Soru-225 » MEB 2019 AÖL | Farkın Karesi Özdeşliğine Dönüşen Kesirli | Bir Bilinmeyenli Büyük Eşit Sıfır Eşitsizliği
Soru cümlesi:
( (x² - 2x - 3)(5 - x) ) / (x - 3)² ≥ 0 eşitsizliğini sağlayan pozitif x tam sayılarının toplamı kaçtır?
Soru-225 » MEB 2019 AÖL » Farkın Karesi Özdeşliğine Dönüşen Kesirli » Bir Bilinmeyenli Büyük Eşit Sıfır Eşitsizliği:
Cevap:
Cevap-225 » MEB 2019 AÖL » Farkın Karesi Özdeşliğine Dönüşen Kesirli » Bir Bilinmeyenli Büyük Eşit Sıfır Eşitsizliği:
Not:
Payda'da olan (x-3)² değeri, pozitif olduğu için eşitsizlik çözümüne dahil edilmemiştir.
Dahil edilmiş olsaydı, x < 3 ve 3 < x şeklinde iki eşitsizliğin daha değerlendirilmesi gerekirdi.
Pay ve payda'da bulunan 4 eşitsizliğin, birbirleri ile olan ilişkisinin değerlendirilmesi, diğer tüm eşitsizliklerde olduğu gibi, kesişimlerinin, birleştirilmesi şeklinde olabilir.
Örneğin:
1-) Küçük eşit
4-) Büyük eşit
5-) (x - 3) < 0 ve (x - 3) > 0 ise
Değerleri için eşitsizlik, sıfırdan büyük eşittir. 1. , 4. ve 5. eşitsizlikler olmak üzere, 4 eşitsizliğin kesişimi boş kümedir. Boş küme ile, diğer kesişim kümeleri birleştirilir.
Veya
Örneğin:
3-) Küçük eşit
2-) Büyük eşit
5-) (x - 3) < 0 ve (x - 3) > 0 ise, ve (x - 3)² pozitif ise ve çarpılmadan önce (x - 3) > 0 eşitsizliği yazıldı ise:
İlk değerleri için eşitsizlik, sıfırdan büyük eşittir. (x - 3) < 0 eşitsizliği, (x - 3) > 0 ile çarpıldı ise, eşitsizlik yön değiştirmiştir. Bu durum pay'ın (-) . (+) durumunda olmasını açıklayabilir. 3. , 2. ve 5. eşitsizlikler olmak üzere, 4 eşitsizliğin kesişimi
(3 , 5] aralığıdır. (3 , 5] aralığı ile, diğer kesişim kümeleri birleştirilir.
Veya
Örneğin:
3-) Küçük eşit
2-) Büyük eşit
5-) (x - 3) < 0 ve (x - 3) < 0 ise, ve ifade (x - 3).(x - 3) şeklinde ise:
Değerleri için eşitsizlik, sıfırdan küçük eşittir. Negatif ikinci çarpan (x - 3) için eşitsizlik yön değiştirip küçük eşit olmuş olmalıdır. (aynı x - 3 ifadeleri için, birincisi gerçekte pozitif olabilir). 3. , 2. ve 5. eşitsizlikler olmak üzere, 4 eşitsizliğin kesişimi
(-∞ , -1] aralığıdır. (-∞ , -1] aralığı ile, diğer kesişim kümeleri birleştirilir.
Veya
Örneğin:
4-) Büyük eşit
2-) Büyük eşit
5-) (x - 3) < 0 ve (x - 3) < 0 ise, ve ifade (x - 3).(x - 3) şeklinde ise:
Değerleri için eşitsizlik, sıfırdan büyük eşittir. Negatif ikinci çarpan (x - 3) için eşitsizlik yön değiştirip büyük eşit olmuş olmalıdır. (Eşitsizlik öncesinde küçük eşit ise, 3. eşitsizlik yön değiştirip 4. eşitsizlik olmuş olabilir ve böyle ise yine aynı x - 3 ifadeleri için, birincisi gerçekte pozitif olabilir). 3. , 2. ve 5. eşitsizlikler olmak üzere, 4 eşitsizliğin kesişimi (-∞ , -1] aralığıdır. (-∞ , -1] aralığı ile, diğer kesişim kümeleri birleştirilir.
Bu çıkarımlar teoriktir ve çoğaltılabilir. Eşitsilik payda 3, payda'da 2 olmak üzere, 5 eşitsizlik halinde de değerlendirilebilir.
Eşitsizlik çözümlerinde, eşitsizliği sağlayan sayı aralıklarının, önce kesişim kümeleri, sonra birleşim kümeleri alınmalıdır.
