Şu an 3. Bölüm görüntüleniyor...
Bölüm Konuları:
Bir Doğal Sayının Tam Bölenleri ve Asal Çarpanları
İki Sayının En Küçük Ortak Katını Bulmak , Aralarında Asal Sayılar
Asal Çarpanlara Ayırma ve Asal Çarpan Sayısı , Pozitif veya Negatif Tam Bölenleri Sayısı
İki sayının en küçük ortak katını bulmak için:
Yan yana yazılan iki sayı da sırası ile; 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 ... asal sayılarına bölünür. Sayıların her ikisi de 1 sonucuna ulaştığında işlem biter.
İki sayı önce, 2 ile bölünebiliyor mu diye bakılır.
Sayıların ikisi de 2 ile bölünemiyorsa, 3 ile bölünebiliyor mu diye bakılır.
Sayıların ikisi de 3 ile bölünemiyorsa, 5 ile bölünebiliyor mu diye bakılır.....
İki sayı da 1 sonucuna ulaştığında, sayıların ikisini de veya sadece birini bölen tüm sayılar çarpılır.
Çarpım sonucu, iki sayının en küçük ortak katıdır.
Örnek: 1
4 ve 6 sayılarının en küçük ortak katı:
4 ve 6 sayılarının en küçük ortak katını bulmak için, sayılar yan yana yazılır.
İlk asal sayı olan 2, her iki sayıyı da böler.
(4 / 2) = 2 sonucu 4 sayısının altına, (6 / 2) = 3 sonucu 6 sayısının altına yazılır.
Alta yazılan 2 ve 3 sayılarından 2 olanı, tekrar 2 ile bölünebilir.
(2 / 2) = 1 sonucu 2 sayısının altına yazılır. 2 ile bölünemeyen 3 sayısı, aynen alta yazılır.
1 sonucuna ulaşan 4 sayısı ile işlem bitti.
2 ile bölünemeyen 3 sayısı, sıradaki asal sayı olan 3 ile bölünebilir.
(3 / 3) = 1 sonucu, 3 sayısının altına yazılır.
Her iki sayıda 1 sonucuna ulaştı.
Dikey çizginin sağında olan bölen asal sayılar çarpılır.
2 . 2 . 3 = 12
12 sayısı, 4 ve 6 sayılarının, en küçük ortak katıdır.
4 ve 6 sayılarına bölünebilen bir sayı, 4 ile 6 sayılarının en küçük ortak katı olan 12 sayısına da bölünebilir.
Örnek: 2
12 ve 18 sayılarının en küçük ortak katı:
12 ve 18 sayılarının en küçük ortak katını bulmak için, sayılar yan yana yazılır.
İlk asal sayı olan 2, her iki sayıyı da böler.
(12 / 2) = 6 sonucu 12 sayısının altına, (18 / 2) = 9 sonucu 18 sayısının altına yazılır.
Alta yazılan 6 ve 9 sayılarından 6 olanı, tekrar 2 ile bölünebilir.
(6 / 2) = 3 sonucu 6 sayısının altına yazılır. 2 ile bölünemeyen 9 sayısı, aynen alta yazılır.
İşlemin devamında yan yana olan 3 ve 9 sayıları, artık 2 ile bölünemez.
Sıradaki asal sayı olan 3, her iki sayıyı da bölebilir.
(3 / 3) = 1 sonucu 3 sayısının altına yazılır. (9 / 3) = 3 sonucu 9 sayısının altına yazılır.
1 sonucuna ulaşan 12 sayısı ile işlem bitti.
3 sayısı, 3 ile bölünmeye devam eder.
(3 / 3) = 1 sonucu, 3 sayısının altına yazılır.
Her iki sayıda 1 sonucuna ulaştı.
Dikey çizginin sağında olan bölen asal sayılar çarpılır.
2 . 2 . 3 . 3 = 36
36 sayısı, 12 ve 18 sayılarının, en küçük ortak katıdır.
12 ve 18 sayılarına bölünebilen bir sayı, 12 ile 18 sayılarının en küçük ortak katı olan 36 sayısına da bölünebilir.
Örnek: 3
36 ve 70 sayılarının en küçük ortak katı:
36 ve 70 sayılarının en küçük ortak katını bulmak için, sayılar yan yana yazılır.
İlk asal sayı olan 2, her iki sayıyı da böler.
(36 / 2) = 18 sonucu 36 sayısının altına, (70 / 2) = 35 sonucu 70 sayısının altına yazılır.
Alta yazılan 18 ve 35 sayılarından 18 olanı, tekrar 2 ile bölünebilir.
(18 / 2) = 9 sonucu 18 sayısının altına yazılır. 2 ile bölünemeyen 35 sayısı, aynen alta yazılır.
İşlemin devamında yan yana olan 9 ve 35 sayıları, artık 2 ile bölünemez.
Sıradaki asal sayı olan 3 sayısı, 9 sayısını bölebilir.
(9 / 3) = 3 sonucu 9 sayısının altına yazılır. 3 ile de bölünemeyen 35 sayısı, yine aynen alta yazılır.
Alta yazılan 3 ve 35 sayılarından 3 olanı, tekrar 3 ile bölünebilir.
(3 / 3) = 1 sonucu 3 sayısının altına yazılır. 3 ile yine bölünemeyen 35 sayısı, yine aynen alta yazılır.
1 sonucuna ulaşan 36 sayısı ile işlem bitti.
3 ile bölünemeyen 35 sayısı, sıradaki asal sayı olan 5 ile bölünebilir.
(35 / 5) = 7 sonucu 35 sayısının altına yazılır.
Artık 5 ile bölünemeyen 7 sayısı, sıradaki asal sayı olan 7 ile bölünebilir.
(7 / 7) = 1 sonucu 7 sayısının altına yazılır.
Her iki sayıda 1 sonucuna ulaştı.
Dikey çizginin sağında olan bölen asal sayılar çarpılır.
2 . 2 . 3 . 3 . 5 . 7 = 1260
1260 sayısı, 36 ve 70 sayılarının, en küçük ortak katıdır.
36 ve 70 sayılarına bölünebilen bir sayı, 36 ile 70 sayılarının en küçük ortak katı olan 1260 sayısına da bölünebilir.
2 ve 5 sayıları için:
2 sayısı 2 ile tam bölünebilir. (2 / 2 = 1)
2 sayısı 1 ile tam bölünebilir. (2 / 1 = 2)
5 sayısı 5 ile tam bölünebilir. (5 / 5 = 1)
5 sayısı 1 ile tam bölünebilir. (5 / 1 = 5)
2 ve 5 sayılarının tek ortak böleni 1 sayısı olduğundan, 2 ve 5 sayıları aralarında asal sayılardır.
4 ve 9 sayıları için:
4 sayısı 4 ile tam bölünebilir. (4 / 4 = 1)
4 sayısı 2 ile tam bölünebilir. (4 / 2 = 2)
4 sayısı 1 ile tam bölünebilir. (4 / 1 = 4)
9 sayısı 9 ile tam bölünebilir. (9 / 9 = 1)
9 sayısı 3 ile tam bölünebilir. (9 / 3 = 3)
9 sayısı 1 ile tam bölünebilir. (9 / 1 = 9)
4 ve 9 sayılarının tek ortak böleni 1 sayısı olduğundan, 4 ve 9 sayıları aralarında asal sayılardır.
4 ve 6 sayıları için:
4 sayısı 4 ile tam bölünebilir. (4 / 4 = 1)
4 sayısı 2 ile tam bölünebilir. (4 / 2 = 2)
4 sayısı 1 ile tam bölünebilir. (4 / 1 = 4)
6 sayısı 6 ile tam bölünebilir. (6 / 6 = 1)
6 sayısı 3 ile tam bölünebilir. (6 / 3 = 2)
6 sayısı 2 ile tam bölünebilir. (6 / 2 = 3)
6 sayısı 1 ile tam bölünebilir. (6 / 1 = 6)
4 ve 6 sayılarının ortak bölenleri 1 ve 2 sayılarıdır. 4 ve 6 sayılarını ortak böleni, sadece 1 sayısı olmadığından, 4 ve 6 sayıları aralarında asal sayılar değildir.
Not:
Aralarında asal olan iki sayıya da tam bölünebilen bir sayı, bu sayıların çarpımına da tam bölünür.
2 ve 3 ile bölünebilen bir sayı, 6 sayısına da tam bölünür. Başka bir ifadeyle, 6 sayısına tam bölünebilen bir sayı, 2 ve 3 sayılarına da tam bölünür. 2 ve 3 sayıları aralarında asal sayılardır. 2 ve 3 sayılarının çarpımı 2 . 3 = 6 'dır.
3 ve 4 ile bölünebilen bir sayı, 12 sayısına da tam bölünür. Başka bir ifadeyle, 12 sayısına tam bölünebilen bir sayı, 3 ve 4 sayılarına da tam bölünür. 3 ve 4 sayıları aralarında asal sayılardır. 3 ve 4 sayılarının çarpımı 3 . 4 = 12 'dir.
3 ve 5 ile bölünebilen bir sayı, 15 sayısına da tam bölünür. Başka bir ifadeyle, 15 sayısına tam bölünebilen bir sayı, 3 ve 5 sayılarına da tam bölünür. 3 ve 5 sayıları aralarında asal sayılardır. 3 ve 5 sayılarının çarpımı 3 . 5 = 15 'dir.
3 ve 8 ile bölünebilen bir sayı, 24 sayısına da tam bölünür. Başka bir ifadeyle, 24 sayısına tam bölünebilen bir sayı, 3 ve 8 sayılarına da tam bölünür. 3 ve 8 sayıları aralarında asal sayılardır. 3 ve 8 sayılarının çarpımı 3 . 8 = 24 'dür.
24 sayısı 6 . 4 = 24 şeklinde de yazılabilir. 6 ve 4 sayıları, aralarında asal olmadıklarından, bu kurala uymaz.
24 sayısı 12 . 2 = 24 şeklinde de yazılabilir. 12 ve 2 sayıları, aralarında asal olmadıklarından, yine bu kurala uymaz.
4 ve 9 ile bölünebilen bir sayı, 36 sayısına da tam bölünür. Başka bir ifadeyle, 36 sayısına tam bölünebilen bir sayı, 4 ve 9 sayılarına da tam bölünür. 4 ve 9 sayıları aralarında asal sayılardır. 4 ve 9 sayılarının çarpımı 4 . 9 = 36 'dır.
36 sayısı 18 . 2 = 36 şeklinde de yazılabilir. 18 ve 2 sayıları, aralarında asal olmadıklarından, bu kurala uymaz.
36 sayısı 12 . 3 = 36 şeklinde de yazılabilir. 12 ve 3 sayıları, aralarında asal olmadıklarından, yine bu kurala uymaz.
3 ve 11 ile bölünebilen bir sayı, 33 sayısına da tam bölünür. Başka bir ifadeyle, 33 sayısına tam bölünebilen bir sayı, 3 ve 11 sayılarına da tam bölünür. 3 ve 11 sayıları aralarında asal sayılardır. 3 ve 11 sayılarının çarpımı 3 . 11 = 33 'tür.
4 ve 11 ile bölünebilen bir sayı, 44 sayısına da tam bölünür. Başka bir ifadeyle, 44 sayısına tam bölünebilen bir sayı, 4 ve 11 sayılarına da tam bölünür. 4 ve 11 sayıları aralarında asal sayılardır. 4 ve 11 sayılarının çarpımı 4 . 11 = 34 'tür.
