Şu an 2. Bölüm görüntüleniyor...
Bölüm Konuları:
Bölünebilme Kuralları
2 ile Bölünebilme , 3 ile Bölünebilme , 4 ile Bölünebilme
5 ile Bölünebilme , 6 ile Bölünebilme , 8 ile Bölünebilme
9 ile Bölünebilme , 10 ile Bölünebilme , 11 ile Bölünebilme
Son rakamları 1 , 3 , 5 , 7 veya 9 olan tek sayıların, 2 ile bölümünden kalan 1'dir.
Bir sayının 3 ile bölümünden kalan, sayının rakamları toplamının 3 ile bölümünden kalan sayıdır.
Not:
Son iki rakamı 00 olan sayılar, 4 ile tam bölünür.
Örneğin:
9562187300 sayısı, 4 ile tam bölünür. Sayının son üç hanesi olan 300, 4 sayısının 75. katıdır.
Bir sayının 4 ile bölümünden kalan sayı, son iki rakamının oluşturduğu sayının, 4 ile bölümünden kalan sayıdır.
Örnek:
Beş basamaklı 2x32y sayısının 4 ile bölümünden kalan 1 dir.
Aynı sayının 3 ile bölümünden kalan 2 olduğuna göre,
x + y nin alabileceği en büyük değer kaçtır? (kaynak: Supara)
Çözüm:
4 ile bölünebilen bir sayının, son iki rakamındaki sayı, 4'ün katı olmalıdır. 4 ile bölümünden kalanın 1 olması için, son iki rakamındaki sayının, 4 'ün katının 1 fazlası olması gerekir.
2x32y sayısının 4 ile tam bölünmesi için:
2x32y sayısının, son iki rakamındaki sayı 2y sayısıdır.
y = 0 için, 2y sayısı 20 olur. 20 sayısı 4'ün 5. katı olduğundan 4 ile tam bölünür. (4 . 5 = 20)
20 sayısının 1 fazlası 20 + 1 = 21 sayısıdır. 21 sayısı 4 ile bölündüğünde 1 kalanını verir.
y = 1 değeri için, 21 sayısı istenen koşulu sağlar.
y = 4 için, 2y sayısı 24 olur. 24 sayısı 4'ün 6. katı olduğundan 4 ile tam bölünür. (4 . 6 = 24)
24 sayısının 1 fazlası 24 + 1 = 25 sayısıdır. 25 sayısı 4 ile bölündüğünde 1 kalanını verir.
y = 5 değeri için, 25 sayısı istenen koşulu sağlar.
y = 8 için, 2y sayısı 28 olur. 28 sayısı 4'ün 7. katı olduğundan 4 ile tam bölünür. (4 . 7 = 28)
28 sayısının 1 fazlası 28 + 1 = 29 sayısıdır. 29 sayısı 4 ile bölündüğünde 1 kalanını verir.
y = 9 değeri için, 29 sayısı istenen koşulu sağlar.
2x32y sayısı 4 ile bölündüğünde 1 kalanın veriyorsa, y sayısı; 1 , 5 veya 9 olabilir. y sayısının alabileceği değerlere göre, 2x32y sayısının, 3 ile bölündüğünde 2 kalanı verip vermediğine bakılır.
Bir sayının 3 ile tam bölünebilmesi için rakamları toplamının, 3'ün katı olması gerekir.
y = 1 için
2x32y sayısının rakamları toplamı → 2 + x + 3 + 2 + 1 = (8 + x) olur.
(8 + x) değerinin, 3'ün katı olması için:
x = 1 için → (8 + x) = 8 + 1 = 9 olur. Bulunan 9 sonucu, 3'ün katı olduğundan, 21321 sayısı, 3 ile tam bölünebilir. (3 . 3 = 9) 2x321 sayısı, x = 1 için 3 ile tam bölünebiliyorsa, x değeri olan 1'in 2 fazlası için, 2x321 sayısının 3 ile bölümünden kalan 2 olur. (1 + 2 = 3) x = 3 değeri için, 23321 sayısı istenen koşulu sağlar.
x = 4 için → (8 + x) = 8 + 4 = 12 olur. Bulunan 12 sonucu, 3'ün katı olduğundan, 24321 sayısı, 3 ile tam bölünebilir. (3 . 4 = 12) 2x321 sayısı, x = 4 için 3 ile tam bölünebiliyorsa, x değeri olan 4'ün 2 fazlası için, 2x321 sayısının 3 ile bölümünden kalan 2 olur. (4 + 2 = 6) x = 6 değeri için, 26321 sayısı istenen koşulu sağlar.
x = 7 için → (8 + x) = 8 + 7 = 15 olur. Bulunan 15 sonucu, 3'ün katı olduğundan, 27321 sayısı, 3 ile tam bölünebilir. (3 . 5 = 15) 2x321 sayısı, x = 7 için 3 ile tam bölünebiliyorsa, x değeri olan 7'nin 2 fazlası için, 2x321 sayısının 3 ile bölümünden kalan 2 olur. (7 + 2 = 9) x = 9 değeri için, 29321 sayısı istenen koşulu sağlar.
x = 0 için → (8 + x) = 8 + 0 = 8 olur. Bulunan 8 sonucunun, 3 ile bölümünden kalan 2'dir. x = 0 değeri için, 20321 sayısı istenen koşulu sağlar. Bir önceki x değeri olan 7'ye 3 eklendiğinde, 10 sayısı bulunduğu için, x = 0 değeri için de koşulun sağlanıp sağlanmadığına bakılır. 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 rakamları için, 7 rakamının 3 sıra sonrasında, 0 rakamı vardır. Rakam sırasına göre, bir rakam 3 ile toplandığında, rakam sırası, 3 sıra ileri gider. x = 0 değeri için, istenen koşul sağlandığından, x = 0 değerine 3 eklenip koşulun sağlanıp sağlanmadığına da bakılmalıdır. x = 0 değerine 3 eklendiğine, 3 sayısı bulunur. Bulunan x = 3 değerinin koşulu sağlayıp sağlamadığına daha önceden bakılmıştır.
y = 1 için, x değerleri; 3 , 6 , 9 ve 0 olabilir.
x + y nin olabileceği değerler:
3 + 1 = 4
6 + 1 = 7
9 + 1 = 10
y = 5 için
2x32y sayısının rakamları toplamı → 2 + x + 3 + 2 + 5 = (12 + x) olur.
(12 + x) değerinin, 3'ün katı olması için:
x = 0 için → (12 + x) = 12 + 0 = 12 olur. Bulunan 12 sonucu, 3'ün katı olduğundan, 20325 sayısı, 3 ile tam bölünebilir. (3 . 4 = 12) 2x325 sayısı, x = 0 için 3 ile tam bölünebiliyorsa, x değeri olan 0'ın 2 fazlası için, 2x325 sayısının 3 ile bölümünden kalan 2 olur. (0 + 2 = 2) x = 2 değeri için, 22325 sayısı istenen koşulu sağlar.
x = 3 için → (12 + x) = 12 + 3 = 15 olur. Bulunan 15 sonucu, 3'ün katı olduğundan, 23325 sayısı, 3 ile tam bölünebilir. (3 . 5 = 15) 2x325 sayısı, x = 3 için 3 ile tam bölünebiliyorsa, x değeri olan 3'ün 2 fazlası için, 2x325 sayısının 3 ile bölümünden kalan 2 olur. (3 + 2 = 5) x = 5 değeri için, 25325 sayısı istenen koşulu sağlar.
x = 6 için → (12 + x) = 12 + 6 = 18 olur. Bulunan 18 sonucu, 3'ün katı olduğundan, 26325 sayısı, 3 ile tam bölünebilir. (3 . 6 = 18) 2x325 sayısı, x = 6 için 3 ile tam bölünebiliyorsa, x değeri olan 6'nın 2 fazlası için, 2x325 sayısının 3 ile bölümünden kalan 2 olur. (6 + 2 = 8) x = 8 değeri için, 28325 sayısı istenen koşulu sağlar.
x = 9 için → (12 + x) = 12 + 9 = 21 olur. Bulunan 21 sonucu, 3'ün katı olduğundan, 29325 sayısı, 3 ile tam bölünebilir. (3 . 7 = 21) 2x325 sayısı, x = 9 için 3 ile tam bölünebiliyorsa, x değeri olan 9'un 2 fazlası için, 2x325 sayısının 3 ile bölümünden kalan 2 olur. (9 + 2 = 11) x = 2 değeri için, 22325 sayısı istenen koşulu sağlar.
29325 sayısının, rakamları toplamının 2 artması ve 3 ile bölümünden kalan sayının 2 olabilmesi için 9 rakamı, 11 olmalıdır. 9 rakamı 11 olamayacağı için, sayının 3 ile bölümünden kalanın 2 olma koşulu aranır. x = 2 değeri için bu koşul sağlanır. 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 şeklinde sıralanan rakamların, 9 rakamından sonra gelen ve 2x32y sayısının rakamları toplamının 3'ün katı olabilmesi açısından, 9'un değer olarak 2 fazlası olan sayı, 2 sayısıdır. 9 rakamından sonra gidilen sayılar için, toplam değer 2 artmalıdır. 9 rakamından sonra, 0 rakamına gidilmesi, toplama açısından etkisizdir. 0 rakamından 1'e gidilmesi, toplam değerini 1 arttırır. 1 rakamından 2'ye gidilmesi, toplam değerini 1 arttırır. Toplamda 1 + 1 = 2 değer artmış olur. Bulunan x = 2 değerinin koşulu sağlayıp sağlamadığına daha önceden bakılmıştır.
y = 5 için, x değerleri; 2 , 5 , 8 olabilir.
x + y nin olabileceği değerler:
2 + 5 = 7
5 + 5 = 10
8 + 5 = 13
y = 9 için
2x32y sayısının rakamları toplamı → 2 + x + 3 + 2 + 9 = (16 + x) olur.