Payda'nın değerlendirilmediği ve pay'da 2 çarpanın olduğu diğer eşitsizlik çözümleri için de bu durum geçerlidir.
Bu eşitsizliğin çözümünde, önce birleşim sonra kesişimin alınmasının nedeninin, payda'nın değerlendirilmemesinin yanında, pay'da gerçekte 3 çarpan bulunmasının da olduğu söylenebilir. Eşitsizliğin, bulunan çözüm kümesinde sağlanıp sağlanmadığına da bakılabilir.
Dahil edilmiş olsaydı, x < 3 ve 3 < x şeklinde iki eşitsizliğin daha değerlendirilmesi gerekirdi.
Pay ve payda'da bulunan 4 eşitsizliğin, birbirleri ile olan ilişkisinin değerlendirilmesi, diğer tüm eşitsizliklerde olduğu gibi, kesişimlerinin, birleştirilmesi şeklinde olabilir.
Örneğin:
1-) Küçük eşit
4-) Büyük eşit
5-) (x - 3) < 0 ve (x - 3) > 0 ise
Değerleri için eşitsizlik, sıfırdan büyük eşittir. 1. , 4. ve 5. eşitsizlikler olmak üzere, 4 eşitsizliğin kesişimi boş kümedir. Boş küme ile, diğer kesişim kümeleri birleştirilir.
Veya
Örneğin:
3-) Küçük eşit
2-) Büyük eşit
5-) (x - 3) < 0 ve (x - 3) > 0 ise, ve (x - 3)² pozitif ise ve çarpılmadan önce (x - 3) > 0 eşitsizliği yazıldı ise:
İlk değerleri için eşitsizlik, sıfırdan büyük eşittir. (x - 3) < 0 eşitsizliği, (x - 3) > 0 ile çarpıldı ise, eşitsizlik yön değiştirmiştir. Bu durum pay'ın (-) . (+) durumunda olmasını açıklayabilir. 3. , 2. ve 5. eşitsizlikler olmak üzere, 4 eşitsizliğin kesişimi
(3 , 5] aralığıdır. (3 , 5] aralığı ile, diğer kesişim kümeleri birleştirilir.
Veya
Örneğin:
3-) Küçük eşit
2-) Büyük eşit
5-) (x - 3) < 0 ve (x - 3) < 0 ise, ve ifade (x - 3).(x - 3) şeklinde ise:
Değerleri için eşitsizlik, sıfırdan küçük eşittir. Negatif ikinci çarpan (x - 3) için eşitsizlik yön değiştirip küçük eşit olmuş olmalıdır. (aynı x - 3 ifadeleri için, birincisi gerçekte pozitif olabilir). 3. , 2. ve 5. eşitsizlikler olmak üzere, 4 eşitsizliğin kesişimi
(-∞ , -1] aralığıdır. (-∞ , -1] aralığı ile, diğer kesişim kümeleri birleştirilir.
Veya
Örneğin:
4-) Büyük eşit
2-) Büyük eşit
5-) (x - 3) < 0 ve (x - 3) < 0 ise, ve ifade (x - 3).(x - 3) şeklinde ise:
Değerleri için eşitsizlik, sıfırdan büyük eşittir. Negatif ikinci çarpan (x - 3) için eşitsizlik yön değiştirip büyük eşit olmuş olmalıdır. (Eşitsizlik öncesinde küçük eşit ise, 3. eşitsizlik yön değiştirip 4. eşitsizlik olmuş olabilir ve böyle ise yine aynı x - 3 ifadeleri için, birincisi gerçekte pozitif olabilir). 3. , 2. ve 5. eşitsizlikler olmak üzere, 4 eşitsizliğin kesişimi (-∞ , -1] aralığıdır. (-∞ , -1] aralığı ile, diğer kesişim kümeleri birleştirilir.
Bu çıkarımlar teoriktir ve çoğaltılabilir. Eşitsilik payda 3, payda'da 2 olmak üzere, 5 eşitsizlik halinde de değerlendirilebilir.
Eşitsizlik çözümlerinde, eşitsizliği sağlayan sayı aralıklarının, önce kesişim kümeleri, sonra birleşim kümeleri alınmalıdır.
Payda'nın değerlendirilmediği ve pay'da 2 çarpanın olduğu diğer eşitsizlik çözümleri için de bu durum geçerlidir.
Bu eşitsizliğin çözümünde, önce birleşim sonra kesişimin alınmasının nedeninin, payda'nın değerlendirilmemesinin yanında, pay'da gerçekte 3 çarpan bulunmasının da olduğu söylenebilir. Eşitsizliğin, bulunan çözüm kümesinde sağlanıp sağlanmadığına da bakılabilir.
Yorumlar
Yorum Gönder