44 sayısı 22 . 2 = 44 şeklinde de yazılabilir. 22 ve 2 sayıları, aralarında asal olmadıklarından, bu kurala uymaz.
Örnek:
Dört basamaklı 57ab doğal sayısı 18 ile tam bölünebildiğine göre
a nın alabileceği farklı değerler toplamı kaçtır? (kaynak: Supara)
Çözüm:
18 ile tam bölünebilen bir sayı, aralarında asal olan 9 ve 2 sayılarına da tam bölünür. (9 . 2 = 18)
6 ve 3 sayıları aralarında asal olmadıkları için, 18 ile tam bölünebilen bir sayı, 6 ve 3 ile tam bölünmez. (6 . 3 = 18)
57ab sayısı 2 ile tam bölünebiliyorsa:
b rakamının alabileceği değerler: 0 , 2 , 4 , 6 , 8 sayılarıdır. b rakamının alabileceği değerlere göre, 57ab sayısının, 9 ile tam bölünüp bölünemediğine bakılır.
9 ile bölünebilen bir sayının rakamları toplamı, 9'un katı olmalıdır.
b = 0 için:
57ab sayısının rakamları toplandığında → 5 + 7 + a + 0 = 12 + a
(12 + a) değerinin dokuzun katı olabilmesi için, 12 sayısından büyük, ilk 9'un katı aranır.
9 . 1 = 9 → Dokuzun 1. katı olan 9 sayısı, 12 sayısından küçüktür. (9 < 12)
9 . 2 = 18 → Dokuzun 2. katı 18 sayısı, 12 sayısından büyüktür. (18 > 12)
12 + a = 18
a = 18 - 12
a = 6
b = 2 için:
57ab sayısının rakamları toplandığında → 5 + 7 + a + 2 = 14 + a
(14 + a) değerinin dokuzun katı olabilmesi için, 14 sayısından büyük, ilk 9'un katı aranır.
9 . 1 = 9 → Dokuzun 1. katı olan 9 sayısı, 14 sayısından küçüktür. (9 < 14)
9 . 2 = 18 → Dokuzun 2. katı 18 sayısı, 14 sayısından büyüktür. (18 > 14)
14 + a = 18
a = 18 - 14
a = 4
b = 4 için:
57ab sayısının rakamları toplandığında → 5 + 7 + a + 4 = 16 + a
(16 + a) değerinin dokuzun katı olabilmesi için, 16 sayısından büyük, ilk 9'un katı aranır.
9 . 1 = 9 → Dokuzun 1. katı olan 9 sayısı, 16 sayısından küçüktür. (9 < 16)
9 . 2 = 18 → Dokuzun 2. katı 18 sayısı, 16 sayısından büyüktür. (18 > 16)
16 + a = 18
a = 18 - 16
a = 2
b = 6 için:
57ab sayısının rakamları toplandığında → 5 + 7 + a + 6 = 18 + a
(18 + a) → ifadesindeki 18 sayısı, 9 sayısının 2. katıdır. (9 . 2 = 18)
a = 0 değeri için, (18 + 0 = 18) olduğundan, 57ab sayısı 9 ile tam bölünür.
b = 0 için, a = 6 değerine 9 eklenseydi, (6 + 9 = 15) sonucu, iki basamaklı olacağından, a rakamının 6 sayısından başka bir değeri olamaz.
b = 2 için, a = 4 değerine 9 eklenseydi, (4 + 9 = 13) sonucu, iki basamaklı olacağından, a rakamının 4 sayısından başka bir değeri olamaz.
b = 4 için, a = 2 değerine 9 eklenseydi, (2 + 9 = 11) sonucu, iki basamaklı olacağından, a rakamının 2 sayısından başka bir değeri olamaz.
b = 6 için, a = 0 değerine 9 eklenince (0 + 9 = 9) sonucu, tek basamaklı olduğundan, a rakamının iki farklı değeri olabilir.
b = 6 için, a = 0 veya a = 9 olabilir.
b = 8 için:
57ab sayısının rakamları toplandığında → 5 + 7 + a + 8 = 20 + a
(20 + a) değerinin dokuzun katı olabilmesi için, 20 sayısından büyük, ilk 9'un katı aranır.
9 . 1 = 9 → Dokuzun 1. katı olan 9 sayısı, 20 sayısından küçüktür. (9 < 20)
9 . 2 = 18 → Dokuzun 2. katı 18 sayısı, 20 sayısından küçüktür. (18 < 20)
9 . 3 = 27 → Dokuzun 3. katı 27 sayısı, 20 sayısından büyüktür. (20 < 27)
20 + a = 27
a = 27 - 20
a = 7
a nın alabileceği farklı değerler toplamı:
6 + 4 + 2 + 0 + 9 + 7 = 28
Cevap:28
Örnek:
Aralarında asal sayılar örnek soru (kaynak: Supara):
Çözüm:
Aralarında asal sayılar örnek çözüm:
Resimde verilen eşitlikte, işlemleri kolaylaştırmak için 6 ve 8 sayıları sadeleştirilir.
(6 / 8) ifadesinin her iki tarafı 2 ile bölündüğünde (3 / 4) olur.
iki kesrin eşitliğinde, içler ve dışlar çarpımı birbirine eşittir. Resimde (x) işareti gösterilen kesişen iki doğrunun, iki yönünü gösteren değerlerin çarpımı birbirine eşittir.
4 . (2m - n) ifadesi için:
4 ile 2m çarpılır → 4 . 2m = 8m
4 ile n çarpılır → 4 . n = 4n
Sırası ile yazılan yeni değerlerin arasına, parantez içindeki (-) işareti konulur → 8m - 4n
3 . (m + 3n) ifadesi için:
3 ile m çarpılır → 3 . m = 3m
3 ile 3n çarpılır → 3 . 3n = 9n
Sırası ile yazılan yeni değerlerin arasına, parantez içindeki (+) işareti konulur → 3m + 9n
İçler dışlar çarpımından sonra oluşan yeni eşitlik:
8m - 4n = 3m + 9n
m değerleri sağa, n değerleri sola atılır. Eşitliğin diğer tarafına geçen değerleri işaret değiştirir.
8m -3m = 9n +4n
8m - 3m = 9n + 4n
8m 'den 3m çıkınca 5m kalır. 9n ile 4n toplanınca 13n olur.
5m = 13n
5m = 13n eşitliğinde kat sayılar olan, 5 ve 13 sayıları aralarında asal sayılardır.
m = 13
n = 5 için
5 . 13 = 13 . 5 → eşitliği sağlanabilir.
13 ve 5 sayıları aralarında asal sayılardır.
m = (13 . 2)
n = (5 . 2) için
5 . 13 . 2 = 13 . 5 . 2
5 . 26 = 13 . 10 → eşitliği sağlanabilir.
26 ve 10 sayıları aralarında asal sayılar değildir.
m = (13 . 3)
n = (5 . 3) için
5 . 13 . 3 = 13 . 5 . 3
5 . 39 = 13 . 15 → eşitliği sağlanabilir.
39 ve 15 sayıları aralarında asal sayılar değildir.
Soruda m ve n sayılarının aralarında asal olmaları koşulu olduğundan, eşitliği sağlayan aralarında asal sayılar, sadece 5 ve 13 sayıları olabilir.
m + n = 13 + 5 = 18
Cevap: 18
Sayı sırası ile; 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 ... asal sayılarına bölünür. Asal sayılara bölünen sayı, 1 sonucuna ulaşıncaya kadar bölme işlemi devam eder.
Sayı önce, 2 ile bölünebiliyor mu diye bakılır.
Sayı 2 ile bölünemiyorsa, 3 ile bölünebiliyor mu diye bakılır.
Sayı 3 ile bölünemiyorsa, 5 ile bölünebiliyor mu diye bakılır.....
Aşağıdaki resimde gösterilen A doğal sayısı için:
a , b ve c sayıları, asal sayılar kümesinin elemanıdır ve a < b < c 'dir.
x, y ve z sayıları, pozitif tam sayıları kümesinin elemanıdır.
a , b ve c sayıları, A sayısının asal çarpanları olarak kabul edilir. Bu asal sayılar temsili olarak yazılmıştır. A sayısının değerine göre, asal çarpanların adeti artabilir veya azalabilir.
a sayısı, A sayısının en küçük asal çarpanıdır. A sayısı 2 ile bölünebiliyorsa 2 sayısı, 3 ile bölünebiliyorsa 3 sayısı, 5 ile bölünebiliyorsa 5 sayısı, a sayısının değeri olabilir.
b sayısı, A sayısının, a asal sayısından sonra gelen asal çarpanıdır. a sayısı 2 ise, b sayısı 3 veya 5 veya 7 olabilir. b sayısı, a sayısından büyüktür.
c sayısı, A sayısının, b asal sayısından sonra gelen asal çarpanıdır. b sayısı 3 ise, c sayısı 5 veya 7 veya 11 olabilir. c sayısı, b sayısından büyüktür.
x sayısı, a çarpanından kaç tane olduğunu belirtir.
y sayısı, b çarpanından kaç tane olduğunu belirtir.
z sayısı, c çarpanından kaç tane olduğunu belirtir.
A sayısının, asal çarpanları, A = (a üssü x) . (b üssü y) . (c üssü z) şeklinde ifade edilir.
Bir doğal sayının asal çarpanlarına ayrılması:
Yukarıdaki resimde verilen örnekte, 180 sayısı asal çarpanlarına ayrılmıştır. (A sayısı 180 için)
İlk asal sayı olan 2, 180 sayısını böler.
(180 / 2) = 90 sonucu, 180 sayısının altına yazılır.
90 sayısı, tekrar 2 ile bölünebilir.
(90 / 2) = 45 sonucu, 90 sayısının altına yazılır.
45 sayısı artık 2 ile bölünemediğinden, sıradaki asal sayı olan 3 ile bölünür. (5 ile de bölünebilen 45 sayısı, önce 3 sayısına bölünmelidir.)
(45 / 3) = 15 sonucu, 45 sayısının altına yazılır.
15 sayısı, tekrar 3 ile bölünebilir.
(15 / 3) = 5 sonucu, 15 sayısının altına yazılır.
5 sayısı artık 3 ile bölünemediğinden, sıradaki asal sayı olan 5 ile bölünür.
(5 / 5) = 1 sonucu, 5 sayısının altına yazılır. 2 , 3 ve 5 asal sayılarına bölünen 180 sayısı 1 sonucuna ulaştığından işlem biter.
180 sayısı, 2 . 2 . 3 . 3 . 5 = 180 şeklinde yazılabilir.
2 . 2 = 2² → a çarpanı 2 sayısıdır. a sayısından 2 tane olduğundan x = 2 sayısıdır.
3 . 3 = 3² → b çarpanı 3 sayısıdır. b sayısından 2 tane olduğundan y = 2 sayısıdır.
5 = 5¹ → c çarpanı 5 sayısıdır. c sayısından 1 tane olduğundan z = 1 sayısıdır.
180 = 2² . 3² . 5¹ → 180 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış halidir.
180 sayısının, üç tane asal çarpanı vardır. 2 , 3 ve 5 sayıları, 180 sayısının asal çarpanlarıdır.