(16 + x) değerinin, 3'ün katı olması için:
x = 2 için → (16 + x) = 16 + 2 = 18 olur. Bulunan 18 sonucu, 3'ün katı olduğundan, 22329 sayısı, 3 ile tam bölünebilir. (3 . 6 = 18) 2x329 sayısı, x = 2 için 3 ile tam bölünebiliyorsa, x değeri olan 2'nin 2 fazlası için, 3 ile bölümünden kalan 2 olur. (2 + 2 = 4) x = 4 değeri için, 24329 sayısı istenen koşulu sağlar.
x = 5 için → (16 + x) = 16 + 5 = 21 olur. Bulunan 21 sonucu, 3'ün katı olduğundan, 25329 sayısı, 3 ile tam bölünebilir. (3 . 7 = 21) 2x329 sayısı, x = 5 için 3 ile tam bölünebiliyorsa, x değeri olan 5'in 2 fazlası için, 3 ile bölümünden kalan 2 olur. (5 + 2 = 7) x = 7 değeri için, 27329 sayısı istenen koşulu sağlar.
x = 8 için → (16 + x) = 16 + 8 = 24 olur. Bulunan 24 sonucu, 3'ün katı olduğundan, 28329 sayısı, 3 ile tam bölünebilir. (3 . 8 = 24) 2x329 sayısı, x = 8 için 3 ile tam bölünebiliyorsa, x değeri olan 8'in 2 fazlası için, 3 ile bölümünden kalan 2 olur. (8 + 2 = 10) x = 1 değeri için, 21329 sayısı istenen koşulu sağlar.
28329 sayısının, rakamları toplamının 2 artması ve 3 ile bölümünden kalan sayının 2 olabilmesi için 8 rakamı, 10 olmalıdır. 8 rakamı 10 olamayacağı için, sayının 3 ile bölümünden kalanın 2 olma koşulu aranır. x = 1 değeri için bu koşul sağlanır. 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 şeklinde sıralanan rakamların, 8 rakamından sonra gelen ve 2x32y sayısının rakamları toplamının 3'ün katı olabilmesi açısından, 8'in değer olarak 2 fazlası olan sayı, 1 sayısıdır. 8 rakamından sonra gidilen sayılar için, toplam değer 2 artmalıdır. 8 rakamından sonra, 9 rakamına gidilmesi, toplam değerini 1 arttırır. 9 rakamından sonra, 0 rakamına gidilmesi, toplama açısından etkisizdir. 0 rakamından 1'e gidilmesi, toplam değerini 1 arttırır. Toplamda 1 + 1 = 2 değer artmış olur.
y = 9 için, x değerleri; 4 , 7 , 1 olabilir.
x + y nin olabileceği değerler:
4 + 9 = 13
7 + 9 = 16
1 + 9 = 10
x + y 'nin alabileceği en büyük değer 16 sayısıdır.
Cevap: 16
5 ile bölünebilme kuralları ve 5 ile bölünen sayıların kalan:
Birler basamağında 5'ten küçük rakamların olduğu sayıların, 5 ile bölümünden kalan:
Son rakamı 0 olan sayılar, 5 ile tam bölündüğünden, 5'ten küçük rakamlar 4 , 3 , 2 ve 1 olur.
Son rakamı 1 olan sayıların, 5 ile bölümünden kalan 1'dir.
Son rakamı 2 olan sayıların, 5 ile bölümünden kalan 2'dir.
Son rakamı 3 olan sayıların, 5 ile bölümünden kalan 3'tür.
Son rakamı 4 olan sayıların, 5 ile bölümünden kalan 4'tür.
Birler basamağında 5'ten büyük rakamların olduğu sayıların, 5 ile bölümünden kalan, son rakamın, 5 ile bölümünden kalandır. 5'ten büyük rakamlar 6 , 7 , 8 ve 9'dur.
Son rakamı 6 olan sayıların, 5 ile bölümünden kalan 1'dir.
Son rakamı 7 olan sayıların, 5 ile bölümünden kalan 2'dir.
Son rakamı 8 olan sayıların, 5 ile bölümünden kalan 3'tür.
Son rakamı 9 olan sayıların, 5 ile bölümünden kalan 4'tür.
Örnek:
Üç basamaklı 6ab doğal sayısının 5 ile bölümünden kalan 1 dir.
Bu sayı 3 ile kalansız bölünebildiğine göre,
a.b çarpımının alabileceği kaç farklı değer vardır? (kaynak: Supara)
Çözüm:
5 ile tam bölünebilen bir sayının ilk rakamı, 0 veya 5 olmalıdır.
5 ile bölümünden kalanı 1 olan bir sayının ilk rakamı, 0 sayısının 1 fazlası olan 1 sayısı (0 + 1 = 1) veya 5 rakamının 1 fazlası olan 6 sayısı (5 + 1 = 6) olmalıdır.
6ab doğal sayısı, 5 ile bölündüğünde 1 kalanı veriyorsa, ilk rakamı olan b sayısı 1 veya 6 olabilir.
b sayısının, 1 ve 6 değerleri için, 6ab sayısının 3 ile tam bölünüp bölünemediğine bakılır.
6ab sayısının, 3 ile tam bölünebilmesi için rakamları toplamı 3'ün katı olmalıdır.
b = 1 için
6a1 sayısının rakamları toplanır. 6 + a + 1 = (7 + a)
(7 + a) değerinin 3'ün katı olabilmesi için:
a = 2 için → (7 + a) → 7 + 2 = 9 olur. 9 sayısı, 3'ün katı olduğundan (3 . 3 = 9), 621 sayısı 3 ile tam bölünebilir.
Not:
7 + a değerinin, 3'ün katı olabilmesi için, a nın alabileceği en küçük değer 2 sayısıdır. a nın 2 değeri için, 6a1 sayısının rakamları toplamı 3'ün katı ise, (2 + 3 = 5) ve (5 + 3 = 8) değerleri için de 3'ün katı olmalıdır. a sayısı bir rakam olduğundan, iki basamaklı (8 + 3 = 11) değeri, a rakamı olamaz.
a = 5 için → (7 + a) → 7 + 5 = 12 olur. 12 sayısı, 3'ün katı olduğundan (3 . 4 = 12), 651 sayısı 3 ile tam bölünebilir.
a = 8 için → (7 + a) → 7 + 8 = 15 olur. 15 sayısı, 3'ün katı olduğundan (3 . 5 = 15), 681 sayısı 3 ile tam bölünebilir.
b = 1 için, a değeri 2 , 5 veya 8 olabilir.
a.b çarpımının alabileceği değerler:
2 . 1 = 2
5 . 1 = 5
8 . 1 = 8
olmak üzere, 3 farklı değer alabilir.
b = 6 için
6a6 sayısının rakamları toplanır. 6 + a + 6 = (12 + a)
(12 + a) değerinin 3'ün katı olabilmesi için:
a = 0 için → (12 + a) → 12 + 0 = 12 olur. 12 sayısı, 3'ün katı olduğundan (3 . 4 = 12), 606 sayısı 3 ile tam bölünebilir.
Not:
12 + a değerinin, 3'ün katı olabilmesi için, a nın alabileceği en küçük değer 0 sayısıdır. a nın 0 değeri için, 6a6 sayısının rakamları toplamı 3'ün katı ise, (0 + 3 = 3) ve (3 + 3 = 6) ve (6 + 3 = 9) değerleri için de 3'ün katı olmalıdır. a sayısı bir rakam olduğundan, iki basamaklı (9 + 3 = 12) değeri, a rakamı olamaz.
a = 3 için → (12 + 3) → 12 + 3 = 15 olur. 15 sayısı, 3'ün katı olduğundan (3 . 5 = 15), 636 sayısı 3 ile tam bölünebilir.
a = 6 için → (12 + a) → 12 + 6 = 18 olur. 18 sayısı, 3'ün katı olduğundan (3 . 6 = 18), 666 sayısı 3 ile tam bölünebilir.
a = 9 için → (12 + a) → 12 + 9 = 21 olur. 21 sayısı, 3'ün katı olduğundan (3 . 7 = 21), 696 sayısı 3 ile tam bölünebilir.
b = 6 için, a değeri 0 , 3 , 6 veya 9 olabilir.
a.b çarpımının alabileceği değerler:
0 . 6 = 0
3 . 6 = 18
6 . 6 = 36
9 . 6 = 54
olmak üzere, 4 farklı değer alabilir.
a.b çarpımının alabileceği, 7 farklı değer vardır.
Cevap:7
6 ile bölünebilme kuralları:
Yukarıdaki resimde gösterilen:
1263 sayısının son rakamı 3'tür. Son rakamı tek sayı olan sayılar, 2 ile tam bölünemez. 1263 sayısı, 2'ye tam bölünemediği için, 6 sayısına da tam bölünemez.
