = 88
Dikdörtgen yüzey, bir kenar uzunluğu 6 m olan kare şeklindeki 88 fayansla, en az sayıda fayans ile kaplanır.
Cevap:88
Örnek-5:
Boyutları 18 m , 24 m ve 36 m olan dikdörtgenler prizması biçimindeki bir depoya, hiç boşluk kalmayacak şekilde, eş küp biçimindeki kutulardan en az kaç tane yerleştirilir? (kaynak: Supara)
Çözüm:
EBOB örnek soru çözümü-5:
En az sayıda küp kutu kullanılması için, küp şeklindeki 1 kutunun kapladığı hacim, en büyük hacme sahip olmalıdır.
Küp tüm kenarları birbirine eşit geometrik şekildir. Küpün hacmi (kapladığı alan), taban alanı ile yüksekliğinin çarpımıdır. Küpün taban alanı, karenin alanında olduğu gibi iki kenarının çarpımı ile bulunur. Küpün tüm kenarları eşit olduğundan, yüksekliği bir kenarının uzunluğuna eşittir.
Kenar uzunluğu a olan bir küpün taban alanı, iki kenar uzunluğunu çarpımıdır.
a . a = a²
Kenar uzunluğu a olan bir küpün hacmi, taban alanı ile yüksekliğinin çarpımıdır.
a² . a = a³
Küp şeklindeki kutunun, bir kenarının alabileceği en uzun metre değeri bulunursa, kapladığı en geniş alan bulunabilir.
Dikdörtgenler prizması, 6 tane dikdörtgenin oluşturduğu, geometrik şekildir. Karşı karşıya duran dikdörtgenler birbirine eştir. (Alt ve üst) , (sağ ve sol) , (ön ve arka) şeklinde, karşı karşıya duran eş dikdörtgenler gruplara ayrılabilir.
Dikdörtgenler prizmasının hacmi, küpün hacminde olduğu gibi, taban alanı ile yüksekliğinin çarpımıdır.
Dikdörtgenler prizmasının taban alanı, dikdörtgenin alanında olduğu gibi, uzun kenarı ile kısa kenarının çarpımıdır. Taban alanı ile yüksekliğinin çarpımı, hacmini verir.
Dikdörtgenler prizmasının yüzeyde olan dikdörtgeni, taban olarak kabul edilir. Dikdörtgenler prizmasının yüzeyde olan dikdörtgeni değişebilir. Hacmini bulmak için çarpılan 3 değeri değişmez. Uzun kenar, kısa kenar ve yükseklik değerleri, birbirinin yerine geçebilir. Prizma çevrilirse yüzeyde olan dikdörtgeni değişir. Yüzeyde olan yeni dikdörtgenin taban alanı ve yükseklik değerleri değişse de, boyutları değişmediğinden hacmi değişmez.
m harfi, metre uzunluğunun kısaltmasıdır.
m³ (metreküp) hacim ölçüsünün kısaltmasıdır. Hacim hesaplarında, metre , metre ve metre çarpıldığından, m , m ve m çarpımından, m³ ölçüsü ortaya çıkar. (m . m . m = m³)
Dikdörtgenler prizmasının 18 m , 24 m ve 36 m olan boyutlarını ortak bölen en büyük sayı (OBEB), küp kutunun bir kenarının alabileceği en uzun değer olur.
18 , 24 ve 36 sayılarının OBEB değeri bulunur.
18 , 24 ve 36 sayıları asal çarpanlarına ayrılır.
18 ve 24 ve 36 → 2
9 ve 12 ve 18 → 2
9 ve 6 ve 9 → 2
9 ve 3 ve 9 → 3
3 ve 1 ve 3 → 3
1 ve 1 ve 1 → 3
OBEB(18 , 24 , 36) = 2 . 3 = 6
Küp şeklindeki kutunun bir kenarı 6 m olmalıdır.
Bir kenarı 6 m olan küpün hacmi: 6 . 6 . 6 = 216 m³
En az sayıda kutu kullanılması için, 1 kutunu hacmi 216 m³ olmalıdır. Soruda istenen, kaplanan alanla ilgili olduğundan, Dikdörtgenler prizmasının hacmi hesaplanır.
Dikdörtgenler prizmasının hacmini bulmak için, verilen 3 boyut değeri çarpılır.
18 . 24 . 36 = 15552
Dikdörtgenler prizmasının hacmi 15552 m³
216 m³ hacmi 1 kutu kaplıyorsa, 15552 m³ hacmi kaç kutu kaplar? sorusunun cevabı için, 15552 sayısı 216'ya bölünür.
(15552 / 216) = 72
Dikdörtgenler prizması biçimindeki depo, bir kenar uzunluğu 6 m olan küp biçimindeki 72 küple, en az sayıda küp ile doldurulabilir.
Cevap:72
Yorumlar
Yorum Gönder