Örnek:
108 sayının asal çarpanlarına ayrılması:
Yukarıdaki resimde verilen örnekte, 108 sayısı asal çarpanlarına ayrılmıştır. (A sayısı 108 için)
İlk asal sayı olan 2, 108 sayısını böler.
(108 / 2) = 54 sonucu, 108 sayısının altına yazılır.
54 sayısı, tekrar 2 ile bölünebilir.
(54 / 2) = 27 sonucu, 54 sayısının altına yazılır.
27 sayısı artık 2 ile bölünemediğinden, sıradaki asal sayı olan 3 ile bölünür.
(27 / 3) = 9 sonucu, 27 sayısının altına yazılır.
9 sayısı, tekrar 3 ile bölünebilir.
(9 / 3) = 3 sonucu, 9 sayısının altına yazılır.
3 sayısı, tekrar 3 ile bölünebilir.
(3 / 3) = 1 sonucu, 3 sayısının altına yazılır. 2 ve 3 asal sayılarına bölünen 108 sayısı 1 sonucuna ulaştığından işlem biter.
108 sayısı, 2 . 2 . 3 . 3 . 3 = 108 şeklinde yazılabilir.
2 . 2 = 2² → a çarpanı 2 sayısıdır. a sayısından 2 tane olduğundan x = 2 sayısıdır.
3 . 3 . 3 = 3³ → b çarpanı 3 sayısıdır. b sayısından 3 tane olduğundan y = 3 sayısıdır.
108 sayısının, 2 ve 3 sayısından başka asal çarpanı olmadığından, c ve z değerleri yoktur.
108 = 2² . 3³ → 108 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış halidir.
108 sayısının, iki tane asal çarpanı vardır. 2 ve 3 sayıları, 108 sayısının asal çarpanlarıdır.
Örnek:
700 sayının asal çarpanlarına ayrılması:
Yukarıdaki resimde verilen örnekte, 700 sayısı asal çarpanlarına ayrılmıştır. (A sayısı 700 için)
İlk asal sayı olan 2, 700 sayısını böler.
(700 / 2) = 350 sonucu, 700 sayısının altına yazılır.
350 sayısı tekrar 2 ile bölünebilir.
(350 / 2) = 175 sonucu, 350 sayısının altına yazılır.
175 sayısı artık 2 ile bölünemediğinden, sıradaki asal sayı olan 3 ile bölünebiliyor mu diye bakılır. 3 ile de bölünemeyen 175 sayısı, sıradaki asal sayı olan 5 ile bölünür.
(175 / 5) = 35 sonucu, 175 sayısının altına yazılır.
35 sayısı tekrar 5 ile bölünebilir.
(35 / 5) = 7 sonucu, 35 sayısının altına yazılır.
7 sayısı artık 5 ile bölünemediğinden, sıradaki asal sayı olan 7 ile bölünür.
(7 / 7) = 1 sonucu, 7 sayısının altına yazılır. 2 , 5 ve 7 asal sayılarına bölünen 700 sayısı 1 sonucuna ulaştığından işlem biter.
700 sayısı, 2 . 2 . 5 . 5 . 7 = 700 şeklinde yazılabilir.
2 . 2 = 2² → a çarpanı 2 sayısıdır. a sayısından 2 tane olduğundan x = 2 sayısıdır.
5 . 5 = 5² → b çarpanı 5 sayısıdır. b sayısından 2 tane olduğundan y = 2 sayısıdır.
7 = 7¹ → c çarpanı 7 sayısıdır. c sayısından 1 tane olduğundan z = 1 sayısıdır.
700 = 2² . 5² . 7¹ → 700 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış halidir.
700 sayısının, üç tane asal çarpanı vardır. 2 , 5 ve 7 sayıları, 700 sayısının asal çarpanlarıdır.
A = (a üssü x) . (b üssü y) . (c üssü z) ifadesinde, a , b ve c çarpanlarının kuvvetleri olan x , y ve z değerlerine 1 eklenip, birbirleriyle çarpılır. Bulunan sonuç, A sayısının pozitif tam bölenleri sayısıdır. A sayısının, pozitif tam bölenleri sayısı ile negatif tam bölenleri sayısı birbirine eşit olduğundan bulunan sonuç, aynı zamanda negatif tam bölenleri sayısıdır.
A sayısının pozitif tam bölenleri ve negatif tam bölenleri sayısı için tek formül kullanılır.
(x + 1) . (y + 1) . (y + 1) = ?
Bir sayının pozitif veya negatif tam bölenleri sayısı:
Yukarıdaki resimde verilen örnekte, 30 sayısı asal çarpanlarına ayrılmıştır. (A sayısı 30 için)
İlk asal sayı olan 2, 30 sayısını böler.
(30 / 2) = 15 sonucu, 30 sayısının altına yazılır.
15 sayısı artık 2 ile bölünemediğinden, sıradaki asal sayı olan 3 ile bölünür.
(15 / 3) = 5 sonucu, 15 sayısının altına yazılır.
5 sayısı artık 5 ile bölünemediğinden, sıradaki asal sayı olan 5 ile bölünür.
(5 / 5) = 1 sonucu, 5 sayısının altına yazılır. 2 , 3 ve 5 asal sayılarına bölünen 30 sayısı 1 sonucuna ulaştığından işlem biter.
30 sayısı, 2 . 3 . 5 = 30 şeklinde yazılabilir.
2 = 2¹ → a çarpanı 2 sayısıdır. a sayısından 1 tane olduğundan x = 1 sayısıdır.
3 = 3¹ → b çarpanı 3 sayısıdır. b sayısından 1 tane olduğundan y = 1 sayısıdır.
5 = 5¹ → c çarpanı 5 sayısıdır. c sayısından 1 tane olduğundan z = 1 sayısıdır.
30 = 2¹ . 3¹ . 5¹ → 30 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış halidir.
30 sayısının, üç tane asal çarpanı vardır. 2 , 3 ve 5 sayıları, 30 sayısının asal çarpanlarıdır.
30 sayısının pozitif veya negatif tam bölenleri sayısı:
A sayısının pozitif tam bölenleri ve negatif tam bölenleri sayısı için tek formül kullanılır.
(x + 1) . (y + 1) . (y + 1) = ?
x = 1
y = 1
z = 1 için
(1 + 1) . (1 + 1) . (1 + 1) = 2 . 2 . 2 = 8
30 sayısının 8 tane pozitif tam böleni vardır.
30 sayısının 8 tane negatif tam böleni vardır.
A sayısının tam bölenleri sayısı:
Bir sayının tam bölenleri sayısı ifadesi, pozitif tam bölenleri sayısı ile negatif tam bölenleri sayısının her ikisini de içerir. Pozitif tam bölenleri sayısı ile negatif tam bölenleri sayısı birbirine eşit olduğundan, pozitif tam bölenleri sayısı veya negatif tam bölenleri sayısı için kullanılan formül, 2 ile çarpılır.
2 . (x + 1) . (y + 1) . (y + 1) = ?
A sayısının, pozitif tam bölenleri sayısı ile negatif tam bölenleri sayısı, A sayısının tüm tam bölenleri sayısını oluştururlar.
30 sayısının 8 tane pozitif tam böleni vardır.
30 sayısının 8 tane negatif tam böleni vardır.
30 sayısının, 8 . 2 = 16 tane tam böleni vardır.
A sayısının tam bölenleri toplamı 0 (sıfır)'dır:
A sayısının tam bölenleri toplamı ifadesi, pozitif tam bölenleri ile negatif tam bölenlerinin toplamı anlamına gelir.
30 sayısının için:
30 sayısının asal çarpanları, 2 , 3 ve 5 sayılarıdır.
30 sayısının pozitif tam bölenleri, asal çarpanlarının, birbirleri ile çarpımından ortaya çıkar.
Asal çarpanların kendisi de pozitif tam bölenleri arasındadır.
Tüm sayıları tam bölen, bir sayısı (1) da, tam bölenleri arasına eklenir.
Aşağıda 30 sayısının, asal çarpanlarından türetilmiş, pozitif tam bölenleri yazılmıştır.
(2) , (3) , (5) , (2 . 3) , (2 . 5) , (3 . 5) , (3 . 2) , (6 . 5) , (10 . 3) , (2 . 15) , (2 . 3 . 5) , (1)
Parantez içindeki işlemler yapıldıktan sonraki halleri:
(2) , (3) , (5) , (6) , (10) , (15) , (6) , (30) , (30) , (30) , (30) , (1)
Her sayı bir kez yazıldığında, 30 sayısının pozitif tam bölenleri bulunur.
(+2) , (+3) , (+5) , (+6) , (+10) , (+15) , (+30) , (+1) → 30 sayısının 8 tane pozitif tam böleni vardır.
30 sayısının negatif tam bölenleri:
(-2) , (-3) , (-5) , (-6) , (-10) , (-15) , (-30) , (-1) → 30 sayısının 8 tane negatif tam böleni vardır.
30 sayısının pozitif tam bölenleri ve negatif tam bölenleri toplandığında, (+) değerler ve (-) değerler eşit olduğundan, birbirlerini sıfırlar.
(+2) + (-2) = 0
(+3) + (-3) = 0
(+5) + (-5) = 0
(+6) + (-6) = 0
(+10) + (-10) = 0
(+15) + (-15) = 0
(+30) + (-30) = 0
(+1) + (-1) = 0
30 sayısının, pozitif tam bölenleri ile negatif tam bölenleri toplamı 0'dır. 30 sayısı için geçerli olan bu kural, tüm pozitif tam sayılar için geçerlidir.
Daha çok sayıda asal çarpanı olan bir sayının tam bölenlerini, sayının asal çarpanlarının çarpım permütasyon'ları ile bulmak zaman alacağından, (x + 1) . (y + 1) . (y + 1) formülü kullanmak kolaylık sağlayacaktır.
A sayısının pozitif tam bölenleri toplamı:
Bir sayının pozitif tam bölenleri toplamı için, önce sayı asal çarpanlarına ayrılır.
A = (a üssü x) . (b üssü y) . (c üssü z) şeklinde asal çarpanlarına ayrılan sayının, a , b ve c değerleri ve bu değerleri için x , y ve z değerleri bulunur.
Bir sayının pozitif tam bölenleri toplamı formülü:
Yukarıdaki resimde gösterilen formüle, pozitif tam bölenleri bulunmak istenen sayının; a , b ve c değerleri ile bu değerleri için aldıkları x , y ve z değerleri yazılır.
Asal çarpanlarına ayrılan 30 sayısı için:
30 = 2¹ . 3¹ . 5¹ → 30 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış halidir.
a = 2 x = 1
b = 3 y = 1
c = 5 z = 1
değerleri, formülde yerine konulur.
1 - (a üzeri (x + 1)) / (1 - a) ifadesi → 1 - 2 ⁽¹ ⁺ ¹⁾ / (1 - 2)
1 - (b üzeri (y + 1)) / (1 - b) ifadesi → 1 - 3 ⁽¹ ⁺ ¹⁾ / (1 - 3)
1 - (c üzeri (z + 1)) / (1 - c) ifadesi → 1 - 5 ⁽¹ ⁺ ¹⁾ / (1 - 5)
şeklinde yazılıp, birbirleri ile çarpılır.