106 sayısının son rakamı 6'dır. Son rakamı çift sayı olan sayılar, 2 ile tam bölünür. 106 sayısı, 2 ile tam bölünür.
106 sayısının rakamları toplamı, 1 + 0 + 6 = 7'dir. 7 sayısı, 3'e tam bölünemediği için, 106 sayısı da 3'e tam bölünemez.
2 ile tam bölünebilen 106 sayısı, 3 ile tam bölünemediği için, 6 ile tam bölünemez.
6 ile bölünebilme örnek:
Yukarıdaki resimde gösterilen:
9657930 sayısının son rakamı 0'dır. Son rakamı 0 olan sayılar, 2 ile tam bölünür.
9657930 sayısının son rakamı 0 olduğundan, 2 ile tam bölünür.
9657930 sayısının rakamları toplamı, 9 + 6 + 5 + 7 + 9 + 3 + 0 = 39 sayısıdır.
39 sayısı, 3 ile bölündüğünde kalan sayı 0 olduğundan, 9657930 sayısı 3 ile tam bölünür.
Hem 2 hem de 3 ile tam bölünebilen 9657930 sayısı, 6 ile de tam bölünür.
Örnek:
Beş basamaklı 1m43m sayısının 6 ile tam bölünebilmesi için
m yerine yazılabilecek farklı sayıların toplamı kaçtır? (Kaynak: Supara)
Çözüm:
6 ile bölünebilen bir sayı, hem 2 hem de 3 ile bölünebilir.
1m43m sayısı 2 ile bölünebiliyorsa, ilk rakamı olan m sayısı: 0 , 2 , 4 , 6 veya 8 olabilir. m sayısının alabileceği değerlere göre, 3 ile bölünüp bölünemediğine bakılır.
1m43m sayısı 3 ile bölünebiliyorsa, rakamları toplamı 3'ün katı olmalıdır.
m = 0 için
1m43m sayısının rakamları toplamı → 1 + 0 + 4 + 3 + 0 = 8 olur.
8 sayısı, 3'ün katı olmadığından m = 0 olamaz.
m = 2 için
1m43m → 1 + 2 + 4 + 3 + 2 = 12 olur.
12 sayısı, 3'ün 4. katı olduğundan (3 . 4 = 12) m = 2 olabilir.
m = 2 değeri için yazılan 12432 sayısı, hem 2 hem de 3 ile bölünebildiğinden, 6 ile de bölünebilir.
m = 4 için
1m43m → 1 + 4 + 4 + 3 + 4 = 16 olur.
16 sayısı, 3'ün katı olmadığından m = 4 olamaz.
m = 6 için
1m43m → 1 + 6 + 4 + 3 + 6 = 20 olur.
20 sayısı, 3'ün katı olmadığından m = 6 olamaz.
m = 8 için
1m43m → 1 + 8 + 4 + 3 + 8 = 24 olur.
24 sayısı, 3'ün 8. katı olduğundan (3 . 8 = 24) m = 8 olabilir.
m = 8 değeri için yazılan 18438 sayısı, hem 2 hem de 3 ile bölünebildiğinden, 6 ile de bölünebilir.
m rakamının 2 ve 8 değerleri için, 1m43m sayısı, hem 2 ile hem 3 ile bölünebilir.
2 + 8 = 10
Cevap: 10
8 ile bölünebilme örnek:
Not:
Son üç rakamı 000 olan sayılar, 8 ile tam bölünür.
Örneğin:
109721000 sayısı, 8 ile tam bölünür. Sayının son dört hanesi olan 1000, 8 sayısının 125. katıdır.
Bir sayının 8 ile bölümünden kalan sayı, son üç rakamının oluşturduğu sayının, 8 ile bölümünden kalan sayıdır.
Örnek:
a = 987654
olduğuna göre a³ + 2a + 1 sayısının 8 ile bölümünden kalan kaçtır? (kaynak: Supara)
Çözüm:
a³ + 2a + 1 sayısı (a³ + 2a) + 1 şeklinde düşünülürse;
a sayısı ve (a³ + 2a) sayısı, birbirinden farklı sayılardır. a sayısının 8 ile bölümünden kalan bulunursa, (a³ + 2a) sayısının 8 ile bölümünden kalan bulunabilir.
Aynı sayıya bölünen farklı sayıların kalan ilişkilerinde, işlemler, kalan sayılar ile yapılabilir.
a = 987654 sayısının, 8 ile bölümünden kalan bulunur.
Kalan sayı, a sayısı kabul edilerek, (a³ + 2a) sayısının 8 ile bölümünden kalan bulunur.
987654 sayısının 8 ile bölümünden kalanı bulmak için, son üç rakamına bakılır. Son üç rakamında bulunan 654 sayısının 8 ile bölümünden kalan, 987654 sayısının 8 ile bölümünden kalan olur.
654 sayısı 8 ile bölündüğünde 6 kalanını verdiğinden, 987654 sayısının 8 ile bölümünden kalan 6 dır.
a = 6 kabul edilir.
(a³ + 2a) → (a . a . a) + (2 . a) → (6 . 6 . 6) + (2 . 6) → 216 + 12 = 228
(a³ + 2a) işleminin sonucu, 8 sayısından küçük olsaydı, bulunan sonuç; (a³ + 2a) sayısının 8 ile bölümünden kalan olacaktı.
(a³ + 2a) işleminin sonucu olan 228 sayısı, 8 sayısından büyük olduğundan, 228 sayısının 8 ile bölümünden kalan bulunur.
228 sayısının 8 ile bölümünden kalan, (a³ + 2a) sayısının 8 ile bölümünden kalan olur.
228 sayısı 8 ile bölündüğünde 4 kalanını verir.
(a³ + 2a) sayısı, 8 ile bölündüğünde 4 kalanını veriyorsa, 1 fazlası olan a³ + 2a + 1 sayısı 5 kalanını verir.
Cevap: 5
9 ile bölünebilme örnek:
9 ile bölünebilme örnek:
Bir sayının 9 ile bölümünden kalan, sayının rakamları toplamının 9 ile bölümünden kalan sayıdır.
Örnek:
Üç basamaklı x8y doğal sayısının 9 ile bölümünden kalan 2 olduğuna göre,
altı basamaklı 32xy54 doğal sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır? (kaynak: Supara)
Çözüm:
9 ile tam bölünebilen bir sayının, rakamları toplamı 9'un katıdır.
9 ile bölündüğünde 2 kalanını veren bir sayının, rakamları toplamı, 9'un herhangi bir katının 2 fazlasıdır.
x8y sayısının 9 ile bölümünden kalan 2 ise:
x + 8 + y rakamları toplamı, 9'un 1. katının (9 . 1 = 9), 2 fazlası olmalıdır:
x + 8 + y = 9 + 2
x + 8 + y = 11
x + y = 11 - 8
x + y = 3
x + y = 3 için
32xy54 sayısının rakamları toplamı 3 + 2 + x + y + 5 + 4 = 14 + 3 = 17 olur.
17 sayısının 9 ile bölümünden kalan, 32xy54 sayısının 9 ile bölümünden kalandır.
17 sayısı 9 ile bölünürse, 8 kalanını verir.
x + 8 + y rakamları toplamı, 9'un 2. katının (9 . 2 = 18), 2 fazlası olmalıdır:
x + 8 + y = 18 + 2
x + 8 + y = 20
x + y = 20 - 8
x + y = 12
x + y = 12 için
32xy54 sayısının rakamları toplamı 3 + 2 + x + y + 5 + 4 = 14 + 12 = 26 olur.
26 sayısının 9 ile bölümünden kalan, 32xy54 sayısının 9 ile bölümünden kalandır.
26 sayısı 9 ile bölünürse, 8 kalanını verir.
x + 8 + y rakamları toplamı, 9'un 3. katının (9 . 3 = 27), 2 fazlası olmalıdır:
x + 8 + y = 27 + 2
x + 8 + y = 29
x + y = 29 - 8
x + y = 21
x + y toplamının 21 değeri, iki rakamın toplamı 18 sayısından büyük olamayacağı için mümkün değildir. (9 + 9 = 18)
Koşulu sağlayan x + y toplamının, 3 ve 12 değerlerinin her ikisi için de, 32xy54 sayısı 9 ile bölündüğünde 8 kalanını verdiğinden, cevap 8 sayısıdır.
Cevap: 8
10 ile bölünebilme kuralları:
Bir sayının, 10 ile bölümünden kalan, sayının son rakamında olan sayıdır.
Bir sayının, 10 ile bölümünden kalan sayı:
10 ile bölünen sayılarda, kalan sayıyı bulmak için alternatif yöntem:
Sayıyı oluşturan rakamlar, en sağdaki rakamdan başlayarak, önce (+) sonra (-) sırası ile işaretlenir.
Sayı ef ise → f sayısı (+), e sayısı (-) olarak
Sayı def ise → f sayısı (+), e sayısı (-), d sayısı (+) olarak
Sayı cdef ise → f sayısı (+), e sayısı (-), d sayısı (+), c sayısı (-) olarak
Sayı bcdef ise → f sayısı (+), e sayısı (-), d sayısı (+), c sayısı (-), b sayısı (+) olarak
Sayı abcdef ise → f sayısı (+), e sayısı (-), d sayısı (+), c sayısı (-), b sayısı (+), a sayısı (-) olarak işaretlenir.
