Soru-143 » ÖSYM 2010 LYS | Bir Bilinmeyenli Eşitsizlik, İki Kare Farkı | Sayı Aralıkları, Eşitsizlik

Soru cümlesi:
(2x - 1)(4x² - 1) < 0 eşitsizliğinin gerçek sayılardaki çözüm kümesi aşağıdaki açık aralıkların hangisidir?

Soru:
Soru-143 » ÖSYM 2010 LYS » Açık Alt Sonsuz Sayı Aralığı, Eşitsizlik, İki Kare Farkı » Gerçek Sayı Aralıkları:

Cevap:

(2x - 1) . (4x² - 1) < 0 → İfadesi sıfır sayısından küçük negatif (-) bir ifadedir. Çarpım durumunda olan iki ifadeden oluşmaktadır.

(2x - 1) → Birinci ifade,
(4x² - 1) → İkinci ifade;

İkinci ifade, iki kare farkıdır.
4x² - 1 ifadesi → 4x² - 1² şeklinde yazılabilir.
4x² = 2x . 2x
1² = 1 . 1

4x² - 1² = (2x - 1) . (2x + 1) → şeklinde çarpanlarına ayrılır.

Eşitsizlik, çarpanlara ayırma işleminden sonra:
(2x - 1) . (2x - 1) . (2x + 1) < 0 → şeklinde yazılabilir.

(2x - 1) . (2x - 1) = (2x - 1)² → şeklinde yazılabilir.

Eşitsizlik:
(2x - 1)² . (2x + 1) < 0 → şeklinde yazılabilir. Eşitsizlik sıfır sayısından küçük ise, çarpım durumunda olan, iki değerden biri negatif, diğeri pozitif olmalıdır.

(2x - 1)² → İfadesi, pozitif bir sayıdır. Her sayının karesi pozitiftir.

(2x - 1)² ifadesi pozitif ise, (2x + 1) değeri negatif olmalıdır.

2x + 1 < 0 → Eşitsizliği çözülür ve x in değer aralığı bulunur.

2x + 1 < 0 → Eşitsizliğinde, toplama işleminin sembolü olan (+) işareti, 1 sayısının işareti olarak kabul edilebilir.

2x +1 < 0 → Eşitsizliğinde, +1 sayısı, eşitsizliğin sağına atılır ve işaret değiştirir.

2x < -1 → Eşitsizliğin her iki tarafı, x sayısını yalnız bırakmak için, 2 sayısına bölünür.

( 2x / 2 ) < ( -1 / 2 ) → Eşitsizliğin sol tarafında bulunan işlem yapıldığından, 2 sayıları sadeleşir ve x sayısı yalnız kalır.

x < ( -1 / 2 )

x sayısı, ( -1 / 2 ) sayısından küçük, tüm gerçek sayılar olabilir.

Açık aralığı, ( - ∞ , -1 / 2 ) şeklinde yazılır.

Yanıt: A

---

---