1 - 2 ⁽¹ ⁺ ¹⁾ / (1 - 2) → ( 1 - 2² ) / (-1) → (1 - 4) / (-1) → (-3) / (-1) = 3
1 - 3 ⁽¹ ⁺ ¹⁾ / (1 - 3) → ( 1 - 3² ) / (-2) → (1 - 9) / (-2) → (-8) / (-2) = 4
1 - 5 ⁽¹ ⁺ ¹⁾ / (1 - 5) → ( 1 - 5² ) / (-4) → (1 - 25) / (-4) → (-24) / (-4) = 6
Her bir kesir için bulunan sonuçlar, birbirleri ile çarpılır.
3 . 4 . 6 = 72
30 sayısının pozitif bölenleri toplandığında da:
2 + 3 + 5 + 6 + 10 + 15 + 30 + 1 = 72 sonucu bulunur.
A sayısının pozitif tam bölenleri çarpımı:
Bir sayının, pozitif tam bölenlerinin birbirleri ile çarpım sonucu için, önce sayı asal çarpanlarına ayrılır.
A = (a üssü x) . (b üssü y) . (c üssü z) şeklinde asal çarpanlarına ayrılan sayının, x , y ve z değerleri bulunur.
Bir sayının pozitif tam bölenleri çarpımı formülü:
Yukarıdaki resimde gösterilen formüle, pozitif tam bölenlerinin çarpım sonucu bulunmak istenen sayının; x , y ve z değerleri yazılır.
A sayısının, pozitif veya negatif tam bölenleri sayısını bulmak için kullanılan formül ile, pozitif tam bölenleri hesaplanır.
(x + 1) . (y + 1) . (y + 1) = ?
A üzeri (pozitif tam bölenler sayısı / 2) formülü, A sayısının, pozitif tam bölenlerinin, birbirleri ile çarpım sonucunu verir.
Asal çarpanlarına ayrılan 30 sayısı için:
30 = 2¹ . 3¹ . 5¹ → 30 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış halidir.
x = 1
y = 1
z = 1
değerleri, formülde yerine konulur.
30 sayısının pozitif tam bölenleri sayısı:
(x + 1) . (y + 1) . (y + 1) = ?
(1 + 1) . (1 + 1) . (1 + 1) = 2 . 2 . 2 = 8
30 sayısının pozitif tam bölenleri çarpımı formülü:
30 üzeri (8 / 2) = 30 üzeri 4 = 30⁴ = 30 . 30 . 30 . 30 = 810000
30 sayısının pozitif bölenleri çarpıldığında da:
2 . 3 . 5 . 6 . 10 . 15 . 30 . 1 = 810000 sonucu bulunur.
A sayısının tam bölenleri çarpımı:
A sayısının tam bölenleri çarpımı ifadesi, pozitif tam bölenleri ile negatif tam bölenlerinin çarpımı anlamına gelir.
Bir sayının, tam bölenlerinin birbirleri ile çarpım sonucu için, önce sayı asal çarpanlarına ayrılır.
A = (a üssü x) . (b üssü y) . (c üssü z) şeklinde asal çarpanlarına ayrılan sayının, x , y ve z değerleri bulunur.
Bir sayının pozitif ve negatif tüm tam bölenleri çarpımı formülü:
Yukarıdaki resimde gösterilen formüle, tam bölenlerinin birbirleri ile çarpım sonucu bulunmak istenen sayının; x , y ve z değerleri yazılır.
A sayısının, pozitif veya negatif tam bölenleri sayısını bulmak için kullanılan formül ile, pozitif tam bölenleri hesaplanır.
(x + 1) . (y + 1) . (y + 1) = ?
(-A) üzeri (pozitif tam bölenler sayısı) formülü, A sayısının, pozitif ve negatif tüm tam bölenlerinin birbirleri ile çarpım sonucunu verir.
Asal çarpanlarına ayrılan 30 sayısı için:
30 = 2¹ . 3¹ . 5¹ → 30 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış halidir.
x = 1
y = 1
z = 1
değerleri, formülde yerine konulur.
30 sayısının pozitif tam bölenleri sayısı:
(x + 1) . (y + 1) . (y + 1) = ?
(1 + 1) . (1 + 1) . (1 + 1) = 2 . 2 . 2 = 8
30 sayısının pozitif tam bölenleri çarpımı formülü:
(-30) üzeri (8) = (-30)⁸ = (-30) . (-30) . (-30) . (-30) . (-30) . (-30) . (-30) . (-30) = 656100000000
30 sayısının pozitif ve negatif tam bölenleri çarpıldığında da:
2 . 3 . 5 . 6 . 10 . 15 . 30 . 1 . (-2) . (-3) . (-5) . (-6) . (-10) . (-15) . (-30) . (-1) = 656100000000 sonucu bulunur.
Örnek:
819 sayısının asal olmayan tam sayı bölenleri kaç tanedir? (Kaynak: Supara)
Çözüm:
Asal çarpanlar, tam sayı bölenleri örnek çözüm:
819 sayısı asal çarpanlarına ayrılır:
819 sayısı, ilk asal sayı olan 2 ile bölünmez. Sıradaki asal sayı olan 3 ile bölünebilir.
(819 / 3) = 273 sonucu tekrar 3 ile bölünebilir.
(273 / 3) = 91 sonucu artık 3 ile bölünmez. Sıradaki asal sayı olan 5 ile de bölünmez. 5'ten sonra gelen 7 asal sayısı ile bölünebilir.
(91 / 7) = 13 sonucu artık 7 ile bölünmez. Sıradaki asal sayı olan 11 ile de bölünmez. 11'den sonra gelen 13 asal sayısı ile bölünebilir.
(13 / 13) = 1
A = (a üzeri x) . (b üzeri y) . (c üzeri z) → A sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali
819 = 3² . 7¹ . 13¹ → 819 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali
819 sayısı için:
a = 3 x = 2
b = 7 y = 1
c = 13 z = 1
A sayısının tam sayı bölenleri:
2 . (x + 1) . (y + 1) . (z + 1)
819 sayısının tam sayı bölenleri:
2 . (2 + 1) . (1 + 1) . (1 + 1)
2 . 3 . 2 . 2 = 24
Soruda, asal olmayan tam sayı bölenleri sorulmuş.
Tam sayı bölenleri (pozitif ve negatif) sayısı 24 tanedir.
Tam sayı bölenleri sayısından, asal tam bölenleri sayısı çıkarılır.
819 sayısının, 3 , 7 ve 13 olmak üzere 3 tane asal tam böleni (çarpanı) vardır.
Asal sayılar, pozitif tam sayılardır. (-3) , (-7) ve (-13) sayıları, asal sayı değillerdir.
819 sayısının asal olmayan bölenleri sayısı:
24 - 3 = 21
Cevap: 21
Not: Aşağıdaki ifadeler birbirine karıştırılmamalıdır:
ABT(x), x sayısının asal bölenleri toplamıdır.
Örneğin; 12 nin asal bölenleri 2 ve 3 olduğu için ABT(12) = 5 tir.
Buna göre, ABT(x) = 10 eşitliğini sağlayan iki basamaklı en küçük doğal sayı ile üç basamaklı en küçük doğal sayının toplamı kaçtır? (kaynak: Supara)
Çözüm:
Bir sayının, tam sayı bölenleri toplamı, pozitif tam sayı bölenleri toplamı ifadeleri ile asal bölenleri toplamı farklı şeyleri ifade eder. Asal bölenleri toplamı, asal çarpanları toplamı demektir.
12 sayısı asal çarpanlarına ayrılırsa;
12 → 2
6 → 2
3 → 3
1
12 sayısının, iki tane asal böleni (çarpanı) vardır. 12 sayısının asal bölenleri (çarpanları) 2 ve 3 sayılarıdır. 12 sayısının asal bölenleri toplamı, ABT(12) = 2 + 3 = 5 tir.
Asal sayılar; 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 .. şeklinde sıralanırlar.
x sayısının asal bölenleri toplamı 10 ise;
2 + 3 + 5 = 10
2 , 3 ve 5 asal sayıları toplandığında 10 sonucunu verir. Aranan sayının asal çarpanları olan 2 , 3 ve 5 sayılarından, iki basamaklı ve üç basamaklı sayılar türetilir.
asal çarpanları 2 , 3 , 5 olan bir sayının iki basamaklı en küçük değeri → 2 . 3 . 5 = 30 olabilir.
asal çarpanları 2 , 3 , 5 olan bir sayının iki basamaklı değeri → 2 . 3² . 5 = 90
asal çarpanları 2 , 3 , 5 olan bir sayının üç basamaklı en küçük değeri → 2² . 3 . 5 = 120 olabilir.
asal çarpanları 2 , 3 , 5 olan bir sayının üç basamaklı değeri → 2 . 3³ . 5 = 270
asal çarpanları 2 , 3 , 5 olan bir sayının üç basamaklı değeri → 2 . 3 . 5² = 150
3 + 7 = 10
3 ve 7 asal sayıları toplandığında 10 sonucunu verir. Aranan sayının asal çarpanları olan 3 ve 7 sayılarından, iki basamaklı ve üç basamaklı sayılar türetilir.
asal çarpanları 3 ve 7 olan bir sayının iki basamaklı en küçük değeri → 3 . 7 = 21 olabilir.
asal çarpanları 3 ve 7 olan bir sayının iki basamaklı değeri → 3² . 7 = 63
asal çarpanları 3 ve 7 olan bir sayının üç basamaklı en küçük değeri → 3 . 7² = 147 olabilir.
asal çarpanları 3 ve 7 olan bir sayının üç basamaklı değeri → 3³ . 7 = 189
(2 + 3 + 5) ve (3 + 7) işlemleri dışında, asal sayılar toplamı, 10 sonucunu vermez.
ABT(x) = 10 için:
x sayısının iki basamaklı en küçük değeri (3 . 7 = 21)
x sayısının üç basamaklı en küçük değeri (2² . 3 . 5 = 120)
x sayısının iki basamaklı en küçük değeri ile üç basamaklı en küçük değerinin toplamı:
120 + 21 = 141
Cevap:141
Bölüm Konuları:
Bir Doğal Sayının Tam Bölenleri ve Asal Çarpanları
İki Sayının En Küçük Ortak Katını Bulmak , Aralarında Asal Sayılar
Asal Çarpanlara Ayırma ve Asal Çarpan Sayısı , Pozitif veya Negatif Tam Bölenleri Sayısı
Bir Doğal Sayının Tam Bölenleri ve Asal Çarpanları
İki Sayının En Küçük Ortak Katını Bulmak
Hem a, hem de b sayılarına bölünebilen bir sayı, a ve b sayılarının en küçük ortak katına da bölünebilir.İki sayının en küçük ortak katını bulmak için:
Yan yana yazılan iki sayı da sırası ile; 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 ... asal sayılarına bölünür. Sayıların her ikisi de 1 sonucuna ulaştığında işlem biter.
İki sayı önce, 2 ile bölünebiliyor mu diye bakılır.
Sayıların ikisi de 2 ile bölünemiyorsa, 3 ile bölünebiliyor mu diye bakılır.
Sayıların ikisi de 3 ile bölünemiyorsa, 5 ile bölünebiliyor mu diye bakılır.....
- Sayıların her ikisi de 2'ye bölünebiliyorsa, bölüm sonuçları sayıların altına yazılır.