11 ile bölünebilme kuralları:
Çıkan sonuç 11 sayısının 1. katı ise:
Aşağıdaki örnekte, (+) ile işaretlenen sayılardan, (-) ile işaretlenen sayılar çıkarıldığında bulunan sonuç, 11 sayısıdır. 11 sayısı, 11 sayısının 1. katı olduğundan, 94754 sayısı 11 ile tam bölünür. 11 sayısı, 11 sayısına tam bölündüğünden, 94754 sayısı 11 ile tam bölünür de denilebilir
11 ile bölünebilme kuralları örnek:
Çıkan sonuç 11 sayısının 2. katı veya diğer katları ise:
Aşağıdaki örnekte, (+) ile işaretlenen sayılardan, (-) ile işaretlenen sayılar çıkarıldığında bulunan sonuç, 22 sayısıdır. 22 sayısı, 11 sayısının 2. katı olduğundan, 81917 sayısı 11 ile tam bölünür. 22 sayısı, 11 sayısına tam bölündüğünden, 81917 sayısı 11 ile tam bölünür de denilebilir.
11 ile bölünebilme kuralları örnek:
Çıkan sonuç 0 (sıfır) ise:
Aşağıdaki örnekte, (+) ile işaretlenen sayılardan, (-) ile işaretlenen sayılar çıkarıldığında bulunan sonuç, 0 (sıfır) sayısıdır. İşlemin sonucu 0 (sıfır) ise, sayı 11 ile tam bölünür. 10 - 10 = 0 işleminin sonucu 0 olduğundan, 3674 sayısı 11 ile tam bölünür.
11 ile bölünebilme kuralları örnek:
Çıkan negatif (-) sonuç, 11 ile toplandığında 0 ise:
Aşağıdaki örnekte, (+) ile işaretlenen sayılardan, (-) ile işaretlenen sayılar çıkarıldığında bulunan sonuç, (-11) sayısıdır. İşlemin sonucu negatif (-) ise, sonuç, 11 ile toplanır. İşlemin sonucu olan (-11) ile 11 sayısı toplandığında (-11) + 11 = 0 sonucu bulunur. Bir önceki örnekte olduğu gibi, işlemin sonucu 0 olduğundan, 19492 sayısı 11 ile tam bölünür.
11 ile bölünebilme kuralları örnek:
Bir sayının 11 ile bölümünden kalan (Sonuç 11'den büyükse):
Bir sayının 11 ile bölümünden kalan, (+) ile işaretlenen sayılardan, (-) ile işaretlenen sayılar çıkarıldığında bulunan sonucun, 11 ile bölümünden kalan sayıdır.
Bir sayının, 11 ile bölümünden kalan sayı:
Bir sayının 11 ile bölümünden kalan (Sonuç 11'den küçükse):
Bir sayının 11 ile bölümünden kalan sayı bulunurken, (+) ile işaretlenen sayılardan, (-) ile işaretlenen sayılar çıkarıldığında bulunan sonuç, 11 sayısından küçükse, bulunan sonuç, sayının 11 ile bölümünden kalandır.
Bir sayının, 11 ile bölümünden kalan sayı:
Bir sayının 11 ile bölümünden kalan (Sonuç negatif (-) ise):
Aşağıdaki örnekte, (+) ile işaretlenen sayılardan, (-) ile işaretlenen sayılar çıkarıldığında bulunan sonuç, (-10) sayısıdır. İşlemin sonucu negatif (-) ise, sonuç, 11 ile toplanır. İşlemin sonucu olan (-10) ile 11 sayısı toplandığında (-10) + 11 = 1 sonucu bulunur. Bir önceki örnekte olduğu gibi, sonuç 11 sayısından küçük olduğundan, bulunan 1 sonucu, 27182 sayısının 11 ile bölümünden kalandır.
Bir sayının, 11 ile bölümünden kalan sayı:
Bir sayının 11 ile bölümünden kalan (Sonuç (-11)'den küçük ise):
Aşağıdaki örnekte, (+) ile işaretlenen sayılardan, (-) ile işaretlenen sayılar çıkarıldığında bulunan sonuç, (-14) sayısıdır. İşlemin sonucu negatif (-) ise, sonuç, 11 ile toplanır. İşlemin sonucu olan (-14) ile 11 sayısı toplandığında (-14) + 11 = (-3) sonucu bulunur. (-3) sonucu da negatif (-) olduğundan, tekrar 11 ile toplanır. (-3) + 11 = 8 sonucu bulunur. 8 sonucu, 11 sayısından küçük olduğundan, bulunan 8 sonucu, 8291 sayısının 11 ile bölümünden kalandır.
Bir sayının, 11 ile bölümünden kalan sayı:
Örnek:
Dört basamaklı a23b sayısının 10 ile bölümünden kalan 5 tir.
Bu sayının 11 ile kalansız bölünebilmesi için a kaç olmalıdır? (kaynak: Supara)
Çözüm:
Bir sayının 10 ile bölümünden kalan, sayının ilk rakamındaki sayıdır.
a23b sayısı 10 ile bölündüğünde 5 kalanını veriyorsa, ilk rakamı olan b sayısı, 5 olmalıdır.
b = 5 için
a23b sayısı a235 olur.
a235 sayısının 11 ile tam bölünebilmesi için, rakamları sağdan başlayarak (+) ve (-) olarak işaretlendikten sonra, (+) işaretli sayıların toplamından, (-) işaretli sayıların toplamı çıkarıldığında, bulunan sonuç, 0 (sıfır) veya 11 sayısının pozitif (+) yada (-) negatif bir katı olmalıdır.
a235
(+) işaretli sayılar 2 ve 5 sayılarıdır. (+) işaretli sayıların toplamı 2 + 5 = 7 dir.
a235
(-) işaretli sayılar 3 ve a sayılarıdır. (-) işaretli sayıların toplamı a + 3 değeridir.
(+) işaretli sayıların toplamından, (-) işaretli sayıların toplamı çıkarılır.
7 - (a + 3) = ?
işleminin sonucu, 0 (sıfır) veya 11 sayısının pozitif (+) yada negatif (-) bir katı olursa, a235 sayısı 11 ile tam bölünür.
7 sayısından çıkarılan (a + 3) değeri için işlem sonucu, 11 sayısının pozitif (+) bir katı olamaz.
a rakamının alabileceği en büyük değer olan 9 için:
7 - (a + 3) → 7 - (9 + 3) → 7 - (12) = (-5) olur. (-5) sayısı, 11 sayısının negatif (-) bir katı değildir.
7 - (a + 3) = ? işlemi, 0 (sıfır) sonucu için, 11 ile tam bölünmelidir.
7 - (a + 3) = 0 ise:
(a + 3) değeri 7 olmalıdır. (7 - 7 = 0)
a + 3 = 7
a = 7 - 3
a = 4
a = 4 değeri için:
7 - (a + 3) = 0 olduğundan, a235 sayısı 11 ile tam bölünür.
Cevap: 4
Bölüm Konuları:
Bölünebilme Kuralları
2 ile Bölünebilme , 3 ile Bölünebilme , 4 ile Bölünebilme
5 ile Bölünebilme , 6 ile Bölünebilme , 8 ile Bölünebilme
9 ile Bölünebilme , 10 ile Bölünebilme , 11 ile Bölünebilme
2 ile Bölünebilme
Son rakamları 0 , 2 , 4 , 6 veya 8 olan sayılar, 2 ile tam bölünür. 2 ile bölünebilen sayıların, birler basamağında, çift sayılar vardır.Son rakamları 1 , 3 , 5 , 7 veya 9 olan tek sayıların, 2 ile bölümünden kalan 1'dir.
- Son rakamı çift sayı olan sayılar, 2 ile tam bölünür.
- Son rakamı tek sayı olan sayılar, 2 ile bölündüğünde, kalan sayı 1 olur.
3 ile Bölünebilme
Rakamları toplamı, 3 sayısının katı olan sayılar, 3 ile tam bölünür.- 3'ün katı olan sayı, 3 ile tam bölünen sayıdır.
- Sayının rakamları toplanır.
- Bulunan sonuç 3'e bölünür.
- Kalan sayı sıfır (0) ise, sayı 3 ile tam bölünür.
Bir sayının 3 ile bölümünden kalan, sayının rakamları toplamının 3 ile bölümünden kalan sayıdır.
- Sayının rakamları toplanır.
- Bulunan sonuç 3'e bölünür.
- Kalan sayı, sayının 3 ile bölümünden kalandır.
4 ile Bölünebilme
Son iki rakamı, 4 sayısının katı olan sayılar, 4 ile tam bölünür.- 4'ün katı olan sayı, 4 ile tam bölünen sayıdır.
- Sayının son iki rakamına bakılır.
- Son iki rakamdaki sayı 4'e bölünür.
- Kalan sayı sıfır (0) ise, sayı 4 ile tam bölünür.
Not:
Son iki rakamı 00 olan sayılar, 4 ile tam bölünür.
Örneğin:
9562187300 sayısı, 4 ile tam bölünür. Sayının son üç hanesi olan 300, 4 sayısının 75. katıdır.
Bir sayının 4 ile bölümünden kalan sayı, son iki rakamının oluşturduğu sayının, 4 ile bölümünden kalan sayıdır.
- Sayının son iki rakamına bakılır.
- Son iki rakamdaki sayı 4'e bölünür.
- Kalan sayı, sayının 4 ile bölümünden kalandır.
Örnek:
Beş basamaklı 2x32y sayısının 4 ile bölümünden kalan 1 dir.
Aynı sayının 3 ile bölümünden kalan 2 olduğuna göre,
x + y nin alabileceği en büyük değer kaçtır? (kaynak: Supara)
Çözüm:
4 ile bölünebilen bir sayının, son iki rakamındaki sayı, 4'ün katı olmalıdır. 4 ile bölümünden kalanın 1 olması için, son iki rakamındaki sayının, 4 'ün katının 1 fazlası olması gerekir.
2x32y sayısının 4 ile tam bölünmesi için:
2x32y sayısının, son iki rakamındaki sayı 2y sayısıdır.
y = 0 için, 2y sayısı 20 olur. 20 sayısı 4'ün 5. katı olduğundan 4 ile tam bölünür. (4 . 5 = 20)
20 sayısının 1 fazlası 20 + 1 = 21 sayısıdır. 21 sayısı 4 ile bölündüğünde 1 kalanını verir.
y = 1 değeri için, 21 sayısı istenen koşulu sağlar.
y = 4 için, 2y sayısı 24 olur. 24 sayısı 4'ün 6. katı olduğundan 4 ile tam bölünür. (4 . 6 = 24)
24 sayısının 1 fazlası 24 + 1 = 25 sayısıdır. 25 sayısı 4 ile bölündüğünde 1 kalanını verir.
y = 5 değeri için, 25 sayısı istenen koşulu sağlar.
y = 8 için, 2y sayısı 28 olur. 28 sayısı 4'ün 7. katı olduğundan 4 ile tam bölünür. (4 . 7 = 28)
28 sayısının 1 fazlası 28 + 1 = 29 sayısıdır. 29 sayısı 4 ile bölündüğünde 1 kalanını verir.
y = 9 değeri için, 29 sayısı istenen koşulu sağlar.
2x32y sayısı 4 ile bölündüğünde 1 kalanın veriyorsa, y sayısı; 1 , 5 veya 9 olabilir. y sayısının alabileceği değerlere göre, 2x32y sayısının, 3 ile bölündüğünde 2 kalanı verip vermediğine bakılır.
Bir sayının 3 ile tam bölünebilmesi için rakamları toplamının, 3'ün katı olması gerekir.
y = 1 için
2x32y sayısının rakamları toplamı → 2 + x + 3 + 2 + 1 = (8 + x) olur.
(8 + x) değerinin, 3'ün katı olması için:
x = 1 için → (8 + x) = 8 + 1 = 9 olur. Bulunan 9 sonucu, 3'ün katı olduğundan, 21321 sayısı, 3 ile tam bölünebilir. (3 . 3 = 9) 2x321 sayısı, x = 1 için 3 ile tam bölünebiliyorsa, x değeri olan 1'in 2 fazlası için, 2x321 sayısının 3 ile bölümünden kalan 2 olur. (1 + 2 = 3) x = 3 değeri için, 23321 sayısı istenen koşulu sağlar.
x = 4 için → (8 + x) = 8 + 4 = 12 olur. Bulunan 12 sonucu, 3'ün katı olduğundan, 24321 sayısı, 3 ile tam bölünebilir. (3 . 4 = 12) 2x321 sayısı, x = 4 için 3 ile tam bölünebiliyorsa, x değeri olan 4'ün 2 fazlası için, 2x321 sayısının 3 ile bölümünden kalan 2 olur. (4 + 2 = 6) x = 6 değeri için, 26321 sayısı istenen koşulu sağlar.
x = 7 için → (8 + x) = 8 + 7 = 15 olur. Bulunan 15 sonucu, 3'ün katı olduğundan, 27321 sayısı, 3 ile tam bölünebilir. (3 . 5 = 15) 2x321 sayısı, x = 7 için 3 ile tam bölünebiliyorsa, x değeri olan 7'nin 2 fazlası için, 2x321 sayısının 3 ile bölümünden kalan 2 olur. (7 + 2 = 9) x = 9 değeri için, 29321 sayısı istenen koşulu sağlar.
x = 0 için → (8 + x) = 8 + 0 = 8 olur. Bulunan 8 sonucunun, 3 ile bölümünden kalan 2'dir. x = 0 değeri için, 20321 sayısı istenen koşulu sağlar. Bir önceki x değeri olan 7'ye 3 eklendiğinde, 10 sayısı bulunduğu için, x = 0 değeri için de koşulun sağlanıp sağlanmadığına bakılır. 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 rakamları için, 7 rakamının 3 sıra sonrasında, 0 rakamı vardır. Rakam sırasına göre, bir rakam 3 ile toplandığında, rakam sırası, 3 sıra ileri gider. x = 0 değeri için, istenen koşul sağlandığından, x = 0 değerine 3 eklenip koşulun sağlanıp sağlanmadığına da bakılmalıdır. x = 0 değerine 3 eklendiğine, 3 sayısı bulunur. Bulunan x = 3 değerinin koşulu sağlayıp sağlamadığına daha önceden bakılmıştır.
y = 1 için, x değerleri; 3 , 6 , 9 ve 0 olabilir.
x + y nin olabileceği değerler:
3 + 1 = 4
6 + 1 = 7
9 + 1 = 10
y = 5 için
2x32y sayısının rakamları toplamı → 2 + x + 3 + 2 + 5 = (12 + x) olur.
(12 + x) değerinin, 3'ün katı olması için:
x = 0 için → (12 + x) = 12 + 0 = 12 olur. Bulunan 12 sonucu, 3'ün katı olduğundan, 20325 sayısı, 3 ile tam bölünebilir. (3 . 4 = 12) 2x325 sayısı, x = 0 için 3 ile tam bölünebiliyorsa, x değeri olan 0'ın 2 fazlası için, 2x325 sayısının 3 ile bölümünden kalan 2 olur. (0 + 2 = 2) x = 2 değeri için, 22325 sayısı istenen koşulu sağlar.
x = 3 için → (12 + x) = 12 + 3 = 15 olur. Bulunan 15 sonucu, 3'ün katı olduğundan, 23325 sayısı, 3 ile tam bölünebilir. (3 . 5 = 15) 2x325 sayısı, x = 3 için 3 ile tam bölünebiliyorsa, x değeri olan 3'ün 2 fazlası için, 2x325 sayısının 3 ile bölümünden kalan 2 olur. (3 + 2 = 5) x = 5 değeri için, 25325 sayısı istenen koşulu sağlar.
x = 6 için → (12 + x) = 12 + 6 = 18 olur. Bulunan 18 sonucu, 3'ün katı olduğundan, 26325 sayısı, 3 ile tam bölünebilir. (3 . 6 = 18) 2x325 sayısı, x = 6 için 3 ile tam bölünebiliyorsa, x değeri olan 6'nın 2 fazlası için, 2x325 sayısının 3 ile bölümünden kalan 2 olur. (6 + 2 = 8) x = 8 değeri için, 28325 sayısı istenen koşulu sağlar.
x = 9 için → (12 + x) = 12 + 9 = 21 olur. Bulunan 21 sonucu, 3'ün katı olduğundan, 29325 sayısı, 3 ile tam bölünebilir. (3 . 7 = 21) 2x325 sayısı, x = 9 için 3 ile tam bölünebiliyorsa, x değeri olan 9'un 2 fazlası için, 2x325 sayısının 3 ile bölümünden kalan 2 olur. (9 + 2 = 11) x = 2 değeri için, 22325 sayısı istenen koşulu sağlar.
29325 sayısının, rakamları toplamının 2 artması ve 3 ile bölümünden kalan sayının 2 olabilmesi için 9 rakamı, 11 olmalıdır. 9 rakamı 11 olamayacağı için, sayının 3 ile bölümünden kalanın 2 olma koşulu aranır. x = 2 değeri için bu koşul sağlanır. 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 şeklinde sıralanan rakamların, 9 rakamından sonra gelen ve 2x32y sayısının rakamları toplamının 3'ün katı olabilmesi açısından, 9'un değer olarak 2 fazlası olan sayı, 2 sayısıdır. 9 rakamından sonra gidilen sayılar için, toplam değer 2 artmalıdır. 9 rakamından sonra, 0 rakamına gidilmesi, toplama açısından etkisizdir. 0 rakamından 1'e gidilmesi, toplam değerini 1 arttırır. 1 rakamından 2'ye gidilmesi, toplam değerini 1 arttırır. Toplamda 1 + 1 = 2 değer artmış olur. Bulunan x = 2 değerinin koşulu sağlayıp sağlamadığına daha önceden bakılmıştır.
y = 5 için, x değerleri; 2 , 5 , 8 olabilir.
x + y nin olabileceği değerler:
2 + 5 = 7
5 + 5 = 10
8 + 5 = 13
y = 9 için
2x32y sayısının rakamları toplamı → 2 + x + 3 + 2 + 9 = (16 + x) olur.