- Sayılardan sadece biri 2 ile bölünebiliyorsa, 2 ile bölünebilen sayının 2'ye bölüm sonucu, sayının altına yazılır. 2 ile bölünemeyen sayı, aynen alta yazılır.
- 2 ile bölünebilen sayı, tekrar 2 ile bölünebiliyor olabilir. Sayı tekrar 2'ye bölünüp sonucu, sayının altına yazılır. 2 ile bölünemeyen sayı, yine aynen alta yazılır.
- Alta doğru, bölünerek veya aynen yazılan iki sayı da, artık 2 ile bölünemiyorsa, 3 ile bölünebiliyor mu diye bakılır...
İki sayı da 1 sonucuna ulaştığında, sayıların ikisini de veya sadece birini bölen tüm sayılar çarpılır.
Çarpım sonucu, iki sayının en küçük ortak katıdır.
Örnek: 1
4 ve 6 sayılarının en küçük ortak katı:
4 ve 6 sayılarının en küçük ortak katını bulmak için, sayılar yan yana yazılır.
İlk asal sayı olan 2, her iki sayıyı da böler.
(4 / 2) = 2 sonucu 4 sayısının altına, (6 / 2) = 3 sonucu 6 sayısının altına yazılır.
Alta yazılan 2 ve 3 sayılarından 2 olanı, tekrar 2 ile bölünebilir.
(2 / 2) = 1 sonucu 2 sayısının altına yazılır. 2 ile bölünemeyen 3 sayısı, aynen alta yazılır.
1 sonucuna ulaşan 4 sayısı ile işlem bitti.
2 ile bölünemeyen 3 sayısı, sıradaki asal sayı olan 3 ile bölünebilir.
(3 / 3) = 1 sonucu, 3 sayısının altına yazılır.
Her iki sayıda 1 sonucuna ulaştı.
Dikey çizginin sağında olan bölen asal sayılar çarpılır.
2 . 2 . 3 = 12
12 sayısı, 4 ve 6 sayılarının, en küçük ortak katıdır.
4 ve 6 sayılarına bölünebilen bir sayı, 4 ile 6 sayılarının en küçük ortak katı olan 12 sayısına da bölünebilir.
Örnek: 2
12 ve 18 sayılarının en küçük ortak katı:
12 ve 18 sayılarının en küçük ortak katını bulmak için, sayılar yan yana yazılır.
İlk asal sayı olan 2, her iki sayıyı da böler.
(12 / 2) = 6 sonucu 12 sayısının altına, (18 / 2) = 9 sonucu 18 sayısının altına yazılır.
Alta yazılan 6 ve 9 sayılarından 6 olanı, tekrar 2 ile bölünebilir.
(6 / 2) = 3 sonucu 6 sayısının altına yazılır. 2 ile bölünemeyen 9 sayısı, aynen alta yazılır.
İşlemin devamında yan yana olan 3 ve 9 sayıları, artık 2 ile bölünemez.
Sıradaki asal sayı olan 3, her iki sayıyı da bölebilir.
(3 / 3) = 1 sonucu 3 sayısının altına yazılır. (9 / 3) = 3 sonucu 9 sayısının altına yazılır.
1 sonucuna ulaşan 12 sayısı ile işlem bitti.
3 sayısı, 3 ile bölünmeye devam eder.
(3 / 3) = 1 sonucu, 3 sayısının altına yazılır.
Her iki sayıda 1 sonucuna ulaştı.
Dikey çizginin sağında olan bölen asal sayılar çarpılır.
2 . 2 . 3 . 3 = 36
36 sayısı, 12 ve 18 sayılarının, en küçük ortak katıdır.
12 ve 18 sayılarına bölünebilen bir sayı, 12 ile 18 sayılarının en küçük ortak katı olan 36 sayısına da bölünebilir.
Örnek: 3
36 ve 70 sayılarının en küçük ortak katı:
36 ve 70 sayılarının en küçük ortak katını bulmak için, sayılar yan yana yazılır.
İlk asal sayı olan 2, her iki sayıyı da böler.
(36 / 2) = 18 sonucu 36 sayısının altına, (70 / 2) = 35 sonucu 70 sayısının altına yazılır.
Alta yazılan 18 ve 35 sayılarından 18 olanı, tekrar 2 ile bölünebilir.
(18 / 2) = 9 sonucu 18 sayısının altına yazılır. 2 ile bölünemeyen 35 sayısı, aynen alta yazılır.
İşlemin devamında yan yana olan 9 ve 35 sayıları, artık 2 ile bölünemez.
Sıradaki asal sayı olan 3 sayısı, 9 sayısını bölebilir.
(9 / 3) = 3 sonucu 9 sayısının altına yazılır. 3 ile de bölünemeyen 35 sayısı, yine aynen alta yazılır.
Alta yazılan 3 ve 35 sayılarından 3 olanı, tekrar 3 ile bölünebilir.
(3 / 3) = 1 sonucu 3 sayısının altına yazılır. 3 ile yine bölünemeyen 35 sayısı, yine aynen alta yazılır.
1 sonucuna ulaşan 36 sayısı ile işlem bitti.
3 ile bölünemeyen 35 sayısı, sıradaki asal sayı olan 5 ile bölünebilir.
(35 / 5) = 7 sonucu 35 sayısının altına yazılır.
Artık 5 ile bölünemeyen 7 sayısı, sıradaki asal sayı olan 7 ile bölünebilir.
(7 / 7) = 1 sonucu 7 sayısının altına yazılır.
Her iki sayıda 1 sonucuna ulaştı.
Dikey çizginin sağında olan bölen asal sayılar çarpılır.
2 . 2 . 3 . 3 . 5 . 7 = 1260
1260 sayısı, 36 ve 70 sayılarının, en küçük ortak katıdır.
36 ve 70 sayılarına bölünebilen bir sayı, 36 ile 70 sayılarının en küçük ortak katı olan 1260 sayısına da bölünebilir.
Aralarında Asal Sayılar
1 sayısından başka ortak böleni olmayan pozitif tam sayılara, aralarında asal sayılar denir.2 ve 5 sayıları için:
2 sayısı 2 ile tam bölünebilir. (2 / 2 = 1)
2 sayısı 1 ile tam bölünebilir. (2 / 1 = 2)
5 sayısı 5 ile tam bölünebilir. (5 / 5 = 1)
5 sayısı 1 ile tam bölünebilir. (5 / 1 = 5)
2 ve 5 sayılarının tek ortak böleni 1 sayısı olduğundan, 2 ve 5 sayıları aralarında asal sayılardır.
4 ve 9 sayıları için:
4 sayısı 4 ile tam bölünebilir. (4 / 4 = 1)
4 sayısı 2 ile tam bölünebilir. (4 / 2 = 2)
4 sayısı 1 ile tam bölünebilir. (4 / 1 = 4)
9 sayısı 9 ile tam bölünebilir. (9 / 9 = 1)
9 sayısı 3 ile tam bölünebilir. (9 / 3 = 3)
9 sayısı 1 ile tam bölünebilir. (9 / 1 = 9)
4 ve 9 sayılarının tek ortak böleni 1 sayısı olduğundan, 4 ve 9 sayıları aralarında asal sayılardır.
4 ve 6 sayıları için:
4 sayısı 4 ile tam bölünebilir. (4 / 4 = 1)
4 sayısı 2 ile tam bölünebilir. (4 / 2 = 2)
4 sayısı 1 ile tam bölünebilir. (4 / 1 = 4)
6 sayısı 6 ile tam bölünebilir. (6 / 6 = 1)
6 sayısı 3 ile tam bölünebilir. (6 / 3 = 2)
6 sayısı 2 ile tam bölünebilir. (6 / 2 = 3)
6 sayısı 1 ile tam bölünebilir. (6 / 1 = 6)
4 ve 6 sayılarının ortak bölenleri 1 ve 2 sayılarıdır. 4 ve 6 sayılarını ortak böleni, sadece 1 sayısı olmadığından, 4 ve 6 sayıları aralarında asal sayılar değildir.
Not:
Aralarında asal olan iki sayıya da tam bölünebilen bir sayı, bu sayıların çarpımına da tam bölünür.
2 ve 3 ile bölünebilen bir sayı, 6 sayısına da tam bölünür. Başka bir ifadeyle, 6 sayısına tam bölünebilen bir sayı, 2 ve 3 sayılarına da tam bölünür. 2 ve 3 sayıları aralarında asal sayılardır. 2 ve 3 sayılarının çarpımı 2 . 3 = 6 'dır.
3 ve 4 ile bölünebilen bir sayı, 12 sayısına da tam bölünür. Başka bir ifadeyle, 12 sayısına tam bölünebilen bir sayı, 3 ve 4 sayılarına da tam bölünür. 3 ve 4 sayıları aralarında asal sayılardır. 3 ve 4 sayılarının çarpımı 3 . 4 = 12 'dir.
3 ve 5 ile bölünebilen bir sayı, 15 sayısına da tam bölünür. Başka bir ifadeyle, 15 sayısına tam bölünebilen bir sayı, 3 ve 5 sayılarına da tam bölünür. 3 ve 5 sayıları aralarında asal sayılardır. 3 ve 5 sayılarının çarpımı 3 . 5 = 15 'dir.
3 ve 8 ile bölünebilen bir sayı, 24 sayısına da tam bölünür. Başka bir ifadeyle, 24 sayısına tam bölünebilen bir sayı, 3 ve 8 sayılarına da tam bölünür. 3 ve 8 sayıları aralarında asal sayılardır. 3 ve 8 sayılarının çarpımı 3 . 8 = 24 'dür.
24 sayısı 6 . 4 = 24 şeklinde de yazılabilir. 6 ve 4 sayıları, aralarında asal olmadıklarından, bu kurala uymaz.
24 sayısı 12 . 2 = 24 şeklinde de yazılabilir. 12 ve 2 sayıları, aralarında asal olmadıklarından, yine bu kurala uymaz.
4 ve 9 ile bölünebilen bir sayı, 36 sayısına da tam bölünür. Başka bir ifadeyle, 36 sayısına tam bölünebilen bir sayı, 4 ve 9 sayılarına da tam bölünür. 4 ve 9 sayıları aralarında asal sayılardır. 4 ve 9 sayılarının çarpımı 4 . 9 = 36 'dır.
36 sayısı 18 . 2 = 36 şeklinde de yazılabilir. 18 ve 2 sayıları, aralarında asal olmadıklarından, bu kurala uymaz.
36 sayısı 12 . 3 = 36 şeklinde de yazılabilir. 12 ve 3 sayıları, aralarında asal olmadıklarından, yine bu kurala uymaz.
3 ve 11 ile bölünebilen bir sayı, 33 sayısına da tam bölünür. Başka bir ifadeyle, 33 sayısına tam bölünebilen bir sayı, 3 ve 11 sayılarına da tam bölünür. 3 ve 11 sayıları aralarında asal sayılardır. 3 ve 11 sayılarının çarpımı 3 . 11 = 33 'tür.
4 ve 11 ile bölünebilen bir sayı, 44 sayısına da tam bölünür. Başka bir ifadeyle, 44 sayısına tam bölünebilen bir sayı, 4 ve 11 sayılarına da tam bölünür. 4 ve 11 sayıları aralarında asal sayılardır. 4 ve 11 sayılarının çarpımı 4 . 11 = 34 'tür.