(16 + x) değerinin, 3'ün katı olması için:
x = 2 için → (16 + x) = 16 + 2 = 18 olur. Bulunan 18 sonucu, 3'ün katı olduğundan, 22329 sayısı, 3 ile tam bölünebilir. (3 . 6 = 18) 2x329 sayısı, x = 2 için 3 ile tam bölünebiliyorsa, x değeri olan 2'nin 2 fazlası için, 3 ile bölümünden kalan 2 olur. (2 + 2 = 4) x = 4 değeri için, 24329 sayısı istenen koşulu sağlar.
x = 5 için → (16 + x) = 16 + 5 = 21 olur. Bulunan 21 sonucu, 3'ün katı olduğundan, 25329 sayısı, 3 ile tam bölünebilir. (3 . 7 = 21) 2x329 sayısı, x = 5 için 3 ile tam bölünebiliyorsa, x değeri olan 5'in 2 fazlası için, 3 ile bölümünden kalan 2 olur. (5 + 2 = 7) x = 7 değeri için, 27329 sayısı istenen koşulu sağlar.
x = 8 için → (16 + x) = 16 + 8 = 24 olur. Bulunan 24 sonucu, 3'ün katı olduğundan, 28329 sayısı, 3 ile tam bölünebilir. (3 . 8 = 24) 2x329 sayısı, x = 8 için 3 ile tam bölünebiliyorsa, x değeri olan 8'in 2 fazlası için, 3 ile bölümünden kalan 2 olur. (8 + 2 = 10) x = 1 değeri için, 21329 sayısı istenen koşulu sağlar.
28329 sayısının, rakamları toplamının 2 artması ve 3 ile bölümünden kalan sayının 2 olabilmesi için 8 rakamı, 10 olmalıdır. 8 rakamı 10 olamayacağı için, sayının 3 ile bölümünden kalanın 2 olma koşulu aranır. x = 1 değeri için bu koşul sağlanır. 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 şeklinde sıralanan rakamların, 8 rakamından sonra gelen ve 2x32y sayısının rakamları toplamının 3'ün katı olabilmesi açısından, 8'in değer olarak 2 fazlası olan sayı, 1 sayısıdır. 8 rakamından sonra gidilen sayılar için, toplam değer 2 artmalıdır. 8 rakamından sonra, 9 rakamına gidilmesi, toplam değerini 1 arttırır. 9 rakamından sonra, 0 rakamına gidilmesi, toplama açısından etkisizdir. 0 rakamından 1'e gidilmesi, toplam değerini 1 arttırır. Toplamda 1 + 1 = 2 değer artmış olur.
y = 9 için, x değerleri; 4 , 7 , 1 olabilir.
x + y nin olabileceği değerler:
4 + 9 = 13
7 + 9 = 16
1 + 9 = 10
x + y 'nin alabileceği en büyük değer 16 sayısıdır.
Cevap: 16
5 ile Bölünebilme
Son rakamları 0 veya 5 olan sayılar, 5 ile tam bölünür. 5 ile bölünebilen sayıların, birler basamağında, 0 veya 5 rakamı vardır.5 ile bölünebilme kuralları ve 5 ile bölünen sayıların kalan:
- Sayının son iki rakamına bakılır.
- Son iki rakamdaki sayı 5'e bölünür.
- Kalan sayı, sayının 5 ile bölümünden kalandır.
Birler basamağında 5'ten küçük rakamların olduğu sayıların, 5 ile bölümünden kalan:
Son rakamı 0 olan sayılar, 5 ile tam bölündüğünden, 5'ten küçük rakamlar 4 , 3 , 2 ve 1 olur.
Son rakamı 1 olan sayıların, 5 ile bölümünden kalan 1'dir.
Son rakamı 2 olan sayıların, 5 ile bölümünden kalan 2'dir.
Son rakamı 3 olan sayıların, 5 ile bölümünden kalan 3'tür.
Son rakamı 4 olan sayıların, 5 ile bölümünden kalan 4'tür.
Birler basamağında 5'ten büyük rakamların olduğu sayıların, 5 ile bölümünden kalan, son rakamın, 5 ile bölümünden kalandır. 5'ten büyük rakamlar 6 , 7 , 8 ve 9'dur.
Son rakamı 6 olan sayıların, 5 ile bölümünden kalan 1'dir.
Son rakamı 7 olan sayıların, 5 ile bölümünden kalan 2'dir.
Son rakamı 8 olan sayıların, 5 ile bölümünden kalan 3'tür.
Son rakamı 9 olan sayıların, 5 ile bölümünden kalan 4'tür.
Örnek:
Üç basamaklı 6ab doğal sayısının 5 ile bölümünden kalan 1 dir.
Bu sayı 3 ile kalansız bölünebildiğine göre,
a.b çarpımının alabileceği kaç farklı değer vardır? (kaynak: Supara)
Çözüm:
5 ile tam bölünebilen bir sayının ilk rakamı, 0 veya 5 olmalıdır.
5 ile bölümünden kalanı 1 olan bir sayının ilk rakamı, 0 sayısının 1 fazlası olan 1 sayısı (0 + 1 = 1) veya 5 rakamının 1 fazlası olan 6 sayısı (5 + 1 = 6) olmalıdır.
6ab doğal sayısı, 5 ile bölündüğünde 1 kalanı veriyorsa, ilk rakamı olan b sayısı 1 veya 6 olabilir.
b sayısının, 1 ve 6 değerleri için, 6ab sayısının 3 ile tam bölünüp bölünemediğine bakılır.
6ab sayısının, 3 ile tam bölünebilmesi için rakamları toplamı 3'ün katı olmalıdır.
b = 1 için
6a1 sayısının rakamları toplanır. 6 + a + 1 = (7 + a)
(7 + a) değerinin 3'ün katı olabilmesi için:
a = 2 için → (7 + a) → 7 + 2 = 9 olur. 9 sayısı, 3'ün katı olduğundan (3 . 3 = 9), 621 sayısı 3 ile tam bölünebilir.
Not:
7 + a değerinin, 3'ün katı olabilmesi için, a nın alabileceği en küçük değer 2 sayısıdır. a nın 2 değeri için, 6a1 sayısının rakamları toplamı 3'ün katı ise, (2 + 3 = 5) ve (5 + 3 = 8) değerleri için de 3'ün katı olmalıdır. a sayısı bir rakam olduğundan, iki basamaklı (8 + 3 = 11) değeri, a rakamı olamaz.
a = 5 için → (7 + a) → 7 + 5 = 12 olur. 12 sayısı, 3'ün katı olduğundan (3 . 4 = 12), 651 sayısı 3 ile tam bölünebilir.
a = 8 için → (7 + a) → 7 + 8 = 15 olur. 15 sayısı, 3'ün katı olduğundan (3 . 5 = 15), 681 sayısı 3 ile tam bölünebilir.
b = 1 için, a değeri 2 , 5 veya 8 olabilir.
a.b çarpımının alabileceği değerler:
2 . 1 = 2
5 . 1 = 5
8 . 1 = 8
olmak üzere, 3 farklı değer alabilir.
b = 6 için
6a6 sayısının rakamları toplanır. 6 + a + 6 = (12 + a)
(12 + a) değerinin 3'ün katı olabilmesi için:
a = 0 için → (12 + a) → 12 + 0 = 12 olur. 12 sayısı, 3'ün katı olduğundan (3 . 4 = 12), 606 sayısı 3 ile tam bölünebilir.
Not:
12 + a değerinin, 3'ün katı olabilmesi için, a nın alabileceği en küçük değer 0 sayısıdır. a nın 0 değeri için, 6a6 sayısının rakamları toplamı 3'ün katı ise, (0 + 3 = 3) ve (3 + 3 = 6) ve (6 + 3 = 9) değerleri için de 3'ün katı olmalıdır. a sayısı bir rakam olduğundan, iki basamaklı (9 + 3 = 12) değeri, a rakamı olamaz.
a = 3 için → (12 + 3) → 12 + 3 = 15 olur. 15 sayısı, 3'ün katı olduğundan (3 . 5 = 15), 636 sayısı 3 ile tam bölünebilir.
a = 6 için → (12 + a) → 12 + 6 = 18 olur. 18 sayısı, 3'ün katı olduğundan (3 . 6 = 18), 666 sayısı 3 ile tam bölünebilir.
a = 9 için → (12 + a) → 12 + 9 = 21 olur. 21 sayısı, 3'ün katı olduğundan (3 . 7 = 21), 696 sayısı 3 ile tam bölünebilir.
b = 6 için, a değeri 0 , 3 , 6 veya 9 olabilir.
a.b çarpımının alabileceği değerler:
0 . 6 = 0
3 . 6 = 18
6 . 6 = 36
9 . 6 = 54
olmak üzere, 4 farklı değer alabilir.
a.b çarpımının alabileceği, 7 farklı değer vardır.
Cevap:7
6 ile Bölünebilme
2 . 3 = 6 olduğundan, bir sayının 6'ya tam bölünebilmesi için, 2 ve 3 sayılarının her ikisine de tam bölünebilmelidir. Hem 2 hem de 3 ile bölünebilen sayılar, 6 sayısına da bölünür.6 ile bölünebilme kuralları:
Yukarıdaki resimde gösterilen:
1263 sayısının son rakamı 3'tür. Son rakamı tek sayı olan sayılar, 2 ile tam bölünemez. 1263 sayısı, 2'ye tam bölünemediği için, 6 sayısına da tam bölünemez.