44 sayısı 22 . 2 = 44 şeklinde de yazılabilir. 22 ve 2 sayıları, aralarında asal olmadıklarından, bu kurala uymaz.
Örnek:
Dört basamaklı 57ab doğal sayısı 18 ile tam bölünebildiğine göre
a nın alabileceği farklı değerler toplamı kaçtır? (kaynak: Supara)
Çözüm:
18 ile tam bölünebilen bir sayı, aralarında asal olan 9 ve 2 sayılarına da tam bölünür. (9 . 2 = 18)
6 ve 3 sayıları aralarında asal olmadıkları için, 18 ile tam bölünebilen bir sayı, 6 ve 3 ile tam bölünmez. (6 . 3 = 18)
57ab sayısı 2 ile tam bölünebiliyorsa:
b rakamının alabileceği değerler: 0 , 2 , 4 , 6 , 8 sayılarıdır. b rakamının alabileceği değerlere göre, 57ab sayısının, 9 ile tam bölünüp bölünemediğine bakılır.
9 ile bölünebilen bir sayının rakamları toplamı, 9'un katı olmalıdır.
b = 0 için:
57ab sayısının rakamları toplandığında → 5 + 7 + a + 0 = 12 + a
(12 + a) değerinin dokuzun katı olabilmesi için, 12 sayısından büyük, ilk 9'un katı aranır.
9 . 1 = 9 → Dokuzun 1. katı olan 9 sayısı, 12 sayısından küçüktür. (9 < 12)
9 . 2 = 18 → Dokuzun 2. katı 18 sayısı, 12 sayısından büyüktür. (18 > 12)
12 + a = 18
a = 18 - 12
a = 6
b = 2 için:
57ab sayısının rakamları toplandığında → 5 + 7 + a + 2 = 14 + a
(14 + a) değerinin dokuzun katı olabilmesi için, 14 sayısından büyük, ilk 9'un katı aranır.
9 . 1 = 9 → Dokuzun 1. katı olan 9 sayısı, 14 sayısından küçüktür. (9 < 14)
9 . 2 = 18 → Dokuzun 2. katı 18 sayısı, 14 sayısından büyüktür. (18 > 14)
14 + a = 18
a = 18 - 14
a = 4
b = 4 için:
57ab sayısının rakamları toplandığında → 5 + 7 + a + 4 = 16 + a
(16 + a) değerinin dokuzun katı olabilmesi için, 16 sayısından büyük, ilk 9'un katı aranır.
9 . 1 = 9 → Dokuzun 1. katı olan 9 sayısı, 16 sayısından küçüktür. (9 < 16)
9 . 2 = 18 → Dokuzun 2. katı 18 sayısı, 16 sayısından büyüktür. (18 > 16)
16 + a = 18
a = 18 - 16
a = 2
b = 6 için:
57ab sayısının rakamları toplandığında → 5 + 7 + a + 6 = 18 + a
(18 + a) → ifadesindeki 18 sayısı, 9 sayısının 2. katıdır. (9 . 2 = 18)
a = 0 değeri için, (18 + 0 = 18) olduğundan, 57ab sayısı 9 ile tam bölünür.
b = 0 için, a = 6 değerine 9 eklenseydi, (6 + 9 = 15) sonucu, iki basamaklı olacağından, a rakamının 6 sayısından başka bir değeri olamaz.
b = 2 için, a = 4 değerine 9 eklenseydi, (4 + 9 = 13) sonucu, iki basamaklı olacağından, a rakamının 4 sayısından başka bir değeri olamaz.
b = 4 için, a = 2 değerine 9 eklenseydi, (2 + 9 = 11) sonucu, iki basamaklı olacağından, a rakamının 2 sayısından başka bir değeri olamaz.
b = 6 için, a = 0 değerine 9 eklenince (0 + 9 = 9) sonucu, tek basamaklı olduğundan, a rakamının iki farklı değeri olabilir.
b = 6 için, a = 0 veya a = 9 olabilir.
b = 8 için:
57ab sayısının rakamları toplandığında → 5 + 7 + a + 8 = 20 + a
(20 + a) değerinin dokuzun katı olabilmesi için, 20 sayısından büyük, ilk 9'un katı aranır.
9 . 1 = 9 → Dokuzun 1. katı olan 9 sayısı, 20 sayısından küçüktür. (9 < 20)
9 . 2 = 18 → Dokuzun 2. katı 18 sayısı, 20 sayısından küçüktür. (18 < 20)
9 . 3 = 27 → Dokuzun 3. katı 27 sayısı, 20 sayısından büyüktür. (20 < 27)
20 + a = 27
a = 27 - 20
a = 7
a nın alabileceği farklı değerler toplamı:
6 + 4 + 2 + 0 + 9 + 7 = 28
Cevap:28
Örnek:
Aralarında asal sayılar örnek soru (kaynak: Supara):
Çözüm:
Aralarında asal sayılar örnek çözüm:
Resimde verilen eşitlikte, işlemleri kolaylaştırmak için 6 ve 8 sayıları sadeleştirilir.
(6 / 8) ifadesinin her iki tarafı 2 ile bölündüğünde (3 / 4) olur.
iki kesrin eşitliğinde, içler ve dışlar çarpımı birbirine eşittir. Resimde (x) işareti gösterilen kesişen iki doğrunun, iki yönünü gösteren değerlerin çarpımı birbirine eşittir.
4 . (2m - n) ifadesi için:
4 ile 2m çarpılır → 4 . 2m = 8m
4 ile n çarpılır → 4 . n = 4n
Sırası ile yazılan yeni değerlerin arasına, parantez içindeki (-) işareti konulur → 8m - 4n
3 . (m + 3n) ifadesi için:
3 ile m çarpılır → 3 . m = 3m
3 ile 3n çarpılır → 3 . 3n = 9n
Sırası ile yazılan yeni değerlerin arasına, parantez içindeki (+) işareti konulur → 3m + 9n
İçler dışlar çarpımından sonra oluşan yeni eşitlik:
8m - 4n = 3m + 9n
m değerleri sağa, n değerleri sola atılır. Eşitliğin diğer tarafına geçen değerleri işaret değiştirir.
8m -3m = 9n +4n
8m - 3m = 9n + 4n
8m 'den 3m çıkınca 5m kalır. 9n ile 4n toplanınca 13n olur.
5m = 13n
5m = 13n eşitliğinde kat sayılar olan, 5 ve 13 sayıları aralarında asal sayılardır.
m = 13
n = 5 için
5 . 13 = 13 . 5 → eşitliği sağlanabilir.
13 ve 5 sayıları aralarında asal sayılardır.
m = (13 . 2)
n = (5 . 2) için
5 . 13 . 2 = 13 . 5 . 2
5 . 26 = 13 . 10 → eşitliği sağlanabilir.
26 ve 10 sayıları aralarında asal sayılar değildir.
m = (13 . 3)
n = (5 . 3) için
5 . 13 . 3 = 13 . 5 . 3
5 . 39 = 13 . 15 → eşitliği sağlanabilir.
39 ve 15 sayıları aralarında asal sayılar değildir.
Soruda m ve n sayılarının aralarında asal olmaları koşulu olduğundan, eşitliği sağlayan aralarında asal sayılar, sadece 5 ve 13 sayıları olabilir.
m + n = 13 + 5 = 18
Cevap: 18
Asal Çarpanlara Ayırma ve Asal Çarpan Sayısı
Bir sayının asal çarpanlarına ayrılmasında yapılan işlemler, daha önce bahsedilen, iki sayının en küçük ortak katının bulunmasında yapılan işlemlere benzerdir.Sayı sırası ile; 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 ... asal sayılarına bölünür. Asal sayılara bölünen sayı, 1 sonucuna ulaşıncaya kadar bölme işlemi devam eder.
Sayı önce, 2 ile bölünebiliyor mu diye bakılır.
Sayı 2 ile bölünemiyorsa, 3 ile bölünebiliyor mu diye bakılır.
Sayı 3 ile bölünemiyorsa, 5 ile bölünebiliyor mu diye bakılır.....
Aşağıdaki resimde gösterilen A doğal sayısı için:
a , b ve c sayıları, asal sayılar kümesinin elemanıdır ve a < b < c 'dir.
x, y ve z sayıları, pozitif tam sayıları kümesinin elemanıdır.
a , b ve c sayıları, A sayısının asal çarpanları olarak kabul edilir. Bu asal sayılar temsili olarak yazılmıştır. A sayısının değerine göre, asal çarpanların adeti artabilir veya azalabilir.
a sayısı, A sayısının en küçük asal çarpanıdır. A sayısı 2 ile bölünebiliyorsa 2 sayısı, 3 ile bölünebiliyorsa 3 sayısı, 5 ile bölünebiliyorsa 5 sayısı, a sayısının değeri olabilir.
b sayısı, A sayısının, a asal sayısından sonra gelen asal çarpanıdır. a sayısı 2 ise, b sayısı 3 veya 5 veya 7 olabilir. b sayısı, a sayısından büyüktür.
c sayısı, A sayısının, b asal sayısından sonra gelen asal çarpanıdır. b sayısı 3 ise, c sayısı 5 veya 7 veya 11 olabilir. c sayısı, b sayısından büyüktür.
x sayısı, a çarpanından kaç tane olduğunu belirtir.
y sayısı, b çarpanından kaç tane olduğunu belirtir.
z sayısı, c çarpanından kaç tane olduğunu belirtir.
A sayısının, asal çarpanları, A = (a üssü x) . (b üssü y) . (c üssü z) şeklinde ifade edilir.
Bir doğal sayının asal çarpanlarına ayrılması:
Yukarıdaki resimde verilen örnekte, 180 sayısı asal çarpanlarına ayrılmıştır. (A sayısı 180 için)
İlk asal sayı olan 2, 180 sayısını böler.
(180 / 2) = 90 sonucu, 180 sayısının altına yazılır.
90 sayısı, tekrar 2 ile bölünebilir.
(90 / 2) = 45 sonucu, 90 sayısının altına yazılır.
45 sayısı artık 2 ile bölünemediğinden, sıradaki asal sayı olan 3 ile bölünür. (5 ile de bölünebilen 45 sayısı, önce 3 sayısına bölünmelidir.)
(45 / 3) = 15 sonucu, 45 sayısının altına yazılır.
15 sayısı, tekrar 3 ile bölünebilir.
(15 / 3) = 5 sonucu, 15 sayısının altına yazılır.
5 sayısı artık 3 ile bölünemediğinden, sıradaki asal sayı olan 5 ile bölünür.
(5 / 5) = 1 sonucu, 5 sayısının altına yazılır. 2 , 3 ve 5 asal sayılarına bölünen 180 sayısı 1 sonucuna ulaştığından işlem biter.
180 sayısı, 2 . 2 . 3 . 3 . 5 = 180 şeklinde yazılabilir.
2 . 2 = 2² → a çarpanı 2 sayısıdır. a sayısından 2 tane olduğundan x = 2 sayısıdır.
3 . 3 = 3² → b çarpanı 3 sayısıdır. b sayısından 2 tane olduğundan y = 2 sayısıdır.
5 = 5¹ → c çarpanı 5 sayısıdır. c sayısından 1 tane olduğundan z = 1 sayısıdır.
180 = 2² . 3² . 5¹ → 180 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış halidir.