106 sayısının son rakamı 6'dır. Son rakamı çift sayı olan sayılar, 2 ile tam bölünür. 106 sayısı, 2 ile tam bölünür.
106 sayısının rakamları toplamı, 1 + 0 + 6 = 7'dir. 7 sayısı, 3'e tam bölünemediği için, 106 sayısı da 3'e tam bölünemez.
2 ile tam bölünebilen 106 sayısı, 3 ile tam bölünemediği için, 6 ile tam bölünemez.
6 ile bölünebilme örnek:
Yukarıdaki resimde gösterilen:
9657930 sayısının son rakamı 0'dır. Son rakamı 0 olan sayılar, 2 ile tam bölünür.
9657930 sayısının son rakamı 0 olduğundan, 2 ile tam bölünür.
9657930 sayısının rakamları toplamı, 9 + 6 + 5 + 7 + 9 + 3 + 0 = 39 sayısıdır.
39 sayısı, 3 ile bölündüğünde kalan sayı 0 olduğundan, 9657930 sayısı 3 ile tam bölünür.
Hem 2 hem de 3 ile tam bölünebilen 9657930 sayısı, 6 ile de tam bölünür.
Örnek:
Beş basamaklı 1m43m sayısının 6 ile tam bölünebilmesi için
m yerine yazılabilecek farklı sayıların toplamı kaçtır? (Kaynak: Supara)
Çözüm:
6 ile bölünebilen bir sayı, hem 2 hem de 3 ile bölünebilir.
1m43m sayısı 2 ile bölünebiliyorsa, ilk rakamı olan m sayısı: 0 , 2 , 4 , 6 veya 8 olabilir. m sayısının alabileceği değerlere göre, 3 ile bölünüp bölünemediğine bakılır.
1m43m sayısı 3 ile bölünebiliyorsa, rakamları toplamı 3'ün katı olmalıdır.
m = 0 için
1m43m sayısının rakamları toplamı → 1 + 0 + 4 + 3 + 0 = 8 olur.
8 sayısı, 3'ün katı olmadığından m = 0 olamaz.
m = 2 için
1m43m → 1 + 2 + 4 + 3 + 2 = 12 olur.
12 sayısı, 3'ün 4. katı olduğundan (3 . 4 = 12) m = 2 olabilir.
m = 2 değeri için yazılan 12432 sayısı, hem 2 hem de 3 ile bölünebildiğinden, 6 ile de bölünebilir.
m = 4 için
1m43m → 1 + 4 + 4 + 3 + 4 = 16 olur.
16 sayısı, 3'ün katı olmadığından m = 4 olamaz.
m = 6 için
1m43m → 1 + 6 + 4 + 3 + 6 = 20 olur.
20 sayısı, 3'ün katı olmadığından m = 6 olamaz.
m = 8 için
1m43m → 1 + 8 + 4 + 3 + 8 = 24 olur.
24 sayısı, 3'ün 8. katı olduğundan (3 . 8 = 24) m = 8 olabilir.
m = 8 değeri için yazılan 18438 sayısı, hem 2 hem de 3 ile bölünebildiğinden, 6 ile de bölünebilir.
m rakamının 2 ve 8 değerleri için, 1m43m sayısı, hem 2 ile hem 3 ile bölünebilir.
2 + 8 = 10
Cevap: 10
8 ile Bölünebilme
Son üç rakamı, 8 sayısının katı olan sayılar, 8 ile tam bölünür.- 8'in katı olan sayı, 8 ile tam bölünen sayıdır.
- Sayının son üç rakamına bakılır.
- Son üç rakamdaki sayı 8'e bölünür.
- Kalan sayı sıfır (0) ise, sayı 8 ile tam bölünür.
8 ile bölünebilme örnek:
Not:
Son üç rakamı 000 olan sayılar, 8 ile tam bölünür.
Örneğin:
109721000 sayısı, 8 ile tam bölünür. Sayının son dört hanesi olan 1000, 8 sayısının 125. katıdır.
Bir sayının 8 ile bölümünden kalan sayı, son üç rakamının oluşturduğu sayının, 8 ile bölümünden kalan sayıdır.
- Sayının son üç rakamına bakılır.
- Son üç rakamdaki sayı 8'e bölünür.
- Kalan sayı, sayının 8 ile bölümünden kalandır.
Örnek:
a = 987654
olduğuna göre a³ + 2a + 1 sayısının 8 ile bölümünden kalan kaçtır? (kaynak: Supara)
Çözüm:
a³ + 2a + 1 sayısı (a³ + 2a) + 1 şeklinde düşünülürse;
a sayısı ve (a³ + 2a) sayısı, birbirinden farklı sayılardır. a sayısının 8 ile bölümünden kalan bulunursa, (a³ + 2a) sayısının 8 ile bölümünden kalan bulunabilir.
Aynı sayıya bölünen farklı sayıların kalan ilişkilerinde, işlemler, kalan sayılar ile yapılabilir.
a = 987654 sayısının, 8 ile bölümünden kalan bulunur.
Kalan sayı, a sayısı kabul edilerek, (a³ + 2a) sayısının 8 ile bölümünden kalan bulunur.
987654 sayısının 8 ile bölümünden kalanı bulmak için, son üç rakamına bakılır. Son üç rakamında bulunan 654 sayısının 8 ile bölümünden kalan, 987654 sayısının 8 ile bölümünden kalan olur.
654 sayısı 8 ile bölündüğünde 6 kalanını verdiğinden, 987654 sayısının 8 ile bölümünden kalan 6 dır.
a = 6 kabul edilir.
(a³ + 2a) → (a . a . a) + (2 . a) → (6 . 6 . 6) + (2 . 6) → 216 + 12 = 228
(a³ + 2a) işleminin sonucu, 8 sayısından küçük olsaydı, bulunan sonuç; (a³ + 2a) sayısının 8 ile bölümünden kalan olacaktı.
(a³ + 2a) işleminin sonucu olan 228 sayısı, 8 sayısından büyük olduğundan, 228 sayısının 8 ile bölümünden kalan bulunur.
228 sayısının 8 ile bölümünden kalan, (a³ + 2a) sayısının 8 ile bölümünden kalan olur.
228 sayısı 8 ile bölündüğünde 4 kalanını verir.
(a³ + 2a) sayısı, 8 ile bölündüğünde 4 kalanını veriyorsa, 1 fazlası olan a³ + 2a + 1 sayısı 5 kalanını verir.
Cevap: 5
9 ile Bölünebilme
Rakamları toplamı, 9 sayısının katı olan sayılar, 9 ile tam bölünür.- 9'un katı olan sayı, 9 ile tam bölünen sayıdır.
- Sayının rakamları toplanır.
- Bulunan sonuç 9'a bölünür.
- Kalan sayı sıfır (0) ise, sayı 9 ile tam bölünür.
9 ile bölünebilme örnek:
9 ile bölünebilme örnek:
Bir sayının 9 ile bölümünden kalan, sayının rakamları toplamının 9 ile bölümünden kalan sayıdır.
- Sayının rakamları toplanır.
- Bulunan sonuç 9'a bölünür.
- Kalan sayı, sayının 9 ile bölümünden kalandır.
Örnek:
Üç basamaklı x8y doğal sayısının 9 ile bölümünden kalan 2 olduğuna göre,
altı basamaklı 32xy54 doğal sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır? (kaynak: Supara)
Çözüm:
9 ile tam bölünebilen bir sayının, rakamları toplamı 9'un katıdır.
9 ile bölündüğünde 2 kalanını veren bir sayının, rakamları toplamı, 9'un herhangi bir katının 2 fazlasıdır.
x8y sayısının 9 ile bölümünden kalan 2 ise:
x + 8 + y rakamları toplamı, 9'un 1. katının (9 . 1 = 9), 2 fazlası olmalıdır:
x + 8 + y = 9 + 2
x + 8 + y = 11
x + y = 11 - 8
x + y = 3
x + y = 3 için
32xy54 sayısının rakamları toplamı 3 + 2 + x + y + 5 + 4 = 14 + 3 = 17 olur.
17 sayısının 9 ile bölümünden kalan, 32xy54 sayısının 9 ile bölümünden kalandır.
17 sayısı 9 ile bölünürse, 8 kalanını verir.
x + 8 + y rakamları toplamı, 9'un 2. katının (9 . 2 = 18), 2 fazlası olmalıdır:
x + 8 + y = 18 + 2
x + 8 + y = 20
x + y = 20 - 8
x + y = 12
x + y = 12 için
32xy54 sayısının rakamları toplamı 3 + 2 + x + y + 5 + 4 = 14 + 12 = 26 olur.
26 sayısının 9 ile bölümünden kalan, 32xy54 sayısının 9 ile bölümünden kalandır.
26 sayısı 9 ile bölünürse, 8 kalanını verir.
x + 8 + y rakamları toplamı, 9'un 3. katının (9 . 3 = 27), 2 fazlası olmalıdır:
x + 8 + y = 27 + 2
x + 8 + y = 29
x + y = 29 - 8
x + y = 21
x + y toplamının 21 değeri, iki rakamın toplamı 18 sayısından büyük olamayacağı için mümkün değildir. (9 + 9 = 18)
Koşulu sağlayan x + y toplamının, 3 ve 12 değerlerinin her ikisi için de, 32xy54 sayısı 9 ile bölündüğünde 8 kalanını verdiğinden, cevap 8 sayısıdır.