180 sayısının, üç tane asal çarpanı vardır. 2 , 3 ve 5 sayıları, 180 sayısının asal çarpanlarıdır.
Örnek:
108 sayının asal çarpanlarına ayrılması:
Yukarıdaki resimde verilen örnekte, 108 sayısı asal çarpanlarına ayrılmıştır. (A sayısı 108 için)
İlk asal sayı olan 2, 108 sayısını böler.
(108 / 2) = 54 sonucu, 108 sayısının altına yazılır.
54 sayısı, tekrar 2 ile bölünebilir.
(54 / 2) = 27 sonucu, 54 sayısının altına yazılır.
27 sayısı artık 2 ile bölünemediğinden, sıradaki asal sayı olan 3 ile bölünür.
(27 / 3) = 9 sonucu, 27 sayısının altına yazılır.
9 sayısı, tekrar 3 ile bölünebilir.
(9 / 3) = 3 sonucu, 9 sayısının altına yazılır.
3 sayısı, tekrar 3 ile bölünebilir.
(3 / 3) = 1 sonucu, 3 sayısının altına yazılır. 2 ve 3 asal sayılarına bölünen 108 sayısı 1 sonucuna ulaştığından işlem biter.
108 sayısı, 2 . 2 . 3 . 3 . 3 = 108 şeklinde yazılabilir.
2 . 2 = 2² → a çarpanı 2 sayısıdır. a sayısından 2 tane olduğundan x = 2 sayısıdır.
3 . 3 . 3 = 3³ → b çarpanı 3 sayısıdır. b sayısından 3 tane olduğundan y = 3 sayısıdır.
108 sayısının, 2 ve 3 sayısından başka asal çarpanı olmadığından, c ve z değerleri yoktur.
108 = 2² . 3³ → 108 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış halidir.
108 sayısının, iki tane asal çarpanı vardır. 2 ve 3 sayıları, 108 sayısının asal çarpanlarıdır.
Örnek:
700 sayının asal çarpanlarına ayrılması:
Yukarıdaki resimde verilen örnekte, 700 sayısı asal çarpanlarına ayrılmıştır. (A sayısı 700 için)
İlk asal sayı olan 2, 700 sayısını böler.
(700 / 2) = 350 sonucu, 700 sayısının altına yazılır.
350 sayısı tekrar 2 ile bölünebilir.
(350 / 2) = 175 sonucu, 350 sayısının altına yazılır.
175 sayısı artık 2 ile bölünemediğinden, sıradaki asal sayı olan 3 ile bölünebiliyor mu diye bakılır. 3 ile de bölünemeyen 175 sayısı, sıradaki asal sayı olan 5 ile bölünür.
(175 / 5) = 35 sonucu, 175 sayısının altına yazılır.
35 sayısı tekrar 5 ile bölünebilir.
(35 / 5) = 7 sonucu, 35 sayısının altına yazılır.
7 sayısı artık 5 ile bölünemediğinden, sıradaki asal sayı olan 7 ile bölünür.
(7 / 7) = 1 sonucu, 7 sayısının altına yazılır. 2 , 5 ve 7 asal sayılarına bölünen 700 sayısı 1 sonucuna ulaştığından işlem biter.
700 sayısı, 2 . 2 . 5 . 5 . 7 = 700 şeklinde yazılabilir.
2 . 2 = 2² → a çarpanı 2 sayısıdır. a sayısından 2 tane olduğundan x = 2 sayısıdır.
5 . 5 = 5² → b çarpanı 5 sayısıdır. b sayısından 2 tane olduğundan y = 2 sayısıdır.
7 = 7¹ → c çarpanı 7 sayısıdır. c sayısından 1 tane olduğundan z = 1 sayısıdır.
700 = 2² . 5² . 7¹ → 700 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış halidir.
700 sayısının, üç tane asal çarpanı vardır. 2 , 5 ve 7 sayıları, 700 sayısının asal çarpanlarıdır.
Pozitif veya Negatif Tam Bölenleri Sayısı
A doğal sayısının, pozitif tam bölenleri ve negatif tam bölenleri aynı formül ile bulunur. A sayısı, asal çarpanlarına ayrılıp, a, b ve c değerleri ile x, y ve z değerleri bulunur.A = (a üssü x) . (b üssü y) . (c üssü z) ifadesinde, a , b ve c çarpanlarının kuvvetleri olan x , y ve z değerlerine 1 eklenip, birbirleriyle çarpılır. Bulunan sonuç, A sayısının pozitif tam bölenleri sayısıdır. A sayısının, pozitif tam bölenleri sayısı ile negatif tam bölenleri sayısı birbirine eşit olduğundan bulunan sonuç, aynı zamanda negatif tam bölenleri sayısıdır.
A sayısının pozitif tam bölenleri ve negatif tam bölenleri sayısı için tek formül kullanılır.
(x + 1) . (y + 1) . (y + 1) = ?
Bir sayının pozitif veya negatif tam bölenleri sayısı:
Yukarıdaki resimde verilen örnekte, 30 sayısı asal çarpanlarına ayrılmıştır. (A sayısı 30 için)
İlk asal sayı olan 2, 30 sayısını böler.
(30 / 2) = 15 sonucu, 30 sayısının altına yazılır.
15 sayısı artık 2 ile bölünemediğinden, sıradaki asal sayı olan 3 ile bölünür.
(15 / 3) = 5 sonucu, 15 sayısının altına yazılır.
5 sayısı artık 5 ile bölünemediğinden, sıradaki asal sayı olan 5 ile bölünür.
(5 / 5) = 1 sonucu, 5 sayısının altına yazılır. 2 , 3 ve 5 asal sayılarına bölünen 30 sayısı 1 sonucuna ulaştığından işlem biter.
30 sayısı, 2 . 3 . 5 = 30 şeklinde yazılabilir.
2 = 2¹ → a çarpanı 2 sayısıdır. a sayısından 1 tane olduğundan x = 1 sayısıdır.
3 = 3¹ → b çarpanı 3 sayısıdır. b sayısından 1 tane olduğundan y = 1 sayısıdır.
5 = 5¹ → c çarpanı 5 sayısıdır. c sayısından 1 tane olduğundan z = 1 sayısıdır.
30 = 2¹ . 3¹ . 5¹ → 30 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış halidir.
30 sayısının, üç tane asal çarpanı vardır. 2 , 3 ve 5 sayıları, 30 sayısının asal çarpanlarıdır.
30 sayısının pozitif veya negatif tam bölenleri sayısı:
A sayısının pozitif tam bölenleri ve negatif tam bölenleri sayısı için tek formül kullanılır.
(x + 1) . (y + 1) . (y + 1) = ?
x = 1
y = 1
z = 1 için
(1 + 1) . (1 + 1) . (1 + 1) = 2 . 2 . 2 = 8
30 sayısının 8 tane pozitif tam böleni vardır.
30 sayısının 8 tane negatif tam böleni vardır.
A sayısının tam bölenleri sayısı:
Bir sayının tam bölenleri sayısı ifadesi, pozitif tam bölenleri sayısı ile negatif tam bölenleri sayısının her ikisini de içerir. Pozitif tam bölenleri sayısı ile negatif tam bölenleri sayısı birbirine eşit olduğundan, pozitif tam bölenleri sayısı veya negatif tam bölenleri sayısı için kullanılan formül, 2 ile çarpılır.
2 . (x + 1) . (y + 1) . (y + 1) = ?
A sayısının, pozitif tam bölenleri sayısı ile negatif tam bölenleri sayısı, A sayısının tüm tam bölenleri sayısını oluştururlar.
30 sayısının 8 tane pozitif tam böleni vardır.
30 sayısının 8 tane negatif tam böleni vardır.
30 sayısının, 8 . 2 = 16 tane tam böleni vardır.
A sayısının tam bölenleri toplamı 0 (sıfır)'dır:
A sayısının tam bölenleri toplamı ifadesi, pozitif tam bölenleri ile negatif tam bölenlerinin toplamı anlamına gelir.
30 sayısının için:
30 sayısının asal çarpanları, 2 , 3 ve 5 sayılarıdır.
30 sayısının pozitif tam bölenleri, asal çarpanlarının, birbirleri ile çarpımından ortaya çıkar.
Asal çarpanların kendisi de pozitif tam bölenleri arasındadır.
Tüm sayıları tam bölen, bir sayısı (1) da, tam bölenleri arasına eklenir.
Aşağıda 30 sayısının, asal çarpanlarından türetilmiş, pozitif tam bölenleri yazılmıştır.
(2) , (3) , (5) , (2 . 3) , (2 . 5) , (3 . 5) , (3 . 2) , (6 . 5) , (10 . 3) , (2 . 15) , (2 . 3 . 5) , (1)
Parantez içindeki işlemler yapıldıktan sonraki halleri:
(2) , (3) , (5) , (6) , (10) , (15) , (6) , (30) , (30) , (30) , (30) , (1)
Her sayı bir kez yazıldığında, 30 sayısının pozitif tam bölenleri bulunur.
(+2) , (+3) , (+5) , (+6) , (+10) , (+15) , (+30) , (+1) → 30 sayısının 8 tane pozitif tam böleni vardır.
30 sayısının negatif tam bölenleri:
(-2) , (-3) , (-5) , (-6) , (-10) , (-15) , (-30) , (-1) → 30 sayısının 8 tane negatif tam böleni vardır.
30 sayısının pozitif tam bölenleri ve negatif tam bölenleri toplandığında, (+) değerler ve (-) değerler eşit olduğundan, birbirlerini sıfırlar.
(+2) + (-2) = 0
(+3) + (-3) = 0
(+5) + (-5) = 0
(+6) + (-6) = 0
(+10) + (-10) = 0
(+15) + (-15) = 0
(+30) + (-30) = 0
(+1) + (-1) = 0
30 sayısının, pozitif tam bölenleri ile negatif tam bölenleri toplamı 0'dır. 30 sayısı için geçerli olan bu kural, tüm pozitif tam sayılar için geçerlidir.
Daha çok sayıda asal çarpanı olan bir sayının tam bölenlerini, sayının asal çarpanlarının çarpım permütasyon'ları ile bulmak zaman alacağından, (x + 1) . (y + 1) . (y + 1) formülü kullanmak kolaylık sağlayacaktır.
A sayısının pozitif tam bölenleri toplamı:
Bir sayının pozitif tam bölenleri toplamı için, önce sayı asal çarpanlarına ayrılır.
A = (a üssü x) . (b üssü y) . (c üssü z) şeklinde asal çarpanlarına ayrılan sayının, a , b ve c değerleri ve bu değerleri için x , y ve z değerleri bulunur.
Bir sayının pozitif tam bölenleri toplamı formülü:
Yukarıdaki resimde gösterilen formüle, pozitif tam bölenleri bulunmak istenen sayının; a , b ve c değerleri ile bu değerleri için aldıkları x , y ve z değerleri yazılır.
Asal çarpanlarına ayrılan 30 sayısı için:
30 = 2¹ . 3¹ . 5¹ → 30 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış halidir.
a = 2 x = 1
b = 3 y = 1
c = 5 z = 1
değerleri, formülde yerine konulur.
1 - (a üzeri (x + 1)) / (1 - a) ifadesi → 1 - 2 ⁽¹ ⁺ ¹⁾ / (1 - 2)
1 - (b üzeri (y + 1)) / (1 - b) ifadesi → 1 - 3 ⁽¹ ⁺ ¹⁾ / (1 - 3)
1 - (c üzeri (z + 1)) / (1 - c) ifadesi → 1 - 5 ⁽¹ ⁺ ¹⁾ / (1 - 5)
şeklinde yazılıp, birbirleri ile çarpılır.
1 - 2 ⁽¹ ⁺ ¹⁾ / (1 - 2) → ( 1 - 2² ) / (-1) → (1 - 4) / (-1) → (-3) / (-1) = 3
1 - 3 ⁽¹ ⁺ ¹⁾ / (1 - 3) → ( 1 - 3² ) / (-2) → (1 - 9) / (-2) → (-8) / (-2) = 4
1 - 5 ⁽¹ ⁺ ¹⁾ / (1 - 5) → ( 1 - 5² ) / (-4) → (1 - 25) / (-4) → (-24) / (-4) = 6
Her bir kesir için bulunan sonuçlar, birbirleri ile çarpılır.
3 . 4 . 6 = 72
30 sayısının pozitif bölenleri toplandığında da:
2 + 3 + 5 + 6 + 10 + 15 + 30 + 1 = 72 sonucu bulunur.
A sayısının pozitif tam bölenleri çarpımı:
Bir sayının, pozitif tam bölenlerinin birbirleri ile çarpım sonucu için, önce sayı asal çarpanlarına ayrılır.
A = (a üssü x) . (b üssü y) . (c üssü z) şeklinde asal çarpanlarına ayrılan sayının, x , y ve z değerleri bulunur.
Bir sayının pozitif tam bölenleri çarpımı formülü:
Yukarıdaki resimde gösterilen formüle, pozitif tam bölenlerinin çarpım sonucu bulunmak istenen sayının; x , y ve z değerleri yazılır.
A sayısının, pozitif veya negatif tam bölenleri sayısını bulmak için kullanılan formül ile, pozitif tam bölenleri hesaplanır.
(x + 1) . (y + 1) . (y + 1) = ?
A üzeri (pozitif tam bölenler sayısı / 2) formülü, A sayısının, pozitif tam bölenlerinin, birbirleri ile çarpım sonucunu verir.
Asal çarpanlarına ayrılan 30 sayısı için:
30 = 2¹ . 3¹ . 5¹ → 30 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış halidir.
x = 1
y = 1
z = 1
değerleri, formülde yerine konulur.
30 sayısının pozitif tam bölenleri sayısı:
(x + 1) . (y + 1) . (y + 1) = ?
(1 + 1) . (1 + 1) . (1 + 1) = 2 . 2 . 2 = 8
30 sayısının pozitif tam bölenleri çarpımı formülü:
30 üzeri (8 / 2) = 30 üzeri 4 = 30⁴ = 30 . 30 . 30 . 30 = 810000
30 sayısının pozitif bölenleri çarpıldığında da:
2 . 3 . 5 . 6 . 10 . 15 . 30 . 1 = 810000 sonucu bulunur.
A sayısının tam bölenleri çarpımı:
A sayısının tam bölenleri çarpımı ifadesi, pozitif tam bölenleri ile negatif tam bölenlerinin çarpımı anlamına gelir.
Bir sayının, tam bölenlerinin birbirleri ile çarpım sonucu için, önce sayı asal çarpanlarına ayrılır.
A = (a üssü x) . (b üssü y) . (c üssü z) şeklinde asal çarpanlarına ayrılan sayının, x , y ve z değerleri bulunur.
Bir sayının pozitif ve negatif tüm tam bölenleri çarpımı formülü:
Yukarıdaki resimde gösterilen formüle, tam bölenlerinin birbirleri ile çarpım sonucu bulunmak istenen sayının; x , y ve z değerleri yazılır.
A sayısının, pozitif veya negatif tam bölenleri sayısını bulmak için kullanılan formül ile, pozitif tam bölenleri hesaplanır.
(x + 1) . (y + 1) . (y + 1) = ?
(-A) üzeri (pozitif tam bölenler sayısı) formülü, A sayısının, pozitif ve negatif tüm tam bölenlerinin birbirleri ile çarpım sonucunu verir.
Asal çarpanlarına ayrılan 30 sayısı için:
30 = 2¹ . 3¹ . 5¹ → 30 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış halidir.
x = 1
y = 1
z = 1
değerleri, formülde yerine konulur.
30 sayısının pozitif tam bölenleri sayısı:
(x + 1) . (y + 1) . (y + 1) = ?
(1 + 1) . (1 + 1) . (1 + 1) = 2 . 2 . 2 = 8
30 sayısının pozitif tam bölenleri çarpımı formülü:
(-30) üzeri (8) = (-30)⁸ = (-30) . (-30) . (-30) . (-30) . (-30) . (-30) . (-30) . (-30) = 656100000000
30 sayısının pozitif ve negatif tam bölenleri çarpıldığında da:
2 . 3 . 5 . 6 . 10 . 15 . 30 . 1 . (-2) . (-3) . (-5) . (-6) . (-10) . (-15) . (-30) . (-1) = 656100000000 sonucu bulunur.
Örnek:
819 sayısının asal olmayan tam sayı bölenleri kaç tanedir? (Kaynak: Supara)
Çözüm:
Asal çarpanlar, tam sayı bölenleri örnek çözüm:
819 sayısı asal çarpanlarına ayrılır:
819 sayısı, ilk asal sayı olan 2 ile bölünmez. Sıradaki asal sayı olan 3 ile bölünebilir.
(819 / 3) = 273 sonucu tekrar 3 ile bölünebilir.
(273 / 3) = 91 sonucu artık 3 ile bölünmez. Sıradaki asal sayı olan 5 ile de bölünmez. 5'ten sonra gelen 7 asal sayısı ile bölünebilir.
(91 / 7) = 13 sonucu artık 7 ile bölünmez. Sıradaki asal sayı olan 11 ile de bölünmez. 11'den sonra gelen 13 asal sayısı ile bölünebilir.
(13 / 13) = 1
A = (a üzeri x) . (b üzeri y) . (c üzeri z) → A sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali
819 = 3² . 7¹ . 13¹ → 819 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali
819 sayısı için:
a = 3 x = 2
b = 7 y = 1
c = 13 z = 1
A sayısının tam sayı bölenleri:
2 . (x + 1) . (y + 1) . (z + 1)
819 sayısının tam sayı bölenleri:
2 . (2 + 1) . (1 + 1) . (1 + 1)
2 . 3 . 2 . 2 = 24
Soruda, asal olmayan tam sayı bölenleri sorulmuş.
Tam sayı bölenleri (pozitif ve negatif) sayısı 24 tanedir.
Tam sayı bölenleri sayısından, asal tam bölenleri sayısı çıkarılır.
819 sayısının, 3 , 7 ve 13 olmak üzere 3 tane asal tam böleni (çarpanı) vardır.
Asal sayılar, pozitif tam sayılardır. (-3) , (-7) ve (-13) sayıları, asal sayı değillerdir.
819 sayısının asal olmayan bölenleri sayısı:
24 - 3 = 21
Cevap: 21
Not: Aşağıdaki ifadeler birbirine karıştırılmamalıdır:
- asal çarpanlarına ayırmak
- asal çarpanları
- asal çarpan sayısı
- pozitif tam sayı bölenleri
- pozitif tam sayı bölenleri sayısı
- pozitif tam sayı bölenleri toplamı
- pozitif tam sayı bölenleri çarpımı
- negatif tam sayı bölenleri
- negatif tam sayı bölenleri sayısı
- tam sayı bölenleri
- tam sayı bölenleri sayısı
- tam sayı bölenleri toplamı
- tam sayı bölenleri çarpımı
- asal tam bölenleri haricinde tam sayı bölenleri sayısı
- asal tam bölenleri haricinde tam sayı bölenleri toplamı
- pozitif sayılarda, çarpan ve tam bölen ifadeleri, aynı şeyi ifade eder. Örneğin asal çarpanları, asal tam bölenleri gibi...
ABT(x), x sayısının asal bölenleri toplamıdır.
Örneğin; 12 nin asal bölenleri 2 ve 3 olduğu için ABT(12) = 5 tir.
Buna göre, ABT(x) = 10 eşitliğini sağlayan iki basamaklı en küçük doğal sayı ile üç basamaklı en küçük doğal sayının toplamı kaçtır? (kaynak: Supara)
Çözüm:
Bir sayının, tam sayı bölenleri toplamı, pozitif tam sayı bölenleri toplamı ifadeleri ile asal bölenleri toplamı farklı şeyleri ifade eder. Asal bölenleri toplamı, asal çarpanları toplamı demektir.
12 sayısı asal çarpanlarına ayrılırsa;
12 → 2
6 → 2
3 → 3
1
12 sayısının, iki tane asal böleni (çarpanı) vardır. 12 sayısının asal bölenleri (çarpanları) 2 ve 3 sayılarıdır. 12 sayısının asal bölenleri toplamı, ABT(12) = 2 + 3 = 5 tir.
Asal sayılar; 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 .. şeklinde sıralanırlar.
x sayısının asal bölenleri toplamı 10 ise;
2 + 3 + 5 = 10
2 , 3 ve 5 asal sayıları toplandığında 10 sonucunu verir. Aranan sayının asal çarpanları olan 2 , 3 ve 5 sayılarından, iki basamaklı ve üç basamaklı sayılar türetilir.
asal çarpanları 2 , 3 , 5 olan bir sayının iki basamaklı en küçük değeri → 2 . 3 . 5 = 30 olabilir.
asal çarpanları 2 , 3 , 5 olan bir sayının iki basamaklı değeri → 2 . 3² . 5 = 90
asal çarpanları 2 , 3 , 5 olan bir sayının üç basamaklı en küçük değeri → 2² . 3 . 5 = 120 olabilir.
asal çarpanları 2 , 3 , 5 olan bir sayının üç basamaklı değeri → 2 . 3³ . 5 = 270
asal çarpanları 2 , 3 , 5 olan bir sayının üç basamaklı değeri → 2 . 3 . 5² = 150
3 + 7 = 10
3 ve 7 asal sayıları toplandığında 10 sonucunu verir. Aranan sayının asal çarpanları olan 3 ve 7 sayılarından, iki basamaklı ve üç basamaklı sayılar türetilir.
asal çarpanları 3 ve 7 olan bir sayının iki basamaklı en küçük değeri → 3 . 7 = 21 olabilir.
asal çarpanları 3 ve 7 olan bir sayının iki basamaklı değeri → 3² . 7 = 63
asal çarpanları 3 ve 7 olan bir sayının üç basamaklı en küçük değeri → 3 . 7² = 147 olabilir.
asal çarpanları 3 ve 7 olan bir sayının üç basamaklı değeri → 3³ . 7 = 189
(2 + 3 + 5) ve (3 + 7) işlemleri dışında, asal sayılar toplamı, 10 sonucunu vermez.
ABT(x) = 10 için:
x sayısının iki basamaklı en küçük değeri (3 . 7 = 21)
x sayısının üç basamaklı en küçük değeri (2² . 3 . 5 = 120)
x sayısının iki basamaklı en küçük değeri ile üç basamaklı en küçük değerinin toplamı:
120 + 21 = 141
Cevap:141
Yorumlar
Yorum Gönder