Cevap: 8
10 ile Bölünebilme
Son rakamı 0 (sıfır) sayılar, 10 ile tam bölünür. 10 ile bölünebilen sayıların, birler basamağında, 0 sayısı vardır.10 ile bölünebilme kuralları:
Bir sayının, 10 ile bölümünden kalan, sayının son rakamında olan sayıdır.
Bir sayının, 10 ile bölümünden kalan sayı:
10 ile bölünen sayılarda, kalan sayıyı bulmak için alternatif yöntem:
- Sayının son iki rakamına bakılır.
- Son iki rakamdaki sayı 10'a bölünür.
- Kalan sayı, sayının 10 ile bölümünden kalandır.
11 ile Bölünebilme
11 ile tam bölünebilen bir sayının:Sayıyı oluşturan rakamlar, en sağdaki rakamdan başlayarak, önce (+) sonra (-) sırası ile işaretlenir.
Sayı ef ise → f sayısı (+), e sayısı (-) olarak
Sayı def ise → f sayısı (+), e sayısı (-), d sayısı (+) olarak
Sayı cdef ise → f sayısı (+), e sayısı (-), d sayısı (+), c sayısı (-) olarak
Sayı bcdef ise → f sayısı (+), e sayısı (-), d sayısı (+), c sayısı (-), b sayısı (+) olarak
Sayı abcdef ise → f sayısı (+), e sayısı (-), d sayısı (+), c sayısı (-), b sayısı (+), a sayısı (-) olarak işaretlenir.
11 ile bölünebilme kuralları:
- (+) ile işaretlenen sayılar toplanır.
- (-) ile işaretlenen sayılar toplanır.
- (+) ile işaretlenen sayılardan, (-) ile işaretlenen sayılar çıkarılır.
Çıkan sonuç 11 sayısının 1. katı ise:
Aşağıdaki örnekte, (+) ile işaretlenen sayılardan, (-) ile işaretlenen sayılar çıkarıldığında bulunan sonuç, 11 sayısıdır. 11 sayısı, 11 sayısının 1. katı olduğundan, 94754 sayısı 11 ile tam bölünür. 11 sayısı, 11 sayısına tam bölündüğünden, 94754 sayısı 11 ile tam bölünür de denilebilir
11 ile bölünebilme kuralları örnek:
Çıkan sonuç 11 sayısının 2. katı veya diğer katları ise:
Aşağıdaki örnekte, (+) ile işaretlenen sayılardan, (-) ile işaretlenen sayılar çıkarıldığında bulunan sonuç, 22 sayısıdır. 22 sayısı, 11 sayısının 2. katı olduğundan, 81917 sayısı 11 ile tam bölünür. 22 sayısı, 11 sayısına tam bölündüğünden, 81917 sayısı 11 ile tam bölünür de denilebilir.
11 ile bölünebilme kuralları örnek:
Çıkan sonuç 0 (sıfır) ise:
Aşağıdaki örnekte, (+) ile işaretlenen sayılardan, (-) ile işaretlenen sayılar çıkarıldığında bulunan sonuç, 0 (sıfır) sayısıdır. İşlemin sonucu 0 (sıfır) ise, sayı 11 ile tam bölünür. 10 - 10 = 0 işleminin sonucu 0 olduğundan, 3674 sayısı 11 ile tam bölünür.
11 ile bölünebilme kuralları örnek:
Çıkan negatif (-) sonuç, 11 ile toplandığında 0 ise:
Aşağıdaki örnekte, (+) ile işaretlenen sayılardan, (-) ile işaretlenen sayılar çıkarıldığında bulunan sonuç, (-11) sayısıdır. İşlemin sonucu negatif (-) ise, sonuç, 11 ile toplanır. İşlemin sonucu olan (-11) ile 11 sayısı toplandığında (-11) + 11 = 0 sonucu bulunur. Bir önceki örnekte olduğu gibi, işlemin sonucu 0 olduğundan, 19492 sayısı 11 ile tam bölünür.
11 ile bölünebilme kuralları örnek:
Bir sayının 11 ile bölümünden kalan (Sonuç 11'den büyükse):
Bir sayının 11 ile bölümünden kalan, (+) ile işaretlenen sayılardan, (-) ile işaretlenen sayılar çıkarıldığında bulunan sonucun, 11 ile bölümünden kalan sayıdır.
- (+) ile işaretlenen sayılardan, (-) ile işaretlenen sayılar çıkarılır.
- Bulunan sonuç 11'e bölünür.
- Kalan sayı, sayının 11 ile bölümünden kalandır.
Bir sayının, 11 ile bölümünden kalan sayı:
Bir sayının 11 ile bölümünden kalan (Sonuç 11'den küçükse):
Bir sayının 11 ile bölümünden kalan sayı bulunurken, (+) ile işaretlenen sayılardan, (-) ile işaretlenen sayılar çıkarıldığında bulunan sonuç, 11 sayısından küçükse, bulunan sonuç, sayının 11 ile bölümünden kalandır.
- (+) ile işaretlenen sayılardan, (-) ile işaretlenen sayılar çıkarılır.
- Bulunan sonuç 11 sayısından küçük ise:
- Kalan sayı, bulunan sonuçtur.
Bir sayının, 11 ile bölümünden kalan sayı:
Bir sayının 11 ile bölümünden kalan (Sonuç negatif (-) ise):
Aşağıdaki örnekte, (+) ile işaretlenen sayılardan, (-) ile işaretlenen sayılar çıkarıldığında bulunan sonuç, (-10) sayısıdır. İşlemin sonucu negatif (-) ise, sonuç, 11 ile toplanır. İşlemin sonucu olan (-10) ile 11 sayısı toplandığında (-10) + 11 = 1 sonucu bulunur. Bir önceki örnekte olduğu gibi, sonuç 11 sayısından küçük olduğundan, bulunan 1 sonucu, 27182 sayısının 11 ile bölümünden kalandır.
Bir sayının, 11 ile bölümünden kalan sayı:
Bir sayının 11 ile bölümünden kalan (Sonuç (-11)'den küçük ise):
Aşağıdaki örnekte, (+) ile işaretlenen sayılardan, (-) ile işaretlenen sayılar çıkarıldığında bulunan sonuç, (-14) sayısıdır. İşlemin sonucu negatif (-) ise, sonuç, 11 ile toplanır. İşlemin sonucu olan (-14) ile 11 sayısı toplandığında (-14) + 11 = (-3) sonucu bulunur. (-3) sonucu da negatif (-) olduğundan, tekrar 11 ile toplanır. (-3) + 11 = 8 sonucu bulunur. 8 sonucu, 11 sayısından küçük olduğundan, bulunan 8 sonucu, 8291 sayısının 11 ile bölümünden kalandır.
Bir sayının, 11 ile bölümünden kalan sayı:
Örnek:
Dört basamaklı a23b sayısının 10 ile bölümünden kalan 5 tir.
Bu sayının 11 ile kalansız bölünebilmesi için a kaç olmalıdır? (kaynak: Supara)
Çözüm:
Bir sayının 10 ile bölümünden kalan, sayının ilk rakamındaki sayıdır.
a23b sayısı 10 ile bölündüğünde 5 kalanını veriyorsa, ilk rakamı olan b sayısı, 5 olmalıdır.
b = 5 için
a23b sayısı a235 olur.
a235 sayısının 11 ile tam bölünebilmesi için, rakamları sağdan başlayarak (+) ve (-) olarak işaretlendikten sonra, (+) işaretli sayıların toplamından, (-) işaretli sayıların toplamı çıkarıldığında, bulunan sonuç, 0 (sıfır) veya 11 sayısının pozitif (+) yada (-) negatif bir katı olmalıdır.
a235
(+) işaretli sayılar 2 ve 5 sayılarıdır. (+) işaretli sayıların toplamı 2 + 5 = 7 dir.
a235
(-) işaretli sayılar 3 ve a sayılarıdır. (-) işaretli sayıların toplamı a + 3 değeridir.
(+) işaretli sayıların toplamından, (-) işaretli sayıların toplamı çıkarılır.
7 - (a + 3) = ?
işleminin sonucu, 0 (sıfır) veya 11 sayısının pozitif (+) yada negatif (-) bir katı olursa, a235 sayısı 11 ile tam bölünür.
7 sayısından çıkarılan (a + 3) değeri için işlem sonucu, 11 sayısının pozitif (+) bir katı olamaz.
a rakamının alabileceği en büyük değer olan 9 için:
7 - (a + 3) → 7 - (9 + 3) → 7 - (12) = (-5) olur. (-5) sayısı, 11 sayısının negatif (-) bir katı değildir.
7 - (a + 3) = ? işlemi, 0 (sıfır) sonucu için, 11 ile tam bölünmelidir.
7 - (a + 3) = 0 ise:
(a + 3) değeri 7 olmalıdır. (7 - 7 = 0)
a + 3 = 7
a = 7 - 3
a = 4
a = 4 değeri için:
7 - (a + 3) = 0 olduğundan, a235 sayısı 11 ile tam bölünür.
Cevap: 4
Yorumlar
Yorum Gönder